2017_2018学年高中数学第三章不等式第15课时不等关系与不等式课件新人教B版必修5

2说方法· 分类探究 类型一 应用不等式表示不等关系 【例1】 某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分割成 大、小两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住 游客5人，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3人，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每 间需1 000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8 000 元用于装修．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
[类题通法] 1．作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一 般变形越彻底越有利于下一步的判断． 因式分解 配方 通分 2．变形的方法 对数与指数运算性质 分母或分子有理化 分类讨论
此即为所求的所有满足题意的不等式．
[名师点评] 求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的 量具体化，就可以得到相应的数学问题．然后运用数学知识、 方法、技巧等解决数学问题．在解决数学实际问题时，应注意 变量的取值范围．本题中大、小客房的房间数都应为非负值且 是正整数．
变式训练1 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地 板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增 加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还 是变坏了？请说明理由．
思维启迪：假设装修大、小客房分别为x间、y间，根据题 意，应有下列不等关系： (1)总费用不超过8 000元； (2)总面积不超过180 m2； (3)大、小客房的房间数都为非负值且为整数． 用关于x、y的不等式表示上述不等关系即可．
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解析：设装修大、小客房分别为x间、y间，则 1 000x＋600y≤8 000， 18x＋15y≤180， * x ≥ 0 x ∈ N ， * y ≥ 0 y ∈ N 5x＋3y≤40， 6x＋5y≤60， 即 * x ≥ 0 x ∈ N ， * y ≥ 0 y ∈ N .
②将实际的不等关系转换成对应的不等式，要注意关键的 文字语言与对应的数学符号间的正确转化．常见的文字语言和 对应的符号语言举例如下表： 大于等于 不 文字 大 小 (至 小于等于 等 语言 于 于 少、不少 (至多) 于 于) 数学 > < ≠ ≥ ≤ 符号
知识点2 实数大小比较的理论依据 (1)从数轴上看两个实数的大小关系 实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系，表示 实数的点在数轴上有次序地(无缝隙地)排列．数轴上一个动点 向着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大，由此可 以得到如下结论： ①数轴上的任意两点中，右边点对应的实数大于左边点对 应的实数； ②对于任意两个实数a和b，在a＝b，a>b，a<b三种关系 中，有且仅有一种关系成立．
类型二 比较两数(式)的大小 【例2】 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
思维启迪：我们知道，a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a<b，因 此，若要比较两式的大小，只需作差与0作比较即可．
解析：x3－1－(2x2－2x) ＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) 12 3 ＝(x－1)x－2 ＋4 ∵x<1，∴x－1<0. 12 3 又∵x－2 ＋4>0 12 3 ∴(x－1)x－2 ＋4<0， ∴x3－1<2x2－2x.
解析：设窗户面积和地板面积分别为a、b(a＞0，b＞0)， a 窗户面积和地板面积同时增加的面积为c(c＞0)，且 b ≥10%，则 现有的窗户面积和地板面积分别为a＋c与b＋c，于是原来窗户 a 的面积和地板面积的比为 b ，面积增加c以后的窗户面积和地板 a＋ c 面积的比为 . b＋ c
a＋c a cb－a ∵ － ＝ ， b＋c b b＋cb 又∵a＞0，b＞0，c＞0，由题设条件可知a＜b， a＋c a a＋c a ∴ －b＞0，即 ＞b≥10%. b＋c b＋c ∴同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件 是变好了.
(2)用不等式(组)表示不等关系 用不等式(组)表示不等关系的一般思路： ①阅读理解所给材料，弄清材料的问题背景； ②根据材料建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学 问题，从而写出相应的不等关系．
讲重点 表示不等关系时注意的问题 ①在数学中我们应用不等式(组)来表示不等关系时，应注 意比较的量之间必须具有同种性质，在进行比较时，才可以用 不等式(组)表示．对于没有可比性的两个(或几个)量之间不能用 不等式或不等式组来表示．
(2)实数的运算性质与大小顺序之间的关系： a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b.
讲疑点 对实数大小比较的理论依据的理解 ①上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出． ②“⇔”左边的式子反映了实数的运算性质，右边的式子 反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质 与大小顺序之间的关系． ③这一关系也是不等式的理论基础，是比较两个实数大小 的依据，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主 要依据． ④从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，可以考虑 这两个实数之差的符号．
1说基础· 名师导读 知识点1 不等关系与不等式 (1)不等式的概念 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个 数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的 式子叫做不等式．
讲重点 对不等式“a≤b”与“a≥b”的理解 ①不等式a≤b应读作“a小于或等于b”，其含义是指“a<b 和a＝b中有一个成立即可”．等价于“a不大于b”，即若a<b和 a＝b中有一个成立，则a≤b成立． ②不等式a≥b应读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b 和a＝b中有一个成立即可”，等价于“a不小于b”，即若a>b和 a＝b中有一个成立，则a≥b成立．