【精准解析】天津市滨海新区七校(塘沽一中等)2021届高三上学期模拟考试数学试卷
天津市滨海新区2021届新高考数学模拟试题(3)含解析
天津市滨海新区2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞ B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 2．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A ．2B ．3C ．1D ．6【答案】B 【解析】 【分析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l =++ 故选：B ． 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．3．函数cos 220,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果. 【详解】因为cos 22y x x =2sin(2)2sin(2)66x x ππ=-=--，由3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数的增区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间的一个子集为[,]32ππ. 故选D. 【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.4．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,22)A ．则直线AF 的斜率21k ±==±-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．5．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．)+∞D ．(【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=()12242PF a b a c ∴=+>+所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >所以22243c e a =>所以e >，即3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.6．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156 B ．124C ．136D ．180【答案】A 【解析】 【分析】因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】711911212a a a a +==+， ∴712a =， ∴()113137131313121562a a S a +===⨯=.故选：A. 【点睛】本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解. 【详解】对于A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，根据正态分布曲线的对称性，有()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，故A 选项正确，不符合题意；对于B 选项，已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则当//αβ时一定有l m ⊥，充分性成立，而当l m ⊥时，不一定有//αβ，故必要性不成立，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 选项正确，不符合题意；对于C 选项，若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()114E np ξ==4⨯=，故C 选项正确，不符合题意；对于D 选项，am bm >，仅当0m >时有a b >，当0m <时，a b >不成立，故充分性不成立；若a b >，仅当0m >时有am bm >，当0m <时，am bm >不成立，故必要性不成立. 因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确，符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题. 8．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点， 可得22y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴52PF =. 故选：D 【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.9．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ） A ．3 B ．3C ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用109080,1409050︒︒︒︒︒=-=+，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒=-=()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-，所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==故1sin80cos50cos140sin102︒︒︒︒+= 故选：D 【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.10．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 11．中，如果，则的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】 化简得lgcosA ＝lg＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC＝sinB ，从而可求C ，B ，进而可判断.【详解】 由，可得lgcosA ＝＝﹣lg2，∴，∵，∴，，∴sinC ＝sinB ＝＝，∴tanC ＝，C＝，B ＝.故选：B 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．12．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒.故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市滨海新区2021届新高考数学考前模拟卷(2)含解析
天津市滨海新区2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f(x)＝223,1ln,1x x xx x⎧--+≤⎨>⎩,若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A．1,e2⎛⎫⎪⎝⎭B．1,2e⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．1,2e⎛⎤⎥⎝⎦D．1,2e⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－12有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－12的下方，即可求得：k＞12；再求得直线y＝kx－12和y＝ln x相切时，k＝e；结合图象即可得解. 【详解】若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－12有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－12的下方．∴k×1－12＞0，解得k＞12.当直线y＝kx－12和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝1ln2mm+＝1m，∴m e此时，k ＝1m ＝e，f(x)的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件，故所求k 的取值范围是12⎛ ⎝⎭，故选D.. 【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题． 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件 C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立 【答案】C 【解析】 【分析】A ：否命题既否条件又否结论，故A 错.B ：由正弦定理和边角关系可判断B 错.C ：可判断其逆否命题的真假，C 正确.D ：根据幂函数的性质判断D 错. 【详解】解：A ：“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a ≤，则21a ≤”，故 A 错.B ：在ABC 中，2sin 2sin A B a b R A R B >⇔>⇔>，故“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要充分条件，故B 错. C ：“若tan 1α≠，则4πα≠”⇔“若=4πα，则tan =1α”，故C 正确. D ：由幂函数(0)n y x n =<在()0+∞，递减，故D 错. 故选：C 【点睛】考查判断命题的真假，是基础题.3．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C ．162D ．163【答案】C 【解析】 【分析】过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCEPCE V V V SBD S ---=+=⋅=，当PCE S 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCE S PC EF PE =⋅=-，求出PE 的最大值即可.【详解】在BPD △和BCD 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PECE E =，所以BD ⊥平面PCE ，所以1833P BCD B PCE D PCE PCEPCEV V V S BD S ---=+=⋅=，当PCES最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，所以2112PCES PC EF PE =⋅=-， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯162=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.4．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ） A ．-14B ．-12C ．-lD ．1【答案】A 【解析】 【分析】设点2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则点()0,Q y ，()1,0F ，利用向量数量积的坐标运算可得()22112164PQ PF y =⋅--，利用二次函数的性质可得最值. 【详解】解：设点2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则点()0,Q y ，()1,0F ， 22,0,1,44PQ P y F y y ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22422211,01,244164164PQ P y y y y y F y ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅，当22y =时，PQ PF ⋅取最小值，最小值为14-. 故选：A. 【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.5．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C 【解析】 【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确；②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.6．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则11()ln 1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．35【答案】D 【解析】 【分析】由题知cos 5α=，又2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，代入计算可得.【详解】由题知25cos α=，又23sin 2cos 22cos 125πααα⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值. 8．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ） A ．12B ．2C ．22D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.9．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞D ．(3,1)--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N 的补集UN ，再求出集合M 与UN 的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由U =R ，{|||1}N x x =，可得{1UN x x =<-或1}x >，又{|31}M x x =-<< 所以{31}UM N x x ⋂=-<<-.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.10．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．26B ．3 C ．36D ．23【答案】C 【解析】 【分析】分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,再利用向量法求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值. 【详解】由题可知，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.设2AD =.则3(2,2,0),(1,2,1),cos ,686BD EF BD EF =-=-〈〉==⨯. 故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为36. 故选：C本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ）A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=，可求1x y +=，而222()(2)(2)AEAC xy，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =，(2,2)AC =，由2AE AC ⋅=，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AEAC xy 224()8x y x y22213x x =21252()22x，所以当12x =时，2()AEAC 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )A B ．3 C ．2 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可． 【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，结合0260MF N ∠=，故01260F MF ∠=对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F F c =，代入上式子中，得到 2222943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =，即可得出72c e a ==，故选D ． 【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市滨海新区塘沽一中2021届高三上学期第三次月考数学含解析.docx
塘沽一中2021届高三毕业班第三次月考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知Z为虚数单位，实数y满足(-l + 3i)i = y-i,则|5 + yz|=()A. 4B. V34C.6D. 2面----------- B分析：利用复数相等的条件列式求得y值，再由复数模的计算公式求解.解答：解：由(—l + 3z)z — y — i,得-3-i = y-i,二y = —3 .贝|J|5 + yi\= |5-3z| = J25 + 9 =后.故选：B.点拨：思路点睛：本题考查复数的运算，两复数相等的充要条件的应用，两复数相等则实部与实部相等、虚部与虚部相等.2.为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间[50,100]±,分组为，[60,70), [80,90), [90,100],其频率分布直方图如图所示.规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为()分析：由频率分布直方图计算出评分在区间［50,60）上的频率，进而可求出对该公司的服务质量不满 意的客户.解答：由频率分布直方图可知，评分在区间［50,60）上的频率为1-（0.007 + 0.02 + 0.03 + 0.04） xl0 = 0.03,所以评分在区间［50,60）上的客户有0.03x500 = 15 （人）， 即对该公司的服务质量不满意的客户有15人. 故选：A3. 已知等比数列｛%｝的首项％〉0,公比为q,前"项和为S “，则“0>1”是“S5+S7 >2、6” 的（）A,充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件--------- A分析：根据充分必要条件的定义判断.解答：首先 S 5 + S 7 > 2S 6 <=> S 7 - S 6 > S 6 - S 5 <=> a 7 > a 6,q>l 时，％〉0,则>0, a 7 = a 6q > a 6,充分性满足，> 0<0A. 15B. 16C. 17D. 18若。
天津市滨海新区2021届新高考数学三模考试卷含解析
天津市滨海新区2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )A B ． C D 【答案】D【解析】【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，122r ⨯=r =所以圆锥的体积213V r π==. 故选：D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.2．若集合{}{,33A x y B x x ===-≤≤，则A B =（ ） A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤C ．()2,3D ．{}32x x -≤< 【答案】A【解析】【分析】先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解．【详解】 {{}{}2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.故选：A ．【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．3．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D【解析】【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．4．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或2B ．2C ．0D ．1或2【答案】C【解析】试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】【详解】 方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ． 方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 6．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立 【答案】C【解析】【分析】写出命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.7．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】【分析】 作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =.所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．2⎛ ⎝⎦B ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】 因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y y a b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -, 由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<, 所以3c a >故选：D本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.9．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B =( )A ．}{1x x <B ．}{11x x -≤<C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤< 【答案】C【解析】【分析】 先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ．【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小．10．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ）A ．2B ．0C ．2-D ．2± 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，进而算出()2019f .【详解】()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-故()f x 为周期函数，且周期为4()()201910f f ∴=-=【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.11．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥【答案】C【解析】【分析】 模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lglg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=， …；第九十八次，98i =，99lg98lglg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99.此时299S lg =>.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.12．已知x，y满足不等式224xyx y tx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 【答案】B【解析】【分析】作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组24xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市塘沽区2021届新高考数学一月模拟试卷含解析
