2017_2018学年高中数学第三章不等式第15课时不等关系与不等式课件新人教B版必修5
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人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系
推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
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(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对
2018学年高中数学人教A必修5课件：3.1 不等关系与不等式 精品
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． ②适当的设未知数表示变量． ③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
[再练一题] 1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速 80 km/h 的路标； (2)桥头上限重 10 吨的标志； (3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多于 2.5%，蛋白质的 含量 p 不少于 2.3%. 【解】 (1)设汽车行驶的速度为 v km/h，则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨，则 ω≤10.
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
【解】 因为 a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1，因为 a>0，所以当 a>1 时， a－1aa＋1>0，有 a>1a；
当 a＝1 时，a－1aa＋1＝0，有 a＝1a； 当 0<a<1 时，a－1aa＋1<0，有 a<1a. 综上，当 a>1 时，a>1a； 当 a＝1 时，a＝1a；当 0<a<1 时，a<1a.
[再练一题] 1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速 80 km/h 的路标； (2)桥头上限重 10 吨的标志； (3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多于 2.5%，蛋白质的 含量 p 不少于 2.3%. 【解】 (1)设汽车行驶的速度为 v km/h，则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨，则 ω≤10.
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
【解】 因为 a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1，因为 a>0，所以当 a>1 时， a－1aa＋1>0，有 a>1a；
当 a＝1 时，a－1aa＋1＝0，有 a＝1a； 当 0<a<1 时，a－1aa＋1<0，有 a<1a. 综上，当 a>1 时，a>1a； 当 a＝1 时，a＝1a；当 0<a<1 时，a<1a.
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
高三数学不等关系和不等式PPT教学课件
例题讲析
例1：已知
ab0 ,c0 .求证：ac
c b
.
练习1 （1）已知
ab,ab0.求证 11： . ab
（2）已知 a b 0 ,c d 0 .求 a 证 c b.d
（3）已知 ab .求c 证 2 a ： c2 b
练习2.书 P 73 4.1 ()(,2 )(,3 )(,4 ) 例 2.已a 知 b0,cd0.求证 ab ： dc
性质5 如果a>b,且c>0,那么ac>bc;
如果a>b,且c<0,那么ac<bc. 可 乘 性 性质6 如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.
性质7：若 a b 0 ,则 a n b n ( n N 且 n 1 )
性质8：若 a b 0 ,则 n a n b ( n N 且 n 1 )
复习回顾
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
例1 比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.
即： a b b a 反身性
性质2 如果a>b,且b>c,那么a>c.
即：a b ,b c a c 传递性
利用性质1，性质2可写成“＜”形式：
c b ,b a c a
性质3 如果a > b , 那么a + c > b + c . 可 加 性 性质4 如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.
高中数学课件-不等式与不等关系
2
2
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
变变式式46、已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解析:∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4. 两式相加，得－π2<α＋2 β<π2.
(2)现在销售量是多少?
8 x 2.5 0.2 0.1
(3)销售总收入为多少?
(8 x 2.5 0.2)x万元 0.1
(8 x 2.5 0.2)x 20 0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本 0.1
因此，销售总收入为： (8 x 2.5 0.2)x万 元 0.1
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根 据题意，应当有什么样的不等关系呢？
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
高中数学 第三章 不等式 不等关系 1.2 不等关系与不等式课件高二必修5数学课件
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(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项 ①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类 问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意 在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立 的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与 法则．
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(2)证明：因为 c<d<0. 所以－c>－d>0，又因为 a>b>0， 所以 a＋(－c)>b＋(－d)>0， 即 a－c>b－d>0， 所以 0<a－1 c<b－1 d， 又因为 e<0，所以a－e c>b－e d.
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又316＜1b＜115，所以1326＜ab＜6105. 所以13＜ab＜4. 所以－24＜a－b＜45，13＜ab＜4.
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本例条件不变，试求 3a－2b 的取值范围．
解：因为 12＜a＜60，15＜b＜36， 所以 36＜3a＜180，－72＜－2b＜－30. 所以－36＜3a－2b＜150.
(2)因为 5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy ＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， 所以 5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当 x＝y＝12且 z＝1 时取到等号．
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2.已知 a＞b＞0，试比较 aabb 与 abba 的大小．
精品课件高中数学《不等关系与不等式》
0； 0；
如果������＝������，那么������－������ = 0 .
（2）“������＞������” 与“������－������＞������”等价吗？
������＞������ ������－������＞������ ������＝������ ������－������＝������ ������＜������ ������－������＜������
如果������ > ������，������ < ������，则������������ < ������������.
新知初探
（1）用 “>, <, =” 填空. 如果������＞������，那么������－������ > 如果������＜������，那么������－������ <
根据不等式的传递性得 ������������ > ������������.
两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得 的不等式与原不等式同向.
性质7 如果������ > ������ > ������，则������������ > ������������，
(������ ∈ ������+).
证明 因为������ > ������，所以������ + ������ > ������ + ������，又因为 ������ > ������，所以������ + ������ > ������ + ������， 根据不等式的传递性得 ������ + ������ > ������ + ������.
