多目标进化算法综述电子教案
多目标进化算法综述电子教案
多目标进化算法综述电子教案一、引言多目标优化问题是指在决策者有多个目标的情况下，同时寻找多个最优解的问题。
与传统的单目标优化问题相比，多目标优化问题更复杂，因为不同目标之间可能存在冲突，无法简单地将它们转化为单目标问题进行求解。
多目标进化算法（Multi-Objective Evolutionary Algorithm，MOEA）是一类应用于解决多目标优化问题的算法。
本文将对多目标进化算法进行综述。
二、多目标进化算法的基本原理多目标进化算法是一种基于自然进化的元启发式优化算法，其基本原理是模拟自然界的生物进化过程，通过不断进化来逼近多个最优解。
多目标进化算法的基本步骤包括初始化种群、适应度评估、选择操作、交叉操作和变异操作，以及终止条件判断。
在多目标进化算法中，每个解决方案用一个染色体表示，染色体上的每个基因对应一个决策变量的取值。
种群中的每个个体是一个解决方案，通过不断进化，种群中的个体分布在目标空间的帕累托前沿上，代表了多个最优解。
选择操作根据个体在目标空间的分布情况筛选出优秀的个体，交叉和变异操作则产生新的解决方案，继承和引入种群中的优秀特征。
终止条件可以是迭代次数达到一定限制或者目标空间的帕累托前沿收敛到稳定状态。
三、常见的多目标进化算法1.NSGA-II算法NSGA-II（Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm II）是一种经典的多目标进化算法。
该算法通过非支配排序和拥挤度距离两个步骤进行个体的选择，以促进种群的多样性。
非支配排序将个体划分为不同的等级，拥塞度距离用于评估个体在目标空间中的分布情况。
2.SPEA2算法SPEA2（Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2）是另一种经典的多目标进化算法。
该算法通过计算个体在目标空间中的适应度值来选择优秀的个体。
适应度值包括个体在被支配次数方面的评估和个体之间的拥挤度距离。
多目标进化算法性能评价指标综述
多目标进化算法性能评价指标综述多目标进化算法（MOEA）是一种用于解决多目标优化问题的进化算法。
MOEA通过维护一个个体群体的集合，通过交叉、变异等操作，逐步搜索问题的解空间，以得到一组尽可能好的近似最优解，这些解在不同的目标函数下优化结果良好且彼此之间具有一定的均衡性。
对于多目标进化算法的性能评价，主要包括以下几个方面的指标。
1. 近似最优解集合的质量这是最重要的评价指标之一，主要用于衡量算法是否能够找到一组高质量的非劣解。
在多目标优化问题中，解空间通常非常大，因此算法找到的解集可能只是非劣解的一个近似。
质量好的近似最优解集合应该尽可能接近真正的非劣解集合，并且集合中的解之间应该有较好的均衡性。
2. 支配关系的准确性多目标优化问题中的解往往是通过支配关系进行判断的。
一个解A支配另一个解B，意味着解A在所有目标函数上至少和解B一样好，且在某一个目标函数上更好。
算法找到的解集应该能够正确地判断出解之间的支配关系，并保持非劣解之间的支配关系不变。
3. 外部收敛集的覆盖度外部收敛集是算法找到的近似最优解集合，其覆盖度是衡量算法性能的重要指标之一。
覆盖度越高，说明算法找到的近似最优解集合能够尽可能覆盖真实的非劣解集合。
覆盖度的计算通常通过指标如hypervolume、inverted generational distance等进行。
4. 多样性多样性指的是找到的近似最优解集合中解之间的差异程度。
一方面，算法应该找到尽可能多样的解，以保证搜索过程能够覆盖解空间的各个方向。
解之间应该具有一定的距离，以避免近似最优解集合中过于集中在某个区域。
5. 计算效率和收敛速度算法的计算效率和收敛速度也是评价指标之一。
虽然算法能够找到高质量的近似最优解集合，但如果计算时间过长，就会限制算法的实际应用。
算法应该在保证质量的前提下，尽可能提高计算速度和效率。
多目标进化算法的性能评价指标主要包括近似最优解集合的质量、支配关系的准确性、外部收敛集的覆盖度、多样性以及计算效率和收敛速度。
动态多目标优化进化算法研究综述_刘淳安
第28卷第2期海南大学学报自然科学版V o l.28N o.2 2010年6月N A T U R A LS C I E N C EJ O U R N A LO FH A I N A N U N I V E R S I T Y J u n.2010 文章编号:1004-1729(2010)02-0176-07动态多目标优化进化算法研究综述刘淳安(宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013)摘 要:动态多目标优化进化算法主要研究如何利用进化计算方法求解动态多目标优化问题,其已成为进化计算领城一个新的研究课题.本文首先介绍了动态优化问题的分类,然后描述了动态多目标优化问题的基本概念、数学表述,最后在当前对动态多目标优化进化算法的基本原理、设计目标、研究现状及性能度量讨论的基础上,提出了对动态多目标优化问题需进一步研究的关键问题.关键词:动态优化;多目标优化;进化算法;性能度量中图分类号:T P18 文献标志码:A在生产调度、人工智能、组合优化、工程设计、大规模数据处理、城市运输、水库管理、网络通信、数据挖掘和资本预算等诸多优化领域,常常会遇到许多复杂的更为接近现实生活的动态和静态优化问题.动态优化问题(D y n a m i c O p t i m i z a t i o n P r o b l e m:D O P)是指其目标函数不仅与决策变量有关,而且还会随着时间(环境)动态变化,因此其最优解也会随着时间(环境)动态改变;静态优化问题(S t a t i c O p t i m i z a t i o n P r o b-l e m:S O P)是指其目标函数仅与决策变量有关,其最优解不随时间(环境)的变化而改变,在过去的几十年,人们大多致力于S O P的研究,直到近几年,D O P才引起越来越多研究者的兴趣[1-3].对于D O P,一般可将其分为动态单目标优化问题(D y n a m i c S i m p l e-o b j e c t i v e O p t i m i z a t i o nP r o b l e m:D S O P)和动态多目标优化问题(D y n a m i cM u l t i-o b j e c t i v eO p t i m i z a t i o nP r o b l e m:D M O P)两大类.目前,对D O P的研究主要集中在D S O P[4-12],对D M O P的研究成果还不多,国际上也才刚刚起步,可见到的理论很少,只有少量研究成果[13-17],而且这些成果大多数是针对时间变量取值于离散空间的D M O P设计算法,或者把一些静态多目标优化进化算法直接用于D M O P的求解.然而,对于D M O P而言,因其具有多个依赖时间(环境)的相互冲突、不可公度的目标,加之其P a r e t o最优解随时间的变化会发生改变,因此,对D M O P的优化显得比较困难,通常很难设计出一种通用的有效求解方法.20世纪60年代以来,借鉴达尔文的“物竟天择”生物进化理论及孟德尔的遗传理论,通过对生物进化中的繁殖、变异、竞争和选择4个基本形式进行模拟,使人们获得了解决复杂优化问题,特别是求解动态多目标优化问题的一类新方法———动态多目标优化进化算法(D y n a m i c M u l t i o b j e c t i v e O p t i m i z a t i o n E v o l u t i o n a r y A l g o r i t h m:D M O E A)[1,18],E A自产生以来,一直备受人们的关注,作为一种随机搜索算法,它较传统优化技术相比具有许多优势,其中算法演化的并行性、对全局优化问题的有效性和实用性以及对问题求解的稳健性是其他算法难以无法比拟的.