2018届福建省泉州市高三质检理科数学试题及答案

泉州市2018届高三质检
数学试卷（理科）
一、本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
2．已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3﹣x＞0}，那么集合A∩B（） A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．∅
3．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（）
A．﹣1 B． 0.5 C． 2
D．10
4．在二项式（2x+3）n的展开式中，若常数项为81，则含x3的项的系数为（）
A．216 B． 96 C．81 D．
16
5．已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则其前5项的和S5=（）
A．31 B． 15 C． 11 D．
5
6．已知某产品连续4个月的广告费用x i（千元）与销售额y i（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：
①x i=18，y i=14；
②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；
③回归直线方程=x+中的=0.8（用最小二乘法求得）．
那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为（）
A． 3.5万元B． 4.7万元C． 4.9万元
D． 6.5万元
7．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）
A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件
C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件
D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件
8．在如图所示的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
若点P是正方形BCC1B1的中心，则三棱锥P﹣AB1D1的体积
等于（）
A．B．C．D．
9．某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则商标的边缘轮廓线AOC恰是函数y=tan的图象，边缘轮廓线AEC恰是一段所对的圆心角为的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率等于（）
A．B．C．D．
10．（2018•泉州一模）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B 恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：
y=（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷的相应位置．
11．（4分）（2018•泉州一模）（x2+sinx）dx= _________ ．12．（4分）（2018•泉州一模）若对满足不等式组的任意实数x，y，都有2x+y≥k成立，则实数k的最大值为_________ ．13．（4分）（2018•泉州一模）已知直线l过双曲线C：3x2﹣y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p= _________ ．
14．（4分）（2018•泉州一模）已知：△AOB中，∠AOB=90°，AO=h，OB=r，如图所示，先将△AOB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为，高DD 1=1的长方体CDEF﹣
C1D1E1F1．若该长方体的顶点C，D，E，F都在圆锥的底面上，且顶点C1，D1，E1，F1都在圆锥的侧面上，则h+r的值至少应为_________ ．
15．（4分）（2018•泉州一模）定义一种向量运算“⊗”：⊗
=（，是任意的两上向量）．对于同一平面内的向
量，，，，给出下列结论：
①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗（λ∈R）；
③（+）⊗=⊗+⊗④若是单位向量，则|⊗|≤||+1
以上结论一定正确的是_________ ．（填上所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（13分）（2018•泉州一模）某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．
（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；
（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差．
17．（13分）（2018•泉州一模）已知函数f（x）=2sin•cos﹣2cos2+（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求在方向上的抽影n的值．
18．（13分）（2018•泉州一模）已知M（0，），N（0，﹣），G （x，y），直线MG与NG的斜率之积等于﹣．
（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）过点P（0，3）作一条与轨迹Γ相交的直线l．设交点为A，B．若点A，B均位于y轴的右侧，且=，请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标．
19．（13分）（2018•泉州一模）设函数f（x）=﹣x n+ax+b（a，b∈R，n∈N*），函数g（x）=sinx．
（Ⅰ）当a=b=n=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=b=1，n=2时，求函数h（x）=g（x）﹣f（x）的最小值；（Ⅲ）当n=4时，已知|f（x）|≤对任意x∈[﹣1，1]恒成立，且关于x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x1，x2．试证明：x1+x2＜0．
20．（14分）（2018•泉州一模）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB 和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．
（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．
①求证：OM∥平面A′B′N；
②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan （α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．
本题有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-2：矩阵与变换】
21．（7分）（2018•泉州一模）在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（7分）（2018•泉州一模）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角θ∈[0，2π））
【选修4-5：不等式选讲】
23．（2018•泉州一模）设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；
（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．
2014届泉州市普通中学高中毕业班质量检查
理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．D 2．A 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.
11．
23
12． 2 13. 6 14． 4 15．①④
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．本小题主要考查概率、统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然
与或然思想等．满分13分．
解：（Ⅰ）由题意，可得该校普理生、普文生、艺体生的人数比例为2：2：1， …………2分
所以10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4人，4人，2人.…………4分
（Ⅱ）由题意，可知0,1,2ξ=， …………5分
3082310567(0)12015C C P C ξ====，2182310567(1)12015C C P C ξ====，128231081(2)12015C C P C ξ====， 所以随机变量ξ的分布列为
…………9分
18．本题主要考查直线、圆锥曲线的方程和性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证
能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等．满分13分． 解：
（Ⅰ）(0),(0),MG NG y y k x k x x x -=
≠=≠ …………2分
由已知有3(0)4y y x x x +⋅=-≠，化简得轨迹Γ的方程为22
1(0)43
x y x +=≠. …5分
（Ⅱ）设直线l 的方程为3(0)y kx k =+<，1122(,),(,)A x y B x y (120,0x x >>). …6分
因为BA AP =，(0,3)P ， 所以212x x =. ……………………………① …7分
联立方程组22
3,3412y kx x y =+⎧⎨
+=⎩
，消去y 得22
(43)24240k x kx +++=， ……（*）…8分 所以1222443k x x k -++=
………②， 12
22434
x x k ⋅=+………………③. …9分 由①得2
12122()9
x x x x =+，
又由②③得，222()8124343k k k -++=，所以293
,42
k k ==±.