天津市塘沽区2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020a ==∴20201a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.2．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】解：若{a n }是等比数列，则89891,0S a a S q q -==≠， 若10a >，则898910S a a S q -==>，即98S S >成立， 若98S S >成立，则898910S a a S q -==>，即10a >，故“10a >”是“98S S >”的充要条件，故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.3．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3- B ．2C ．3D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数定义求出(0)f 和(2)f -． 【详解】因为()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，(0)0f ∴=.又当(]0,2x ∈时，()()()2()21,22213x f x f f =-∴-=-=--=-，()()203f f ∴-+=-.故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．4．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26【答案】D 【解析】 【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126C C C C +++=++=（种），故选：D. 【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题. 5．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果. 【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0 且()cos 2xf x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点 同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419iii x y =+=⨯+=∑故选：C 【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.6．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.7．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（ ）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC + D ．3122DA DC +【答案】D 【解析】 【分析】连接OP ，根据题目，证明出四边形APOD 为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案 【详解】连接OP ，由AP OB ，BP OA 知，四边形APBO 为平行四边形，可得四边形APOD 为平行四边形，所以1122DP DA DO DA DA DC=+=++3122DA DC=+.【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题8．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A．23B．163C．6 D．与点O的位置有关【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面11ADD A上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.9．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.10．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是A ．)+∞B ．)+∞C ．⎤⎦D ．⎤⎦【答案】B 【解析】 【分析】由模长公式求解即可. 【详解】22222()242a tb a tb a a bt t b t t +=+=+⋅+=++≥当1t =-时取等号，所以本题答案为B. 【点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()m c a b =-，(,n a b c =-，且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．C D ．【答案】C 【解析】 【分析】由//m n ，可得2()(6)(6)a b c c -=-+，化简利用余弦定理可得2221cos 322a b c ab π+-==，解得ab ．即可得出三角形面积． 【详解】 解：()6,m c a b =--，(),6n a b c =-+，且//m n ，2()(6)(6)a b c c ∴-=-+，化为：22226a b c ab +-=-．222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===，解得6ab =．11333sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78【答案】D 【解析】 【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】解：事件A 发生，需满足x y ≤，即事件A 应位于五边形BCDEF 内，作图如下：()1111722218P A -⨯⨯== 故选：D 【点睛】考查几何概型，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年天津市滨海新区高考数学模拟试卷(三模)
2021年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（5月份）（三模）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合M={1,2，3，4，5，6}，N={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是()A. M∩N⫋MB. N⫋(M∩N)C. M⋃N=ND. M⋂N=M2.设x，y∈R，则“x≥2，且y≥2”是“x2+y2≥8”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10,12]小时内的人数为()A. 18B. 36C. 54D. 72(0<a<1)的图象的大致形状是()4.函数y=xa x|x|A. B.C. D.5.已知三棱锥A−BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，BC⊥CD，AC⊥平面BCD，且AC=2√2，BC=CD=2，则球O的表面积为()A. 4πB. 8πC. 16πD. 2√2π6. 已知抛物线120x 2=y 的焦点F 与双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为( )A. x 29−y 216=1 B. x 216−y241=1 C. y 241−x216=1 D. y 29−x 216=1 7. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，则( )A. f(−3)<f(−log 313)<f(20.6)B. f(−3)<f(20.6)<f(−log 313)C. f(20.6)<f(−log 313)<f(−3)D. f(20.6)<f(−3)<f(log 313)8. 已知函数f(x)=cosxsin2x ，给出下列命题：①∀x ∈R ，都有f(−x)=−f(x)成立；②存在常数T ≠0，∀x ∈R 恒有f(x +T)=f(x)成立； ③f(x)的最大值为2√39； ④y =f(x)在[−π6,π6]上是增函数． 以上命题中正确的为( )A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ①②④9. 已知函数f(x)满足f(x)=f(3x)，当x ∈[1,3)，f(x)=lnx ，若在区间[1,9)内，函数g(x)=f(x)−ax 有三个不同零点，则实数a 的取值范围是( )A. (ln33,1e )B. (ln39,13e )C. (ln39,12e )D. (ln39,ln33)二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）10. 已知复数z =(1+i)(1+2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 11. (x +1)(x −1)5展开式中含x 2项的系数为______.(用数字表示)12. 已知直线l ：2x −y −2=0，点P 是圆C ：(x +1)2+(y −1)2=4上的动点，则点P 到直线l 的最大距离为______．13. 已知a ，b 都为正实数，且1a +1b =1，则a +ba +25ab 的最小值为______．14. 在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，边DC(包含点D 、C)的动点P 与CB 延长线上(包含点B)的动点Q 满足|DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是 (1) ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E(ξ)为 (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，√2cosC(acosB+bcosA)+c=0．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若a=√2，b=2.求：(ⅰ)边长c；(ⅰ)sin(2B−C)的值．17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=π，AD=2，AM=1，E为AB的中点．3(Ⅰ)求证：AN//平面MEC；(Ⅱ)求ME与平面MBC所成角的正弦值；(Ⅲ)在线段AM上是否存在点P，使二面角P−EC−D的大小为π？若存在，求出3AP的长；若不存在，请说明理由．18. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12，左顶点为A(−4,0)，过点A 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k(k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由； (3)若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD+AE OM的最小值．19. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2=2a 2−2，S 3=a 4−2，数列{a n }满足a 2=4b 1，nb n+1−(n +1)b n =n 2+n ，(n ∈N ∗)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明数列{bnn}为等差数列； (3)设数列{c n }的通项公式为：C n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n 4,n 为偶数，其前n 项和为T n ，求T 2n ．+bx−1，(a,b∈R)20.已知函数f(x)=lnx，g(x)=ax2(Ⅰ)当a=−1，b=0时，求曲线y=f(x)−g(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)当b=0时，若对任意的x∈[1,2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅲ)当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x1<x2)，求证：x1+x2>2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合M={1,2，3，4，5，6}，N={x∈R|2≤x≤6}，所以M∩N={2,3，4，5，6}，所以M∩N⫋M，所以A正确；N不是M∩N的真子集，所以B不正确；因为1∉N，所以M⋃N≠N，所以C不正确；M⋂N≠M，所以D不正确；故选：A．求出M∩N，然后判断A、B、D的正误；然后再判断C的正误．本题考查集合的交集与并集的运算，集合的包含关系，是基础题．2.【答案】A【解析】解：若“x≥2，且y≥2”，则“x2+y2≥8”；反之不成立，如取x=0，y=3．因此“x≥2，且y≥2”是“x2+y2≥8”的充分不必要条件．故选：A．若“x≥2，且y≥2”，则“x2+y2≥8”；反之不成立，如取x=0，y=3.即可判断出．本题考查了充分必要条件的判定，考查了推理能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10,12]小时内的频率为：1−(0.03+0.06+0.18+0.14)×2=0.18，∴每周锻炼时间在[10,12]小时内的人数为：200×0.18=36．故选：B．由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10,12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10,12]小时内的人数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】【分析】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．分x>0与x<0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x>0时，|x|=x，此时y=a x(0<a<1)；当x<0时，|x|=−x，此时y=−a x(0<a<1)，则函数y=xa x|x|(0<a<1)的图象的大致形状是：，故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积公式，棱锥的结构特征，属于中档题．由题意三棱锥A−BCD可以扩充为以CA、CB、CD为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，AC⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，DC⊂平面BCD，∴AC⊥BC，AC⊥DC，又已知BC⊥DC，∴CA、CB、CD两两互相垂直，∴三棱锥A−BCD可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，∴4R2=AC2+BC2+CD2=16，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．6.【答案】D【解析】解：抛物线120x2=y的焦点坐标为(0,5)，双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为by+ax=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴√a2+b2=b=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线方程为：y29−x216=1．故选：D．确定抛物线120x2=y的焦点坐标、双曲线y2a−x2b=1((a>0,b>0)的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．7.【答案】C【解析】【试题解析】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，指数函数与对数函数的综合应用，属于基础题．根据题意，由函数的奇偶性可得f(−3)=f(3)，f(−log313)=f(log313)，又由20.6<2< log313<log327=3，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−3)=f(3)，f(−log313)=f(log313)，有20.6<21=2<log313<log327=3，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(20.6)<f(−log313)<f(−3)，故选：C．8.【答案】D【解析】解：对于①，∀x∈R，f(−x)=cos(−x)sin(−2x)=−cosxsin2x=−f(x)，f(x)为奇函数，①正确；对于②，∀x∈R，由f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cosxsin2x=f(x)，f(x)为周期函数，②正确；对于③，f(x)=2sinxcos2x=2sinx(1−sin2x)=2sinx−2sin3x，令t=sinx，t∈[−1,1]，则y(t)=2t−2t3，令y′=2−6t2=0，得t=±√33，且y(−1)=0，y(√33)=4√39为最大值，③错误；对于④，当x∈[−π6,π6]时，sinx∈[−12,12]⊆[−√33,√33]，所以f(x)在[−π6,π6]上为增函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：D．根据函数的奇偶性和周期性、以及单调性和最值的定义与性质，判断正误即可．本题考查了函数的奇偶性和周期性、以及单调性和最值的应用问题，是中档题．9.【答案】B【解析】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，将其转化为图象交点问题是解答的关键，考查数形结合的数学思想，属于较难题．画出f(x)在[1,9)的图象，函数g(x)=f(x)−ax有三个不同零点，等价于y=ax与y= f(x)的图象有三个不同交点，数形结合可得结论．【解答】解：设x∈[3,9)，则x3∈[1,3),∴f(x3)=ln x3，又f(x)=f(3x)，∴f(x)=ln x3，画出f(x)在[1,9)的图象，函数g(x)=f(x)−ax有三个不同零点，等价于y=ax与y=f(x)的图象有三个不同交点，数形结合可得，当直线经过点(9,ln3)或与x∈[3,9)时的图象相切时，有两个交点，当直线与x∈[3,9)时的图象相切，设切点为(x0,ln x03)，且f′(x)=1x，则ln x0 3x0=1x0，解得x0=3e，故此时切线斜率为13e，当直线经过点(9,ln3)时，斜率为ln39，∴a∈(ln39,13e)故选：B．10.【答案】√10【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=(1+i)(1+2i)=1−2+3i=−1+3i，∴|z|=√(−1)2+32=√10．故答案为：√10．11.【答案】−5【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项的系数，是基础题．由(x+1)(x−1)5=(x2−1)(x4−4x3+6x2−4x+1)，求得展开式中含x2项的系数．【解答】解：(x+1)(x−1)5=(x2−1)(x4−4x3+6x2−4x+1)，∴展开式中含x2项的系数为(−1)×6+1×1=−5．故答案为：−5．12.【答案】√5+2【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．根据题意，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆C：(x+1)2+(y−1)2=4的圆心为(−1,1)，半径r=2，则圆心C到直线l的距离d=√4+1=√5，则点P到直线l的最大距离为d+r=√5+2；故答案为√5+2．13.【答案】9【解析】解：法1：a，b都为正实数，且1a +1b=1，∴b=aa−1>0，解得a>1．则a+ba +25ab=a+1a−1+25(a−1)a2=f(a)，f′(a)=1−1(a−1)2+25[a 2−2a(a−1)]a 4=(a−2)(a 2+5a−5)(a 2−5a+5)a 3(a−1)2，当a =5+√52，b =5−√52时，f(a)取得最小值，f(a)min =9．法2：1a +1b =1，所以ab =a +b ，且1a =1−1b ， 所以a +ba +25ab=a +b(1−1b)+25a+b=(a +b)+25a+b−1≥2√(a +b)×25a+b−1=9，当且仅当a +b =5等号成立， 故答案为：9．根据a ，b 都为正实数，且1a +1b =1，得b =aa−1>0，解得a >1.将原式转化为关于a 的函数，求导后处理即可．本题考查了导数在求函数最值上的应用，属于中档题．14.【答案】[34,3]【解析】解：如图所示，设P(x,1)，Q(2,y)(0≤x ≤2,−2≤y ≤0)． ∵|DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴|x|=|y|，∴x =−y ．∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−11)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,y −1)， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x(2−x)−(y −1) =x 2−2x −y +1 =x 2−x +1 =(x −12)2+34=f(x)，∴当x =12时，则f(x)取得最小值34． 又f(0)=1，f(2)=3， ∴f(x)的最大值为3．∴则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[34,3]． 