本文主要介绍了动态多目标优化问题的基本概念、数学描述,动态多目标优化进化算法的基本原理、设计目标、研究现状、性能度量及需进一步研究的热点问题.1 D M O P基本概念及数学表述[16,17]在现实世界中,许多优化问题都是多个目标的,而且是与时间因素有关的.许多系统需要考虑动态调收稿日期:2009-10-28基金项目:陕西省自然科学基础研究计划项目(2009J M1013);陕西省教育厅科学研究计划项目(09J K329);宝鸡文理学院重点科研计划项目(Z K0840)作者简介:刘淳安,(1972-),男,陕西淳化人,宝鸡文理学院数学系副教授,博士.度问题,考虑时间间隔上各个运行状态之间的约束,即时间带来的约束,这些约束称为动态约束,面对一个复杂动态变化的系统,静态优化方法具有明显的局限性,因为在这些问题中,其研究目标是复杂变化的.将现实中这些具有多个目标、与时间因素相关的问题抽象成数学模型就是动态多目标优化问题(D y -n a m i c M u l t i o b j e c t i v e O p t i m i z a t i o n P r o b l e m s :D M O P ).不失一般性,若记V O ,V F 和W 分别是n O 维、n F 维和m W 维连续或离散的向量空间,则任何D M O P 都可以表述为以下的参数化数学形式[16,17]m i n v o ∈v Of =(f 1(v o ,v F ),f 2(v o ,v F ),…,f m (v o ,v F ))s .t .g (v o ,v F )≤0,h (v o ,v F )=0,(1)其中,g (v o ,v F )≤0和h (v o ,v F )=0分别为不等式和等式向量约束,f :V O ×V F ※W 是目标向量函数,f i (v o ,v F )(i =1,2,…,m )是m 个子目标函数.在式(1)中,变量v o 对于优化是有用的,而变量v F 是强加的参数,其与优化变量无关.目标向量函数f 和约束向量函数g 和h 都受制于时间参数约束,而且可以是非线性的.若令V 是n 维连续或离散的决策向量空间,W 是m 维连续或离散的目标向量空间,强加的参数v F 是一个取值于连续或离散实值空间T 的参数变量t ,则上述动态多目标优化问题的参数化形式可简化为[16,17]m i n v ∈Vf =(f 1(v ,t ),f 2(v ,t ),…,f m (v ,t ))s .t .g (v ,t )≤0,h (v ,t )=0,(2)其中,g (v ,t )≤0和h (v ,t )=0分别为不等式和等式向量约束,f :V ×T ※W 是目标向量函数.对于动态多目标优化问题(2),其决策空间中的P a r e t o 最优解集(记作:P s(t ))和目标空间中的P a r e t o 前沿面(记作:P F (t ))通常有以下4种可能随时间变化的情形情形1 P a r e t o 最优解集P s (t )随时间变化,而P a r e t o 前沿面P F (t )不随时间变化;情形2 P a r e t o 最优解集P s (t )和P a r e t o 前沿面P F (t )都随时间变化;情形3 P a r e t o 最优解集P s (t )不随时间变化,而P a r e t o 前沿面P F (t )随时间变化;情形4 尽管问题发生改变,但P a r e t o 最优解集P s (t )和P a r e t o 前沿面P F (t )都不随时间变化.对于优化问题(2)的P a r e t o 最优解集和目标空间中的P a r e t o 前沿面,除了上述4种情形外,在现实中,还存在另外一种情形,即当问题发生改变时,上述变化的几种类型可能在时间尺度内同时发生.然而,通常只考虑前3种类型.2 D M O E A 基本原理和设计目标对于求解动态多目标优化问题(2)的进化算法,在其设计中往往需考虑其随时间变化的强度或随时间变化的频率.一般而言,这包括2个方面:1)D M O P 随时间t 是连续缓慢变化的,即在整个时间段上D M O P 的变化非常平稳,其变化幅度保持在一个非常小的误差内;2)D M O P 随时间t 的变化出现突变,即在一个小时间段内很少变化或保持不变,但随之发生突然随机变化.一般来讲,对于静态多目标优化问题,其最优解构成一确定的P a r e t o 最优解集,而对于动态多目标优化问题(2),因目标函数及约束条件不仅依赖于决策变量而且与时间参数t 有关,故其最优解是随时间参数t 发生变化的一组P a r e t o 最优解集.另外,对实际问题而言,必须根据对问题的了解程度及决策者的偏好,从动态多目标优化问题的P a r e -t o 最优解集中挑选出所在时刻(环境)下合适的一些P a r e t o 最优解作为问题的最优解.因此,设计求解动态多目标优化问题(2)的进化算法首先需考虑以下关键问题:1)如何使算法能有效跟踪问题的随时间(环境)发生变化的P a r e t o 最优解集;2)如何使算法快速准确求得不同时刻(环境)下问题的质量较好、数量较多且分布均匀的P a r e t o 最优解.3 D M O E A 研究现状对于动态优化问题,通常将其分为动态单目标优化问题和动态多目标优化问题.目前研究最多的是177 第2期 刘淳安:动态多目标优化进化算法研究综述178海南大学学报自然科学版 2010年 求解动态单目标优化问题的进化算法,其主要分为下面3种类型,这些方法通常也被用于动态多目标优化问题的求解.1)保持种群的多样性 种群的多样性是进化算法有效探索整个可行解空间的必要条件,尤其对算法迅速适应D O P环境的改变起到非常重要的作用.如G r e f e n s t e t t e[19]提出的随机迁移进化策略,M o r r i s o n[20]提出的超变异法及L e w i s[21]提出的变量局部搜索技术等都是用来提高种群多样性的有效方法.另外, C o b b[22]把3种不同变异(固定变异率,过度变异和随机移民)方法用在动态优化问题中,并对其在动态环境中的性能进行了检验,结果表明,采用过度变异在连续缓慢变化的环境中性能最好,如果环境发生突变,随机移民进化方法性能较优.E r i k s s o n[23]提出了一种事先对进化个体进行适应度估值,然后采取对其自适应的调节来维护种群的多样性.M o r i[24]提出了借鉴一种新的变量来控制种群多样性的方法.此外,文献[25]还给出了使用一些特殊染色体来维持进化群体的多样性等.2)基于记忆的方法 对于动态优化进化算法,适时增加其存储过去获得的较好解(个体),并在需要的时候重新启动这些解并将其用于进化,这样会大大地提高算法在环境变化的情况下对问题求解的效率和搜索能力.记忆通常分为2种:利用冗余表示的隐式记忆和通过引入额外的记忆集存储较好解的显式记忆.研究者认为,基于记忆方法比较适用于具有一定规律性或周期性变化的函数,同时,冗余表示的隐式记忆方法还能增加进化模块的种类,提高群体的多样性.如R y a n[26]提出了利用额外二倍体隐式记忆方法,在该方法中,如果某种条件满足,则让基因为1;否则为0.计算机仿真表明,此方法在周期性变化的环境中优于其他方法.与此同时,H a d a d[27]提出了利用多倍体的记忆进化方法,R y a n和C o l l i n s[28]提出了基因分级结构记忆方法等.尽管上述各种隐式记忆的方法能够使进化算法间接地存储一些有效信息,但并不确定算法能否有效地使用这些信息.3)基于多种群的方法 多种群方法是指在搜索空间中的几个可行区域上布置一些子种群,并且让这些子种群搜索相应子区域上变化的最优解.从某种程度上说,多种群方法具有一种自适应记忆功能.