因为120,0x x >>，所以122
24403k k x x +=+>-，0k <，所以3
2
k =-. …………11分 当3
2
k =-时，方程（*）可化为2320x x -+=，解得11x =，22x =，
所以(2,0)B (3
(1,)2
A ). …12分
法一：因为QP QB =，A 是PB 的中点，所以QA l ⊥，2
3
AQ k =.
设(,0)Q m ,则3
2213m =-，解得5
4
m =-，
所以Q 的坐标为5
(,0)4
-. …………13分 法二：设(,0)Q m ,
因为QP QB =，所以229(2)m m +=-，解得54
m =-， 所以Q 的坐标为5
(,0)4
-. …………13分
19．本题主要考查函数、导数、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与
方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想等．满
分13分．
解：（Ⅰ）当3a b n ===时，3()33f x x x =-++，2()33f x x '=-+. …1分
解()0f x '>得11x -<<；解()0f x '<得11x x ><-或. …………2分 故()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-和(1,)+∞. …………4分
另解：当3a b n ===时，3()33f x x x =-++，2()33f x x '=-+. …1分
令()0f x '=解得1x =-或1x =. ………2分
()f x '的符号变化规律如下表：
…………3分
故()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-和(1,)+∞. …………4分
（Ⅱ）当1a b ==且2n =时，2
()sin 1h x x x x =+--，则()cos 21h x x x '=+-， ……5分
令()()x h x ϕ'=，则()sin 2x x ϕ'=-+，……6分
因为()sin 2x x ϕ'=-+的函数值恒为正数，所以()x ϕ在(,)-∞+∞上单调递增， 又注意到(0)0ϕ=，
所以，当0x > 时，()()(0)0x h x h ϕ''=>=，()h x 在(0,)+∞ 单调递增；
当0x < 时，()()(0)0x h x h ϕ''=<=，()h x 在(,0)-∞ 单调递减 . ……8分
所以函数()()()h x g x f x =-的最小值min ()(0)1h x h ==-. …………9分
另解：当1a b ==且2n =时，2()sin 1h x x x x =+--，则()cos 21h x x x '=+-， ……5分
令()cos 210h x x x '=+-=，得cos 21x x =-+. 考察函数cos y x =和21y x =-+的图象，可知：
当0x < 时，函数cos y x =的图象恒在21y x =-+图象的下方，()0h x '<； 当0x > 时，函数cos y x =的图象恒在21y x =-+图象的上方，()0h x '>.
所以()h x 在(,0)-∞ 单调递减，在(0,)+∞ 单调递增， ……8分 所以函数()()()h x g x f x =-的最小值min ()(0)1h x h ==-. …………9分
（Ⅲ）因为对任意[1,1]x ∈-，都有1()2f x ≤
，所以111
(0),(1),(1)222
f f f ≤≤-≤， 即1
1,221
11+,221
11+,22b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪-≤-+≤⎨⎪⎪-≤--≤⎪⎩
亦即 1
1,(1)221
3+,(2)2213+,(3)
22b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪
⎪≤≤⎨⎪⎪≤-≤⎪⎩
由（2）+（3）得
13(4)22b ≤≤，再由（1）
（4），得1
2
b =，
将1
2
b =
代入（2）（3）得0a =. 当0a =，12b =
时，4
1()2
f x x =-+. …………10分 因为[1,1]x ∈-，所以2
01x ≤≤，4
01x ≤≤，4
10x -≤-≤，4111
222
x -≤-+≤， 所以4
1
()2
f x x =-+
符合题意. …………11分 设4
1()()()sin 2
F x f x g x x x =-=-+-.
因为1111
(2)16sin(2)0,(1)1sin(1)sin1sin 022262
F F π-=-+--<-=-+--=->-=，
111
(0)sin 00,(1)1sin1sin10222
F F =->=-+-=--<， ……12分
又因为已知方程()()f x g x =有且只有两个实数根12,x x （不妨设12x x <）， 所以有1221,01x x -<<-<<，故120x x +<. …………13分
20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、三角函数等基础知识，
考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想及应用意识. 满分14分. 解：（Ⅰ）（i ）连结','O M O N ，
∵''O O O ⊥底面，''O M O ⊂底面，∴''O O O M ⊥. …1分
∵'''O M A B ⊥，'''O O AA B B ⊂平面，''''A B AA B B ⊂平面，''A B ''O O O =，
∴'''O M AA B B ⊥平面. …2分
类似可证得''ON AA B B ⊥平面，∴'//O M ON . 又∵'O M ON =， ∴四边形'ONO M 为平行四边形， ∴'OM O N . …3分
又∵'','''OM A B N O N A B N ⊄⊂平面平面， ∴OM 平面''A B N . …………4分
（ii ）由题意，可得'AA =
，短轴长为2. …5分
如图，以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，'OO 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.
