五年级奥数春季班第13讲概率初识
五年级数学教案概率初步
五年级数学教案概率初步本教案旨在帮助五年级学生初步理解概率的概念和应用。
教案将以数学游戏和实际问题为主要教学手段，通过培养学生的观察力、逻辑思维和团队合作能力，提高他们对概率的认识和应用能力。
一、教学目标1. 理解概率的基本概念，能够用自己的话简单解释概率是什么。
2. 能够通过实际问题和数学游戏计算简单的概率。
3. 能够运用概率的思维方法解决实际问题。
二、教学准备1. 定制数学游戏所需的材料和道具。
2. 准备一些与概率相关的实际问题，以便教学中引导学生思考和解决。
三、教学过程引入：为了引发学生对概率的兴趣，我将设计一个有趣的数学游戏。
请学生们分成小组，每组选出一名代表。
将准备好的游戏材料分发给每个代表。
主体：1. 介绍游戏规则和目标：每个代表需要将手中的五颗彩色小球放入一个透明袋子里，并将袋子均匀晃动。
然后，每个代表需要从袋子中抽取出一个小球，记录下其颜色，并将球放回袋子中。
重复这个过程10次，然后统计每个颜色球被抽取的次数。
2. 引导学生观察结果并讨论：观察每个颜色球被抽取的次数，学生们将会发现某些颜色的球被抽取的次数相对较多，而某些颜色的球被抽取的次数相对较少。
这就是概率的体现。
请学生们用自己的话简单解释一下概率是什么。
3. 教师出示一个实际问题并引导学生解决：老师说：“小明家有3个抽屉，分别放着50个红球、30个蓝球和20个绿球。
小明闭上眼睛随机打开一个抽屉并抽取一个球，请问他抽到红球的概率是多少？”请学生再次用自己的话解释一下概率的含义，并计算出答案。
4. 学生合作解决实际问题：将学生分成小组，教师给每个小组出示不同的实际问题，并要求他们在小组内讨论解决方案。
学生们需要运用所学的概率知识和计算方法，寻找正确答案。
鼓励学生展示自己的解决思路和计算过程。
五、课堂小结通过本节课的学习，学生们初步了解了概率的概念和应用。
他们通过数学游戏和实际问题的解决，加深了对概率的理解，并培养了观察力、逻辑思维和团队合作能力。
五年级奥数春季班第13讲 概率初识
第十三讲概率初识模块一、认识概率例1．有数颗质量分布均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，且相对的两面的和是7，（1）如果抛一颗骰子,数字“2”朝上的可能性是;(2）如果抛2颗骰子,点数之和为6的概率为；点数之积为6的概率为；（3）如果抛2颗骰子，所得两个数的乘积大于10的可能性是；(4）艾迪、薇儿和大宽三人玩掷骰子的游戏：将两颗骰子一起掷出，看朝上两个面的和是多少,和是6,算艾迪胜；和是7，算薇儿胜；和是8,算大宽胜。
他们三人获胜的可能性大。
(5）如果抛7颗骰子投掷后，规定:向上七个面的数的和是10，则甲胜,向上7个面的数的和是39，则乙胜，则甲获胜的概率乙获胜的概率。
（填“大于”、“小于”或“等于”）解：（1)P=16；（2)两颗骰子中数字相加有6×6=36种情况，而点数之和为6,有1+5、2+4、3+3、4+2、5+1共5种情况，所以概率P1=5 36；点数乘积为6，有1×6、2×3、3×2、6×1共4种情况，所以概率P2=19；（3）乘积大于的情况有2×6、3×4、3×5、3×6、4×3、4×4、4×5、4×6、5×3、5×4、5×5、5×6、6×2、6×3、6×4、6×5、6×6共17种，所以概率P=17 36；（4）数字和为6的有1+5、2+4、3+3、4+2、5+1共5种;数字和为7的有1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1共6种;数字和为8的有2+6、3+5、4+4、5+3、6+2共5种；所以薇儿的胜算最大；(5)七颗骰子向上的面的数字和最小是7，接着是8、9、10；最大是42，前面是41、40、39；它们离中心位置的距离一样，所以获胜的概率相同。
五年级奥数第13次课：数阵图(一)(教师版)
戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。
学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。
谢谢使用！！！】数阵图(一)一、考点、热点回顾1、在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
2、那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
二、典型例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
例2 、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第13讲 平面组合图形2(含答案)
第13讲平面组合图形2知识与方法1、三角形的等积变换指的是使三角形面积相等的变换。
通过三角形的等积变换，可以解决许多与三角形相关的面积计算。
2、三角形的等积变形中常用的几个重要结论：（1）平行线间的距离处处相等。
（2）等底等高的两个三角形面积相等。
（3）底在同一条直线上并且相等，底所对的顶点是同一个，这样的两个三角形的面积相等。
如下图，△ABD与△ACD底在同一直线上，且BD＝DC，S△ABD ＝S△ADC。
（4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形的面积的几倍。
如下图，△ABD与△ACD的高相等，DC＝2BD，S△ADC ＝2S△ABD。
