8、最大公因数(例3)
小学数学课件公因数与最大公因数
题目：两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，已知其中一个数是45，求另一个数是 多少？
题目：两个数的最大公因数是18，最小公倍数是135，其中一个数是45，求另一个数是多少？
题目：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是105，已知其中一个数是45，求另一个数是 多少？
题目：两个数的最大公因数是10，最小公倍数是80，已知其中一个数是20，求另一个数是多 少？
● 答案：解：设两个数为a和b，已知最大公因数是G=gcd(a,b)=12，最小公倍数是L=lcm(a,b)=180，其中一个数是a=45。 ● 根据gcd(a,b)×lcm(a,b)=a×b，即12×180=45×b，解得b=48。 ● 答：另一个数是48。 ● 题目：有两条彩带分别长60厘米和75厘米，把他们剪成长度相等的小段，最少可以剪多少段。 答案：解：60=2×2×3×5，75=3×5×5，所以60和75的最大公因数是15， 即每 小段的长度是15厘米． 所以最少可以剪成：60÷15+75÷15=3+5=8（段） 答：最少可以剪成8段．
题目：两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，已知其中一个数是45，求另一个数是多 少？
题目：两个数的最大公因数是18，最小公倍数是135，其中一个数是45，求另一个数是多少？
题目：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是105，已知其中一个数是45，求另一个数是多 少？
题目：两个数的最大公因数是10，最小公倍数是80，已知其中一个数是20，求另一个数是多少？
举例说明：例如，12和15的公因数是3和1，而最大公因数是3。
举例说明：通过具体例子可以帮助学生更好地理解公因数与最大公因数的概念。 举例说明：使用实际数字或日常生活中的例子可以帮助学生更好地理解抽象概念。
最大公因数
2和21 2和27 15和2 25和2
特点：几组数中的两个数公因数都 只有 1 。
公因数只有 1 的两个数， 叫做——
例如：
2和3是互质数，5和7也是互质数。
公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。 1个数，如果只有 个数 1和它本身两个约数， 这样的数叫做质数（或素数）。
什么叫做质数？
质数是对一个数来说，互质数 是对两个数的关系来说的。
1 5
5 15
3 15
1 6
2 3 9 18
2 9 6 18
1
3
4. 找出下面各组数的最大公因数。
5和11 和8 9和6 8 和9 9 和3 8和10
5 和8 4 28和7 20和25
用图表示8和12的公因数：
8 的因数 12 的因数
1 4
2 8
1 4
2 3 6 12
3
8
1
4
2
6
12
3.找出下面各组数的最大公因数。 2和4 2 6和9 3 5和10 5 7
有两根木料，一根长8米， 另一根长12米，现在要把它们 截成相等的小段，每根不许有 剩余，每小段最长是多少？一 共可以截成多少段？
1.公因数、最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的最 大公因数。其中最大的一个，叫做这几个数 的最大公因数。
2.互质数
公约数只有1的两个数，叫做互质数。 互质数是指两个数的关系，它们可以都是 质数，可以都是合数，也可以一个是质数，一 个是合数。
1、12、3 4、2、6
12和15的 公因数
1、15 、3、 1、18、2 5 9、3、6
12和18的 公因数
15和18的 公因数
1、3
计算最大公因数 专项练习100个问题
计算最大公因数专项练习100个问题计算最大公因数专项练100个问题问题1：计算36和45的最大公因数。
答：最大公因数是9。
问题2：计算48和60的最大公因数。
答：最大公因数是12。
问题3：计算72和108的最大公因数。
答：最大公因数是36。
问题4：计算14和28的最大公因数。
答：最大公因数是14。
问题5：计算20和30的最大公因数。
答：最大公因数是10。
问题6：计算15和25的最大公因数。
答：最大公因数是5。
问题7：计算16和24的最大公因数。
答：最大公因数是8。
问题8：计算56和84的最大公因数。
答：最大公因数是28。
问题9：计算39和78的最大公因数。
答：最大公因数是39。
问题10：计算50和75的最大公因数。
答：最大公因数是25。
问题11：计算63和98的最大公因数。
答：最大公因数是7。
问题12：计算54和81的最大公因数。
答：最大公因数是27。
问题13：计算27和81的最大公因数。
答：最大公因数是27。
问题14：计算24和36的最大公因数。
答：最大公因数是12。