故答案为：[34,3]．如图所示，设P(x,1)，Q(2,y)(0≤x ≤2,−2≤y ≤0).由于|DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得|x|=|y|，x =−y.可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−2x −y +1=x 2−x +1，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】95035【解析】解：箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球， 基本事件总数n =103=1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m =103−(23+33+53+C 32×22×8+C 32×32×7+C 32×52×5)=180，则3个小球颜色互不相同的概率是P =m n=1801000=950；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～(n,210)， ∴ξ的数学期望E(ξ)=3×210=35． 故答案为：950，35．基本事件总数n =103=1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m =103−(23+33+53+C 32×22×8+C 32×32×7+C 32×52×5)=180，由此能求出3个小球颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～(n,210)，由此能求出ξ的数学期望E(ξ)．本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得√2cosC(sinAcosB +sinBcosA)+sinC =0………(2分)∴√2cosCsinC +sinC =0，∴cosC =−√22， ∵0<C <π，…………(4分) ∴C =3π4…………………(5分)(Ⅱ)(ⅰ)因为a =√2,b =2，C =3π4，由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =2+4−2×√2×2×(−√22)=10，∴c =√10…………………(7分)(ⅰ)由c sinC=b sinB⇒sinB =√55，…………………(9分) 因为B 为锐角，所以cosB =2√55…………………(10分) sin2B =2×√55×2√55=45，cos2B =cos 2B −sin 2B =35…………………(12分)sin(2B −C)=sin2BcosC −cos2BsinC =45×(−√22)−35×√22=−7√210……(14分)【解析】(I)利用正弦定理、和差公式化简即可得出． (II)(ⅰ)因为a =√2,b =2，C =3π4，利用余弦定理即可得出．(ⅰ)由c sinC=b sinB⇒sinB =√55，可得cos B 再利用倍角公式、和差公式即可得出．本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】(本小题满分13分)证明：(Ⅰ)CM 与BN 交于F ，连接EF由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点，所以AN//EF ………(1分)又EF ⊂平面MEC ，………(2分)AN ⊄平面MEC ，………(3分) 所以AN//平面MEC ………(4分)解：(Ⅱ)由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =π3，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ． 又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM ∩平面ABCD =AD ， ∴DN ⊥平面ABCD ………(5分) 如图建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，E(√3,0,0)，C(0,2，0)，M(√3,−1,1)，B(√3,1,0)，N(0,0，1) 设平面MBC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)， {MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0，∴{2y −z =0−√3x +y =0，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2√3)………(6分) ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)………(7分) cos <ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ >=ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√2⋅4=−√68………(8分)∴ME 与平面MBC 所成角的正弦值√68………(9分)(Ⅲ)设P(√3,−1,ℎ)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−2,0)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,ℎ) 设平面PEC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z) 则，{CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0∴{√3x −2y =0−y +ℎz =0令y =√3ℎ，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(2ℎ,√3ℎ,√3)………(10分) 又平面ADE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32=12………(11分)解得，ℎ=3√77………(12分)， ∵3√77>1，∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P −EC −D 的大小为π3.………(13分)【解析】(Ⅰ)CM 与BN 交于F ，连接EF ，推导出F 是BN 的中点．从而AN//EF ，由此能证明AN//平面MEC ．(Ⅱ)推导出DE ⊥AB ，DN ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出ME 与平面MBC 所成角的正弦值．(Ⅲ)求出平面PEC 的法向量和平面ADE 的法向量，利用向量法求出在线段AM 上不存在点P ，使二面角P −EC −D 的大小为π3.………(13本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的离心率e =12，左顶点为A(−4,0)， ∴a =4，又e =12，∴c =2.…(2分) 又∵b 2=a 2−c 2=12， ∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 212=1.…(4分) (2)直线l 的方程为y =k(x +4)，由{x 216+y 212=1y =k(x +4)消元得，x 216+[k(x+4)]212=1．化简得，(x +4)[(4k 2+3)x +16k 2−12)]=0， ∴x 1=−4，x 2=−16k 2+124k 2+3.…(6分)当x =−16k 2+124k 2+3时，y =k(−16k 2+124k 2+3+4)=24k4k 2+3，∴D(−16k 2+124k 2+3,24k4k 2+3)．∵点P 为AD 的中点，∴P 的坐标为(−16k 24k 2+3,12k4k 2+3)，则k OP =−34k (k ≠0).…(8分)直线l 的方程为y =k(x +4)，令x =0，得E 点坐标为(0,4k)， 假设存在定点Q(m,n)(m ≠0)，使得OP ⊥EQ ， 则k OP k EQ =−1，即−34k ⋅n−4k m=−1恒成立，∴(4m +12)k −3n =0恒成立，∴{4m +12=0−3n =0，即{m =−3n =0，∴定点Q 的坐标为(−3,0).…(10分) (3)∵OM//l ，∴OM 的方程可设为y =kx ，由{x 216+y 212=1y =kx ，得M 点的横坐标为x =√32，…(12分)由OM//l ，得AD+AE OM =|x D −x A |+|x E −x A ||x M |=x D −2x A |x M |=−16k 2+124k 2+3+84√3√2=√32√4k 2+3(14分)=√3(√4k 2+3√4k 2+3)≥2√2，当且仅当√4k 2+3=√4k 2+3即k =±√32时取等号，∴当k =±√32时，AD+AE OM的最小值为2√2. …(16分)【解析】(1)由椭圆的离心率和左顶点，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的标准方程． (2)直线l 的方程为y =k(x +4)，与椭圆联立，得，(x +4)[(4k 2+3)x +16k 2−12)]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．(3)OM 的方程可设为y =kx ，与椭圆联立得M 点的横坐标为x =√3√4k 2+3，由OM//l ，能求出结果．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．19.【答案】解：(1)由于等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2=2a 2−2，S 3=a 4−2，所以S 3−S 2=a 4−2a 2=a 3， 整理得a 2q 2−2a 2=a 2q ， 由于a 2≠0，所以q 2−q −2=0，由于q >0， 解得q =2．由于a 1+a 2=2a 2−2，解得a 1=2， 所以a n =2n ．(2)数列{a n }满足a 2=4b 1，解得b 1=1， 由于nb n+1−(n +1)b n =n 2+n ，所以bn+1n+1−b n n=1(常数)．所以数列数列{bnn}是以1为首项1为公差的等差数列． (3)由于数列数列{bnn}是以1为首项1为公差的等差数列． 所以bnn=1+(n −1)=n ，解得b n =n 2． 由于数列{c n }的通项公式为：C n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n 4,n 为偶数，所以令p n =c 2n−1+c 2n =−(2n−1)⋅22n−12+(2n)2⋅22n4=(4n −1)⋅4n−1．所以T 2n =3⋅40+7⋅41+11⋅42+⋯+(4n −1)⋅4n−1①， 4T 2n =3⋅41+7⋅42+11⋅43+⋯+(4n −1)⋅4n ②，①−②得：−3T 2n =3⋅40+4⋅41+⋯+4⋅4n−1−(4n −1)⋅4n ， 整理得−3T 2n =3+4⋅4n −14−1−(4n −1)⋅4n ，故：T 2n =79+12n−79⋅4n ．【解析】(1)直接利用已知条件和递推关系式的应用求出数列的通项公式． (2)利用关系式的恒等变换和数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列． (3)利用(1)和(2)的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．20.【答案】解：(Ⅰ)当a =−1时，b =0时，y =lnx +1x 2+1，∴当x =1时，y =2，∴y ′=1x −2x 3，∴当x =1时，y ′=−1，∴曲线y =f(x)−g(x)在x =1处的切线方程为x +y −3=0；(Ⅱ)当b =0时，对∀x ∈[1,2]，f(x)+g(x)≥0都成立，则对∀x ∈[1,2]，a ≥−x 2lnx +x 2恒成立，令ℎ(x)=−x 2lnx +x 2(1≤x ≤2)，则ℎ′(x)=−2xlnx +x.令ℎ′(x)=0，则x =√e ， ∴当1<x <√e ，ℎ′(x)>0，此时ℎ(x)单调递增；当√e <x <2时，ℎ′(x)<0，此时ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)max =ℎ(√e)=e 2，∴a ≥e2，∴a 的取值范围为[e2,+∞)；(Ⅲ)当a =0，b >0时，由f(x)=g(x)，得lnx −bx +1=0， 方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x 1，x 2(x 1<x 2)，令F(x)=lnx −bx +1(x >0)，则F(x 1)=F(x 2)=0，F ′(x)=1x −b ，令F ′(x)=0，则x =1b ，∴当0<x <1b 时，F ′(x)>0，此时F(x)单调递增；当x >1b 时，F ′(x)<0，此时F(x)单调递减，，∴0<b <1，又F(1e )=−be <0，F(1)=1−b >0， ∴1e <x 1<1<1b ，∴2b −x 1>1b，∴只要证明x 2>2b −x 1，就能得到x 1+x 2>2b >2，即只要证明F(2b −x 1)>0=F(x 1)， 令G(x)=F(2b −x)−F(x)=ln(2b −x)−lnx +2bx −2，(0<x ≤1b )， 则G ′(x)=2b(x−1b )2x(x−2b)<0，∴G(x)在(0,1b )上单调递减，则G(x)>G(1b )=F(2b −1b )−F(1b )=0， ∴G(x 1)=F(2b −x 1)−F(x 1)>0， ∴F(2b −x 1)>F(x 1)=0=F(x 2)， ∴x 2>2b −x 1，∴x 1+x 2>2b >2， 即x 1+x 2>2，证毕．【解析】本题考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．(Ⅰ)求出y=f(x)−g(x)的导函数，求出函数在x=1时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；(Ⅱ)对∀x∈[1,2]，f(x)+g(x)≥0都成立，则对∀x∈[1,2]，a≥−x2lnx+x2，恒成立，构造函数ℎ(x)=−x2lnx+x2(1≤x≤2)，求出ℎ(x)的最大值可得a的范围；(Ⅲ)由f(x)=g(x)，得lnx−bx+1=0，构造函数F(x)=lnx−bx+1(x>0)，将问题转化为证明F(2b −x1)>0=F(x1)，然后构造函数证明F(2b−x1)>F(x1)=0=F(x2)即可．。
天津市滨海新区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
天津市滨海新区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45 B ．42C ．25D ．36【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知1928a a a a ,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可.【详解】 由题,192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====. 故选:D 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和.3．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④ C ．①④ D ．①②③【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.4．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．12- B ．1 C ．1-D ．32【答案】C 【解析】 【分析】求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解.【详解】 如下图所示：设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，则121022211a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，即点()3,0C ，所以，圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2231x y -+=，设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()224222213948416216y y y MC y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭当2y =±时，MC 取最小值2min min 1221MN MC =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.5．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.6．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5C ．2或9D ．1或5【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【详解】由于ba=b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=， 故选：B. 【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.7．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3ϕ=，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.8．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．18【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边整理可得结果. 【详解】由余弦定理得：222222224a cb bc a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=.故选：D . 【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.9．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键． 10．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心【答案】A 【解析】 【分析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故，即，两三棱锥高相等，故，故，故为中点.故选：. 【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 11．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=， 又∵31a =5， ∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.12．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A．3B ．3C ．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，则()()22222x a y x a y ++=-+ =2，化简得222516(x )y 39a a -+=. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1， ∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得6a 6,b 2==， ∴椭圆的离心率为2231b a -=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年天津市滨海新区七校联考高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年天津市滨海新区七校联考高三（上）期末数学试卷一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5}，集合{3A =，5}，{1B =，2，5}，则()(U B A =⋂)A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4}D ．{1，2，4}2．（5分）设x R ∈，则“|1|2x ->”是“21x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”函数()()2cos x x x e e f x x-+=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．4．（5分）中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神、看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组[40，50)，[50，60)[90⋯，100]，则成绩落在[70，80)上的人数为( )A ．12B ．120C ．24D ．2405．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43球的体积为( ) A ．43πB 6πC ．323πD ．86π6．（5分）已知函数||()x f x e -=，1(log )3e a f =，31(log )b f e =，11(log )9e cf =，则下述关系式正确的是( ) A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a b c >>7．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为5，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点为A 5，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则双曲线的方程为( )A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2221x y -=D ．2241x y -=8．（5分）设函数()322sin cos f x x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π； ②()y f x =的图象关于直线12x π=对称；③()f x 在2[,]63ππ单调递减；④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②④C ．①②④D ．①②③9．（5分）已知函数21(2),1()(0,1)(1)4,1a log x x f x a a x a x ++-⎧=>≠⎨++<-⎩在区间(,)-∞+∞上为单调函数，若函数()|()||2|g x f x x =--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．11(,]42B ．13(,]44C ．1113(,]4216⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1313[,]4416⎧⎫⎨⎬⎩⎭二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）10．（5分）若复数131iz i+=-，则||z = ． 11．（5分）在二项式9(x的展开式中，含6x 的项的系数为 ．12．（5分）已知直线:l y x m =+被圆22:4210C x y x y +---=截得的弦长等于该圆的半径，则实数m = ．13．（5分）为了抗击新冠肺炎疫情，现从A 医院150人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B 医院至少有一人的概率是 .设两名联络人中B 医院的人数为X ，则X 的期望为 ．14．（5分）已知正实数a ，b 满足2()b alg a b lglg a b+=+，则1122a a b b ++的最小值为 ． 15．（5分）已知平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，||2AB =，||1AD =，60DAB ∠=︒，其中点P 在线段MD 上且满足2516AP CP ⋅=-，||DP = ，若点N 是线段AB 上的动点，则ND NP ⋅的最小值为 ．三.解答题（本大题5小题，共75分。