《不等关系与不等式》优秀课件人教版高中数学
性1质 ab ba (对称性)学.科.网
性 2 a 质 b ,b c a c(传 递 性)
性 3 a 质 b a c b c(可 加 性)
性 4 a 质 b ,c d a c b d
性5质 ab,c0acbc (可 乘 性)
a b,c0acbc
性 6a 质 b 0 ,c d 0 a b c d
例 ４ ： 已 知 a>b>0,c>d>0， 求 证 ： d ab c
证明:因为 c>d>0 ,所以 0 1 1 cd
所以 1 1 0
dc
又因为
a>b>0,所以
a d
b c
0
讲 课 人 ： 邢 启 强
山 东 省 滕 州 市第一 中学人 教版高 中数学 新教材 必修第 一册课 件：2. 1 不 等 关系与 不等式 2(共12 张PPT)
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(5) 性质 5 如果 a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
类比等式的性质，你能猜想出不等式
讲 的性质，并加以证明吗？
课
人
：
邢
启 强
3
学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：2.1 不等关系与不等式2(共12张PPT)
性质1 如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.
即： ab ba 对称性 性质2 如果a>b,且b>c,那么a>c.组卷网 传 递 性
例 １ :已 知 a>b>0,c<0,求 证 cc ab
例 2.(1)如 果 ab0,那 么 1 1 ab
变 式 ab0那 么1 1
讲 课 人
ab a
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解析：设窗户面积和地板面积分别为a、b(a＞0，b＞0)， a 窗户面积和地板面积同时增加的面积为c(c＞0)，且 b ≥10%，则 现有的窗户面积和地板面积分别为a＋c与b＋c，于是原来窗户 a 的面积和地板面积的比为 b ，面积增加c以后的窗户面积和地板 a＋ c 面积的比为 . b＋ c
a＋c a cb－a ∵ － ＝ ， b＋c b b＋cb 又∵a＞0，b＞0，c＞0，由题设条件可知a＜b， a＋c a a＋c a ∴ －b＞0，即 ＞b≥10%. b＋c b＋c ∴同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件 是变好了.
(2)用不等式(组)表示不等关系 用不等式(组)表示不等关系的一般思路： ①阅读理解所给材料，弄清材料的问题背景； ②根据材料建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学 问题，从而写出相应的不等关系．
讲重点 表示不等关系时注意的问题 ①在数学中我们应用不等式(组)来表示不等关系时，应注 意比较的量之间必须具有同种性质，在进行比较时，才可以用 不等式(组)表示．对于没有可比性的两个(或几个)量之间不能用 不等式或不等式组来表示．
此即为所求的所有满足题意的不等式．
[名师点评] 求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的 量具体化，就可以得到相应的数学问题．然后运用数学知识、 方法、技巧等解决数学问题．在解决数学实际问题时，应注意 变量的取值范围．本题中大、小客房的房间数都应为非负值且 是正整数．
变式训练1 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地 板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增 加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还 是变坏了？请说明理由．
1说基础· 名师导读 知识点1 不等关系与不等式 (1)不等式的概念 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个 数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的 式子叫做不等式．
讲重点 对不等式“a≤b”与“a≥b”的理解 ①不等式a≤b应读作“a小于或等于b”，其含义是指“a<b 和a＝b中有一个成立即可”．等价于“a不大于b”，即若a<b和 a＝b中有一个成立，则a≤b成立． ②不等式a≥b应读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b 和a＝b中有一个成立即可”，等价于“a不小于b”，即若a>b和 a＝b中有一个成立，则a≥b成立．
(2)实数的运算性质与大小顺序之间的关系： a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b.
讲疑点 对实数大小比较的理论依据的理解 ①上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出． ②“⇔”左边的式子反映了实数的运算性质，右边的式子 反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质 与大小顺序之间的关系． ③这一关系也是不等式的理论基础，是比较两个实数大小 的依据，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主 要依据． ④从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，可以考虑 这两个实数之差的符号．
2说方法· 分类探究 类型一 应用不等式表示不等关系 【例1】 某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分割成 大、小两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住 游客5人，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3人，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每 间需1 000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8 000 元用于装修．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
思维启迪：假设装修大、小客房分别为x间、y间，根据题 意，应有下列不等关系： (1)总费用不超过8 000元； (2)总面积不超过180 m2； (3)大、小客房的房间数都为非负值且为整数． 用关于x、y的不等式表示上述不等关系即可．
解析：设装修大、小客房分别为x间、y间，则 1 000x＋600y≤8 000， 18x＋15y≤180， * x ≥ 0 x ∈ N ， * y ≥ 0 y ∈ N 5x＋3y≤40， 6x＋5y≤60， 即 * x ≥ 0 x ∈ N ， * y ≥ 0 y ∈ N .
[类题通法] 1．作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一 般变形越彻底越有利于下一步的判断． 因式分解 配方 通分 2．变形的方法 对数与指数运算性质 分母或分子有理化 分类讨论
类型二 比较两数(式)的大小 【例2】 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
思维启迪：我们知道，a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a<b，因 此，若要比较两式的大小，只需作差与0作比较即可．
解析：x3－1－(2x2－2x) ＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) 12 3 ＝(x－1)x－2 ＋4 ∵x<1，∴x－1<0. 12 3 又∵x－2 ＋4>0 12 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∴(x－1)x－2 ＋4<0， ∴x3－1<2x2－2x.
②将实际的不等关系转换成对应的不等式，要注意关键的 文字语言与对应的数学符号间的正确转化．常见的文字语言和 对应的符号语言举例如下表： 大于等于 不 文字 大 小 (至 小于等于 等 语言 于 于 少、不少 (至多) 于 于) 数学 > < ≠ ≥ ≤ 符号
知识点2 实数大小比较的理论依据 (1)从数轴上看两个实数的大小关系 实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系，表示 实数的点在数轴上有次序地(无缝隙地)排列．数轴上一个动点 向着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大，由此可 以得到如下结论： ①数轴上的任意两点中，右边点对应的实数大于左边点对 应的实数； ②对于任意两个实数a和b，在a＝b，a>b，a<b三种关系 中，有且仅有一种关系成立．