如O p p a c h e r等[29]提出一种迁移平衡进化方法,其把整个种群分成主种群和许多小的次种群,主种群主要用于探索极值点,次种群主要用于在适值曲线上几个孤立的区域进行搜索,这种方法很好地保证了算法的探索性.U r s e m[30]提出了一种多种族进化算法来保证整个种群的多样性,在该方法中,子种群的分组是采用一种峰谷探测过程来确定.随着上述几种求解动态优化方法的不断完善,对动态多目标优化问题的研究成果也相继涌现.F a r i n a F M等人[16]提出了一种邻域搜索算法(D B M),该算法意在产生少数但具有很好分布的非劣解集.D e b K 等人[14]在N S G AⅡ基础上改进初始群体提出了动态多目标优化进化算法(D N S G A-Ⅱ),该算法采用非劣排序以及拥挤距离进行个体评价,经由最优保留,二人联赛选择、S B X交叉及P o l y n o m i a l变异等操作进行群体进化.I a s o n H等人[13]在求解动态单目标优化进化算法基础上提出了一种向前估计方法(F o r w a r d-L o o k i n g A p p r o a c h).Z h a n g Z h u-h o n g[31]提出了一种动态环境下的多目标免疫算法并把其成功地应用于温室控制;Z h o u A i-m i n等人[32]提出了一种基于种群预测的重启(P r e d i c t i o n-B a s e dP o p u l a t i o nR e-i n i t i a l i z a-t i o n)动态多目标优化进化算法.另外,许多求解静态多目标优化问题的进化算法,如N S G A-Ⅱ[33],S P E A-Ⅱ[34],M S O P S[35],O M O E A-Ⅱ[36]及求解移动峰[37-39]或带噪声[40,41]的静态多目标优化策略经过扩展和改进后也被直接应用于求解D M O P[42-44].在国内,一些基于免疫原理(I m m u n e M e c h a n i s m)和进化机理的动态多目标优化算法[45-49]也相继出现.4 D M O E A性能评价方法随着动态多目标优化进化算法的相继出现,D M O E A性能度量也是D M O P中一个值得研究的问题,下面给出几种度量D M O E A有效性的方法.1)P a r e t o最优解的收敛量[17] P a r e t o最优解的收敛量是F a r i n a M,D e b K[17]提出的用于度量D M O E A 所得到动态多目标优化问题的P a r e t o最优解的收敛量或找到问题真正P a r e t o最优解的错误率的重要指标,其定义如下e f (t )=1n p ∑n pj =1m i n i =1:n h ‖P S ,i (t )-x j(t )‖2,(3)其中,n h 为用于标记环境t 时问题的真正P a r e t o 最优解集P s (t )的采样数目,n p 为算法在环境t 求得问题的P a r e t o 最优解的数目,x j(t )(j =1,2,…,n p )为在决策空间计算的解,‖·‖2为“·”在R n上的2-范数.2)覆盖率(C o v e r a g e r a t e :C r )[31] 覆盖率C r 是张著洪教授[31]给出的用于评价2个算法在整个环境下求得问题的P a r e t o 最优解集的优劣程度.在环境t (1≤t ≤T )下,设A t k ,B t k分别是算法A 和B 在第k (1≤k ≤K )代获得的P a r e t o 最优解集,则定义C r (A ,B )=1T ·K 2∑Tt =1∑Kk =1∑Kτ=1C (A t k ,B t τ)(4)为评价2个算法A ,B 在整个环境下所得的P a r e t o 最优解集相对优劣度(覆盖率)的度量.其中,C (·,。
多目标优化进化算法比较综述
优化的进化算法， 并对算法进行 了简要 比较。 关键词 多 目标优化 粒子群 遗传算法 蚁群算法
文献标 识码 ： Ａ
人 工免 疫 系统
（ 四） 多目标蚁群算法。 多 目标 蚁群 算法 的 思想 是 ： 根据 目标 函数 的数 目将 蚂蚁 分
成若 干 子群 体 ， 为每个 子群 体分 配… 个 目标 函 数 ， 在 其他 子群 体优 化 结 果的基 础 一 ｔ ｚ 通过 Ｐ ｒ ａ ｅ ｔ ｏ过 滤器 来获 得 均衡 解 。基 小
级子 Ｆ ｛ 标 向量 巾 的各 Ｈ标 分 量要 全 部参 与 比较 。给 定 一个
不 可实 现 的 期望 日标 ｒ ｕ Ｊ 量时， 向量 比较 退 化罕 原始 的 Ｐ ａ ｒ ｅ ｔ ｏ 排
多 目标 遗化 算 法 ： 有 着 良好 的 鲁棒 性和 优越 性 ， 在洲 挤 选
序， 所 有 目标元 素 都必 须 参 与 比较 。算 法运 行过 程 巾 ， 适 应值 择算 子 时 ， 限制种 群 人 小使 ｝ ｛ ｊ 拥 挤 比较 过程 ， 使算 法 失 去 了收 图 景可 由不 断 改 变的 期望 目标值 改变 ， 种 群可 由此被 引导 并集 敛性 。 人 工 免疫 系 统 ： 可 以得剑 优 化 问题 的 多个 Ｐ ａ ｒ ｅ ｔ ｏ 最优解， 多 目标 Ｐ Ｓ Ｏ 约 束算 法 ： 能够 实 现 对 多维 中 一 一 特 定折 巾 区域 。 当前 利 群 中（ 基丁Ｐ ａ ｒ ｅ ｔ ｏ最优 概 念） 优 算 法运 行缺 乏稳 定性 。 于 该解 的其 他 解 的个 数 决 定利・ 群 巾每 一个 向量解 的排 序 。 （ 二） 人 工免 疫 系统 人： ｌ ： 免疫 算 法是 ［ Ｊ 然 免 疫系 统在 进 化 计算 巾的一 个 应用 ，
多目标进化算法性能评价指标综述
多目标进化算法性能评价指标综述多目标进化算法是一类用于解决多目标优化问题的进化算法。
与传统的单目标优化算法不同，多目标进化算法试图在多个目标函数之间寻找一组非支配解，即无法通过改善一个目标函数而同时改善其他目标函数的解。
基于多目标进化算法的优化方法已经在许多领域得到了广泛应用，如工程设计、车辆路径规划、机器学习等。
多目标进化算法的性能评价是在解决多目标优化问题时评估算法优劣的重要指标。
这些指标可以分为两类，一类是与解集的多样性相关的指标，另一类是与解集的收敛性相关的指标。
与解集的多样性相关的指标可以反映多目标进化算法搜索到的解的多样性和分布情况。
常见的指标包括解集的帕累托前沿覆盖率、解集的帕累托前沿距离、解集的均匀度等。
帕累托前沿覆盖率是指算法搜索到的解集中包含的真实帕累托前沿上的解的比例。
解集的帕累托前沿距离是指算法搜索到的解集中各个解与真实帕累托前沿的平均距离，可以用来评估解集的分布情况。
解集的均匀度指标可以用来评估解集中解的分布是否均匀，常见的均匀度指标包括解集的熵和解集的均匀度指标。
除了上述的指标，还有一些其他的指标可以用来评价多目标进化算法的性能，如解集的虚拟耗散度指标、解集的相对距离指标以及解集的多样性指标等。
这些指标可以综合考虑解集的多样性和收敛性，提供对多目标进化算法的全面评价。
多目标进化算法的性能评价指标涵盖了解集的多样性和收敛性两个方面，可以用来评估算法搜索过程中解集的质量和搜索效果。
在实际应用中，根据具体问题的特点和要求，选择适合的性能评价指标可以帮助研究人员更好地理解算法的优劣，并进行算法的改进和优化。
多目标进化算法性能评价指标综述
多目标进化算法性能评价指标综述多目标进化算法（Multi-Objective Evolutionary Algorithms，MOEAs）是一类用于解决多目标优化问题的算法。
在实际问题中，往往需要同时优化多个目标函数，这就需要使用多目标优化算法来寻找最优解集。
由于多目标优化问题的复杂性，需要对算法的性能进行全面评价。
本文将对多目标进化算法的性能评价指标进行综述，以期为相关领域的研究者提供参考和指导。
1. 收敛性多目标进化算法的收敛性是评价其性能的重要指标之一。