（5）若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一条直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条边上，则这几个三角形的面积相等。
如下图，三个三角形的底相等，那么S①＝S②＝S③。
初级挑战1把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形，可以怎样分？思维点拨：根据“等底等高的两个三角形面积相等”，对三角形进行分割，即可保证分割的小三角形面积相等。
答案：提供几种分法如下（答案不唯一）。
……能力探索1在△ABC中，E、D、G分别是AB、BC、AD的中点，图中与△AGC面积相等的三角形有哪些？答案：共3个，分别是△CDG、△BDE、△ADE。
初级挑战2如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）思路引领：比较阴影部分两个三角形，高相等，底在同一直线上。
根据“等底等高的两个三角形面积相等”，你能将阴影部分两个三角形转化在一起吗？答案：如下图，△ACE的面积等于原△CDE的面积，所求阴影部分的面积和就是△ABC的＝3×6÷2＝9（平方厘米）。
面积，S阴影能力探索2求下图中阴影部分的面积和。
答案：S阴影＝25×10÷2＝125（平方厘米）中级挑战1如图，长方形ABCD的面积为80平方厘米，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，H为AD上的任意一点，求阴影部分的面积和。
五年级奥数讲义-第13讲(盈亏问题与比较法一)
定义：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。
如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。
也就是说：已知两个分配方案，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的人数及被分配的总量。
这样的问题通常叫做盈亏问题。
典型的盈亏问题一般以下列的形式表述：把若干个苹果(未知数)分给若干个人(未知数)，如果每人分2个还多20个，如果每人分3个则少5个。
问总共有多少人？有多少个苹果？题目中的不变量是人数和苹果数，比较两种不同的分配方法，可知苹果相差：20 + 5 = 25 (个)；相差25个苹果，亳无疑问是由于每人相差苹果 3 - 2 = 1 (个)而做成的，事实上，只有唯一一种情况才会导至上述情形，那就是有25人分苹果！求得人数后，进而可以根据题意，用两种方法求得苹果的数目：2×25+20=70(个)或3×25－5=70(个)。
解盈亏问题的公式【一盈一亏的解法】(盈数+亏数)÷两次每人分配数的差=分配人数【双盈的解法】(大盈-小盈)÷两次每人分配数的差=分配人数【双亏的解法】(大亏-小亏)÷两次每人分配数的差=分配人数学法指导由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的关键是小心确定两次分配数量的差和盈亏的总额，如果两次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的公式先求得人数(不是物数)，再求出物数；如果两次分配都是有余，则公式变成盈额差除以两次分配数之差；如果两次分配都是不足时，则公式变成亏额差除以两次分配数之差，如果……有时候，必须转化题目中条件，才能从复杂的数量关系中寻找解答；有时候，直接从“包含”入手比较困难，可以间接从其反面“不包含”去想就会比较容易。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
第14讲、概率初识(超常-学生版) (1)
知识应用 例 1、有数颗质量分布均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6，且相对的 两面的和是 7. (1)如果抛 2 颗骰子，点数之和为 6 的概率为________. (2)点数之积为 6 的概率为_______. (3)如果抛 2 颗骰子，所得两个数的乘积大于 10 的可能性是_________. (4)东东和菲菲玩掷骰子的游戏：将两颗骰子一起掷出，看朝上两个数的和是多少．如果和是 5，则算东东胜，如果和是 9，算菲菲胜.请问谁获胜的可能性大？ (A)东东 (B)菲菲 (C)一样大
6、某校开设劳动技术类课程 3 门，艺术类课程 4 门，一位同学从中选 3 门，则两类课程中各 至少选一门的概率为_________．
7/7
2、小强投掷两枚相同的
3、小刚投掷一枚骰子两次,一共会出现多少种不同的情况?和为 6 的情况占总数的多少?
1/7
海边数学五年级 （下） 春季超常班
必修课第 14 讲
模块一：认识概率
知识点精讲 1、在投硬币的试验中,我们在试验之前不能确定是正面朝上还是反面朝上,但可以确定只 会出现其中一种情况,这样的试验就叫做随机试验.试验的所有可能的结果数叫做样本数,如在 投硬币试验中,样本数是 2（正面朝上和背面朝上） 。正面朝上和反面朝上发生的可能性是相同 的,我们称它们为等可能事件. 2、 如果试验中所有可能的情况都等可能事件,我们就可以求在试验中满足某个条件的概率. 小学范围内, 概率= 等方法求出. 3、生活中有一些事情的发生是不确定的(如：明天会下雨),这样的事件叫做不确定事件, 概率是 0 到 1 之间的一个数；有些事情是一定发生的(如：太阳从东方升起),这样的事件叫做 必然事件,概率是 1； 有些事情是一定不会发生的(如： 水中捞月),这样的事件叫做不可能事件, 概率是 0.