问题15：计算99和121的最大公因数。
答：最大公因数是11。
问题16：计算72和162的最大公因数。
答：最大公因数是18。
问题17：计算66和88的最大公因数。
答：最大公因数是22。
问题18：计算128和192的最大公因数。
答：最大公因数是64。
问题19：计算33和99的最大公因数。
答：最大公因数是33。
问题20：计算70和105的最大公因数。
答：最大公因数是35。
问题21：计算60和90的最大公因数。
答：最大公因数是30。
问题22：计算112和168的最大公因数。
答：最大公因数是56。
问题23：计算44和66的最大公因数。
答：最大公因数是22。
问题24：计算32和40的最大公因数。
答：最大公因数是8。
问题25：计算96和144的最大公因数。
答：最大公因数是48。
问题26：计算26和39的最大公因数。
答：最大公因数是13。
问题27：计算75和125的最大公因数。
五年级下册数学试题——分数的意义和性质-约分(含答案解析)人教版
第四章分数的意义和性质-约分【知识梳理】1.公因数和最大公因数的意义。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
重点提示：每个数的因数的个数是有限的，因此两个数或多个数的公因数的个数也是有限的。
2. 求两个数最大公因数的方法。
（1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的一个。
（2）筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈出较大数的因数，再看哪一个因数最大。
（3）分解质因数法：先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。
（4）短除法：先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
方法提示：用列举法和筛选法求两个数的最大公因数，一般适合较小的数，而分解质因数法和短除法适合任意的数。
3.最大公因数的表示方法。
例.20和12的最大公因数是4，可记作：（20，12）=4。
即用小括号将两个数括起来，中间用逗号隔开，小括号后面是等号，将它们的最大公因数写在等号的后面。
4.求两个数最大公因数的特殊情况。
（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。
（2）当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1。
5.互质数的意义和判断方法。
公因数只有1的两个数叫做互质数。
判断两个数是不是互质数，要看它们是不是只有公因数1。
易错提示：互质的两个数不一定都是质数。
6.互质数的特殊情况。
（1）1和任意非0的自然数都是互质数。
（2）2和任何奇数都是互质数。
（3）相邻的两个非0自然数是互质数。
（4）相邻的两个奇数是互质数。
（5）不相同的两个质数是互质数。
7.互质数和质数的区别。
质数是一类数，是只有1和它本身两个因数的数；互质数是对于两个数的关系而言的，公因数只有1的两个数是互质数。
小学五年级公因数知识点
小学五年级公因数知识点公因数是指能够同时整除多个数的数。
在小学五年级的数学学习中，公因数是一个重要的知识点。
本文将介绍公因数的定义、性质、求解方法以及在实际问题中的应用。
一、公因数的定义公因数是指能够同时整除多个数的数。
比如，对于数8和12来说，它们的公因数有1、2和4，因为这些数既能整除8，也能整除12。
二、公因数的性质1. 公因数一定是这些数的约数；2. 公因数的个数是无限的；3. 公因数一定能整除这些数的最大公因数。
三、求解公因数的方法求解公因数的方法可以使用列举法和分解质因数法。
1. 列举法：通过列举法，可以找出多个数的公因数。
具体步骤如下：（1）将这些数的所有约数列举出来；（2）找出所有数中共同的约数即为公因数。
例如，求解数15和20的公因数：15的约数为1、3、5、15；20的约数为1、2、4、5、10、20；因此，15和20的公因数为1和5。
2. 分解质因数法：通过分解质因数法，将多个数分解成质数的乘积，再找出这些数的公因数。
具体步骤如下：（1）将这些数分别分解成质因数的乘积；（2）找出所有数中的公共质因数，并将其乘积即为公因数。
例如，求解数12和18的公因数：12可以分解为2^2 × 3；18可以分解为2 × 3^2；因此，12和18的公因数为2和3。
四、公因数的应用公因数在实际问题中有广泛的应用，以下以两个常见的应用场景为例进行说明。
1. 求解最大公因数：最大公因数是指多个数中最大的公因数。
求解最大公因数常用的方法是分解质因数法。
通过求解最大公因数，可以简化分数、化简开方数等操作。
例如，求解数16和24的最大公因数：16可以分解为2^4；24可以分解为2^3 × 3；最大公因数为2^3 = 8。
