命题与逻辑基础知识与问题

高中数学基础知识－命题、逻辑
一、命题
1、命题的概念：判断真假的陈述句；命题分类：真命题、假命题．
2、四种命题的构造与关系：
“若A，则B”形式的命题中的A称为命题的条件,B称为命题的结论。

否关系
二、充分条件与必要条件
1、定义：（1）如果A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；
（2）如果A?B，B?A，即：若A⇔B，则A是B的充要条件（充分必要条件）．2、符号的意义:
（1）如果“若A则B”为真，记为:A?B；
A⇔.
（2）如果“若A则B”为真，且“若B则A”也为真，那么记为B
3、充分、必要条件判断方法：
设命题条件为p ，结论为q
（1）定义法：①p 是q 的充分不必要条件⇔p q
p q
⇒⎧⎨⇐/⎩
②q 是p 的必要不充分条件⇔p q
p q
⇒⎧⎨⇐/⎩
③p 是q 的充要条件⇔p q
q p ⇒⎧⎨⇒⎩
④ p 是q 的既不充分也不必要条件⇔p q
p q
⇒⎧/⎨⇐/⎩
（2）集合法：设P={)(|x p x x ∈｝，Q={)(|x q x x ∈}，
①若P Q 则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件. ②若P=Q ，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.
③若集合P 、Q 间不存在包含或被包含关系，即P Q 且Q P ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
（3）等价转换（逆否命题）法：
①⌝q 是⌝p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件 ②⌝q 是⌝p 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件 ③⌝q 是⌝p 的充分要条件⇔p 是q 的充要条件
④⌝q 是⌝p 的既不充分又不必要条件⇔p 是q 的既不充分又不必要条件
三、简单的逻辑联结词
1、概念：命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．
2、简单复合命题构造：
①或命题：用联结词“或”联结命题p 和命题q ，构造新命题：记作p ∨q ，读作“p 或q ”． ②且命题：用联结词“且”联结命题p 和命题q ，构造新命题：记作p ∧q ，读作“p 且q ”．
③非命题：对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作?p ，读作“非p ”或“p 的否定”． 3、简单复合命题的真值表：
*p ∧q ： p 、q 有一假为假， *p ∨q ：p 、q 有一真为真， *p 与?p ：真假相对即一真一假．
四、量词
1、全称量词与存在量词：
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示． 2、 全称命题与特称命题：
(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，简记为：“?x ∈M ，p (x )”。

读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”，简记为：“?x 0∈M ，P (x 0)”。

读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3、命题的否定：
（1）含有量词命题的否定 （ 其中()p x 是一个关于x 的命题.）
全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题
存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 （2）含有逻辑连接词命题的否定 ：“p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ；
“p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ” （3）“若p 则q ”命题的否定：只否定结论
特别提醒：
“命题的否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定（即非p ）：只否定命题p 的结论，即“若p 则⌝q ”； 而否命题：是对命题p 的条件与结论进行双否；“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”
高考真题
（2015卷-Ⅰ理）（3）设命题
p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )
（A ）2
,2n
n N n ∀∈> （B ）2
,2n
n N n ∃∈≤
（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2
n
n N n ∃∈（2013课标Ⅰ-文）（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的
是：（ ） （A ）
p q ∧ （B ）p q ⌝∧
（C ）
p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝
（2010课标卷-理）（5）已知命题
：函数在R 为增函数，：函数在R 为减函数， 则在命题：，：，：和：中，真命题是
（A ）， （B ）， （C ）， （D ），
（2009-文-理）（4）有四个关于三角函数的命题：
1p ：∃x ∈R, 2
sin 2x +2cos 2x =12
2p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=-
3p : ∀x ∈[]0,πsin x = 4p : sin cos 2x y x y π
=⇒+=
其中假命题的是 （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p
（2007-文-理）2．已知命题
:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）
（A ）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥
（B ）．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥
（C ）．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x > （D ）．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
典型题例
一、复合命题真假性问题 1、若命题“
q p ∧”为假命题，且“p ⌝”为假命题，则 （ ）
A.“q 或p ”为假
B.q 假
C.q 真
D.p 假
*2、已知p ：?x ∈R ，mx 2
＋2≤0，q ：?x ∈R ，x 2
－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是____________ 二、命题的否定
3、设命题n
n N n 2,:p 2
>∈∃，则p ⌝为（ ）
A.n n N 2,n 2>∈∀
B.n
n N 2
,n 2≤∈∃
C.n n N 2,n 2≤∈∀
D.n
n N 2,n 2=∈∃
*4、（2016.浙江高考）命题“2
*,,x x n N n R ≥∈∃∈∀使得”的否定形式是（ ）
A.2*,x n N n R x <∈∃∈∀，使得
B.2
*,x n N n R x <∈∀∈∀，使得
C.2*,x n N n R x <∈∃∈∃，使得
D.2
*,x n N n R x <∈∀∈∃，使得
5、命题p ：“1m 01,,x 22
+><+∈∃∈∀x m R m R x
或使得”的否定形式p ⌝是
三、集合法判断充分、必要条件
6、已知条件6|4:|≤-x p ；条件)0(0m -)1(:2
2>≤-m x q ，若是的充分不必要条件，则m 的取值范围是 （ ）
A.[)+∞
,21 B. [)+∞,9 C.[)+∞,19 D.[)+∞,0
7、已知{}
0208|x 2
≤--=x x P ，非空集合{}m x S +≤≤=1m -1|x 。

若P ∈x 是S x ∈的必要条件，则m 的取值范围为
8、已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是____________．。