命题与逻辑基础知识与问题

高中数学基础知识－命题、逻辑

一、命题

1、命题的概念：判断真假的陈述句；命题分类：真命题、假命题．

2、四种命题的构造与关系：

“若A，则B”形式的命题中的A称为命题的条件,B称为命题的结论。

否关系

二、充分条件与必要条件

1、定义：（1）如果A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；

（2）如果A?B，B?A，即：若A⇔B，则A是B的充要条件（充分必要条件）．2、符号的意义:

（1）如果“若A则B”为真，记为:A?B；

A⇔.

（2）如果“若A则B”为真，且“若B则A”也为真，那么记为B

3、充分、必要条件判断方法：

设命题条件为p ，结论为q

（1）定义法：①p 是q 的充分不必要条件⇔p q

p q

⇒⎧⎨⇐/⎩

②q 是p 的必要不充分条件⇔p q

p q

⇒⎧⎨⇐/⎩

③p 是q 的充要条件⇔p q

q p ⇒⎧⎨⇒⎩

④ p 是q 的既不充分也不必要条件⇔p q

p q

⇒⎧/⎨⇐/⎩

（2）集合法：设P={)(|x p x x ∈｝，Q={)(|x q x x ∈}，

①若P Q 则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件. ②若P=Q ，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.

③若集合P 、Q 间不存在包含或被包含关系，即P Q 且Q P ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.

（3）等价转换（逆否命题）法：

①⌝q 是⌝p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件 ②⌝q 是⌝p 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件 ③⌝q 是⌝p 的充分要条件⇔p 是q 的充要条件

④⌝q 是⌝p 的既不充分又不必要条件⇔p 是q 的既不充分又不必要条件

三、简单的逻辑联结词

1、概念：命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．

2、简单复合命题构造：

①或命题：用联结词“或”联结命题p 和命题q ，构造新命题：记作p ∨q ，读作“p 或q ”． ②且命题：用联结词“且”联结命题p 和命题q ，构造新命题：记作p ∧q ，读作“p 且q ”．

③非命题：对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作?p ，读作“非p ”或“p 的否定”． 3、简单复合命题的真值表：

*p ∧q ： p 、q 有一假为假， *p ∨q ：p 、q 有一真为真， *p 与?p ：真假相对即一真一假．

四、量词

1、全称量词与存在量词：

(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示． 2、 全称命题与特称命题：

(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，简记为：“?x ∈M ，p (x )”。读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．

(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”，简记为：“?x 0∈M ，P (x 0)”。读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3、命题的否定：

（1）含有量词命题的否定 （ 其中()p x 是一个关于x 的命题.）

全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题

存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 （2）含有逻辑连接词命题的否定 ：“p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ；

“p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ” （3）“若p 则q ”命题的否定：只否定结论

特别提醒：

“命题的否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定（即非p ）：只否定命题p 的结论，即“若p 则⌝q ”； 而否命题：是对命题p 的条件与结论进行双否；“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”

高考真题

（2015卷-Ⅰ理）（3）设命题

p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )

（A ）2

,2n

n N n ∀∈> （B ）2

,2n

n N n ∃∈≤

（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2

n

n N n ∃∈（2013课标Ⅰ-文）（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的

是：（ ） （A ）

p q ∧ （B ）p q ⌝∧

（C ）

p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝

（2010课标卷-理）（5）已知命题

：函数在R 为增函数，：函数在R 为减函数， 则在命题：，：，：和：中，真命题是

（A ）， （B ）， （C ）， （D ），

（2009-文-理）（4）有四个关于三角函数的命题：

1p ：∃x ∈R, 2

sin 2x +2cos 2x =12

2p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=-

3p : ∀x ∈[]0,πsin x = 4p : sin cos 2x y x y π

=⇒+=

其中假命题的是 （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p

（2007-文-理）2．已知命题

:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）