2. 求解公倍数：公倍数是指能够同时被多个数整除的数。
求解公倍数常用的方法是求解最小公倍数。
最小公倍数通过将多个数进行质因数分解，取各个质因数最高次幂的乘积得到。
巧求最大公因数
巧求最大公因数作者：黄旭军来源：《数学大王·中高年级》2019年第10期老师走进教室门口，听到教室里吵成一团。
原来同学们都在指着黑板上的例题议论纷纷。
例题：求6和8的最大公因数。
写出6的因数：1，2，3，6。
写出8的因数：1，2，4，8。
所以6和8的最大公因数是2。
老师说：“很好呀，没错呀！”数学课代表说：“老师，有很大的问题，我发现数字要是大一点，这个方法做起来就太复杂了！”“对，太复杂了！”很多同学应和道。
老师说：“求最大公因数除了上面这种方法，还有短除法和辗转相除法（更相减损术，这两种方法原理相同）！既然大家这么好学，今天就告诉大家一些“独家秘方”吧！”例1 一个房间地面长450厘米，宽330厘米，现在计划用正方形的方砖铺房间的地面，请问方砖的边长最长为多少厘米，才能正好将房间的地面无空隙地铺满？方砖边长的值需要既是450的因数，又是330的因数。
所以方砖边长的值需要是450和330的公因数。
求方砖的最长边长也就转化成求450和330的最大公因数。
写出450的因数：1，2，6，9，10，15，18，25，30，45，60，225，450。
写出330的因数：1，2，3，5，6，10，11，15，22，30，33，55，66，110，165，330。
找出二者所有的公因数：1，2，6，10，15，30。
由此可见，450和330的最大公因数是30。
答：方砖的边长最长为30厘米，才能正好将房间地面无空隙地铺满。
求450和330的最大公因数，可以用短除法。
短除法就是先找出两个数的公因数，再用原数分别除以这个因数，把商写下来之后，再继续找这两个商的因数，以此类推。
直到最后所剩数的公因数为1。
再将左侧一列的数相乘，所得结果便是我们要求的最大公因数。
用短除法求450和330的最大公因数的具体计算过程如右图，所以450和330的最大公因数是5×3×2=30。
答：方砖的边长最长为30厘米，才能正好将房间地面无空隙地铺满。
最大公因数怎么求 公式
最大公因数怎么求公式最大公因数怎么求公式 1最大公因数或最大公约数是指能同时除两个或两个以上正整数的最大正整数。
最大公因数怎么求公式 2所有的质数(就是只有1和他本身2个因数的数字，例如2，3，5，7，11，13，17等）直接写1. 短除法是求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。
求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
例如：求12与18的最大公因数。
12的因数有：1、2、3、4、6、12。
18的因数有：1、2、3、6、9、18。
12与18的公因数有：1、2、3、6。
12与18的最大公因数是6。
这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。
于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
12＝2×2×3 18＝2×3×3 12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。
所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。
从分解的结果看，12与18都有公因数2和3，而它们的乘积2×3＝6，就是12与18的最大公因数。
采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公因数和最大公因数。
如果把这两个数合在一起短除，则更容易。
从短除中不难看出，12与18都有公因数2和3，它们的乘积2×3＝6就是12与18的最大公因数。
与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公因数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。
如果不懂可以离线留言，或者直接问老师。
学习中不懂就问，别害怕别人说你笨。
学到知识才是最重要的~~ 请采纳答案，支持我一下。
最大公因数怎么求公式 3短除法，左侧所有除数之积喂最大公约数，所有除数与所有商之积为最小公倍数最大公因数怎么求公式 4两个数的最大公因数可以用短除法，详见百度百科：baike.baidu/...93brxK 如在EXCEL中计算，则输入以下公式=GCD(number1,number2, ...)最大公因数怎么求公式 5求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况： 1 、倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数.（如； 6 和 12 的最大公因数是 6 ,最小公倍数是12 .） 2 、互质关系的两个数,最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积.（如, 5 和 7 的最大公因数时 1 ,最小公倍数是 5 × 7=35 ）二、一般情况： 1 求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法. ① 列举法：如,求 18和 27 的最大公因数先找出两个数的所有因数 18 的因数有：。