五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)
五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)work Information Technology Company.2020YEAR第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
最新小学五年级奥数全册讲义(1-30讲)(含详解)【值得拥有】
小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
【6年级奥数课本(上)】第13讲 概率初步
小学奥数创新体系6年级（上册授课课本） 最新讲义小学奥数第十三讲概率初步日常生活中，我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，比如抛掷一枚硬币出现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件，它们的结果都有不确定性，是无法预知的．尽管无法预知结果，但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性的大小，例如：今天乌云密布，那么明天很有可能下雨；中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小；一次投掷10枚硬币，出现10个正面的可能性非常小．为了能够更准确的描述这种“可能性的大小”，法国数学家费马和帕斯卡在17世纪创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学．（当时他们通过信件讨论了社会上的两个热点问题——掷骰子问题和比赛奖金分配问题）概率基本概念概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：投掷一枚硬币，正面和反面出现的可能性相同，所以概率均为；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所以概率均为． 概率是0~1之间用来表示事件可能性大小的一个数值．关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷1枚硬币，正面出现的概率为，并不是说投掷2次一定会有1次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面． 虽然投掷2次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比例越接近一半（例如无论谁投掷10000次硬币，正面出现的比例都会很接近0.5）．（这个特点在概率论中被称为大数定律）换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性．基于此，在17世纪概率刚创始的年代，人们提出了古典概率模型．古典概率模型古典概率模型是最简单的概率计算模型，它的想法非常简单，用“条件要求的情况总量”除以“全部情况数量”即可． 古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个．．．．．．．．．．．”，下面我们先用几个简单例子来看一下古典概型的用法：1．A 、B 、C 排成一排，共有6种排法，其中A 占排头的方法共2种，所以A 站排头的概率是． 2．从3个男生、2个女生中，随意选出2个人去参加数学竞赛，共有10种方法，其中选出2个男生的方法数有3种，所以选出2个男生的概率是． 3．3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法，其中女生互不相邻的站法共72种，所以3男、2女站成一排，女生互不相邻的概率是． 上面的例子都比较简单，因为计算概率所需要的两个数都非常好算，接来下我们再看几个例子，从这几个例子中，大家要能体会到古典概型的第二个重要条件——等可能．．．性．． 4．从10个红球、1个白球中，随意的取出1个球，取到红球的概率是． 5．投掷两枚硬币，出现2个正面的概率是，出现1正1反的概率是，出现2反的概率是． 6．从3个红球、2个白球中，随意取出2个球，取到2个红球的概率是． 例4比较简单，在例5中，从硬币的结果看，只有3种情况——“2正、1正1反、31014 12 14 1011 3531013它所包含的等可能情况数量某一随机事件发生的概率全部等可能情况的数量1212 16 122反”，但概率都不是，因为这3种结果出现的可能性不同，给硬币编上A 和B ，那么出现1正1反有两种情况“A 正B 反、A 反B 正”，而2正和2反都只有1种情况（投掷2枚硬币共4种情况）．而例6和例2是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可）．从这3个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果，因为结果必须是“等可能”才行（例4的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等）．为了计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例4，假设红球是1号到10号，白球是11号，那么显然共有11种不同取法，其中有10种取到红球，所以概率是．例题1. 4个男生、2个女生随机站成一排照相，请问：（1）女生恰好站在一起的概率是多少？（2）女生互不相邻的概率是多少？（3）男生互不相邻的概率是多少？「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问：（1）关羽站在正中间的概率是多少？（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？（3）关羽和张飞中间恰好隔着一个人的概率是多少？例题2. 一个不透明的袋子里装着2个红球，3个黄球和4个黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率是多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多少？（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数．练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛，已知集训队中共有4个男生、3个女生，请问：（1）选出3个男生的概率是多少？（2）选出2男1女的概率是多少？1011 13例题3.一次投掷两个骰子，请问：（1）两个骰子点数相同的概率是多少？（2）两个骰子点数和为5的概率是多少？（3）两个骰子点数差是1的概率是多少？「分析」骰子是一个正方体，每个面上的点数从1到6，可以按题目要求枚举一些情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案．练习3、一次投掷3枚硬币，请问：（1）出现3个正面的概率是多少？（2）出现1正2反的概率是多少？例题4.