2021届天津市滨海新区塘沽一中高考数学三模试卷(含答案解析)
2021届天津市滨海新区塘沽一中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）≤2}，则M°N= 1.定义A°B={x|x∈A或x∈B，但x∉A∩B}.已知M={y|y=2|x|}，N={x|32−x ()]∪[1,2]A. [0,1)∪(2,+∞)B. (−∞,12,1)∪(2,+∞) D. [1,2)C. [122.已知函数，则””是”在R上单调递减”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.如图所是某一容器三视图，现容中匀速注水，容器中的度h随时间变可能图象是()A.B.C.D.4.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A. 0.6小时B. 0.9小时C. 1.0小时D. 1.5小时 5. 已知平面截一球面得圆M ，过圆心M 且与成角的平面截该球面得圆N 若圆M 、圆N 面积分别为4、13，则球面面积为 A. 36B. 48C. 64D. 100 6. 函数y =x|x|，x ∈R ，满足( )A. 是奇函数又是减函数B. 是偶函数又是增函数C. 是奇函数又是增函数D. 是偶函数又是减函数 7. 函数y =3cos(25x −π6)的最小正周期是( ) A. 25πB. 52πC. 2πD. 5π 8. 如图，已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于 P ，Q 两点．若∠PAQ =60°，且|PQ|=√33a ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±√33x B. y =±√32x C. y =±3xD. y =±2√33x 9. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)={log 2(x +1),0≤x <3x 2−10x +23,x ≥3，则关于x 的函数g(x)=f(x)+a(0<a <2)的所有零点之和为( )A. 10B. 21−2aC. 0D. 1−2a 二、单空题（本大题共5小题，共25.0分） 10. 已知复数z 满足z ⋅z −+2zi =8+6i ，则复数z 的实部与虚部的和为______．11. 抛物线y 2=2px 过点(1,−2)，则此抛物线的准线方程为______．12. 则二项式(3√x −1√x )6的展开式中含x 2项的系数是______．13. 已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(cosα,sinα)，a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为−√2，则tanα=______．14.若正数x，y满足x+4y=4，则xy的最大值为 ____ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.已知离散型随机变量X的分布列如右表.若EX=0，DX=1，则a=(1)，b=(2)．四、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.(10分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asin C−ccos A．(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2，△ABC的面积为，求b，c．17. 如图，已知长方形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面为的中点．(1)求证：;(2)求直线与平面ADM所成角的正弦值．18. 若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S2=4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=3a n a n+1，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n<m20对所有n∈N+都成立的最小正整数m．19. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，斜率为k(k ≠0)的直线l 交E 于A ，B 两点．当k =√32时，|AB|=√7，且△OAB 的面积为ab 2.(O 为坐标原点) (1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的右焦点，垂直于l 的直线与交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且|MA|=|MO|，求k 的值．20. 已知函数f(x)=e x (x 2−ax +1)．(1)若a <0，求函数f(x)的极值(2)若m =3，记φ(x)=−f(x)e x −14,g(x)=lnx +1x ，当x 1∈(0,+∞)，x 2∈R 时，证明：g(x 1)≥φ(x 2).【答案与解析】1.答案：B解析：利用交、并、补集的混合运算求解．本题考查交、并、补集的混合运算，解题时要认真审题，是基础题．解：∵M={y|y=2|x|}=[1,+∞)，N={x|32−x ≤2}=(−∞,12]∪(2，+∞)，∴M°N=(−∞,12]∪[1,2]．故选：B．2.答案：C解析：本题主要考查充要条件的应用，熟悉函数最值的方法是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．解：若在上单调递减，因此是在上单调递减的充要条件．故选C．3.答案：B解析：解：三视图表示的容器倒的圆锥，下细，上面，刚开始度增加的相快些．曲越竖直”，后，高度增加来越慢，图越平稳．故B．据体的三视图几体的形状是解决本的键，可以判断出该几何体圆下面细上面粗的容，判断出高度h 随时间t变化的可能象．。
天津市塘沽区2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
天津市塘沽区2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义求得6AF =，由此求得BF 的长.【详解】过B 作BC l ⊥，垂足为C ，设l 与x 轴的交点为D .根据抛物线的定义可知BF BC =.由于3FA FB =，所以2AB BC =，所以6CAB π∠=，所以26AF FD ==，所以123BF AF ==. 故选：D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.2．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y=-+的最大值为n，则2nxx⎛-⎪⎝⎭的展开式中2x项的系数为( )A．60 B．80 C．90 D．120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n=，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y=-+，即322zy x=+，故z表示直线与y截距的2倍，根据图像知：当1,1x y=-=时，32z x y=-+的最大值为5，故5n=.52xx⎛-⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rrr rr r rrT C x C xx---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅⎪⎝⎭，取2r得到2x项的系数为：()225252180C-⋅⋅-=.故选：B.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．如图，在ABC∆中，13AN AC=，P是BN上的一点，若23mAC AP AB=-，则实数m的值为（）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】23mAC AP AB =-变形为23AP mAC AB =+，由13AN AC =得3AC AN =，转化在ABN 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+， 又B P N ，，三点共线， 2313m ∴+=，解得19m =． 故选：B ．【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ (O 为平面内任一点,t R ∈)4．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．2C ．23D ．1【答案】C【解析】【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度.【详解】 几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =故选：C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.5．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB ⋅的最小值为（ ）A ．223B ．1-C ．0D ．232- 【答案】C 【解析】 【分析】先画出函数图像和圆，可知MA MB =，若设2AMB θ∠=，则1tan MA MB θ==，所以2221||cos 22sin 3sin MA MB MA θθθ⋅==+-，而要求MA MB ⋅的最小值，只要sin θ取得最大值，若设圆2220x y y +-=的圆心为C ，则1sin MCθ=，所以只要MC 取得最小值，若设(,ln )M x x ，则222||(ln 1)MC x x =+-，然后构造函数22()(ln 1)g x x x =+-，利用导数求其最小值即可.【详解】记圆2220x y y +-=的圆心为C ，设AMC θ∠=，则11,sin tan MA MB MCθθ===，设222(,ln ),||(ln 1)M x x MC x x =+-，记22()(ln 1)g x x x =+-，则212()22(ln 1)(ln 1)g x x x x x x x=+⋅=+-'-，令2()ln 1h x x x =+-，因为2()ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，所以当01x <<时，()(1)0,()0h x h g x <=<'；当1x >时，()(1)0,()0h x h g x >=>'，则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)2g x g ==，即22,0sinMC θ<，所以2221||cos 22sin 30sin MA MB MA θθθ⋅==+-≥（当2sin 2θ=时等号成立）. 故选：C 【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题. 6．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．7．已知函数()()()1sin ,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1n i i i a b =+∑的值为（ ） A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+【答案】C【解析】【分析】 对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当2x =时有极大值(2)1f =，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点n a 的通项公式2n a n =，且相应极大值12n nb -=，分组求和即得 【详解】当13x ≤≤时，()cos 22x f x πππ-⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 显然当2x =时有，()0f x '=，∴经单调性分析知2x =为()f x 的第一个极值点又∵3100x <≤时，()2(2)f x f x =-∴4x =，6x =，8x =，…，均为其极值点∵函数不能在端点处取得极值∴2n a n =，149n ≤≤，n Z ∈∴对应极值12n nb -=，149n ≤≤，n Z ∈ ∴()4949491(298)491(12)22449212i i i a b =+⨯⨯-+=+=+-∑ 故选：C【点睛】本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题8．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是 A ．2- B ．72- C ．1 D ．4【答案】B【解析】【分析】【详解】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，设23z x y =-，则2133y x z =-，易知当直线2133y x z =-经过点D 时，z 取得最小值，由1220x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D -，所以min 172(1)322z =⨯--⨯=-，故选B ．9．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ）A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，，D ．()3-∞，【答案】C【解析】【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，.故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.10．已知函数()()1x f x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（） A ．(),1e -∞- B ．()1,e -+∞ C ．(],0e - D ．(]1,1e -【答案】D【解析】【分析】先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R 恒成立，即1x y e =得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1x y e=得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方， 作出函数的图象如图所示过原点作函数1x y e=的切线，设切点为(,)a b ，则1e e a a b a a --==，解得1a =-，所以切 线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤.故选：D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 11．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．12．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】 每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】 每一次成功的概率为，服从二项分布，故. 故选：.【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年天津市滨海新区塘沽一中高考数学三模试卷(解析版)
2021年天津市滨海新区塘沽一中高考数学三模试卷一、选择题（共9小题）.1．设全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B＝{1，2}，则集合A∩（∁R B）＝（）A．{﹣1，0}B．（﹣1，1）∪（2，3]C．（0，1）∪（1，2）∪（2，3]D．{0，3}2．设x∈R，则“|x﹣1|＜4”是“＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．4．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在[9，11）的学生人数为25，则n的值为（）A．70B．60C．50D．405．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16 πB．20πC．24πD．32π6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数．设a＝f（log80.2），b ＝f（log0.34），c＝f（21.1），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）8．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．29．已知函数g（x）＝，f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（4﹣8，+∞）B．（4﹣8，1）∪（1，+∞）C．（4﹣8，4）D．（4﹣8，1）∪（1，4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．复数z＝（i是虚数单位）的实部为，|z|＝．11．已知F是抛物线y＝4x2的焦点，点P（x0，y0）在抛物线上，且|PF|＝2，则y0＝．12．某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用ξ表示他遇到红灯的次数，则E（ξ）＝.（用数字作答）13．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为﹣20，则含x4项的系数为.（用数字作答）14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，且＝，•＝﹣2，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．15．已知正实数a，b满足：a+b＝1，则的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．函数f（x）＝（sin x+cos x）2+cos（2x+π）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期并求当x∈[0，]时，函数f（x）的最大值和最小值．（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝1，sin C＝2sin B，且a＝2，求△ABC的面积．17．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，CA⊥平面ABB1A1，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1．（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C．（Ⅱ）求异面直线CA1与BC1所成角的余弦值．（Ⅲ）若点M是线段AB上的一个动点，试确定点M的位置，使得二面角C﹣A1C1﹣M 的余弦值为．18．已知数列{a n}，{b n}，S n是数列{a n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，数列{b n}是等差数列，b1＝log3a1，且b2+5，b4+1，b6﹣3成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）记c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．（Ⅲ）求c k c k+1．19．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点H（0，1），若直线y＝x+t与椭圆C相交于两点C，D且直线HC，HD的斜率之和为﹣2，求实数t的值．（Ⅲ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝m（﹣klnx）+n[e x+1（e x+1﹣ax+a﹣1）]，其中e＝2.718…是自然对数的底数，f′（x）是函数f（x）的导数．（Ⅰ）若m＝1，n＝0，（ⅰ）当k＝1时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程．（ⅱ）当k＞0时，判断函数f（x）在区间（1，]上零点的个数．（Ⅱ）若m＝0，n＝1，当a＝时，求证：若x1≠x2，且x1+x2＝﹣2，则f（x1）+f（x2）＞2．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B＝{1，2}，则集合A∩（∁R B）＝（）A．{﹣1，0}B．（﹣1，1）∪（2，3]C．（0，1）∪（1，2）∪（2，3]D．{0，3}解：∵全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}＝{0，1，2，3}，集合B＝{1，2}，∴集合A∩（∁R B）＝{0，3}．故选：D．2．设x∈R，则“|x﹣1|＜4”是“＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：解|x﹣1|＜4，得A＝{x|﹣3＜x＜5}，解，得B＝{x|2＜x＜5}，∵B⫋A，∴A是B的必要不充分条件．故选：B．3．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，则函数f（x）为奇函数，可排除AC；又，可排除D．故选：B．4．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在[9，11）的学生人数为25，则n的值为（）A．70B．60C．50D．40解：由频率分布直方图得学习时长在[9，11）的频率为：1﹣（0.05+0.15+0.05）×2＝0.5，∵学习时长在[9，11）的学生人数为25，∴n＝＝50．故选：C．