现代设计方法第五章 有限元分析方法

现代机械设计方法

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p什么是有限元法

p连续问题转换为规则离散区域计算的方法

p有限元法的发展

p早期应用

p名词提出

p有限元法应用的领域

航空航天、航海船舶、道路桥梁、电子工业、机械加工等众多领域

p有限元应用范围

p结构分析

p流体及空气动力学分析

p电场及磁场分析

p线性分析

p非线性分析

有限元分析方法的基本步骤：

一、物体离散化

二、单元特性分析

三、单元组集

四、求解未知节点位移

有限元法的基本思想：

采用单元将实际上连续的弹性物体离散化，并且各单元彼此之间以节点联结，单元上选取简单的函数组合作为位移模型，利用弹性力学的变分原理来获得单元的运动方程组。然后，按照一定的规则把所有单元的运动方程组集合起来，经适当的边界条件处理，便得到整个物体的总体运动方程组。最后，选择适当的方法来求解总体运动方程组，问题的解答将在物体各离散点上给出。

有限元法的基本思想：

•连续体的离散化

•选取单元的位移模型

•建立单元的运动方程

•经整体集合建立总体运动方程

•求解运动方程

•计算结构的应力应变或其它动力学特性

有限元法的关键步骤分析：

（1）连续体的离散化

用一些假想的面或线将物体所占据的空间区域分割成一系列的子区域，每个子区域就叫做单元或元素。各单元彼此之间仅在有限的指定点(称为节点)处相互连接。

三个方面：

a)连续体本身的离散化

b)作用于连续体上的力系离散化

c)边界条件的离散化

有限元法的关键步骤分析：

板梁结构的离散化

连续体的离散化需要注意的几点：

1）单元的密度

（单元越密、节点越多，精度越高，计算量越大。机械结构有限元动力学分析，计算固有频率和振型，可以将考虑将网格划分得粗一些。）

2）采用疏密不等的网格划分方法。

3）在采用三角形单元时，要尽量使每个三角形单元边长不要相差过大，不要出现过尖、过钝的内角，避免计算结果出现大的误差。

4)要尽量将单元的节点和单元边界设置在几何形状、材料

特性和载荷发生突变处。

有限元法的关键步骤分析：

（2）选取单元的位移模型

为了确定单元内任意点M 在坐标轴方向上的位移，必须假设一个位移函数，以使点M 的位移由单元节点位移通过位移插值函数来获得。

多项式便于微分和积分，增加多项式的阶数可以改善结果的精度，所以位移插值函数大多选用完全的多项式形式： ......)(3

42321++++=x x x x v αααα多项式的待定系数由节点位移来确定，待定系数的数目和单元的自由度数目相同。

有限元法的基本思想：

（2）选取单元的位移模型

例：三节点三角形平面单元

（每个节点两个位移分量，三个节点

共六个自由度，所以多项式包含六个

待定系数，每个位移分量各取三项）

例：平面梁单元y x u 3

21ααα++=y

x v 654ααα++

=3

42321)(x x x x v αααα+++=5.1 有限元分析方法的基本概念

一 直接方法

运用基本定义直接推导单元特性（单元刚度矩阵）

一 直接方法

运用基本定义直接推导单元特性（单元刚度矩阵）

单元的节点位移列阵：

单元的节点力列阵（载荷列阵）：

弹性小位移条件下，单元的有限元方程：

{}{}

[=

F]

q

K

一 直接方法

n k ij表示j号节点的单位位移对i号节点力的贡献。

由功的互等定理有k

ij = k ji，所以单元刚度矩阵

是对称的。

一 直接方法

1=i v 例如：若假设

由梁的变形公式得：挠度：倾角：解得：0

===zj j zi v θθ122

3=−=EI

l M EI l F v zi yi i 022=+−=EI

l M EI l F zi yi i θ11312k l EI F yi ==2126k l EI M zi ==根据平衡条件可以求得：4126k l

EI M zi ==31312k l EI F yi =−=

一 直接方法

平面弯曲梁单元的单元特性矩阵（刚度矩阵）

二 虚功原理法

1 设定位移函数

二 虚功原理

1 设定位移函数

二 虚功原理

1 设定位移函数

二 虚功原理

1 设定位移函数

5.2 有限元法中单元特性的导出方法

二 虚功原理

1 设定位移函数

5.2 有限元法中单元特性的导出方法

二 虚功原理

1 设定位移函数

单元内某点的位移用节点位移插值表示的多项式：

[N：形状函数

]

5.2 有限元法中单元特性的导出方法

二 虚功原理

2 由位移函数求应变

有弹性力学可知：

5.2 有限元法中单元特性的导出方法

二 虚功原理

3 由应变求应力

5.2 有限元法中单元特性的导出方法

二 虚功原理

4 由虚功原理求单元的刚度矩阵

•根据虚功原理，当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的节点虚位移下，外力 (节点力)所做的虚功及内力

所做的虚功之和应等于零。

{}{}q

[=

F]

K