两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1个，现在从两个盒子中各取一个球，那么它们同色的概率是多少？不同色的概率是多少？「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种？其中有多少同色情况？练习4、一个不透明的袋子里装着2个红球、3个黄球和4个黑球．从中任取两个球，请问：取出2个黑球的概率是多少？取出1红1黄的概率是多少？取出1黄1黑的概率是多少？概率的独立性如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如：A买彩票是否中奖和B买彩票是否中奖是独立的；甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的；如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生概率的乘积．例题5.神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率分别为0.8和0.9，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？「分析」理解概率独立性，根据独立性解题即可．需要分步计算的概率问题有些随机事件，在发生时有先后顺序，这时在计算概率时需要分步计算，这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是，第二次抽到黑球的概率是，所以两次都抽到黑球的概率是．在分步拿球的问题中，大家还要注意“无放回拿球．．．．．”和“有放回拿球．．．．．”的区别，它关系到每步的概率计算结果．例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后把它放回去，再从盒子中取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是．例题6. 3个人进行抽签，已知3个签中只有一个写有“中奖”，3个人先后抽取，那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？ 「分析」分步计算概率即可．111224⨯= 111236⨯= 13 12。
五年级奥数.计数综合.概率(ABC级).教师版
一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B ⋅=⋅．【例 1】 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢． 赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．例题精讲知识结构概率【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【关键词】2005年，第4届，走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
约翰扔的话，两种情况记1分，两种情况记0分；汤姆扔的话三种情况记1分，一种情况记0分。
所以汤姆赢得的可能性大。
【答案】汤姆【巩固】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【答案】小亮得分高的可能性较大【例 2】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空【解析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大．【答案】总点数是13的可能性最大．【巩固】有两个骰子A和B,骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6掷出的两枚骰子朝上的数字之和不是12的可能性是＿＿＿。
概率初识(5年级培优)教师版
概率是表示事件发生可能性大小的数量，研究概率的学科被称为概率论。
同学们要上大学后才会系统地学习到概率论的相关知识。
概率论产生于博弈，但它的应用非常广泛，概率已经成为现代社会生活的一个普通概念。
本次课介绍概率的一些基本知识，相信同学们学习后，能对概率有初步的认识。
有5张大小、样式完全相同的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5这5个数字，如果不看数字，从中任意抽出一张卡片，抽出卡片上数字是3的概率有多大？ 【分析】知识点：考虑所有情况的可能性难度：A 出处：《小学数学思维拓展教程》【解答】从5张卡片中任意抽出一张，有5中可能，而抽出3的情况只是其中一种，所以抽出卡片上数字是3的概率是51。
有5个年龄互不相同的同学在一起玩，小亮的年龄不是最小的，那么小亮的年龄最大的概率是______%。
【解答】因为小亮不是最小的，还有四种可能，所以小亮年龄最大的概率是%2541=÷。
一辆肇事车辆撞人后逃逸，警察在现场调查取证，目击者只能记得车牌号是由2、3、5、7、9这五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了。
警察在调查过程中，如果在电脑中随机的输入一个由这五个数字组成的车牌号，那么输入的车牌号恰好是肇事车辆的概率是______。
【分析】知识点：利用乘法原理找出所有可能性。
难度：B 出处：《小学数学竞赛多功能题典》【解答】有这五个数字组成的五位数，不同排列的情况共有12012345=⨯⨯⨯⨯（种），肇事车辆车牌号只是其中一种，所以随机输入恰好是肇事车辆车牌号的概率是12011201=÷。
有5张大小、样式完全相同的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5这5个数字，如果不看数字，同时抽出两张卡片，把两张卡片上的数字组成一个两位数，那么这个两位数是23的概率有多大？【解答】一共有2045=⨯（种），是23的概率为201201=÷。
有5张大小、样式完全相同的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5这5个数字，如果不看数字，从中任意抽出一张卡片，抽出卡片上数字不是5的概率有多大？ 【分析】知识点：互斥事件的概率难度：A 出处：《小学数学思维拓展教程》 【解答】54511=÷-。
五年级下册数学奥数讲义—第十三讲数的整除通用版
数的整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；1. 2和5例：把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？解：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．，，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55。
五年级奥数训练第13讲 数字谜综合一