5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16 πB．20πC．24πD．32π解：∵各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，∴设正四菱形的底面边长为a，则a2×4＝16，解得a＝2，∴这个球的半径r＝＝，∴这个球的表面积S＝4π×（）2＝24π．故选：C．6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数．设a＝f（log80.2），b ＝f（log0.34），c＝f（21.1），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，则f（x）在（0，+∞）为减函数，则a＝f（log80.2）＝f（log85），b＝f（log0.34）＝f（），又由0＜log85＜1＜＜2＜21.1，则有c＜b＜a，故选：A．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（）为函数的函数的最大值或最小值，即2×+φ＝kπ+，k∈Z，则φ＝kπ+，k∈Z，又f（）＞f（π），sin（π+φ）＝﹣sinφ＞sin（2π+φ）＝sinφ，sinφ＜0．令k＝﹣1，此时φ＝﹣，满足条件sinφ＜0，令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）．则f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．故选：C．8．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2解：双曲线的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：b cos30°＝b，可得：＝b，即＝，可得离心率为：e＝．故选：A．9．已知函数g（x）＝，f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（4﹣8，+∞）B．（4﹣8，1）∪（1，+∞）C．（4﹣8，4）D．（4﹣8，1）∪（1，4）解：∵f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，∴|kx﹣2|＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的解，当k＝0时，g（x）＝2，显然有3个不同的解，当k≥4时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，当1＜k＜4时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的交点，如下图所示，当k＝1时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，当0＜k＜1时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，当k＜0时，由图可知，要使|kx﹣2|＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的解，必须满足y＝|kx﹣2|与y＝﹣4x2+8x（0＜x≤2）有两个不同的交点，当y＝|kx﹣2|与y＝﹣4x2+8x（0＜x≤2）相切时，满足|kx﹣2|＝﹣4x2+8x有唯一根，如下图所示，此时2﹣kx＝﹣4x2+8x有唯一解，由△＝0可求得k＝或k＝（舍去），∴＜k＜0，综上所述，＜k＜1或1＜k＜4．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．复数z＝（i是虚数单位）的实部为，|z|＝．解：∵z＝＝，∴复数z的实部为；|z|＝＝．故答案为：；．11．已知F是抛物线y＝4x2的焦点，点P（x0，y0）在抛物线上，且|PF|＝2，则y0＝．解：抛物线y＝4x2的标准方程是x2＝y，其准线方程是y＝﹣，点P（x0，y0），∵|PF|＝2∴点P到准线的距离为2，即y0+＝2，得y＝．故答案为：．12．某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有15种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用ξ表示他遇到红灯的次数，则E（ξ）＝2.（用数字作答）解：经过6个红绿灯路口，遇到2次红灯的分布情形有种，随机变量ξ～B（6，），∴E（ξ）＝．故答案为：15，2．13．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为﹣20，则含x4项的系数为﹣6.（用数字作答）解：∵二项式（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣a）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中常数项为﹣•a3＝﹣20，∴a＝1．则令6﹣2r＝4，求得r＝1，可得展开式中含x4项的系数为×（﹣1）＝﹣6，故答案为：﹣6．14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，且＝，•＝﹣2，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．解：建立如图以B点为坐标原点的坐标系，，设，由，得，，所以，①当M在N的左侧时，设M（x，0），N（x+1，0），x∈[0，5]，∴，②当M在N的右侧时，设N（x，0），M（x+1，0），x∈[0，5]，∴，综上的最小值为．故答案为：．15．已知正实数a，b满足：a+b＝1，则的最大值是．解：∵正实数a，b满足：a+b＝1，∴b＝1﹣a，∴＝+＝+＝，而＝（a+1）+﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当（a+1）2＝3时“＝”成立，故≤＝，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．函数f（x）＝（sin x+cos x）2+cos（2x+π）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期并求当x∈[0，]时，函数f（x）的最大值和最小值．（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝1，sin C＝2sin B，且a＝2，求△ABC的面积．解：（I）f（x）＝（sin x+cos x）2+cos（2x+π）＝1+sin2x﹣cos2x＝1+2sin（2x﹣），T＝π，当x∈[0，]时，（2x﹣）∈[，]，所以sin（2x﹣）∈[﹣，1]，故当2x﹣＝，即x＝时，函数取得最大值3，当2x﹣＝﹣，即x＝0时，函数取得最小值1﹣；（II）f（）＝1+2sin（2A﹣）＝1，即sin（2A﹣）＝0，由A为三角形内角，得A＝，由sin C＝2sin B及正弦定理得c＝2b，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣bc，所以4＝b2+4b2﹣2b2，故，△ABC的面积S＝＝＝．17．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，CA⊥平面ABB1A1，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1．（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C．（Ⅱ）求异面直线CA1与BC1所成角的余弦值．（Ⅲ）若点M是线段AB上的一个动点，试确定点M的位置，使得二面角C﹣A1C1﹣M的余弦值为．【解答】（Ⅰ）证明：因为CA⊥平面ABB1A1，所以CA⊥AB，CA⊥A1A，因为四边形ABB1A1是正方形，所以AB⊥A1A，所以AC、AB、AA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，＝（0，1，1），＝（1，0，﹣1），＝（，，0），设平面A1C1C的法向量为＝（x，y，z），，令y＝﹣1，＝（1，﹣1，1），因为•＝﹣1+1＝0，所以AB1∥平面A1C1C．（Ⅱ）解：因为＝（﹣1，0，1），＝（﹣，1），所以异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为＝＝．（Ⅲ）解：设AM＝t，则M（0，t，0），＝（，，0），＝（0，t，﹣1），设平面A1C1M的法向量为＝（u，v，w），，令v＝1，＝（﹣1，1，t），由（Ⅰ）知平面A1C1C的法向量为＝（1，﹣1，1），所以二面角C﹣A1C1﹣M的余弦值为＝＝，整理得（t﹣1）（t﹣5）＝0，解得t＝1，t＝5（舍去），于是当M运动到B点时二面角C﹣A1C1﹣M的余弦值为．18．已知数列{a n}，{b n}，S n是数列{a n}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，数列{b n}是等差数列，b1＝log3a1，且b2+5，b4+1，b6﹣3成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）记c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．（Ⅲ）求c k c k+1．解：（Ⅰ）对于任意n∈N*，都有3a n＝2S n+3，可得n＝1时，3a1＝2S1+3＝2a1+3，解得a1＝3，n≥2时，3a n﹣1＝2S n﹣1+3，又3a n＝2S n+3，可得3a n﹣3a n﹣1＝2S n+3﹣2S n﹣1﹣3＝2a n，即为a n＝3a n﹣1，所以a n＝3•3n﹣1＝3n；数列{b n}是等差数列，设公差为d，b1＝log3a1＝log33＝1，由b2+5，b4+1，b6﹣3成等比数列，可得（b4+1）2＝（b2+5）（b6﹣3），即为（2+3d）2＝（6+d）（5d﹣2），解得d＝2，则b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）c n＝＝，当n为偶数时，T n＝（3+27+...+3n﹣1）+（1+3+...+n﹣1）＝+＝+n2；n为奇数时，T n＝T n+1﹣n＝+（n+1）2﹣n＝+．所以T n＝；（Ⅲ）c k c k+1＝c1c2+c2c3+...+c2n﹣1c2n+c2n c2n+1，由c2n﹣1c2n+c2n c2n+1＝c2n（c2n﹣1+2n+1）＝（2n﹣1）（32n﹣1+32n+1）＝（2n﹣1）•9n，设R n＝1•91+3•92+5•93+...+（2n﹣1）•9n，9R n＝1•92+3•93+5•94+...+（2n﹣1）•9n+1，两式相减可得﹣8R n＝9+2（92+93+...+9n）﹣（2n﹣1）•9n+1＝9+2•﹣（2n﹣1）•9n+1，化简可得R n＝+•9n+1，所以c k c k+1＝+•9n+1．19．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点H（0，1），若直线y＝x+t与椭圆C相交于两点C，D且直线HC，HD的斜率之和为﹣2，求实数t的值．（Ⅲ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．解：（Ⅰ）由e＝＝＝，即＝，且＝3，解得a＝2，b＝，则椭圆的方程为+＝1：（Ⅱ）联立直线y＝x+t，与椭圆方程3x2+4y2＝12，可得7x2+8tx+4t2﹣12＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），可得△＝64t2﹣28（4t2﹣12）＞0，解得﹣＜t＜，x1+x2＝﹣，x1x2＝，则k HC+k HD＝+＝+＝2+（t﹣1）•＝2+（t﹣1）•（﹣）＝﹣2，解得t＝2（﹣3舍去）；（Ⅲ）由椭圆方程可得F1（﹣1，0），F2（1，0），由角平分线的性质定理可得＝，即为＝，可得＝＝＝，所以|PF2|＝2（1﹣m）∈（a﹣c，a+c），即1＜2（1﹣m）＜3，解得m∈（﹣，）．20．（16分）已知函数f（x）＝m（﹣klnx）+n[e x+1（e x+1﹣ax+a﹣1）]，其中e＝2.718…是自然对数的底数，f′（x）是函数f（x）的导数．（Ⅰ）若m＝1，n＝0，（ⅰ）当k＝1时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程．（ⅱ）当k＞0时，判断函数f（x）在区间（1，]上零点的个数．（Ⅱ）若m＝0，n＝1，当a＝时，求证：若x1≠x2，且x1+x2＝﹣2，则f（x1）+f（x2）＞2．【解答】（Ⅰ）解：（ⅰ）当m＝1，n＝0，k＝1时，f（x）＝﹣lnx，则f（1）＝，f'（x）＝，所以f'（1）＝0，故切点坐标为（1，），切线的斜率为0，故切线方程为y＝；（ii）由f（x）＝﹣klnx（k＞0）可得，，令f'（x）＝0，解得x＝，当0＜x＜时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当x＞时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以当x＝时，f（x）取得极小值即最小值f（）＝，①当0＜k＜e时，f（x）无零点；②当k＝e时，f（x）在区间（1，]上单调递减，且f（）＝0，所以x＝是f（x）在（0，]上的唯一零点；③当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且又f（1）＝，f（）＝，所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．综上所述，当0＜k＜e时，f（x）在区间（1，]上无零点；当k≥e时，f（x）在区间（1，]上仅有一个零点；（Ⅱ）证明：当m＝0，n＝1，当a＝时，＝，令x+1＝t，t1+t2＝0，不妨设t＝x1+1＞0，h（t）＝，令H（t）＝＝＝≥0，其中，因为H（0）＝2，所以当t＞0时，H（t）＞2，故若x1≠x2，且x1+x2＝﹣2，则f（x1）+f（x2）＞2．。
【解析】天津市滨海七校2021届高三上学期期末考试联考数学试卷
2021年天津市滨海七所学校高三毕业班联考数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.第I 卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}3,5A =，{}1,2,5B =，则()UB A ⋂=（ ）A. {}2B. {}1,2C. {}2,4D. {}1,2,4【答案】B 【分析】先根据补集定义求出UA ，再根据交集定义即可求出()UB A ⋂的结果.【详解】解：{}1,2,3,4,5U =，{}3,5A =，{}1,2,5B =，{}1,2,4U A ∴=， (){}1,2UBA ∴=.故选：B.2. 设x ∈R ，则“12x ->”是“21x >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出123x x ->⇔>或1x <-，211x x >⇔<-或1x >，再根据集合间的关系，即可得答案；【详解】解不等式12x ->可得12x -<-或12x ->，解得1x <-或3x >，解不等式21x >，可得1x <-或1x >.{1x x <-或}3x > {1x x <-或}1x >，因此，“12x ->”是“21x >”的充分不必要条件. 故选：A.3. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数()()2cos x x x e e f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【分析】首先排除函数的奇偶性，再判断0x >时的函数值的正负. 【详解】()()()()()2cos 2cos x x x x x e e x e e f x f x x x---+-+-===-+-+，函数是奇函数，故排除AB ，当0x >时，0x x e e -+>，2cos 0x +>，所以()0f x >，故排除D. 故选：C4. 中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神、看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组[)40,50，[)50,60…[]90,100，则成绩落在[)70,80上的人数为（ ）A. 12B. 120C. 24D. 240【答案】D 【分析】根据图中所有小长方形的面积之和等于1，根据频率的计算公式，即可求出成绩落在[70，80)上的频率，最后根据频数=频率×样本容量，即可得出成绩落在[)70,80上的人数. 【详解】解：由于所有组频率之和为1，即图中所有小长方形的面积之和等于1， 则成绩落在[)70,80上的频率为：110(0.0100.0150.0150.0250.005)0.3p =-⨯++++=，而一共抽取800个学生进行体能测试，即样本容量为800， 所以成绩落在[)70,80上的人数为：8000.3240⨯=（人）. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查频率分布直方图中频率和频数的求法，掌握频率分布直方图中所有小长方形的面积之和等于1以及频数=频率×样本容量是解题的关键.5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为3则正方体外接球的体积为（ ） A. 43π B.6π C. 3π D. 86π【答案】B 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B CD C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43， 所以()12133442242AB CS Sa==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=， 所以正方体的外接球的体积为34663ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 6. 已知函数()xf x e -=，1log 3e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log b f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11log 9ec f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下述关系式正确的是（ ） A. b a c >> B. b c a >>C. c a b >>D. a b c >>【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，并根据函数的奇偶性和对数运算公式化简，再根据函数在()0,∞+的单调性比较大小. 【详解】()f x 是偶函数，并且当0x >时，()x f x e -=，函数单调递减，()()1log log 3log 33e e e a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()331log log b f f e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()11log log 99e e c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3log 9log 31log 0e e e >>>>，()()()3log 9log 3log e e f f f e ∴<<，即c a b <<. 故选：A【点睛】思路点睛：函数比较大小一般需判断函数的单调性，所以先判断函数的奇偶性和单调性，然后关键的一点是需熟练掌握对数运算公式.7. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则双曲线的方程为（ ）A. 2214y x -=B. 2214x y -=C. 2221x y -=D.2241x y -=【答案】D 【分析】先求出抛物线的方程，从而得到m 的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线与直线AM 垂直得到a 的值，从而可得双曲线的方程.【详解】因为()1,M m 到其焦点的距离为5，故152p+=，故8p =， 故抛物线的方程为216y x =，故4m =±.=，故12b a =，根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设M 在第一象限，则()1,4M ， 则AM 与渐近线2x y =-垂直，故()4021a -=--，故1a =，故12b =， 故双曲线方程为：2241x y -=. 故选：D.【点睛】方法点睛：（1）()220y px p =>上一点()00,M x y 到其焦点的距离为02px +，解题中注意利用这个结论.（2）如果直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+垂直，那么121k k =-.8. 设函数()2sin cos f x x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是（ ）. A. ①④ B. ②④C. ①②④D . ①②③【答案】C 【分析】根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+，根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出()y f x =的对称轴，即可判断②；利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间，从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④.【详解】解：函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π+=+=+，即：()2sin(2)3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期为222T πππω===，故①正确； 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，则直线12x π=为()y f x =的对称轴，故②正确；令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ， 所以()f x 的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增，故③错误； 把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣即平移后得到函数()y f x =的图象，故④正确. 所以所有正确结论的编号是：①②④. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.9. 