则有2(1,0,0),(0,1,0),'(F N A B ，
∴'(2,1,6),'(2,NA NB =--=-， …6分 ∵z 轴⊥平面ABN ，
∴可取平面ABN 的一个法向量1(0,0,1)n =.
设平面''A B N 的一个法向量为2(,,)n x y z =，
则'20,'20
n NA y n NB x y ⎧⋅=--+=⎪⎨
⋅=-+=⎪⎩
，化简得0,
x y =⎧⎪⎨
-+=⎪⎩，
取1z =，得2n =. …8分
设平面ABN 与平面''A B N 所成锐二面角为θ.
则121
27
cos 7||||
n n n
n θ⋅=
=⋅.
…………9分
（Ⅱ）当点N 为下底面上椭圆的短轴端点时，
12NF NF ==1
'tan tan NN NF αβ==
=3π
αβ=
=， 23
π
αβ+=
，tan()αβ+=
当点N 为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，
11NF =，2
1NF =
，1'tan NN
NF α=
2
'tan NN NF β=
tan tan
tan()1tan tan 5
αβαβαβ++=
=-
-. 直观判断tan()αβ+的取值范围为[5
-
. （说明：直观判断可以不要求说明理由.） …10分 ∵'N 是点N 在上底面的投影，∴'N N ⊥上底面'
O ，
∵上下两底面互相平等， ∴'N N ⊥下底面O ，即'N N ⊥平面ABN ，
∴12','N F N N F N ∠∠分别为12','N F N F 与下底面所成的角，
即12','N F N N F N αβ∠=∠=. …11分 又∵12,NF NF ⊂平面ABN ， ∴12','NN NF NN NF ⊥⊥. 设12,NF m NF n ==，
则m n +=
，且12''tan ,tan NN NN NF m NF n
αβ=
=＝＝，
∴)tan()66m n m
n mn mn αβ+
++===--. …12分
∵m n +=，
∴2
)(2mn m m m =-=-+.
11m -≤≤,∴ 12mn ≤≤. …13分
∴564mn -≤-≤-，
6mn ≤≤--.
从而证得：tan()αβ+
的取值范围为[]5
-. …………14分
21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分7分.
解：（Ⅰ）设a b c d ⎛⎫=
⎪⎝⎭A ，则1100a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，0112b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，
所以1102⎛⎫
=
⎪⎝⎭
A ； …………3分 （Ⅱ）矩阵A 的特征多项式为1
1
()(1)(2)02
f λλλλλ--=
=---，............4 令()0f λ=，得矩阵A 的特征值为121,2λλ==. (5)
对于特征值11λ=，解相应的线性方程组00,
00x y x y ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩
，即0y =，
令1x =，得该方程的一组非零解1,
x y =⎧⎨
=⎩，
所以110⎛⎫= ⎪⎝⎭
ξ是矩阵A 的属于特征值11λ=的一个特征向量. (6)
对于特征值22λ=，解相应的线性方程组0,
000x y x y -=⎧⎨
⋅+⋅=⎩
，即x y =，
令1x =，得该方程的一组非零解1,1x y =⎧⎨
=⎩
， 所以211⎛⎫
= ⎪⎝⎭
ξ是矩阵A 的属于特征值22λ=的一个特征向量. …………7分 （2）（本小题满分7分）选修4—4:坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分7分.
解：（Ⅰ）直线l
的普通方程为20x +-=， …………………………（*）
将cos ,sin x y ρθρθ=
=代入（*）
，得cos sin 20ρθθ+-=，……1分 化简得线l 的方程为cos()13
π
ρθ-
=， ……2分
圆C 的极坐标方程为2ρ=. …………3分
（Ⅱ）联立方程组2,
cos()13ρπ
ρθ=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
，消去ρ得1cos()32πθ-=， ………4分 因为[0,2)θπ∈， 所以5333
πππ
θ-≤-<，
所以3
3
π
π
θ-=-
或3
3
π
π
θ-
=
，………6分
所以直线l 和圆C 的交点的极坐标为2(2,0),(2,)3
π
. …………7分 （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想等.满分7分. 解：
（Ⅰ）()3f x =
=+≤=，……2分
当且仅当4x =时等号成立. ……3分
故函数()f x 的最大值3M =.
（Ⅱ）由绝对值三角不等式，可得12(1)(2)3x x x x -++≥--+=. ……4分 所以不等式123x x -++≤的解x ，就是方程123x x -++=的解. ……5分 由绝对值的几何意义，可得当且仅当21x -≤≤时，123x x -++=. ……6分
所以不等式12x x M -++≤的解集为{|21}x x -≤≤. ……7分。