五年级奥数训练第13讲数字谜综合一内容概述涉及小数、分数、循环小数酌数字谜问题；需要利用数论知识解决的数字谜问题．典型问题兴趣篇1．有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再把这个小数和原来的四位数相加，得数是4003.64求这个四位数．2．试将1、2、3、4、5、6、7分别填人下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三位数），口口口（这是一个三位数），口（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，求另外两个数．3．用1至9这9个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？4．如图13-!，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，在这些圆圈中分别填上6个质数（可以重复），使得它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等，请问：这6个质数的乘积是多少？5．在一个带有余数的除法算式中，商比除数大2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是1023.请问：此算式中的4个数之和最大可能是多少？6．在乘法算式“好好好迎杯=⨯”中，不同的汉字表示不同的数春杯字，相同的汉字表示相同的数字．请问：“迎+春+杯+好”等于多少？7．将1至9这9个数填入下面算式中的9个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立．口口口×口口=口口×口口=55688．循环小数B A.0化成最简分数后，分子与分母之和为40，那么A 和B 分别是多少？9．在算式“7=+金杯竞赛华罗庚数学”中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、赛九个字，分别代表数字1、2、3、4、5、6、7、8、9．已知“竞 = 8，赛 = 6”，请把这个算式写出来．10．已知“GOOD BAD BAD =+”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，已知GOOD 不是8的倍数．请问：ABGD 代表的四位数是什么？拓展篇1．[4.2×5 - (1+2.5 + 9.1 + 0.7)] + 0.04=100.改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少？2．用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940，另外三个数可能是多少？3．学数学数数=⨯．在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，科学不同的汉字代表不同的数字．请问：“数学”所代表的两位数是多少？4．在等式“口△×△口×口O×◇△=口△口△口△”中，口、△、O、◇分别代表不同的数字．四位数◇O口△是多少？5．将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字分别填人下式的各个方框中，使等式成立：口口×口口=口口×口口口=3634.6．已知a 是一个自然数，A 、B 是1至9中的数字，最简分数差B A a 33.0222．请问：a 是多少？7．把质数373按数位拆开（不改变各数之间的顺序），只能得到3、7、37、73这四个数，它们仍然都是质数，请找出所有具有这种性质的质数．8．在下面各题中，请你用给出的四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使得计算结果等于24. (1)1，4，5，6；(2)1，5，5，5； (3)3，3，7，7； (4)3，3，8，8.9．把1至6填人下面的方框中，每个数字恰好使用一次，使得等式成立，请写出所有的答案． 口．口×口．口=口．口10．如图13-2所示，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字，要使得两个加数的差尽可能小，较大的加数是多少？11．在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．花相似人不同代表的六位数是多少？ 花相似岁岁年年=⨯ 不同人年年年年÷=÷12．在图13-3所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．如果CHINA 代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？超越篇1．两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，但计算结果都是1360.实际上正确结果的个位不是0，那么正确结果应该是多少？2．用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？3．已知b 13a.0A 是纯循环小数，将它写成最简分数后，使得分母最小．那么这个分数是多少？4．数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干出一番大事业．”请问：他是几岁毕业的？5．一个四位数的每一位数字都是非零的偶数，它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方，请问：这个四位数是多少？6．在图134所示算式的每个方框内填人一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立．7．a、b、c是三个互不相同的自然数，且满足cba×bcaabc，求×7bc=三位数abc8．已知算式234235286×abc，其中a > b > c．后来发现右边bcacab×=的乘积的数字顺序出现错误，但是知道个位的6是正确的，那么原式中的abc是多少？。
五年级奥数教案第13讲：最大公因数
现在请同学们找一找24和16的最大公因数是多少。
生：是8。
师：你是用什么方法做的呢？生：……师：分解质因数再找最大公因数是一个很好的办法,大家也运用得很熟练,但是在数字比较大的时候,运用起来就没有那么得心应手了,所以老师今天要教大家一个更好的办法。
我们一起来看例题一。
【探究新知,引入新课：学生们对因数和公因数有一定的了解,因此我们这节课要让他们明白因数、公因数、最大公因数的区别与联系,会用短除法求最大公因数。
并且运用最大公因数解决实际问题。
】【板书课题：最大公因数】二、探索发现授课［40分］［一］例题1：［10分］有两根木条,一根长35厘米,另一根长30厘米,现在要将它们锯成同样长的小段没有剩余,每段最长是几厘米？讲解重点：让学生理解要使剪成的小段同样长,且木条没有剩余,那么每段长就是两根木条长度的最大公因数。
［请一位学生读题］师：你从题中找到什么有用的信息？生：……师：那么要把它们锯成同样长的小段且没有剩余,同学们可以说说你对这句话的理解。
生：……师：是的。
35和30除以每段的长度正好整除,没有余数。
那么这个除数和这两个数有什么关系呢？生：……师：是的。
就是公因数。