已知函数()()()21log 2,114,1a x x f x x a x ⎧++≥-⎪=⎨++<-⎪⎩（0a >，且1a ≠）在区间(),-∞+∞上为单调函数，若函数()()2g x f x x =--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,42⎛⎤⎥⎝⎦B. 13,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1113,4216⎛⎤⎧⎫⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭D.1313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【答案】D 【分析】先根据()f x 在区间(),-∞+∞上为单调函数，求出a 的范围，再把()()2g x f x x =--有三个不同的零点，转化为()1y f x =与22y x =-有三个不同的交点，利用数形结合得到()()23,1h x x x x =+<-与14y a =-有一个交点，再利用数形结合即可求出a 的取值范围.【详解】解：()()()21log 2,114,1a x x f x x a x ⎧++≥-⎪=⎨++<-⎪⎩， 当1x <-时，()()214f x x a =++，易知：()f x 在(),1-∞-时单调递减， 又()f x 在区间(),-∞+∞上为单调函数，01a ∴<<且()()21141log 12a a -++≥+-+，解得：114a ≤<， 令()()20g x f x x =--=， 即()2f x x =-，令()12,2y f x y x ==-，则函数()()2g x f x x =--有三个不同的零点， 等价于()1y f x =与22y x =-有三个不同的交点， 分别画出()1y f x =与22y x =-的图象如下所示：由图可知：当1x ≥-时，()1y f x =与22y x =-有2个不同的交点， 故只需满足：当1x <-时，()1y f x =与22y x =-有1个不同的交点， 即当1x <-时，()2142x a x ++=-+， 化简得：23410x x a ++-=， 即()2143,1a x x x -=+<-，令()()23,1h x x x x =+<-，即()()23,1h x x x x =+<-与14y a =-有一个交点，画出()h x 的图象如下图所示：易知()2min333932224h x h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()211312h -=-+⨯-=-，9144a ∴-=-或142a -≥-，解得：1316a =，或34a ≤，又114a ≤<， 即1316a =或1344a ≤≤， 综上所述：1313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解+析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷 （非选择题，共105分）二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）10. 已知复数131iz i+=-（i 是虚数单位），则z ____________．【分析】由题意结合复数的运算法则求解复数的模即可. 【详解】由题意结合复数的求模公式和性质可得：131311i i z i i ++====++【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 在二项式9x⎛ ⎝的展开式中，含6x 的项的系数为______.【答案】144 【分析】 先求出9(x+的展开式的通项，令x 的指数为3，进而可求出含3x 项的系数. 【详解】由题意，9(x+的展开式的通项为3992199C 2C r r r r r rr T x x --+==⋅， 令3962r-=，解得2r ，所以3x 的系数为2292C 144⋅=. 故答案为：14412. 已知直线:l y x m =+被圆22:4210C x y x y +---=截得的弦长等于该圆的半径，则实数m =_____.【答案】2或－4 【分析】求出圆心到直线的距离，由几何法表示出弦长，列出等量关系，即可求出结果. 【详解】由224210x y x y +---=得()()22216x y -+-=，所以圆C 的圆心为()2,1，半径r =圆心到直线:l y x m =+的距离d ==，则由题可得r ==2m =或4-.故答案为：2或4-.13. 为了抗击新冠肺炎疫情，现从A 医院150人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B 医院至少有一人的概率是______.设两名联络人中B 医院的人数为X ，则X 的期望为_____.【答案】 (1). 710 (2). 45【分析】先按照分层抽样计算出A 医院的人数和B 医院的人数，从5人中选出两人作为联络人，这两名联络人中B 医院至少有一人的情况分为两种情况：一是A 医院1人B 医院1人，有3211C C 种选法，二是B 医院2人，有22C 种选法，然后按照古典概型的概率计算公式计算“B 医院至少有一人”的概率即可；由题意可知X 的取值可能为0，1，2，分别求出对应的概率，最后按照期望计算公式计算即可.【详解】因为是分层抽样的方法选出的5人，所以这5人中， A 医院有150********⨯=+人，B 医院有10052150100⨯=+人，所以从这5人中选出2人，B 医院至少有1人的概率为1123222255710C C C C C +=， 由题意可知X 的取值可能为0，1，2，当X 0=时，2325310C P C ==，当1X =时，11322535C C P C ==， 当2X =时，2225110C P C ==，则()3314012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为：710，45. 【点睛】关键点睛：从5人中选出两人作为联络人，这两名联络人中B 医院至少有一人，应该用分类的思想去处理，分为两种情况：一是A 医院1人B 医院1人，有3211C C 种选法，二是B 医院2人，有22C 种选法.14. 已知正实数a ，b 满足()2lg lglg b a a b a b +=+，则1122aa b b++的最小值为______.【分析】 由()2lg lglg b aa b a b+=+，化简得2a b +=，然后利用“1”的代换，转化为()1111115224244a a b aa b a b b a b b a b⎛⎫++=+++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求解. 【详解】因为()2lg lg lg b aa b a b+=+， 所以()lg lg2a b +=， 所以2a b +=， 所以()111111512242442a a b a a b a b b a b b a b ⎛⎫++=+++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2544a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩，即a b == 所以1122a a b b ++，15. 已知平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，其中点P 在线段MD 上且满足2516AP CP ⋅=-，DP =______，若点N 是线段AB 上的动点，则ND NP ⋅的最小值为______. 【答案】(1). (2). 135256【分析】根据题意，利用余弦定理求出BD =，AC =，根据平面向量的线性运算即可得出AP PA PM MA →→→→⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，CP PM MA →→→⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得出222516AP CP PM MA →→→→⋅=-=-，即可求出DP →；由于点N 是线段AB 上的动点，可设()02AN x x =≤≤，则2,22x x AN AB NB AB →→→→-==，由平面向量的三角形加法法则得出2x ND AB AD →→→=-+，13424x NP AB AD →→→⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合条件且根据向量的数量积运算，求得()2211111351,02816256ND NP x x x x →→⎛⎫⋅=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭，最后根据二次函数的性质即可求出ND NP →→⋅的最小值.【详解】解：在平行四边形ABCD 中，2AB →=，1AD →=，60DAB ∠=︒， 则在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD DAB =+-⋅⋅∠，即22212122132BD =+-⨯⨯⨯=，BD ∴= 90,30BDA ABD ∴∠=︒∠=︒，则120ABC ∠=︒，在ABC 中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即22212122172AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，AC ∴= AP PA PM MA →→→→⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，CP PC PM MC PM MA →→→→→→⎛⎫⎛⎫=-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222516AP CP PM MA PM MA PM MA →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而122MA AC ==，即2MA →=，222725416PM MA PM →→→∴-=-=-，解得：4PM →=，333DP DM PM →→→∴=-=-=； 由于点N 是线段AB 上的动点，可设()02AN x x =≤≤，则2,22x x AN AB NB AB →→→→-==， 2x ND NA AD AN AD AB AD →→→→→→→∴=+=-+=-+，23232424x x NP NB BP AB BD AB AD AB →→→→→→→→--⎛⎫∴=+=+=+- ⎪⎝⎭，即13424x NP AB AD →→→⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，132424x x ND NP AB AD AB AD →→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2221117384484x x AB x AB AD AD →→→→⎛⎫⎛⎫=-++-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211173421cos 6084484x x x ⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-⨯⨯⨯︒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111,028x x x =-+≤≤， 即()2211111351,02816256ND NP x x x x →→⎛⎫⋅=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭， 所以当1116x =时，ND NP →→⋅取得最小值，最小值135256. 故答案为：3；135256.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算和数量积运算的实际应用，解题的关键在于利用二次函数的性质求最值，考查转化思想和运算能力.三解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1b c -=，2cos 3A =，ABC S =△（Ⅰ）求边a 及sin B 的值； （Ⅱ）求cos 26C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【答案】（Ⅰ）a =，sin 1B =；（Ⅱ）18【分析】（Ⅰ）由ABC S =△bc ，再与1b c -=联立可求出,b c ，再由余弦定理即可求出a ，由正弦定理可求出sin B ；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可求出sin C 和cos C ，再利用二倍角公式可求出sin 2C 和cos 2C ，利用两角差的余弦公式即可求出cos 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（Ⅰ）因为2cos 3A =，(0,)A π∈，所以sin A ==因为11sin 223ABC S bc A bc ==⋅=△6bc =， 又1b c -=，所以3b =，2c =由余弦定理得2222222cos 3223253a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 由正弦定理得sin sin a b A B=3sin B ，所以sin 1B =. （Ⅱ）在ABC 中，(0,)B π∈，由（Ⅰ）可知2B π=，所以2A C π+=，所以2sin sin()cos 23C A A =-==π，cos cos()sin 23C A A =-==π，所以2sin 22sin cos 23C C C =⋅=⨯=，251cos 22cos 12199C C =-=⨯-=，所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666C C C ⎛⎫-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭πππ1345192=+⨯⨯345+=. 17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，112BC AD ==且3CD =，E 为AD 的中点，F 是棱PA 的中点，2PA =，PE ⊥底面ABCD .AD CD ⊥（Ⅰ）证明：//BF 平面PCD ； （Ⅱ）求二面角P BD F --的正弦值；（Ⅲ）在线段PC （不含端点）上是否存在一点M ，使得直线BM 和平面BDF 所成角的正弦39？若存在，求出此时PM 的长；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明见解+析；465（Ⅲ）存在，73PM =. 【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面BCD 的法向量以及直线BF 的方向向量，根据向量数量积为零，即可证明；（Ⅱ）分别求出平面PBD 与平面FBD 的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系求出其正弦值；（Ⅲ）设PM PC λ=，()0,1λ∈，利用空间向量法表示出直线BM 和平面BDF 所成角的正弦值，即可得到方程，求出λ，即可求出PM 的长；【详解】解：（Ⅰ）由题意得：//BC DE ，=BC DE ，90ADC ∠=︒， 所以四边形BCDE 为矩形，又PE ⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0D -，(3P ，()3,0C -，132F ⎛ ⎝⎭设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，()0,3,0DC =，(3DP =则00DC m DP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则3030x z =+=⎪⎩，则0y =，不妨设3x =1z =， 可得()3,0,1m =-又13,3,22BF ⎛=- ⎝⎭，可得0BF m ⋅=，又因为直线BF ⊄平面BCD ，所以//BF 平面BCD .（Ⅱ）设平面PBD 的法向量为()1111,,x n y z =，()1,3,0DB =，(0,3,3BP =-，则1100DB n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111130330x y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，不妨设3x =()13,1,1n =--，设平面BDF 的法向量为()2222,,n x y z =，332DF ⎛= ⎝⎭，则2200DB n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222203022x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设2x ，可得()23,1,3n =-，因此有1212127cos ,n n n n n n ⋅==-⋅， （注：结果正负取决于法向量方向） 于是21212465sin ,1cos ,n n n n =-=， 所以二面角P BD F --（Ⅲ）设((),PMPC λλλ==-=-，()0,1λ∈(),BM BP PM λ=+=-，由（Ⅱ）可知平面BDF 的法向量为()2n =-，2223cos ,13BM n BM n BM n⋅===⋅，有23410λλ-+=，解得1λ=（舍）或13λ=， 可得1,,333PM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以73PM =. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，1F 、2F分别为椭圆E 的左、右焦点，M 为E 上任意一点，12F MF S △的最大值为1，椭圆右顶点为A . （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连接AC 交y 轴于点P .如果12PA PB ⋅=时，求直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）:22x l y =-或22x y =-+. 【分析】（Ⅰ）根据12F MF S △面积的最大值可求1bc =，结合离心率可求,a b ，从而得到椭圆的方程. （Ⅱ）设直线(:l y k x =-，联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可求,B C 的坐标，由直线AC 的方程后可得P 的坐标，根据12PA PB ⋅=可得关于k 的方程，从而可求k 的值.【详解】解：（Ⅰ）当M 为椭圆的短轴端点时，12F MF S △取得最大值即1212S c b =⨯⨯=，又因为2c a =，222a b c =+，解得：a =1b =，1c =，所以椭圆方程为2212x y +=.（Ⅱ）)A，根据题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线(:l y k x =，()00,B x y，联立(2212y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得()222212420kxx k +-+-=，0x =2204212k k -=+即)22221,1212k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题意得：)22221,1212k C k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，又直线(:AC y k x =-，故()P ，())222212,,1212kPA PBk k⎛⎫--⎪⋅=⋅-⎪++⎝⎭42241021122k kk+-==+，即4281850k k+-=解得252k=-（舍）214k=，故12k=±，直线:2xl y=或2xy=-+【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x+或1212,y y y y+，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.19. 设{}n a是等比数列，公比大于0，{}n b是等差数列，()*n N∈.已知11a=，322a a=+，435a b b=+，5462a b b=+.（Ⅰ）求{}n a和{}n b的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c满足121c c==，11,33,3k kn kknca n+⎧<<=⎨=⎩，其中k*∈N（i）求数列(){}331n nb c-的通项公式；（ii）若()()()*12nnan Nn n⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n项和nT，求()3*31nn i iiT b c n N=+∈∑.【答案】（Ⅰ）12nna，nb n=；（Ⅱ）（i）1363n n-⨯-；（ii ）133186492332102n n n n nn i iiT b cn+=+-⨯+=+++∑.【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a的公比为q，等差数列{}n b的公差为d，进而根据已知条件计算得2q，1d=，故12nna，nb n=；（Ⅱ）根据题意得111,332,3k kn k kncn+-⎧<<=⎨=⎩，()()33311n n n nb c b a-=-1363n n-=⨯-，进而得()()()()11222121221n n n n na n n n n n n n --⨯==-++++++，再根据裂项求和得3321322n n T n =-+，()()()3333111111n n n ni iiiiiiii i i i b c b c b b c b =====-+=-+∑∑∑∑()333111iinnii i b cb ===-+∑∑()()()()311131631313336316132nn n n nni ii i i -==⨯-⨯-+⨯=⨯-+=-+--∑∑1269323102n n n ++-⨯=+，故133186492332102nn n n nn i i i T b c n +=+-⨯+=+++∑. 【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q .由11a =，322a a =+， 可得220q q --=.因为0q >，可得2q，故12n na设等差数列{}n b 的公差为d ，由43s a b b =+，可得134b d +=. 由5462a b b =+，可得131316b d +=， 从而11b =，1d =， 故n b n =.所以数列{}n a 的通项公式为12n n a ，数列{}n b 的通项公式为n b n =.（Ⅱ）（i ）111,332,3k k n k kn c n +-⎧<<=⎨=⎩， ()()33311n n n n b c b a -=- ()11321363n n n n --=-=⨯-（ii ）()()()()11222121221n n n n na n n n n n n n --⨯==-++++++. 3313214284223243543231n n n T n n -=-+-+-++-++3321322n n T n =-+()()()3333111111n n n ni iiiiiiii i i i b c b c b b c b =====-+=-+∑∑∑∑()333111i i nni i i b c b ===-+∑∑()()()()311131631313336316132nn n n nni i i i i -==⨯-⨯-+⨯=⨯-+=-+--∑∑ ()()()1236133113369323522102n n n n n n n+⨯-⨯-+⨯+-⨯=-+=+（注：写成333331111n nni in ni iii i i i b c b b b c=====-+∑∑∑∑()()()121333133166932321316102nnn n n n n++⨯⨯-⨯-+-⨯=-+=+--亦可.） 133186492332102nn n n nn i i i T b c n +=+-⨯+=+++∑. 