收敛性指标主要包括收敛速度和收敛准确度两个方面。
在理想情况下，算法应该能够在有限的迭代次数内找到接近于真实帕累托前沿的解集。
收敛速度指标可以通过衡量解集与真实帕累托前沿的距离来评价，收敛准确度则可以通过度量算法得到的解集是否足够接近帕累托前沿来评价。
2. 多样性多目标进化算法的多样性是指得到的解集中是否包含了足够多的种类和分布较广的解。
多样性指标主要包括均匀分布和分散度两个方面。
均匀分布指标可以通过衡量解集中解的分布是否均匀来评价，分散度指标则可以通过度量解集中解的分散程度来评价。
多样性的评价是为了确保算法能够获得全局的非劣解，而不是仅仅集中在某一区域。
3. 运行时间多目标进化算法的运行时间是指算法寻找最优解集所需的时间。
在实际问题中，算法的运行时间是一个十分重要的性能指标，因为用户往往希望算法在尽可能短的时间内给出满意的解集。
运行时间的评价需要综合考虑算法的收敛速度和解集的多样性来进行评价。
4. 鲁棒性多目标进化算法的鲁棒性是指算法对问题参数变化的适应能力。
在实际问题中，问题的参数往往会有所变化，因此算法的鲁棒性是十分重要的。
鲁棒性指标主要包括参数敏感性和问题变化适应性两个方面。
参数敏感性指标可以通过度量算法对参数变化的敏感程度来评价，问题变化适应性指标则可以通过度量算法对问题变化的适应能力来评价。
5. 可解释性多目标进化算法的可解释性是指算法得到的解集是否能够为用户提供有效的决策支持。
目标空间分割多目标进化算法研究综述
策空 间 ， Ｙ表示 同标 向量 ｙ 形成 的 目标空间 ， 约束 条件 ｅｘ≤０ （ ） 确定决 策 向昔 町行 的取值范 围。 定 义 ２ ¨ 解集） （ 可行 解集 Ｘ 义 为满 足式（ 中约 束条件 ｅ ） ｆ 定 】 ） （的 ｘ 决策 向量 ｘ 的集合 ， 即：
Ｘ＝ ｘ Ｉ｛ ∈Ｘｌｘ≤０ ， ｅ） ｊ （ （） ２ （） ３
目 标空 间 分 割 多 目标 进 化 簧 法 砜 奔 综 述
湖南工学院计算机与信息科 学学院 任长安 陈利平
［ 要］ 摘 进化 算法具有求解 多 目 标优化 问 的优点 。 本 文 首 先 对 多 目标优 化 问题 进 行 了描 述 ； 题 然后 讨 论 了 目前 几种 主要 的 基 于进 化 算法的多 目标优 化方法； 最后介绍 了基于 目 标空 间分割 的多 目 标进化 算法的研 究现 状以及 面临的 问题。 ［ 关键词 ］ 进化 算法 多 目标优化 目标 空间分割
ＰＡ ＝ａＥＡｌ是 Ａ中非 劣 向量 ｝ （）ｆ ａ ， ｆ） ５
Ｆ ｎｅａ和 Ｆｅ ｎ ｏ ｓｃ ｌｍｉｇ提 出 的 “ 目标 遗 传 算 法 ” 及 Ｓｉｉ ｓ Ｄ ｄ 多 以 ｒ ｖ 和 ｅ ｎａ 提出的“ 非劣分类遗传算法 ” 属于 Ｐ ｒｔ方法 ， 都 ａｅｏ 此类方法是根据 “ ａｅ Ｐ ｒ— ｔ ｏ 最优 个体” 的慨念来对 群体的所有个体进 行排序 的， 并依 据排序次序 来实施进化 过程 中的选 择运算 ， 而使得排 在最前 面的个体有更 多的 从 机会 遗传到下一代 ， 这样经过 一定 代数的循环后 ， 就可 得到多 目标优化 问题 的 Ｐ ｒｔ最 优解 。 ａｅｏ （） ４共享 函数法 Ｈ ｒ 等人提 出的“ 生境 Ｐ ｒｔ遗传 算法 ” 于此类 方法 ， 方法 ｏ ｎ 小 ａｅ ｏ 属 此 将 共享 函数 的概念 引入到求解 多 目标问题 中 ， 计算各个 个体 的小生境 数， 并使小 生境数较小 的个体有更 多的复 制机 会被遗传 到下一代 群体 中， 即相似个体较少 的个体有更 多机会被遗传到下一代 ， 既增加 ＿ 这样 『 群体的多样性 ， 也相应增加 了解的多样性 。 （） 部 辅 助 选 择 法 ５外 Ｚｔｌ 和 Ｔ ｉ ￣ 出了“ ｉｅ ｚｒ ｈｅ ， ｌ提 强度 Ｐ ｒｔ进化算法 ”将 每代 的非劣解储 ａｅｏ ， 存在外部 的一个可更 新的存储 器中 ， 而群 体中个体 的适应度 与外部存 储 器 中优 于 该 个 体 的数 目有 关 ， 用 Ｐ ｒｔ优 于关 系 保 持 群 体 多 样 性 ， 利 ａｅｏ 使用聚类方法保证外部存储 器中的非劣解数 日不超过 规定范围 且又不 破坏其分布特征。 目前 ， 改进 的增 强 Ｐ ｒｔ ａｅ ｏ进化算 法 （Ｐ Ａ ） Ｓ Ｅ ２ 和非 劣分类 遗传 箅法 （ Ｓ Ａ—Ｉ被广 泛认 为是运 行效果 最好 、 Ｎ Ｇ Ｉ） 最成功的多 目标进化算法 ４ 干 目 空间分割思想的主要进化算法 ． 基 标 近十几年来 ， 为了克服进 化算 法的早熟收敛 问题 ， 保持 解群体 的多 样性和分 布性 ， 多研 究者通过 引用 目标 空间分ｇ 的思想来优 化多 目 很 － ０ 标问题。 Ｋ ｏ ｌｓ Ｃ ｒｅ １９ ｎｗ ｅ 和 ｏｎ 于 ９ ９年提 出 Ｐ Ｅ ” Ａ Ｓ 。该 算法 是 一 采用 外部 种 集保 留非 支配个体 的进 化演化 程序 ， 并采 用一种 自适 应的 嘲格保持解 群体的多样性 。Ｐ Ｅ 是一种重要 的多 目标进化算法 ， ＡＳ 具有很好 的进化
多目标进化算法总结
多目标进化算法总结多目标进化算法(MOEA, Multiple Objective Evolutionary Algorithm)是一类基于进化算法的优化方法，主要用于解决具有多个相互竞争的目标函数的问题。
MOEA通过维护一组解的种群，采用进化操作来尽可能多的帕累托最优解集。
下面对MOEA进行详细总结。
首先，MOEA的基本思想是通过模拟自然进化过程进行优化，它借鉴了进化生物学中的适应度、交叉、突变等概念。
MOEA维护了一个种群，每个个体代表一个解，种群中的个体通过进化操作进行迭代更新。
在进化过程中，MOEA通过交叉和突变操作生成新的个体，通过适应度评估来决定个体的生存能力，根据个体在不同目标函数上的性能对种群进行选择和更新。
其次，MOEA的核心是解的评估和解的选择。
MOEA采用一个适应度函数来评估解在多个目标函数上的性能。
适应度函数一般采用拥挤度或距离等概念来度量解的优劣。
拥挤度是指解在种群中的分布密度，用以保持解的多样性。
根据适应度函数的评估结果，MOEA决定哪些解会生存下来，并更新种群。
第三，MOEA有很多具体的算法实现，其中比较经典的有NSGA-II、PAES、SPEA、MOEA/D等。
NSGA-II采用非支配排序和拥挤度距离来维护种群的多样性，并通过交叉和突变操作来生成新的个体。
PAES通过局部来改进解的质量，采用网格来表示解的空间，并根据适应度函数进行迁移。
SPEA使用非支配排序和密度估计来选择解，并通过交叉和突变操作来生成新的个体。
MOEA/D通过将多目标优化问题分解为多个子问题，并通过子问题之间的协作来帕累托最优解。
此外，MOEA还面临一些挑战和改进方向。
首先，MOEA需要解决多目标函数之间的冲突，如何在多个目标之间找到均衡点是一个难题。
其次，MOEA的计算复杂度通常比单目标优化方法更高，如何提高算法的效率是一个重要问题。
此外，MOEA在处理约束问题和高维问题时也存在挑战，如何有效处理这些问题也是一个改进方向。
多目标进化算法性能评价指标综述
多目标进化算法性能评价指标综述多目标进化算法（Multi-objective Evolutionary Algorithms，MOEAs）是一类优化算法，用于解决具有多个目标函数的多目标优化问题。
MOEAs在解决多目标优化问题上具有很强的适应性和鲁棒性，并在许多领域有着广泛的应用。
为了评价MOEAs的性能，人们提出了许多指标。
这些指标可以分为两类：一类是针对解集的评价指标，另一类是针对算法的评价指标。
首先，针对解集的评价指标主要用于从集合的角度评价解集的性能。
常见的解集评价指标有：1. Pareto前沿指标：衡量解集的覆盖度和质量。
Pareto前沿是指在多目标优化问题中不可被改进的解的集合。
