完整word版奥数六年级千份讲义1196.第五讲比例解行程问题.docx

第五讲

比例解行程问题

知识点拨

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学 “压轴知识点 ”的

角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着

“得天独厚 ”的优势，往往体现在方法的

灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问 题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析

2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，

我们将甲、 乙的速度、

时间、路程分别用 v 甲 , v 乙； t 甲 , t 乙； s 甲，s 乙 来表示，大体可分为以下两种情况：

1. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之

比就等于他们的速度之比。

s 甲

v 甲 t 甲

s 甲

乙

，这里因为时间相同，即

t 甲 t 乙 t ,所以由 t 甲

，t 乙 s

s 乙

v 乙

t 乙 v 甲 v 乙

s 甲

乙

s 甲 v 甲

得到 t

s ，

，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比

v 甲

v 乙 s 乙 v 乙

2. 当2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，

走过相同的路程时， 2 个物体所用的时间

之比等于他们速度的反比。

s 甲

v 甲 t 甲 ，这里因为路程相同，即 s 甲 s 乙 s ，由 s 甲 v 甲

t 甲， s

乙

v 乙 t 乙

s 乙

v

乙

t 乙

得

乙 ， v 甲 乙

s 甲 t

甲

乙

t ，甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。

v v t

v 乙

t 甲

例题精讲

模块一、时间相同速度比等于路程比

【例 1】甲、乙二人分别从A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距

第一次相遇的地点 30 千米，则 A 、 B 两地相距多少千米？

【例 2】 A 、 B 两地相距7200 米，甲、乙分别从 A ， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前10 分钟相遇，则甲的速度是每

分钟行多少米？

【例 3】甲、乙两人同时从A、 B 两点出发，甲每分钟行80 米，乙每分钟行60 米，出发一段时间后，两人在 C 点处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7 分钟，两人将在 D 点处相

遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A 、 B 两点相距多少米？

【例 4】甲、乙两车分别从A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5: 4 ，相遇后甲的速度减少20% ，乙的速度增加 20% ．这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有10

千米．那么 A 、 B两地相距多少千米？

【例 5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是l5 千米．下午 4 点

时小王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

【例 6】 B 地在 A ， C 两地之间．甲从 B 地到 A 地去送信，甲出发10 分钟后，乙从 B 地出发到C 地去送另一封信，乙出发后10 分钟，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从 B 地

出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度

的 3 倍，丙从出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间。

模块三：路程相同速度比等于时间的反比

【例 7】上午8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地， 8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到

达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发时是8 点几分．

【例 8】在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行， 6 分后两人相遇，再过 4 分甲到达 B 点，又过8 分两人再次相遇 .甲、乙环行一周各需要多少分？

【例9】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的 1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少

倍？

【例10】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高

时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

1/9，结果提前一个1/6，于是提前 1 小

【例 11】一列火车出发1小时后因故停车0.5 小时，然后以原速的3

前进，最终到达目的地晚1.5

4 3

前进，

小时．若出发1小时后又前进90 公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的

4则到达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里？

模块四、比例综合题

【例12】甲、乙两人从相距490 米的 A、 B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A 出发，在甲、乙二人之间来回跑步 ( 遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回 )．已知丙每分钟跑 240 米，甲每分钟走 40

米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟走 ________米；甲下

一次遇到丙时，甲、乙相距 ________米．

【例 13】甲、乙两人同时从 A 地出发，在 A 、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达 A 地、 B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A 、B 之间行走方向不会改

变，已知两人第一次相遇点距离 B 地 1800 米，第三次相遇点距离 B 地 800 米，那么第二次相遇的

地点距离 B 地多少米？

【例14】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶600 米处相

遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【例15】一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西 5 米处．一列火车以每小时84 千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车

距西桥头 3米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5 米处被火