最大公因数小学奥数题100道及答案(完整版)
最大公因数小学奥数题100道及答案(完整版)题目1：求18 和24 的最大公因数。
答案：6。
通过分解质因数，18 = 2×3×3，24 = 2×2×2×3，所以最大公因数是2×3 = 6。
题目2：求30 和45 的最大公因数。
答案：15。
30 = 2×3×5，45 = 3×3×5，最大公因数是3×5 = 15。
题目3：已知两个数的积是120，它们的最大公因数是6，求这两个数。
答案：12 和10。
因为最大公因数是6，设这两个数分别为6a 和6b（a、b 互质），则6a ×6b = 120，ab = 10，所以a = 2，b = 5 或 a = 5，b = 2，这两个数为12 和10。
题目4：求48 和64 的最大公因数。
答案：16。
48 = 2×2×2×2×3，64 = 2×2×2×2×2×2，最大公因数是2×2×2×2 = 16。
题目5：求25 和35 的最大公因数。
答案：5。
25 = 5×5，35 = 5×7，最大公因数是5。
题目6：两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，其中一个数是18，求另一个数。
答案：45。
因为最小公倍数×最大公因数= 两数之积，所以另一个数= 90×9÷18 = 45。
题目7：求56 和70 的最大公因数。
答案：14。
56 = 2×2×2×7，70 = 2×5×7，最大公因数是2×7 = 14。
题目8：已知两个数的最大公因数是4，它们的和是20，求这两个数。
答案：12 和8 。
设这两个数分别为4a 和4b（a、b 互质），4a + 4b = 20，a + b = 5，所以a = 1，b = 4 或a = 4，b = 1，这两个数为12 和8。
最大公因数与公因数
4和8
16和32
1和7
8和9
4和8的最大公因数是： 16和32的最大公因数是： 1和7的最大公因数是：
4 16
1
8和9的最大公因数是：大公因数；1和任何非0自然数的最大公因数是1；两个连续的自然数的 最大公因数是1。
巩固练习
1．请找出下面各组数的最大公因数：
5和7
34 和 17 3
3
16 和 48
15 和 16
6
15
1
17
16
1
★A=2X3X5，B=2X3X2，A和B的
最大公因数是（
）。
★A和B是两个相邻的非零的自然数，
它们的最大公因数是( )
★整数A除以整数B(A、B不为0，)商
是13,那么A和B的最大公因数是（ ）
★所有非零自然数的公因数是（ ）
★和24相邻的两个自然数是（ ）和
A. 1
B. 3
C. 4
D. 9
A
(2) 16 和 48 的最大公因数是______。
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
(3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因
数是______。
D
A. 1 B. 甲数 C. 乙数 D. 甲、乙两数的积
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。
7 9 ( )1
； （4）甲是乙1的，倍2，数3，，甲6、乙的最大公因数是——。
6 1
1 18
乙
在相应的( )里写出相邻阶梯上两个数的最大公因数。
72 36 ( 3)6 24 ( 1)2 18 ( 6) 15 ( 3) 10 ( 5)
找出下面每组数的最大公因数。
求几个数的最大公约数
求几个数的最大公约数（现在叫公因数）分三种情况：
第一种：当几个数成倍数时，它们的最大公约数就是其中最小的那个数；
如：（4、8、24）这三个数，它们的最大公约数就是（4）。
第二种：当几个数是互质数时，它们的最大公因数就是1 ；
如（2、3、7）这三个数。
它们的最大公因数是1 ；因为只有1才能分别整除这几个数。
第三种：既不成倍数又不是互质数时，用短除法来求最简单。
方法是：用3个数公有的因数去除这3个数，再把所有的公因数乘起来。
举例：
2 [ 12 16 24
————————
2 [ 6 8 12
————————
3 4 6 … … … …直到这三个数没有共同的因数为止！所以，12、16和24的最大公因数是：2 ×2 = 4。
5.最大公因数和约分
①求出 4和8、16和32、17和34 的最大公因数 .