Pareto前沿指标包括Hypervolume、Generational Distance、Inverted Generational Distance等。
2. 支配关系指标：衡量解集中解之间支配关系的分布情况。
例如，Nondominated Sorting和Crowding Distance。
3. 散度指标：衡量解集中解的多样性。
例子有Entropy和Spacing 等。
4.非支配解比例：衡量解集中非支配解的比例。
非支配解是指在解集中不被其他解支配的解。
除了解集评价指标，人们还提出了一些用于评价MOEAs性能的算法评价指标，例如：1.收敛性：衡量算法是否能找到接近最优解集的解集。
2.多样性：衡量算法是否能提供多样性的解。
3.计算效率：衡量算法是否能在较少的计算代价下找到高质量的解集。
除了上述指标，还有一些用于评价MOEAs性能的进阶指标，例如：1.可行性：衡量解集中的解是否满足的问题的约束条件。
2.动态性：衡量算法在动态环境中的适应性。
3.可解释性：衡量算法生成的解是否易于被解释和理解。
以上只是一些常用的指标，根据具体的问题和应用场景，还可以针对性地定义其他指标来评价MOEAs性能。
综上所述，MOEAs性能的评价是一个多方面的任务，需要综合考虑解集的质量、表示多样性以及算法的计算效率等方面。
多目标进化算法性能评价指标综述
多目标进化算法性能评价指标综述多目标优化问题在现实生活和工程领域中具有重要的应用价值，其在资源配置、飞行器设计、工程设计等方面都有着广泛的应用。
多目标进化算法作为解决多目标优化问题的有效手段，一直受到学术界和工程界的关注。
对于多目标进化算法的性能评价指标，学术界存在较大的争议，无法形成统一的评价标准。
本文拟就多目标进化算法性能评价指标作一综述，以期为该领域的研究者提供参考。
一、多目标进化算法性能评价指标多目标优化问题中的性能评价指标主要包括收敛性、多样性和均衡性。
收敛性主要关注算法是否能寻找到最优解，多样性主要关注算法搜索到的解是否有广泛的分布，均衡性则主要考虑多个目标之间的平衡关系。
（一）收敛性收敛性是指算法是否能够在有限的时间内找到接近最优解的解集。
通常来说，用于评价收敛性的指标主要有收敛速度和收敛精度两个方面。
收敛速度是指算法在找到最优解的过程中所花费的时间，即算法的收敛速度越快，则算法收敛性越好；而收敛精度则是指算法所找到的解与真实最优解的误差程度，即算法的收敛精度越高，则算法收敛性越好。
（二）多样性多样性是指算法搜索到的解集是否具有广泛的分布，即解集中的解之间是否有足够的差异性。
对于多目标优化问题来说，多样性对于保证算法搜索到的解集具有全面的覆盖性和足够的可行性具有重要的意义。
多样性的评价指标主要包括最近距离、最远距离和均匀分布程度等。
（三）均衡性均衡性是指多目标之间的平衡关系，即算法所搜索到的解集中是否具有足够的多样性，同时又不失优秀解的集中度。
均衡性的评价指标主要包括超体积指标、Hypervolume Contribution Ratio 等。
近年来，虽然针对多目标进化算法的性能评价指标进行了大量的研究，但并没有形成统一的评价标准。
部分学者主张结合不同的性能评价指标，如收敛性、多样性和均衡性，以全面评价多目标进化算法的性能。
而另一部分学者则认为应该提出新的、更适用于多目标进化算法的性能评价指标，以完善对于多目标进化算法的性能评价。
3多目标进化算法ppt课件
Pareto最优解基本定义
• 多目标优化的最优解称为Pareto最优解。(1896年
Vilfredo Pareto）
•
定义1：给定一个多目标优化问题
ur f
(X
)，它的最优解x*定义为：
•
ur
uur
f ( X * ) opt f ( X )
进一步研究
• 更一般的，更通用的，更接近于自然进化的MOEA模型 • 基于进化环境的多目标进化模型。 • MOEA在有限时间内的收敛性。 • 构造多目标最优解集的最少时间复杂度。 • 进化过程中，个体循环地进入归档集问题。 • MOEA在不同参数时的比较研究。 • MOEA进化过程中，非支配集变化规律的研究。 • MOEA运行的统一框架。 • 不确定多目标优化问题。 • ……
• 从2001年以来，每二年召开一次有关多目标进化的国际会 议(EMO：evolutionary multi-criterion optimization)
• 国际刊物“IEEE Transactions on Evolutionary Computation”(1997年创刊)
• Evolutionary Computation (1993年创刊) • Genetic Programming and Evolvable Machines (1999年)
• 据定义9，我们便可以得出结论：(2, 6)支配 (3, 8)，(2, 6)和(3, 5)之间互相不支配。
• 区别：决策空间支配关系，目标空间支配关系
多目标进化算法
• 为了便于理解，我们这里给出一类基于Pareto的 多目标进化算法的一般流程，首先产生一个初始 种群P，接着选择某个进化算法(如遗传算法)对P 执行进化操作(如交叉、变异和选择)，得到新的 进化群体R。然后采用某种策略构造P∪R的非支 配集Nset，一般情况下在设计算法时已设置了非 支配集的大小(如N)，若当前非支配集Nset的大小 大于或小于N时，需要按照某种策略对Nset进行 调整，调整时一方面使Nset满足大小要求，同时 也必须使Nset满足分布性要求。之后判断是否满 足终止条件，若满足终止条件则结束，否则将 Nset中个体复制到P中并继续下一轮进化 。
多目标进化算法性能评价指标综述
多目标进化算法性能评价指标综述【摘要】多目标进化算法是解决多目标优化问题的重要方法之一。
为了评价多目标进化算法的性能，需要使用性能评价指标。
本文首先介绍了多目标优化问题的基本概念，然后概述了多目标进化算法的原理和应用。
接着对性能评价指标进行了分类，介绍了常用的性能评价指标，并综述了最新研究进展。
在结论中，强调了多目标进化算法性能评价指标的重要性，提出了未来研究方向，总结了本文的主要内容。
通过本文的学习，读者可以全面了解多目标进化算法性能评价指标的研究现状和未来发展方向，为进一步的研究提供参考。
【关键词】多目标优化问题、多目标进化算法、性能评价指标、性能评价指标分类、常用性能评价指标、最新研究进展、重要性、未来研究方向、总结。
1. 引言1.1 研究背景在当今信息时代，随着科学技术的高速发展和应用范围的不断扩大，人们对于多目标优化问题的研究与应用也越来越引起人们的广泛关注。
多目标优化问题是指涉及多个矛盾甚至相互独立目标的优化问题，例如在工程设计、金融投资、交通规划等领域中，常常会遇到多种目标需求同时考虑的问题。
对多目标进化算法的性能评价指标进行综述和评价显得尤为重要。
通过深入研究和总结，可以为多目标进化算法的性能评价提供更有针对性的指导，进一步提升算法的应用效果和实际价值。
1.2 研究意义多目标进化算法在解决多目标优化问题中具有重要的应用价值，通过对现有的评价指标进行综述和分析，可以帮助研究者更全面地了解多目标进化算法的性能和优劣势，有助于指导实际应用中的选择和改进。
对多目标进化算法性能评价指标的研究不仅可以促进相关领域的学术发展，还可以为工程技术领域提供更有效的解决方案，推动科技创新与进步。
对多目标进化算法性能评价指标展开综述和评估具有重要的理论和实践意义，可以为相关领域的研究和应用提供有益的参考和借鉴。
希望通过本文的内容可以对多目标进化算法的性能评价指标有一个更深入的了解，为相关研究和实践工作提供有益的启示和支持。
偏好多目标进化算法研究综述