那么问题问每段最长是几厘米,那么是让我们求什么呢？生：最大公因数。
师：我们现在不用分解质因数的方法做,老师教你们另一种方法,短除法。
先看看老师是如何用短除法来求最大公因数的,然后说一说你们观察到的结果。
板书：［35,30］=5答：每段最长是5厘米。
师：同学们从老师刚刚的计算过程中发现了什么吗？生1：35÷5=7,30÷5=6,符号的左边是除数,符号底下是商,而且商是写在对应的被除数下面。
生2：5是两个数的公因数。
生3：7与6是互质数。
师：是的,同学们都观察得很仔细。
这个符号我们叫做短除号,就是将我们列竖式计算时的除号倒过来了。
符号左边写上两个数的公因数,符号上是两个要求最大公因数的数即被除数,符号下面是商,我们在用短除法求最大因数时,短除号下面的商要计算到两个数为互质数为止。
五年级奥数讲义必备专题第13讲.构造与论证.学生版
第十三讲构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．模块一 最佳安排和选择方案例题33例题22例题精讲例题11例题77例题66例题55例题44例题1111例题1010例题99例题88模块二 染色与赋值问题例题1414例题1313例题1290.例题1818例题1717例题1616例题1515例题2121例题2020例题1919例题2323例题2222练习11家庭作业632541练习44练习33练习22练习77练习66练习55备选11月测备选五年级数学·第13讲·学生版 page 11 of 11备选44备选33备选22。
高斯小学奥数五年级下册含答案第13讲_沙漏与金字塔
第十三讲沙漏与金字塔- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -观察故事中的第4幅图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角形，如图2所示．观察一下，这个图形与生活中的什么东西比较像？对了，沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识．沙漏有一个必要条件：线段AB 平行于线段CD ，如图2所示．在沙漏中，我们总结出了如下性质：这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系，简称沙漏．例题1．如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？ 分析：图中给出的是一个梯形，梯形的上底和下底是平行的，你能找到平行线间的沙漏吗？如何利用这个沙漏呢？练习1．如图所示，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影部分的面积．图2A C图1A BC- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系．如图所示，如果沙漏形的上下底之比为a :b ，四个三角形的面积之比为a ²:ab :ab :b ²．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题2．如图，平行四边形ABCD 的面积是90．已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积．分析：图中有没有沙漏形？它的上底与下底之比是多少？ 练习2．如图，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的中点．求△AOD 的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -寻找沙漏的时候，一定把握住一点：平行线．题目中如果出现了平行线，那么只要找到平行线间的相交线就可以找到沙漏．同学们在做题的过程中一定要用心体会这一点．小故事沙漏沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．西方沙漏由两个玻璃球和一个狭窄的连接管道组成．利用上面的玻璃球的沙子穿过狭窄管道流入底部玻璃球所花费的时间来对时间进行测量．一旦所有的沙子都已流到底部玻璃球，该沙漏就可ABCD EOABCD EO以被颠倒以重新测量时间了．一般的沙漏有一个名义上的运行时间1小时．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题3．如图所示，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积． 分析：图中有很多组平行线，那么这些平行线就构造出很多沙漏，你能找出这些沙漏吗？那么想求阴影部分的面积，该利用哪一个沙漏呢？练习3．如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成，且相交线的交点在平行线之间．如果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模型．在金字塔模型中也有相应的比例关系．111222a b c a b c == 1122a b a b = 11112122a b ca ab bc ==++ 沙漏模型金字塔模型FB- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．如图，直角三角形ABC 中，AB =4，BC =6．又知BE :EC =1:3，求△CDE 的面积．练习4．如图，EF 与BC 平行，:1:2AF FB =．已知2AE =，3EF =，那么CE 的长度是多少？AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？例题5．如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，已知正方形ABCD 的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积．分析：如图所示，假设阴影三角形的另外两个顶点是G 和H ．容易看出，三角形AGH 在三角形ABD 中，而三角形ABD 的面积是正方形ABCD 的一半，如果我们能够找到这两个三角形之间的面积关系，那么本题也就迎刃而解了．AFEBCD F例题6．已知三角形ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点（靠近A点），且DE与BC平行，请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？分析：图中既有沙漏形，也有金字塔形．沙漏形的上底和下底分别是DE和BC，它们的比是多少？是不是需要用到金字塔形中的比例关系？AD EB OC埃及金字塔在非洲古国埃及的尼罗河畔，开罗城近郊的广裹沙漠中，巍然耸立着一群巨大的方锥形建筑物，这就是全球著名的古代世界八大奇观之首的埃及金字塔．它气势威严，历经沧桑，迄今已有四、五千年的历史．它又是古埃及高度文明的象征，是人类遥远历史的见证．金字塔以其形体极似汉字的“金”字，因此在中国称为“金字塔”．在欧洲则称为“庇拉米斯”，是古埃及语“高”的意思，可见高大是金字塔的特征．埃及金字塔是奴隶制帝王的陵墓，国王生前穷奢极欲，死后也仍想主宰天下．