②求出 1和7、8和9、9和16 的最大公因数 . 1和7的最大公因数：1 8和9的最大公因数：1
4和8的最大公因数：4
16和32的最大公因数：16 17和34的最大公因数：17
9和16的最大公因数：1
从这组题 当两个数只有公因 中你发现了什 么？ 数1时，它们的最 从这组题 中你又发现了1。 大公因数也是 什么？
练习： 求8251和6105的最大公因数。
最大公因数的实际应用
超 市
长16米 宽12米
问题： 用边长是整分米数的正方形地砖把地面 铺满（使用的地砖都是整块）可以选择 边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
思考：
①地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数。 ②边长最大求的是什么？
练习： 1.铁匠师傅要把一张长18dm，宽是12dm 的长方形铁 皮裁成若干同样大小的小正方形，怎样裁能使得 到的小正方形最大，又不会浪费材料？ 2.五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育 活动，要使他们分成人数相等的小组，但各班不 能打乱班级，每组最多多少人？
8.按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1. （1）两个数都是合数：____和_____;
（2）两个数都是奇数：_____和_____; （3）一个偶数和一个奇数：____和_____.
课外拓展： 运用辗转相除法求两个较大数的最大公因数： 例 求9021和9991的最大公因数
第一步：用最大数除以较小数， 即9991÷9021=1…970 第二步：用上一步中的被除数除以余数，即 9021÷970=9…291 第三步：用上一步中的被除数除以余数，即 970÷291=3…97 第四步：用上一步中的被除数除以余数，即291÷97=3 直到整除为止，最后的一个除数97就是9021和9991的最 大公因数。
找最大公因数和最小公倍数的几种方法
找最大公因数和最小公倍数的几种方法最大公因数和最小公倍数是数学中常见的概念，它们分别用于求两个或多个数之间的共同约数和共同倍数。
下面我将为你介绍最大公因数和最小公倍数的几种计算方法。
一、最大公因数的计算方法：1.1质因数分解法：最大公因数可以通过将给定的两个或多个数分解质因数，找出它们的共同质因数，然后将这些质因数相乘得到最大公因数。
例如，求30和45的最大公因数：30=2×3×545=3×3×5它们的共同质因数是3和5，相乘得到最大公因数为151.2辗转相除法：辗转相除法又称为欧几里德算法，通过反复用两个数的较小数去除较大数，将余数作为新的两个数进行除法运算，直到余数为0，此时较小的那个数就是最大公因数。
例如，求56和72的最大公因数：72÷56=1余1656÷16=3余816÷8=2余0因此，最大公因数为81.3短除法：短除法是一种直观简便的方法，它通过反复用一个数去除另一个数，将余数作为新的两个数进行除法运算，直到余数为0，此时最后一次相除的除数就是最大公因数。
例如，求64和96的最大公因数：96÷64=1余3264÷32=2余0因此，最大公因数为32二、最小公倍数的计算方法：2.1质因数分解法：最小公倍数可以通过将给定的两个或多个数分解质因数，找出它们的所有质因数，并将每个质因数的最大次数相乘得到最小公倍数。
例如，求6和10的最小公倍数：6=2×310=2×5它们的所有质因数是2、3和5，它们的最大次数分别是1、1和1，因此最小公倍数为2×3×5=30。
2.2公式法：最小公倍数可以通过两个数的乘积除以它们的最大公因数来计算。
例如，求12和15的最小公倍数：最大公因数为3，乘积为12×15=180最小公倍数=乘积÷最大公因数=180÷3=602.3短除法：短除法也可以用于计算最小公倍数。
最大公因数
求下列各组数的最大公因数 6和9 30和45 42和54 99和36
2、把20和30的因数、公因数分别填在下 面的圈里，再找出它们的最大公因数：
20 的因数 30 的因数
1 2 4 5 10 20
4 20
1 2 3 5 6 10 15 30
3 6 15 30
1 2 5 10
思考
2和3 ，5和7 的公因数和最大公因数
2 怎样求 18 和 27 的最大公因数。
我是这样 表示的。 它们的公因 数 1， 3， 9 中，9 最大。
我是看 18 的因
数中有哪些是
27 的因数 · · · · · ·
二、自主探究，掌握方法
1. 怎么求18和27的最大公因数？