【点睛】本题第二问题解题的关键在于根据题意得()()()3333111111n n n ni iiiiiiii i i i b c b c b b c b =====-+=-+∑∑∑∑()333111iinnii i b cb ===-+∑∑()3111363nni ii i i -===⨯-+∑∑1269323102n n n++-⨯=+，考查运算求解能力，是中档题. 20. 已知函数()22ln ln f x x x a x =---.（a R ∈）（Ⅰ）令()()g x xf x '=，讨论()g x 的单调性并求极值； （Ⅱ）令()()22ln h x f x x =++，若()h x 有两个零点；（i ）求a 的取值范围；（ii ）若方程()ln 0xxe a x x -+=有两个实根1x ，2x ，且12x x ≠，证明：12212x x e ex x +>【答案】（Ⅰ）()g x 单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞，极小值为()222ln 2g a =--，无极大值；（Ⅱ）（i ）a e >；（ii ）证明见解+析.【分析】（Ⅰ）求出()f x '即可表示出()g x ，再求出()g x '，根据导数的符号判断函数的单调性及求极值；（Ⅱ）（i ）求出()h x '，分类讨论，当0a ≤时()h x 单调递增，不可能有两个零点；当0a >，根据导数的符号判断函数的单调性可知要使()h x 有两个零点，即使()0h a <，得a e >；（ii ）利用换元法将等式有两个实根转化为()ln g t t a t =-有两个零点1t ，2t ，进一步将所需不等式转化为证12ln ln 2t t +>，需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-，再次利用换元法令21t t t =将所需证不等式转化为4ln 201t t +->+，利用导数证明上述不等式即可. 【详解】（Ⅰ）因为()2ln 1x af x x x'=-- 所以()()2ln g x xf x x x a '==--，()0,x ∈+∞ 则()2x g x x-'=，所以()g x 单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞ 极小值为()222ln 2g a =--，无极大值. （Ⅱ）（i ）()ln h x x a x =-有两个零点.因为()1a x a h x x x-'=-= ①当0a ≤时，()0h x '>，()h x 单调递增，不可能有两个零点； ②当0a >时，令()0h x '<，得0x a <<，()h x 单调递减；令()0h x '>，得x a >，()h x 单调递增.所以()()min ln h x h a a a a ==- 要使()h x 有两个零点，即使()0h a <，得a e >， 又因()110h =>，()0h e e a =-<，所以()h x 在()1,e 存在唯一一个零点，且a e >，()2ee0aah a =->，所以()h x 在(),ae e上存在唯一一个零点，符合题意.综上，当a e >时，函数()h x 有两个零点. 法二：()ln h x x a x =-有两个零点. 等价于1x ≠时，ln xa x=有两个实根，（1） 令()ln x F x x =，()2ln 1ln x F x x-'= 当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，且()0F x <； 当()1,x e ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减； 当(),x e ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增；()F e e =，1x +→，()F x →+∞，x →+∞，()F x →+∞.要使（1）有两个实数根，即使()a F e e >=， 综上，当a e >时，函数()h x 有两个零点. （ii ）()()()e ln e ln e0xxxx a x x x a x x -+=->有两个实根，令e x t x =，()ln g t t a t =-有两个零点1t ，2t ，111e x t x =，222e x t x =所以1122ln 0ln 0t a t t a t -=⎧⎨-=⎩，所以()2121ln ln a t t t t -=-（1）()2121ln ln a t t t t +=+（2）要证12212x x e ex x +>，只需证()()12212x x x e x e e ⋅>，即证()()1212ln ln 2x x x e x e +>， 所以只需证12ln ln 2t t +>.由（1）（2）可得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--， 只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-. 设120t t <<，令21t t t =，则1t >，所以只需证1ln 21t t t ->+，即证4ln 201t t +->+ 令()4ln 21t h t t =+-+，1t >，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，()()10h t h >=，即当1t >时，4ln 201t t +->+成立. 所以12ln ln 2t t +>，即()()12212x x x e x e e ⋅>，即12212x x e x xe+>.。
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2021年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考模拟考数学试卷共150分，考试时间120分钟.一､选择题(本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2|20B x x x =--<，则A B =（ ） A. [)2,2- B. (]1,1-C. ()1,1-D. ()1,2-【答案】C 【解析】 【分析】化简集合,A B ，根据交集的概念进行运算可得结果. 【详解】2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{|21}x x =-≤<，{}2|20B x x x =--<{|12}x x =-<<， A B ={|11}x x -<<.故选：C2. 为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)[)[)[)[]10,15,15,20,20,25,25,30,30,35，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是（ ）A.110B.13C.715D.815【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图求出产品数量在[10,15)和[15,20)内的频数，根据组合知识和古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】产品数量在[10,15)内的工人有200.0252⨯⨯=人，在[15,20)内的工人有200.0454⨯⨯=人，从这6人中随机地选取2位工人进行培训共有2615C =种，其中这2位工人不在同一组的有1124248C C =⨯=种，所以这2位工人不在同一组的概率是815. 故选：D【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.3. 已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“0n n S na -<，对1n >，*n ∈N 恒成立”是“0d >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式()12n n a a n S +=代入0nn Sna -<中化简，并结合通项公式得到等价的不等式()10n d ->，然后根据不等式恒成立的意义得出充分必要条件. 【详解】()()11022n n n n na a n a a n S na na+--=-=<⇔()111n aa a n d <=+-⇔()10n d ->∴“0n n S na -<，对1n >，*n ∈N 恒成立”等价于“()10n d ->”对于1n >，*n ∈N 恒成立，显然“()10n d ->”对于1n >，*n ∈N 恒成立，等价于“0d >”,∴“0n n S na -<，对1n >，*n ∈N 恒成立”是“0d >”的充分必要条件 故选：C .【点睛】本题考查等差数列的求和公式和充分必要条件的判断，属小综合题，关键是根据题目中的条件，选用()12n n a a n S +=较为简便.4. 函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，然后利用特殊函数值进行判断即可. 【详解】因为ln ||cos()ln ||cos ()()sin()sin x x x xf x f x x x x x-⋅-⋅-==-=--+-+，[)π,00,π(]x -⋃∈，所以()f x 为奇函数，因此函数()f x 的图像关于原点对称，故排除A ， 又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C. 故选：D5. 已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（ ） A. c b a >> B. b a c >> C. a b c >> D. c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2xy =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2xf x =的性质，后面的问题迎刃而解.6. 直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，142AA =，则该球的表面积为（ ）A. 40πB. 32πC. 10πD. 8π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积.【详解】解：如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，142AA =，∴可将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，其中2AB AC BM CM ====，1142AA BB ==对角线()222222221112242210CB CM MB CM MB BB =+=++=++=径，则球的半径r 10.∴球的表面积为224440S r πππ==⨯=.故选: A.【点睛】本题考查球的表面积，考查分析问题能力，属于中档题.7. 已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，线段EF 被双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b顶点三等分，且两曲线1C ，2C 的交点连线过曲线1C 的焦点F ，则双曲线2C 的离心率为（ ）A.B.2C.D.2【答案】D 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点和准线，可得EF 的长度，由题意可得6p a =，求出两曲线交点坐标，代入双曲线方程可得,a b 的关系，利用离心率公式可求得结果. 【详解】抛物线22y px =的焦点为(,0)2pF ，准线方程为2p x =-，(,0)2p E -， ||EF p =，因为线段EF 被双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b 顶点三等分，所以23p a =，即6p a =，因为两曲线1C ，2C 的交点连线过曲线1C 的焦点F ，所以两个交点为(,)2p p 、(,)2pp -， 将(,)2p p 代入双曲线22221x y a b-=得222214p p a b -=，所以2222363614a a a b -=，所以223691a b -=，所以2292b a =，所以双曲线2C 的离心率c e a ======故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．根据线段EF 被双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b顶点三等分得到6p a =，再求出两曲线交点坐标，代入双曲线方程可得,a b 的关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．8. 将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B. 80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 280,,199⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D. (]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据图象变换求出()g x 的解析式，利用周期缩小ω的范围，再从反面求解可得结果. 【详解】将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，得到5cos()6y x π=-的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω，周期2T πω=， 因为函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，所以3222T ππ-≤，得2T π≥，得22ππω≥，得01ω<≤，假设函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点， 令()0g x =，得562x k ππωπ-=+，k Z ∈，得43k x ππωω=+，k Z ∈， 则43232k ππππωω<+<，得8282933k k ω+<<+，k Z ∈，又01ω<≤，所以2293ω<<或819ω<≤， 又函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，且01ω<≤， 所以209ω<≤或2839ω≤≤. 故选：A【点睛】关键点点睛：求出函数()g x 的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.9. 已知函数()f x 、()g x 均是周期为2的函数，21()342,122x f x x x ≤≤=⎨⎛⎫--+<<⎪ ⎪⎝⎭⎩，3(1),02()33,222m x x g x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[]0,5有10个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. 1,23⎛⎫⎪⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 14,25⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】作出函数()f x 在[]0,5上的图象，作出()g x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭和7,42⎛⎫⎪⎝⎭上的图象，可知()f x 的图象与()g x 的图象在[)0,1上有2个交点，在3(1,]2上有一个交点，利用二次函数性质可解的结果.【详解】当01x ≤≤时，由0y =≥可得222y x x =-+，即()2211x y -+=，()f x =(1,0)为圆心，1为半径的圆的四分之一，作出函数()f x 在[]0,5上的图象，作出()g x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭和7,42⎛⎫⎪⎝⎭上的图象，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,42⎛⎫⎪⎝⎭上，()g x 的图象与()f x 的图象共有两个交点， 因为()f x 的图象与()g x 的图象在[0,5]上共有10个交点，所以()f x 的图象与()g x 的图象在3[0,]2、7[2,]2、[4,5]上共有8个交点， 又()f x 与()g x 的周期都是2，所以()f x 的图象与()g x 的图象在[)0,1上有2个交点，在3(1,]2上有一个交点，①2(1)2m x x x +=-+[)0,1上有2个实根，即2222(1)(22)0(0)m x m x m m ++-+=>在[)0,1上有2个实根，所以()()()222222222224102201211220m m m m m m m m ⎧∆=--+>⎪⎪-⎪<-<⎨+⎪⎪++-+>⎪⎩，解得21143m <<， 因为0m >，所以1323m <<； ②23(1)4()22m x x +=--+在3(1,]2上有1个实根，即24(12)70x m x m +-++=在3(1,]2上有1个实根，所以()()2121670123182m m m ⎧∆=--+=⎪⎨-<-≤⎪⎩或()9336412747042m m m m -⎛⎫+-++⨯+++< ⎪⎝⎭，或12382933647042m m m -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪⨯+++=⎪⎩，解得20m =-1425m <<，综上所述：12m <<故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解二､填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分)10. i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________. 【答案】34i + 【解析】 【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =，最后利用复数相等即可求得.【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=，所以84z a bi i z ==++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以34z i =+， 故答案为：34i +【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.11. 已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是___________. 【答案】4- 【解析】 【分析】首先由二项式系数相等求n ，再根据通项公式求指定项的系数.【详解】由条件可知57n n C C =，所以5712n =+=，所以1213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式是12122112121133r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12210r -=，解得：1r =，所以函数10x 的系数是112143C ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭.故答案为：-4【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第1r +项的系数是rn C ，这一点容易记错，需注意.12. 已知圆22:4210C x y x y +--+=，直线l 过点()1,3，且与圆C 交于A ，B 两点，||AB =，则直线l 的方程为__________.【答案】1x =或34150x y +-= 【解析】 【分析】根据||AB =求出圆心C 到直线l 的距离为d ，讨论直线l 的斜率是否存在，当直线l 的斜率存在时，设出其点斜式方程，根据点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】圆22:4210C x y x y +--+=的圆心(2,1)C ，半径2r，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则1d ===， 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：1x =，满足1d =；当直线l 的斜率存在时，设:l 3(1)y k x -=-，即30kx y k -+-=，所以1d ===，解得34k =-，所以:l 34150x y +-=，综上所述：直线l 的方程为1x =或34150x y +-=. 故答案为：1x =或34150x y +-=【点睛】易错点点睛：容易漏掉直线的斜率不存在的情形.13. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的期望为________.【答案】 (1). 0.38 (2). 0.9 【解析】 【分析】考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.【详解】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：()()()()()()0.510.610.410.50.610.410.510.60.40.38p =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：10.50.60.3p =⨯=，20.60.50.3p =⨯=，30.40.750.3p =⨯=.故随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，故()()334310.310000p ξ==-=；()()2134410.310.310010p C ξ=⋅-==； ()()2231890.310.321000p C ξ=⋅-==；()3270.033100p ξ===.故()3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：0.38 ；0.9.【点睛】本题考查了概率计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.14. 在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS =，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+，则CP BP ⋅的最小值为________． 【答案】6425- 【解析】 【分析】由数量积的定义通过解三角形求出ABC 中各边．发现这是一个直角三角形，然后以以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则条件||||CA CBCP xy CA CB =+为点(,)P x y ，且满足134x y +=．用坐标求出CP BP ⋅，结合几何意义可得最小值． 