犃犫狊狋狉犪犮狋 Ｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｎｅｅｄｓｔｏｏｐｔｉｍｉｚｅｓｅｖｅｒａｌｃｏｎｆｌｉｃｔｉｎｇｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ． Ｔｈｅａｉｍｏｆｔｈｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｓｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔｓｗｈｉｃｈｕｎｉｆｏｒｍｌｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄｏｎｔｈｅｗｈｏｌｅＰａｒｅｔｏｆｒｏｎｔ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｅｒｓｕｓｕａｌｌｙａｒｅｏｎｌｙｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄｉｎ ｔｈｅＰａｒｅｔｏｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｎｓｏｍｅｒｅｇｉｏｎｓｏｆｔｈｅｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓｐａｃｅｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｃｏｍｂｉｎｉｎｇｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｅｒ’ｓｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｉｓｇｒａｄｕａｌｌｙｂｅｃｏｍｉｎｇａｈｏｔｓｕｒｖｅｙｔｏｐｉｃｉｎｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｆｉｅｌｄ ｏｆｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙｃｏｍｐｕｔｉｎｇ．Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇｔｈｅｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｅｒ’ｓｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｔｉｏｎａｒｙａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ｔｈｅｓｅａｒｃｈｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｃａｎｂｅｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄ ｉｎｔｈｅｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｇｉｏｎ．Ｔｈｉｓｃａｎｎｏｔｏｎｌｙｕｓｅｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｒｅｓｏｕｒｃｅｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｂｕｔａｌｓｏｃａｎｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙａｎｄｈｅｌｐｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｅｒｓｍａｋｅｔｈｅｆｉｎａｌｄｅｃｉｓｉｏｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙ．Ｉｎｔｈｉｓ
Pareto最优概念的多目标进化算法综述
ＴＡＮＧ ｎ ｌｎ ’ Ｚ Ｙｕ －ａ ＨＡＯ ｎ －ｏ ｇ ＧＡＯ ｎ ｆｎ ＣＨＥＮ ｎ － Ｑｉｇ ｓ ｎ Ｙａ －ａ ｇ Ｙｉｇｗｕ
（ｎ ｔｏ ｎ ｏ ｍａ ｉｎ Ｓ ｓｅ ｎ ａ ａ ｅ ｎ ， ｔｏ ａ ｉ． ｆＤｅ ｅ ｅＴｅ ｈ ｌｇ ， ａ ｇ ｈ ０ ３ Ｃｈｎ ） Ｉ ｓ． ｆＩｆ ｒ ｔｏ ｙ ｔｍ ａ ｄ Ｍ ｎ ｇ ｍｅ ｔ Ｎａｉｎ ｌＵｎｖ ｏ ｆｎｓ ｃ ｎｏｏ ｙ Ｃｈ ｎ ｓ ａ４１ ０７ ， ｉａ （ ｐ ｒｍ ｅ ｔｏ ｍｍｕ ｃ ｔ ｎ Ｅｎｇｎ ｅ ｉｇ． ｇｎｅ ｒｎ ｌｅ ｅｏｆｔ ｅＣｈｎｅｅＰｅ ｐｅ ｓＡ ｒ ｅ ｌ ｅＦｏ ｃ Ｘｉａ １ ０ ６， ｉａ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＣｏ ｎｉａｉ ｏ ｉｅ ｒｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｉｇＣ ｌｇ ｈ ｉ ｓ ｏ ｌ’ ｍ ｄ Ｐｏｉ ｒｅ， ’ ｎ ７ ０ ８ Ｃｈｎ ） ｏ ｃ
计算机科学 ２ ０ Ｖｏ． ５ １ ０ ８ ｉ３ №．０
Ｐ ｒｔ 优 概 念 的 多 目标 进 化 算 法综 述 ａｅｏ最
唐 云岚 赵 青松 高妍 方 陈英 武 。 （ 防科 学技 术 大学信 息 系统 与管理 学 院 长 沙 ４０ ７ ） （ 国 １０ ３ 武警 工程 学 院通信 工程 系 西安 ７０ ８ ） １０６ 。
ｔ ｐ ｃ Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｓ ｍｅ ｓ ａ ｅ ｏ － ｈ － ｒ ｌ ｏ ｉ ｍｓ ｉ ｈ ｓｒ ｓ ａ ｃ ｉｌ ｒ ｅ ｃ ｉ ｅ ｉｓ ｌ ． ｅ ｓｒ ｔ ｇ ｅ ｄ ｐ — ｏ ｉ． ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ， ｏ ｔ ｔ － ｆｔ ｅａ ｔａｇ ｒｔ ｈ ｎ ｔ ｉ ｅ ｅ ｒ ｈ ｆ ｄ ｗｅ ｅｄ ｓ ｒ ｄ ｆ ｔ Ｔｈ ｎ， ｔ ａ ｅ ｉ ｓａ ｏ ｔ ｅ ｂ ｒ ｙ
多目标进化算法及其在控制领域中的应用综述
第21卷第5期V ol.21N o.5 控 制 与 决 策 Control and Decision 2006年5月 M a y 2006 收稿日期:2005-06-27;修回日期:2005-10-09. 基金项目:国家自然科学基金项目(69931040). 作者简介:马清亮(1974—),男,河南商水人,博士,从事进化计算、鲁棒控制等研究;胡昌华(1966—),男,湖北罗田人,教授,博士生导师,从事故障诊断、容错控制等研究. 文章编号:1001-0920(2006)05-0481-06多目标进化算法及其在控制领域中的应用综述马清亮,胡昌华(第二炮兵工程学院自动化系,西安710025)摘 要:多目标进化算法在求解多目标优化问题方面具有独特的优势.对此,介绍了多目标进化算法的基本原理,讨论了多目标进化算法的一系列改进方法;论述了近年来多目标进化算法在自动控制领域中的最新研究成果,并对其未来的发展方向进行了展望.