排列法：18的因数：1，2，3，6，9，18 27的因数：1，3，9，27 18和27的公因数：1，3，9 最大 公因数是9 筛选法：18的因数： 1，2，3，6，9，18 其中1，3，9也是27的因数，其中9最大。
四、反思回顾，提升认识
我们现在已经学习了因数、公因数和最大公因数，你能说说三者
之间有什么区别吗？
五、布置作业
作业：第61页“做一做”，第1题、
第2题、第3题。
例如：1、2、4是8和12的公因数； 其中 4 是8和12的最大公因数。
一、活动导入，探究新知
9. 请你写出12和16的因数，再找出它们 的公因数和最大公因数。
12的因数：1 ，2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 12； 16的因数：1 ，2 ， 4 ， 8 ， 16； 12和16的公因数是1 ，2 ， 4。 最大公因数是4 。
8和9
5和8
9和3 28和7
9和6 8和10 20和25
最大公因数相关应用题
小学应用题基础解法——最大公因数法1、最大公因数的概念：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2、最大公因数的性质：（1）两个数分别与它们的最大公因数的商一定是互质数。
（2）两个数的公因数都是这两个数的最大公因数的因数。
3、解答公因数问题的关键从公因数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数问题。
▓▓最大公因数相关应用题▓▓例1：甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。
每个小组最多有多少名学生？解：要使每小组都是同一个班的学生，且每小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公因数：（42、48）=6所以，每个小组最多能有6名学生。
例2：有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。
能分割成多少个正方形？解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公因数。
正方形的边长：（150、60、30）=30（厘米）长可以分：150÷30=5（个）宽可以分：60÷30=2（个）所以，这个长方形能分割成正方形：5×2=10（个）例3：有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。
如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。
小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米。
根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚的最大公因数。
即：（325、175、75）=25（厘米）长可以分：325÷25=13（段）宽可以分：175÷25=7（段）高可以分：75÷25=3（段）所以，长方体可以截成这样的小木块：13×7×3=273（个）例4：有一个两位数，除50余2，除63余3，除775。
最小公倍数和最大公因数的关系例1,例2、例3、例4
解：设一个数是A，得短除式如下： 4
28 7 A a
那么252=4×7×a
a=9
A=4×9=36 定理：两个数的最大公因数和最小公倍数之积，等于这两个数之积。 [a,b] ×(a,c)=a×b 所以上题可以这样做：
4×252=28×A
A=4×252÷28=9
例二.两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这
两个数的差。
解： 5
A a
B b
则 A=5a B=5b 5a+5b=50 5(a+b)=50 a+b=10
a=3 b=7
A=5×3=15 B=5×7=35 A=5×1=5 B=5×9=45
差：35-15=20
或：
a=1 b=9
差：45-5=40
例三.两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这 两个数的和。
解： 21
A a
B b
21×a×b=126 a×b=126÷21=6 6=1×6 6=2×3 A +B=21+126=147
a=1 b=6
A=1×21=21 B =6×21=126 A=2×21=42 B =3×21=63
（114,54）=6 因为6的因数有1,2,3,6，所以，m可能是1,2,3,6.