【详解】依题意得：cos 9,sin cos ,sin 1sin 6,2b c A B b A C c b c A ⎧⎪⋅⋅=⎪⎪==⎨⎪⎪⋅⋅=⎪⎩解得4tan 3A =，3cos 5A=，3b =，5c =， 4a ===， 所以ABC 为Rt ，所以90︒∠=C ．以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则由题目条件得点(,)P x y ，且满足134x y+=．222(4)(2)4CP BP x y y x y ⋅=+-=+--，点(0,2)到直线134x y+=即43120x y +-=的距离为226126543d -==+， 则CP BP ⋅最小值为26644525⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故答案为：6425-． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查正弦定理的边角转化，余弦定理，考查转化与化归思想，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标表示数量积的运算，从而利用几何意义求得最值．15. 已知函数321()23f x ax x cx =-+在R 数上单调递增，且4ac ≤，则|sin |sin ac x x +的最小值为__________，2244a cc a +++的最小值为__________. 【答案】 (1). 5. (2). 12. 【解析】 【分析】根据条件分析出4,0,0ac a c =>>，根据函数()4h x x x=+的单调性分析出s in in s ac x x +的最小值.将待求式子变形为关于c 的式子，利用基本不等式以及函数单调性求解出2244a cc a +++的最小值.【详解】解：因为321()23f x ax x cx =-+在R 上单调递增，则()240f x ax x c '=-+≥， 所以0,=1640a ac >∆-≤，所以4ac ≥，又因为4ac ≤，所以4ac =，则0c >， 又因为4sin sin sin sin x ac x x x +=+，(]sin 0,1x ∈， 令函数()4h x x x =+，()2410h x x'=-<在(]0,1恒成立， ()4h x x x=+在(]0,1上单调递减， 所以()()min 15h x h ==，所以s in in s acxx +的最小值为5，取等号时sin 1x =±， 所以()2242222324416816164444444444c c a c c c c c c c a c c c c c c c c ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭+=+===+++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14844c c c c ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+-⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为44c c +≥=，取等号时2c =， 且函数()8g t t t=-，()2810g t t =+>'，()8g t t t=-在[)4,+∞上递增，所以()()min 42g t g ==，所以2244a c c a +++的最小值为112=42⨯，取等号时2a c ==； 故答案为： 5；12. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求解最值时，一定要注意取等号的条件是否能满足，若不满足则无法直接使用基本不等式，转而利用对勾函数单调性分析更方便.三､解答题(本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16. 已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b =，3c =，三角形ABC（1）求BC 边上的高：（2）求()sin A C -.【答案】（1）3217（2）2114-【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式求出sin A ，根据A 为锐角，求出A ，用余弦定理求出a ，再根据面积公式求出所求的高；（2）利用余弦定理求出cos C ，根据同角公式求出sin C ，再根据两角差的正弦公式求出结果.【详解】（1）1133sin 23sin 222ABC S bc A A ==⨯⨯=△，得3sin A =， 因为A 为锐角，所以3A π=.所以2212cos 492232a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯7=， 设BC 边上的高为h ，则1332ah =，得337h =3217=. （2）2227cos 2272a b c C ab +-===⨯⨯,227321sin 1cos 11414C C =-=-=, 所以sin()sin cos cos sin A C A C A C -=-3713212121421414=⨯-⨯=-. 【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式、余弦定理求解是解题关键.17. 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝2AD ＝4，四边形EDCF 为矩形，DE ＝2，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF ∥平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；(3)若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)7；(3)6. 【解析】 【分析】（1）由DE ⊥CD ，及面面垂直的性质定理得线面垂直，取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立如图所求的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出平面ABE 的一个法向量，由法向量与DF 的方向向量垂直，再由DF 不在平面ABE 内可证线面平行； （2）求出平面ABE 与平面BEF 的法向量，由法向量的夹角正弦值得二面角正弦值； （3）点P 在线段EF 上，由EP EF λ=，用λ表示出P 点坐标，由AP 与平面BEF 方向向量λ，从而可得线段长． 【详解】(1)证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ， 又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ∩平面ABCD ＝CD ， ∴ED ⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则A (2，0，0)，B (2，4，0)，C (﹣2，4，0)，E (0，0，2)，F (﹣2，4，2)， 设平面ABE 的法向量m ＝(x ，y ，z )， ∵BE ＝(﹣2，﹣4，2)，AB ＝(0，4，0)，由242040BE m x y z AB m y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩，取z ＝1，得m ＝(1，0，1)，又DF ＝(﹣2，4，2)，∴DF m ⋅＝﹣2+0+2＝0， 则DF ⊥m ，又∵DF ⊄平面ABE ，∴DF ∥平面ABE ． (2)解：设平面BEF 的法向量n ＝(a ，b ，c )， ∵BE ＝(﹣2，﹣4，2)，EF ＝(﹣2，4，0)由2420240BE n a b c EF n a b ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，取b ＝1，可得n ＝(2，1，4)，∴cos ＜,m n ＞＝||427||||221m n m n ⋅==，∴sin ＜,m n ＞＝427149-=， 即平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值为7． (3)解：∵平面BEF 的法向量n ＝(2，1，4)，点P 在线段EF 上，设P (m ，n ，t )，EP EF λ=，则(m ，n ，t ﹣2)＝(﹣2λ，4λ，0)， 解得P (﹣2λ，4λ，2)，∴AP ＝(﹣2λ﹣2，4λ，2)， ∵直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为22163， ∴222||||||(22)(4)221AP n AP n λλ⋅=--++⋅＝22163， 解得λ＝1，∴线段AP 的长为222(4)426AP =-++=|．【点睛】本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角，直线与平面所成的角，从而求得空间线段长，解题关键是建立空间直角坐标系．考查了空间想象能力与运算求解能力． 18. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，132a =，数列{}n b 是等比数列，且11b a =，23b a =-，34b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设,58,6n n nb nc a n ≤⎧=⎨≥⎩，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）若1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立，求B A -的最小值. 【答案】（1）131()22n n b -=⨯-（2）211,152327927,62232nn n T n n n ⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+-≥⎪⎩（3）1712【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项性质列式可解得等差数列的公差和等比数列的公比，进而可得所求通项公式；（2）对n 分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式可得所求和； （3）1()n nf n S S =-，讨论当n 为奇数和偶数时，()f n 的单调性，可得()f n 的最值，结合不等式恒成立可得,A B 的范围，进而可得所求最小值. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，0d ≠， 因为数列{}n b 是等比数列，所以2213b b b =，所以2314a a a =，所以()()111232a d a a d =++，所以2140a d d +=，因为0d ≠，所以140a d +=，又132a =，所以38d =-，所以1132b a ==，数列{}n b 的公比321111(2)1112()42a b a d q b a a --+====--⨯-=-， 所以11131()22n n n b b q--==⨯-. （2）由（1）知131()22n n b -=⨯-，133315(1)(1)2888n a a n d n n =+-=--=-+，所以131,522315,6n n n c n n -⎧⎛⎫⨯-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≥⎩，当15n ≤≤时，131122(1)1112nnnb q T q⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭112n⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当6n ≥时，()()5531531122n n n T --+-⎛⎫=--+⎪⎝⎭=23279272232n n -+-，所以211,152327927,62232nn n T n n n ⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+-≥⎪⎩. （3）n S =131122(1)1112nnb q q⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭112n⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 11112112nn nn S S ⎛⎫-=---⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 令11()12112nnf n ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，11()12112nn f n ⎛⎫=+-⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭0>，且()f n 递减，可得()f n 的最大值为5(1)6f =， 当n 为偶数时，11()12112nnf n ⎛⎫=--⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭0<，且()f n 递增，可得()f n 的最小值为7(2)12f =-， 所以()f n 的最小值为712-，最大值为56，因为1nn AS BS≤-≤对*n N∈恒成立，所以71256AB⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，所以571761212B A-≥+=，所以B A-的最小值为1712.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.19. 已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点()2,1P，1F、2F分别为椭圆C的左、右焦点，且121PF PF⋅=-.（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线1l与椭圆C有且只有一个公共点，直线2l平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于A、B两点，与直线2x=交于点M（M介于A、B两点之间）.（i）当PAB△面积最大时，求2l的方程；（ii）求证：||||||||PA MB PB MA⋅=⋅.【答案】（1）22182x y+=；（2）（i）122y x=；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件求出,a b ，即可写出椭圆方程； （2）（i ）设直线2l 的方程为12yx t =+，联立椭圆方程，表示出PABS ，可求出PABS最大时t 的值，即可得出2l 的方程；（ii ）要证明结论，只需证明||||||||PA PB MA MB =，即证直线2x =为APB ∠的平分线，转化成证明：0PA PB k k +=.【详解】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1(2,1)PF c =---，2(2,1)PF c =--， 212411PF PF c ⋅=-++=-，c ∴=又(2,1)P 在椭圆上，故22411a b+=， 又226a b =+，解得28a =，22b =，故所求椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）（i ）由于12OP k =，设2l 的方程为12y x t =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 由2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得222240x tx t ++-=， 由韦达定理可得：()12212222244404x x tx x t t t ⎧+=-⎪⎪=-⎨⎪∆=-->⇒<⎪⎩，则||AB ====又点P 到2l的距离d ==所以()22422PABt t S +-==≤=△.当且仅当224t t -=，即22t =时，等号成立. 又M 介于A、B 两点之间，故t =故直线AB 的方程为：12y x =. （ii ）要证结论成立，只须证明||||||||PA PB MA MB =， 由角平分线性质即证：直线2x =为APB ∠的平分线， 转化成证明：0PA PB k k +=. 由于12121122PA PB y y k k x x --+=+-- ()()()()1221121112122222x t x x t x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-- ()()()()()()()21212121212(2)4(1)242(2)4(1)44440222222x x t x x t t t t t t t x x x x x x +-+--------+-+====------因此结论成立.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式，考查点到直线的距离公式，考查椭圆中三角形面积利用基本不等式求最值问题，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，属于难题. 20. 已知函数()()sin 1ln f x m x x =-+.（1）当1m =时，求函数()f x 在()0,1的单调性； （2）当0m =且1a e ≥-时，1()()h x af x x=-+，求函数()h x 在(]0,e 上的最小值； （3）当0m =时，设1()()(1)g x f x a a x=+->.记0x 为函数()y g x =在(1,)+∞上的唯一零点，证明：2001322ln 2a x e a a x +⎛⎫->>- ⎪⎝⎭.其中 2.71828e =⋯为自然对数的底数.【答案】（1）函数()f x 在()0,1的单调递增（2）1a e-+（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的符号判断可得结果；（2）求导后，对a 分类讨论，得函数的单调性，根据单调性可得最小值；（3）令01t x =，得到0102003121x x e x x ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭()21231te t t t=---，构造函数21()12xx e x x ϕ=---(01)x <<，利用导数求得其单调性和最值可证得2001322a x e x +⎛⎫-> ⎪⎝⎭，再构造函数()ln x x x μ=-，1x >，利用导数求得其单调性和最值可证得20012ln x a a x +-<，即可求解.【详解】（1）当1m =时，()sin(1)ln f x x x =-+，1()cos(1)f x x x'=--+， 因为01x <<，所以1cos(1)0x -<--<，11x>，所以()0f x '>， 所以函数()f x 在()0,1的单调递增. （2）当0m =且1a e≥-时，1()()h x af x x =-+1ln a x x=-+， 2211()a ax h x x x x+'=--=-，当0a ≥时，()0h x '<，()h x 在(]0,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为1()h e a e=-+； 当10a e-≤<时，因为0x e <≤，所以10ax +≥，所以()0h x '≤，()h x 在(]0,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为1()h e a e =-+综上所述：()h x 的最小值为1a e -+.（3）当0m =时，11()()ln g x f x a x a x x=+-=+-，因为()g x 在(1,)+∞上有唯一零点0x ，所以001ln 0x a x +-=，001ln a x x =+010ln x x e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，01x >，所以2001322a x e x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭010003122x x e x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭0102003121x x e x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭， 令01t x =，(01)t <<， 所以0102003121x x e x x ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭()21231te t t t=---， 构造函数21()12x x e x x ϕ=---(01)x <<，则()1xx e x ϕ'=--，()1x x e ϕ''=-0>，所以()x ϕ'在(0,1)上递增，所以()(0)0x ϕϕ''>==，所以()ϕx 在(0,1)上递增，所以()(0)0x ϕϕ>=，即21102xx e x --->，所以22220x e x x --->， 所以102003121x x e x x ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭()21231t e t t t=---()()221122311t t t t t t t >++---=-0>， 所以2001322a x e x +⎛⎫->⎪⎝⎭. 因为0000112ln 2ln ln ln a a x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则20000000011112ln 2ln ln ln x a a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--=+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00000011ln ln ln ln x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦构造函数()ln x x x μ=-，1x >，则1()10x xμ'=-<， 所以()x μ在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)1x μμ<=-， 所以00000ln 111x x x x x +<-+<且00n 1l 1a x x +=>， 所以0001()(ln )x x x μμ<+， 即00000011ln ln ln ln x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-<+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即00000011ln ln ln ln 0x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+-+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而20012ln x a a x +-<，综上所述：2001322ln 2a x e a a x +⎛⎫->>- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：第三问中作差、换元，再构造函数，利用导数判断函数的单调性、求出最值进行求解是解题关键.。