关键词:优化控制;多目标控制;多目标进化算法中图分类号:T P 13 文献标识码:ASurvey of Multi -objective Evolutionary Algorithm and Its Applications in the Field of Automatic ControlMA Qing -liang ,H U Chang -hua(D epar tment of A uto matio n,Seco nd A r tillery Engineer ing College,Xi'an 710025,China.Co r respondent:M A Qing -liang ,E -mail :mql 99@sohu .co m )Abstract :M ulti-o bjective ev olut ionar y algo rithm (M O EA )is especially suitable to so lv e multi-objective optimiza tio n pr oblems.T he basic principle o f M O EA is first intro duced,and a ser ies o f impr ov ed algo rithms ar e discussed br iefly .T hen ,new ly successful applications of M OEA in the filed of aut omatic contr ol ar e rev iew ed in detail .Finally ,so me of the mo st pr o mising ar eas of fur ther r esearch ar e br iefly discussed.Key words :O ptimal contr ol;M ulti-objective co ntr o l;M ulti-o bjectiv e evolutio nary alg or it hm1 引 言 在科学和工程领域中存在大量的多目标优化问题.与单目标优化问题不同,多目标优化问题的最优解是一个由众多Par eto 最优解组成的集合.传统的基于目标权重分配的多目标优化方法,不仅需要较多的先验知识,计算效率较低,而且不能收敛到Pareto 最优前沿面上的非凸区域[1].进化算法(EA)是一类模拟生物进化机制而形成的全局性概率优化搜索方法,主要包括遗传算法(GA )、遗传规划(GP)和进化规划(EP)等.EA 不仅对优化问题的种类有很强的鲁棒性,更为重要的是,它针对由众多个体组成的种群执行进化操作,其优化结果也是一个集合,因而特别适合于求解复杂的多目标优化问题.用于求解多目标优化问题的进化算法,即多目标进化算法(M OEA ),不仅可以一次性获得多目标优化问题的大量Par eto 最优解,而且其优化结果具有良好的一致性[2,3].1984年,Schaffer 提出了第一种M OEA ——向量评估遗传算法(VEGA)[4].从上世纪90年代中后期开始,国际上掀起了M OEA 的研究热潮,并一直持续至今,目前已发表数千篇有关M OEA 的研究论文.近年来,随着M OEA 研究的不断深入,一些国际期刊开始出版专刊,集中介绍M OEA 的研究工作.特别是从2001年开始,每两年召开一次的MOEA 国际会议,极大地推动了M OEA 的研究工作[5～7].最近,Coello 和Abraham 等也分别出版了专著,及时对M OEA 的研究成果作了出色的总结[1～3].目前,M OEA 已成为国际学术界跨学科研究的热点和DOI ：10.13195/j.cd.2006.05.3.maql.001前沿课题[6～12].2 多目标进化算法的基本原理 多目标进化算法从一组随机生成的种群出发,通过对种群执行选择、交叉和变异等进化操作,经过多代进化,种群中个体的适应度不断提高,从而逐步逼近多目标优化问题的Par eto 最优解集[13].与单目标进化算法不同,多目标进化算法具有特殊的适应度评价机制.为了充分发挥进化算法的群体搜索优势,大多数MOEA 算法均采用基于Pareto 排序的适应度评价方法[6,13].在实际应用中,为使算法更好地收敛到多目标优化问题的Pareto 最优解,现有的M OEA 算法通常还采用了精英策略、小生境和设置外部集等关键技术[1].M OEA 算法的一般框架如图1所示.图1 MOEA 算法的一般框架由图1可知,MOEA 通过对种群P (t )执行选择、交叉和变异等进化操作产生下一代种群P (t +1).在每一代进化过程中,首先将种群P (t )中的所有非劣解个体都复制到外部集E (t )中,然后运用小生境截断算子剔除E (t )中的劣解和一些距离较近的非劣解个体,以得到个体分布更为均匀的下一代外部集E (t +1),并且按照概率p e 从E (t +1)中选择一定数量的优秀个体进入下代种群.在进化结束时,将外部集中的非劣解个体作为最优解输出.3 多目标进化算法的改进 实践表明,M OEA 具有很强的全局搜索能力,但也存在早熟收敛、局部搜索能力较弱等缺点.为使M OEA 尽快收敛到多目标优化问题的Pareto 最优解,并保证目标空间中与之对应的非劣解在Pareto 最优前沿面上的均匀分布,近年来,许多学者提出了一系列改进的M OEA 算法[5,6,13～24].为提高搜索效率,Deb 等[13]的NSGA-Ⅱ算法采用了一种计算复杂度为O (MN 2)的快速群体非劣解排序技术.对于种群中的任一个体i ,NSGA -Ⅱ将与其相邻的具有相同非劣解等级的两个体在目标空间的距离作为其虚拟适应度i distance ,并定义了一种拥挤比较算子“;n ”:i ;nj if ((i rank =j rank )and (i distan ce >j distance ))o r (i rank <j rank ).(1)基于上式定义的拥挤比较算子,NSGA -Ⅱ算法实现了一种不需要设置参数的自动小生境技术,从而增强了算法的鲁棒性.为了更好地维持种群的多样性,Zitzler 等的SPEA2算法[14]采用的细粒度适应度分配机制,同时考虑了种群P (t )和外部集E (t )中的个体在目标空间中的分布密度情况.而且,SPEA2还使用增强的小生境截断算子以保护进化过程中曾出现的优秀个体,但外部集的规模对算法性能的影响较大.为增强M OEA 算法的局部搜索能力,Ishibuchi 等[10]提出了多目标遗传局部搜索策略(M OGLS ).M OGLS 每隔一定代数T ,以一定概率P LS 对种群中的优良个体执行局部优化操作.目前,需要进一步研究对相关参数进行动态调整的有效方法,以实现遗传搜索与局部搜索之间的平衡和协调.对于一些实际的复杂多目标优化问题,由于需要对较多个体执行大量进化操作,因此提高MOEA的运行速度是至关重要的.Coello 等[15]研究了基于主-从式模型的并行协同演化M OEA 算法,初步结果表明,并行MOEA 不仅能在很大程度上加快运行速度,而且有助于维持种群的多样性.在运行过程中,对算法的控制参数进行动态自适应调整,能有效地改善M OEA 的收敛性能.Kollat等[5]提出的基于E -支配概念的自适应M OEA 算法(E -NSGA Ⅱ),通过对种群规模的动态调整,不仅能有效地维持种群的多样性,而且在一定程度上提高了算法的收敛速度.对于高维多目标优化问题,Gunaw an 等[6]首先将其等价地表示为若干个具有层次结构的子问题,并在此基础上,给出了一种基于最大信息熵准则的多层多目标遗传算法(EM -MOGA).EM -MOGA 根据最大信息熵准则,通过选择最具多样性的进化种群来指导进化过程.与单层MOEA 相比,EM -M OGA 虽然能够得到较多的Par eto 解,但所需的计算量较大,且算法的参数选择缺乏理论证明.由于一些实际多目标优化问题的决策空间往往难以事先确定,因此有必要研究优化空间自适应调整的智能MOEA 算法.Kho r 等[16]通过对各个决策变量的取值范围执行扩张或压缩操作,实现优化空间的自适应调整.Beck 和Parmee [17]将种群划分为若干个独立进化的子种群,并采用动态适应度共享和边界搜索技术不断拓展优化空间,从而自动实现对未知区域的优化搜索.Parmee 等[18,19]还进一步研究了搜索与决策相结合的交互式MOEA.在求解过程中,基于进化搜索提供的信息,决策者对于问题的理解也不断深入,并通过交互方式表达个人偏好,实现对搜索过程的指导.在缺乏先验知识的情况下,通482控 制 与 决 策第21卷过决策者的不断参与,交互式M OEA能够实现对特定区域的优化搜索,从而得到质量较高的满意解,但求解过程较为复杂.粒子群优化算法(PSO)是一种模拟鸟群捕食行为的优化算法,具有计算效率高、鲁棒性强等优点. 