因此，在生前就不惜一切为自己修造所谓的“永久坚固的寓所”——金字塔，帝王希图永远保存自己的尸骨和尊严，于是从埃及第三王朝起便开始兴建金字塔．约在公元前2800-2300年之间，那是金字塔盛行的时代．在埃及有大、小金字塔70余座．第1座是埃及第三王朝国王杰赛尔的阶梯形金字塔，后来的角锥形金字塔，是在此基础上发展演变而来的．其中位于开罗郊区吉萨城附近的胡夫和哈夫拉两座金字塔，被列为世界古代八大奇观之首．这两座金字塔加上显示国王威严的狮身人面像，成为埃及金字塔风光的象征．胡夫金字塔规模最大，所以又称为“大金字塔”．它高146.5米，像一座40层高楼，拔地而起．在1889年巴黎埃菲尔铁塔(312.5米)修建之前，一直是世界上最高的建筑物．该塔占地80亩，边长2300多米，周长约1公里．全塔用230多万块大、小不同的巨石砌成，总体积250万立方米．平均每块石头重2.5吨，最重的一块约160吨．石块连接没有使用丝毫粘着物，但石块间丝隙皆无，使人赞叹!塔内有甫道、石阶、通风道和墓室．墓室分3层，位于塔底正中地下30米深处．胡夫大金字塔建筑之奇，至今仍是不解之谜．金字塔这样宏伟的建筑，有人认为是天外来客所建，但毕竟金字塔巍峨壮观地坐落在地球上，成为人类史上一座不朽的丰碑．它生动具体地告诉人们：古代埃及的奴隶们是怎样地在没有火药、没有机械的年代，利用双手及简单工具而创造出这一惊人的奇迹．金字塔至今作为世界奇观，傲对碧空，成为当今闻名世界的旅游胜地．作业1. 如图所示，DE 与BC平行，已知，，，则BC 的长度是多少？作业2. 如图所示，DE 与BC 平行，已知，，△ADE 的面积为32，则四边形DECB 面积是多少？作业3. 如图所示，梯形ABCD 的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？作业4. 如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积是多少？作业5. 如图，平行四边形ABCD 的面积是12AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是多少？5BD = 4AD = 16DE = 5BD = 4AD = ADE BCCADEBABCDBCE第十三讲 沙漏与金字塔例题1. 答案：16详解：上底与下底的长度比为1:2，设△OCD 面积是1份，则△AOD 与△BOC 的面积均为2份，△ABO 的面积为4份，共有9份，梯形面积为36，故一份所对应的面积为4．则△ABO 的面积为16．例题2. 答案：33详解：由沙漏模型知，:::2:3BE CD BO OD EO OC ===，设△OBE 的面积为4份，则△OBC 的面积为6份，△OCD 的面积为9份，△OBC 的面积与△OCD 的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应的面积为3，阴影部分占了11份，面积为33．例题3. 答案：45详解：由条件知，:12:203:5GF BE ==，由沙漏模型知:3:5GO OE =，那么△GOF 与△EOF 的面积之比也是3:5．△OEF 的面积为512122458⨯÷⨯=．例题4. 答案：6.75详解：由金字塔模型知，::3:4DE AB CE CB ==，则3434DE =⨯=．又知道36 4.54CE =⨯=，可求出△CDE 的面积为3 4.52 6.75⨯÷=．例题5. 答案：10平方厘米详解：由条件知，1:2BE AD ==，则:1:2BG GD =，13BG BD =．同理，:1:2DF AB =，则:1:2DH HB =，13DH BD =．由此可得，13GH BD =．阴影部分面积为602310÷÷=平方厘米．例题6. 答案：13.5详解：由金字塔模型知，::1:3AD AB DE BC ==，设△ODE 的面积为1份，则△ODB 的面积为3份，△OEC 的面积为3份，△OBC 的面积为9份．又因为△ADE 与△DEC 等高，可知△ADE 的面积为2份，由此可知△OBC 的面积为32913.5÷⨯=平方厘米． 练习1.答案：27平方厘米简答：上底与下底之比为1:3．由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影部分的面积是()481339927÷+++⨯=平方厘米． 练习2.答案：12简答：连结DE ，因为BE 与AD 之比是1:2，可如图所示设份数．可知△AOD 的面积是正方形面积的三分之一，是12．BC E练习3.答案：400 13简答：58AH ADHG BG==，那么△ABH与△BGH的面积之比也是5:8，△ABH的面积是△ABG面积的5 13．5400 101621313⨯÷⨯=．练习4.答案：简答：12AF AEFB EC==，可求出4CE=，6AC=．13EF AFBC AB==，可求出9BC=．作业1.答案：36．简答：由金字塔模型，::4:9AD AB DE BC==，16DE=，则36BC=．作业2.答案：130．简答：:4:9AD AB=，则:4:9AE AC=，△ADE是△ABC面积的1681，则△ABC的面积为162，四边形DEBC的面积为130．作业3.答案：18．简答：上底与下底的长度比为2:3，设△OCD面积是4份，则△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2．则△ABO的面积为18．作业4.答案：13.5．简答：由沙漏模型，::1:3BE AD BO OD==，△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为3 66213.54⨯÷⨯=．作业5.答案：8．简答：AE:BC=2:3，设份数可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影部分占11份，面积为4.4．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十三讲概率初识
模块一、认识概率
例1．有数颗质量分布均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，且相对的两面的和是7，
（1）如果抛一颗骰子，数字“2”朝上的可能性是；
（2）如果抛2颗骰子，点数之和为6的概率为；点数之积为6的概率为；
（3）如果抛2颗骰子，所得两个数的乘积大于10的可能性是；
（4）艾迪、薇儿和大宽三人玩掷骰子的游戏：将两颗骰子一起掷出，看朝上两个面的和是多少，和是6，算艾迪胜；和是7，算薇儿胜；和是8，算大宽胜。
他们三人获胜的可能性大。
（5）如果抛7颗骰子投掷后，规定：向上七个面的数的和是10，则甲胜，向上7个面的数的和是39，则乙胜，则甲获胜的概率乙获胜的概率。
（填“大于”、“小于”或“等于”）
解：（1）P=1
6
；
（2）两颗骰子中数字相加有6×6=36种情况，而点数之和为6，有1+5、2+4、3+3、4+2、5+1共5种情况，
所以概率P1=5 36
；
点数乘积为6，有1×6、2×3、3×2、6×1共4种情况，所以概率P2=1
9
；
（3）乘积大于的情况有2×6、3×4、3×5、3×6、4×3、4×4、4×5、4×6、5×3、5×4、5×5、5×6、