பைடு நூலகம்
只有m=6满足条件，a+b=9 a×b=20
20=4×5,且4+5+9 所以，m=6. 那么A=6×4=24
B =6×5=30
a=2 b=3
A +B=42+63=105
例4.两个数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差 是114，求这两个自然数。
最大公因数和最小公倍数
第三讲最大公因数和最小公倍数一．基本概念和知识1．公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2．公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3．互质数如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。
二．例题例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，∴要求的数是30、60、75的公因数。
又∵要求符合条件的最大的数，∴就是求30、60、75的最大公因数。
解：（30，60，75）＝15所以，这个数最大是15。
例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求求的数是3、4、5的公倍数，且是最小公倍数。
解：∵ [3，4，5] ＝60，∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。
现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，∴每段长度必是120、180、300的公因数；又∵每段要尽可能长，∴要求的每段长度就是120、180、300的最大公因数。
解：∵（120，180，300）＝60，∴每小段最长60厘米。
120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5＝10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
例4：加工某种机器零件，要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。
要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数。
要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。
解：∵[3，10，5]＝30∴各道工序均应加工30个零件。
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45的因数有：1,3,5,9,15,45 45块
30块
30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30 45和30的最大公因数是：15
45÷15＝3（块） 30÷15＝2（块） 答：这个组最多可能有15位同学，每人得 到3块水果糖、2块棒棒糖。
四、布置作业
作业：第63页练习十五，第5题、第6题。
12的因数
1， 2 ， 3， 4，6，12
要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖
的边长必须既是 16 6 12 的因数，又是 12 的因数。 1 42 8 16 3
16的因数
12的因数
地砖边长可以是1dm、2dm、4dm, 最大是4dm。
1、2、4是16和12公有的因数，叫做它们的公因数。 其中，4是最大的公因数叫做它们的最大公因数。
二、小组合作，探究解决问题
②利用计算的方法进行验证。 12÷1＝12（块）16÷1＝16（块） 12÷2＝6（块） 16÷2＝8（块） 12÷4＝3（块） 16÷4＝4（块）
③推理验证。
因为铺地的正方形地砖的边长既要是12的因数， 又要是16的因数，所以必须是12和16的公因数。 8. 总结提升：回顾我们解决这个问题的过程，你有哪些收获？
三、加强应用，巩固练习
1. 有两根小棒，长分别是12厘米，18厘米，要把它们截成同样长的 小棒，没有剩余，每根小棒最长有多少厘米？
12的因数有：1，2 ， 3 ，4 ，6 ， 12 18的因数有：1，2 ， 3 ，6， 9 ， 18 12和18的最大公因数是：6 答：每根小棒最长是6cm。
三、加强应用，巩固练习
12dm
用边长 1dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
16dm
12dm
用边长 2dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
16dm
12dm
用边长 4dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖
的边长必须既是 16 的因数，又是 12 的因数。
16的因数
1， 2， 4， 8，16
①刚才已经有同学用学具实际演示了边长1dm和2dm的时候，确实
可以铺满整个长方形。只用学具验证边长是4dm的情况。
可以在长方形纸上 画一画，看看能画 出多少个正方形。
可以用正方形 纸片摆一摆。 用边长是 3 dm 的地砖不行啊。
16dm12dm用边长 1d 的方砖，可以铺满，都是整块。
16dm
分数的意义和性质
最大公因数（例3）
一、创设情境，引出研究问题
如果要用边长是整分米数的正方形 地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖 必须都是整块），可以选择边长是几分 米的地砖？边长最大是几分米？
请你仔细看看小明家装修的要求，你获得了哪些有价值的信 息，和大家交流交流。 ①要用正方形的地砖铺地。 ②使用的地砖必须都是整块的，不能切割开用半块的。 ③正方形的边长必须是整分米数。
公因数，最大的边长就是它们的最大公因数。
因为：12和16的公因数：1，2，4。最大公因数是4。 所以：正方形边长可以是1dm，2dm，4dm。边长最大是4dm。
二、小组合作，探究解决问题
4. 用长方形长和宽的公因数作为正方形地砖的边长，一定能满足 我们题目中的要求吗？请你想办法进行验证和说明。 5. 小组合作进行验证。 6. 汇报交流。
一、创设情境，引出研究问题
16dm ？dm 12dm
1. 正方形的边长是整分米数是什么意思？ 2. 图中还有有价值的信息吗？
3. 通过审题我们把复杂的生活问题简化成了一个数学问题。可 以选择边长是几分米的正方形铺满这个长方形呢？
二、小组合作，探究解决问题
16dm ？dm 12dm 1. ①用学具摆一摆、画一画。 ②把你的发现和小组内的同学说一说。
2. 进行小组探究活动，搜集学习资源。
二、小组合作，探究解决问题
3. 全班交流研讨： ①利用学具操作解决问题找到了一种或几种正方形边长，但是 没有找到最大边长。 摆一摆：用边长1dm小正方形拼摆长方形。
画一画：在大长方形中利用已有的方格画出小正方形。
②利用公因数和最大公因数的知识解决问题。 要使铺满地面的正方形都是整块的，边长必须是12和16的