6×2、6×3、6×4、6×5、6×6共17种，所以概率P=17 36
；
（4）数字和为6的有1+5、2+4、3+3、4+2、5+1共5种；
数字和为7的有1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1共6种；
数字和为8的有2+6、3+5、4+4、5+3、6+2共5种；
所以薇儿的胜算最大；
（5）七颗骰子向上的面的数字和最小是7，接着是8、9、10；
最大是42，前面是41、40、39；它们离中心位置的距离一样，所以获胜的概率相同。
例2．艾迪在愉快的玩飞镖，飞镖的镖盘如图1所示，投掷到对应的区域得到对应的的分数，10分对应的圆半径为1，每向外一层对应的半径加1，投掷一镖后，假设艾迪没脱靶，请问：
5
6
7
8
9
10
图1 图2
（1）艾迪得到10分的概率是；
（2）艾迪得到的分数大于5分，小于8分的概率是；
（3）艾迪至多得到8分的概率是。
、；
（4）突然，艾迪发现了一种新型靶盘，如图2所示，红色区域称为幸运区，红色区域对应的圆心角是
60°，投掷到红色区域也可以得10分，则艾迪得到10分的概率是 。
解：（1）最外圈的大圆的面积是36π，得10分的中心小圆的面积是π，
所以概率P =
1
36
； （2）大于5分小于8分，即得6或7分，这个圆环的面积是(52
−32
)×π=16π，所以概率P =
164
=369
ππ； （3）至多得8分，可以把得9分和10分的情况排除掉，中心半径为2的小圆的面积为4π， 概率是1−
436=89
； （4）红色的扇形的面积是大圆面积的16，即6π，再加上最小的圆的面积的56，即5
6
π， 所以得10分的面积为416π，所以得10分的概率为P =4141
366216
ππ÷=。
模块二、概率中的经典模型
例3．薇儿在玩抛硬币游戏：
（1）如果抛一枚硬币，前3次中，有2次正面朝上，1次正面朝下，问第4次抛硬币正面朝上的概率是 。
（2）如果抛一枚硬币6次，有5次正面朝上的概率是 ；
（3）如果抛一枚硬币6次，至少有1次正面朝上的概率是 ；
（4）如果抛两枚硬币1次，两枚都正面朝上的概率是 ；一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是 ；至少一枚正面朝上的概率是 。
解：（1）第4次是独立事件，概率还是12
； （2）这是一个二项分布，概率是5
516113()()2232C ⨯⨯=；
（3）6次都是反面朝上的概率是164，所以至少1次正面向上的概率是1−164=63
64
；
（4）如果抛两枚硬币1次，两枚都正面朝上的概率是14；一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是1
2
；至
少一枚正面朝上的概率是3
4。
例4．袋子中有大小、形状都相同的红球、蓝球、绿球各2个： （1）从中无放回地摸出2个球，2个球都是红球的概率是 ；
（2）从中无放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是 ；2个球颜色不同的概率是 ； （3）从中有放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是 ；2个球颜色不同的概率是 ；
解：（1）从中无放回地摸出2个球，2个球都是红球的概率是111
3515⨯
=； （2）从中无放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是11
3155
⨯=；2个球颜色不同的概率是
14155
-=；
（3）从中有放回地摸出2个球，2个球颜色相同的概率是111
3333
⨯⨯=；2个球颜色不同的概率是
12133
-=。
例5．袋子中有大小和形状完全相同的1个红球和5个白球，A 、B 、C 、D 、E 、F 六人按顺序每人摸出1个球，谁摸到红球谁就获胜，那么：
（1）A 获胜的概率是 ；B 获胜的概率是 ；6个人中谁获胜的概率更大；
（2）如果规则改变：每个人摸完后都要把球再放回袋中，直到有人摸出红球，之后的人就不再摸球；在这种规则下， 获胜的概率更大。
解：（1）A 获胜的概率是
16；B 获胜的概率是1
6
；6个人中谁获胜的概率一样大； （2）如果规则改变：每个人摸完后都要把球再放回袋中，直到有人摸出红球，之后的人就不再摸球；
在这种规则下，A 获胜的概率更大。
模块三、生活中的概率
例6．学校打算在1月4日或1月10日组织同学们看电影。
确定好日期后，老师告诉了班长，但是由于“四”和“十”发音接近，班长有10%的可能听错（把4听成10或者把10听成4），班长又把日期告诉了小明，小明也有10%的可能性听错。
那么小明认为的看电影的日期是正确日期的可能性是 %。
解：班长听对，小明也听对的可能是(1−10%)(1−10%)=81%，班长听错，小明也听错的可能是10%×10%=1%，
所以小明认为的看电影的日期是正确日期的可能性是82%。
随 堂 测 试
1．甲、乙两个学生各从0~9这10个数字中随机挑选了两个不同的数字，则 （1）这两个数字的差是2的概率是 ； （2）这两个数字的差不超过2的概率是 。
解：（1）随机挑选的种数是2
10C =45（种），而数字差是2的有（0，2）；（1，3）；……；（7，9），共8种情况；所以概率是
8
45
； （2）数字差为1的情况有9种，所以数字差不超过2的情况有17种，概率为1745。
2．如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是 。
解：木板的面积是6×6=36，阴影部分的面积是132，所以飞镖落在木板上阴影部分的概率是13
72。
注：正方形格点中图形的面积公式：S =N +2
L
−1，其中N 是内部的点数，L 是周边的点数。
3．任意向上掷一枚硬币若干次，
（1）那么第4次掷硬币时正面向上的概率是 。
（2）如果掷6次，有3次正面向上的概率是 。
解：（1）概率是12
； （2）概率是3
66120526416
C ⨯=
=。
4．袋子里有大小、形状都相同的小球5个其中白球3个，红球2个
（1）从中摸出两个球，这2个球都是白球的概率是 ；
（2）从中有放回的摸出两个球，这2个球颜色相同的概率是 ；颜色不同的概率是 。
解：（1）概率是23253
10
C C =；
（2）若两个球都是白球，则概率是3395525⨯=；若两个球都是红球，则概率为224
5525⨯=， 所以2个球的颜色相同的概率是1325；于是两个球的颜色不同的概率是1−1325=12
25。
5．A 、B 、C 、D 、E 、F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻
着“中”，六人按照字母顺序先后抽签，抽完放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么在第一轮被抽中的概率分别为 ； 被抽中的概率最大。
解：A 抽中的概率为16，B 抽中的概率为5156636⨯=，C 抽中的概率是25125()66216⨯=， D 抽中的概率为351125()661296⨯=，E 抽中的概率为451625
()667776
⨯=，F 抽中的概率为
5513125()6646656
⨯=， 所以A 被抽中的概率最大。