2002年,Parso poulos等[20]首次研究了应用PSO求解多目标优化问题的可行性.Sierra等[21]在多目标粒子群算法(MOPSO)中引入了E-支配的概念,同时采用变异操作和小生境技术,从而提高了算法的收敛性能.通常,许多用于改善M OGA性能的有效方法也可推广应用于M OPSO.然而,由于基本的PSO 算法实质上是一种非约束优化方法,因此,如何更有效地处理约束多目标优化问题是目前M OPSO研究的重要内容之一.蚁群算法(ACA)是一种模拟蚂蚁集体寻径行为的仿生进化算法.ACA采用分布式并行计算机制,易于与其他方法相结合.M ariano等[22]将ACA 与强化学习(QL)相结合,提出了用于求解多目标优化问题的分布式强化学习算法(MOAQ).M OAQ 采用分布式计算和信息共享机制,能够较好地搜索到多目标优化问题的全局Pareto最优解,但算法的参数选择对其性能的影响较大.免疫算法(IA)是一种描述生物机体免疫系统的计算模型,具有学习、记忆和自适应调节能力.近年来,国外学者开始研究将IA应用于多目标进化. Coello等[23]提出的基于细胞克隆选择理论的多目标免疫算法(M IAS),不仅采用了NSGA-Ⅱ和SPEA2算法的许多关键技术,而且通过引入自适应克隆和变异操作,使MIAS同时具有很强的全局和局部搜索能力.2004年,Villalobos-Arias等[24]给出了MISA算法的M arkov链模型,并从理论上证明了采用最优保留策略的M ISA算法以概率1收敛到全局Par eto最优解.目前,对于其他类型的多目标免疫算法的理论分析还有待进一步展开.Zitzler等[25]的研究表明,对于M维多目标优化问题,为了比较两个非劣解集的优劣,至少应采用M 种不同的性能准则.因此,为了全面评价MOEA的性能,必须首先建立多种不同的性能准则.目前,评价M OEA性能的准则大致可分为3类:度量非劣解个体逼近Pareto最优前沿面程度的准则;个体分布准则;能够同时反映算法收敛性和个体分布情况的准则等.在MOEA的比较研究中,通常采用生成距离(GD)、统计个体分布(S)和非劣最优区域占有率(H R)等作为性能评价准则[1,13].目前,人们已经提出多种评价M OEA性能的方法,但这些方法都属于一元评价方法,即只能根据某一个标量值对M OEA的性能进行评价.Zitzler 等[26]的最新研究表明,即使同时采用多种一元评价准则,也不能对两个非劣解集的优劣关系作出可靠的判断.为了更好地评价M OEA的性能,必须建立新的更有效的多元性能评价方法.从公开发表的论文看,M OEA的理论研究滞后于应用研究.目前,M OEA的理论研究主要集中在算法的参数选择、性能准则以及不同算子对算法性能的影响等方面[2,26].Rudo lph[27]对M OEA的全局收敛性进行了初步讨论.从理论上证明MOEA的收敛性将是未来研究的重要内容.4 多目标进化算法在控制领域中的应用 近年来,国内外学者开始研究将M OEA应用于控制领域,并取得了许多有价值的研究成果,充分显示了M OEA在控制领域中的巨大潜力.4.1 非线性系统辨识近年来,非线性系统的多目标辨识问题已成为一个研究热点.由于非线性系统本身所固有的复杂性,在辨识之前,人们往往缺乏与系统结构相关的先验知识.而M OEA不需要较多的先验知识, Rodrigue-Vazquea等[28]运用MOEA辨识非线性系统的NARM AX模型的结构,与传统的正交回归辨识方法相比,不仅能获得较高的辨识精度,而且模型结构也较为简单,但所需要的计算量较大.如何运用M OEA同时辨识非线性模型的结构和参数是今后进一步的研究方向.在辨识非线性系统的模糊模型时,现有的基于单目标EA的建模方法,通常只以模糊模型的准确性作为优化目标,而较少考虑模型的可解释性.在缺乏较多先验知识的情况下,M OEA为实现非线性系统的多目标模糊建模提供了一种高效且计算稳定的方法[29].4.2 最优控制传统的基于目标权重分配的多目标优化控制方法,每次运算只能得到一个Pareto最优解,而且即使运用一组均匀分布的权重系数也不一定能得到均匀分布的Pareto最优解.理论上已经证明,基于目标权重分配的多目标优化控制方法不能收敛到Pareto最优前沿面上的非凸区域,从而难以在多个相互冲突的目标之间进行合理的折衷与协调.由于M OEA在求解多目标优化问题方面所具有的独特优势,运用M OEA实现控制系统的多目标优化控制具有重要的研究价值.对于关节机器人的关节运动控制问题,Nantaw atana等[30]的研究表明,在同时考虑跟踪误差和运动时间的情况下,利用M OEA能够获得多个满足设计要求的Pareto最优483第5期马清亮等:多目标进化算法及其在控制领域中的应用综述解.类似的,Low等[8]通过运用M OEA优化硬盘驱动控制器的参数,设计出同时满足多个给定性能指标的硬盘驱动伺服系统.4.3 非线性控制许多实际的控制问题往往都是非线性的,性能指标可能既不连续也不可微.传统的优化方法对初始值的选择较为敏感,且易陷入局部极值.由于M OEA对优化问题的种类有很强的鲁棒性,能够有效处理不连续、不可微甚至高度非线性的优化问题,因此为非线性控制系统的多目标优化设计提供了一种新的有效途径.Rahmati等[31]研究利用M OEA对具有特定结构的非线性系统的参数值进行优化,结果表明,基于M OEA的多变量非线性系统设计方法,不仅可获得全局最优的控制器参数,而且能够对系统的动态性能及其相互关系进行深入分析.混合动力学系统是同时包含连续时间动态过程和离散时间动态过程的严重非线性系统,因此通常不存在解析解.李艳君等[32]将M OEA应用于求解混合动力学系统的控制问题,结果表明,MOEA能有效地解决一些传统控制理论难以解决的复杂非线性系统的多目标控制问题.4.4 鲁棒控制多变量连续或离散系统的动态品质在很大程度上取决于系统的特征结构配置,对于多目标特征结构配置问题,至今还缺乏普遍适用和计算稳定的方法.Bo ttura等[33]通过运用具有决策单元的并行M OGA算法对线性二次型调节器的增益进行优化,从而使系统具有满意的多目标特征结构配置.多目标H2/H∞控制本质上是一个非凸的NP-难问题.线性矩阵不等式(LM I)方法在求解过程中,需要引入较多的附加约束条件,从而导致其设计结果具有较大的保守性.由于M OEA不要求目标函数是凸的,作者[34]运用M OEA直接对H2/H∞控制器的参数进行优化.与LM I方法相比,在具有相同的H∞性能约束条件下,MOEA的设计结果具有更小的保守性.4.5 模糊控制模糊规则和隶属度函数对模糊控制器的性能有着重要影响.通常,模糊规则和隶属度函数需要由领域专家的知识确定.当输入、输出变量较多,且同时考虑多个设计目标的情况下,仅靠领域专家的知识通常难以设计出性能优良的模糊控制器.Blumel等[7]在设计导弹自动驾驶仪多目标模糊控制器时,运用M OEA对隶属度函数进行优化. M ahfouf等[35]研究运用M OEA对自组织模糊控制器的模糊规则进行优化.结果表明,与传统的基于领域知识设计的模糊控制器相比,在控制器的性能基本相同的情况下,模糊规则的数量减少了55%.即使是在缺乏先验知识的情况下,MOEA仍然能够有效地实现对多维优化空间的优化搜索,因此,在设计多目标模糊控制器时,运用M OEA对模糊规则和隶属度函数进行优化,不仅可以在很大程度上克服知识获取的困难,而且有利于设计者在多个不同的设计目标之间进行合理的折衷与协调.4.6 自适应控制将MOEA应用于自适应控制的关键在于如何缩短在线运行MOEA所需的时间,以及如何从众多的非劣解中选择一个合适的满意解作为控制方案. M OEA的执行时间问题可通过增量M OEA、并行M OEA和微型M OEA来解决,而满意控制律的选择则主要依赖于设计者的个人偏好和具体的设计要求.Barlow等[36]在运用MOEA设计无人机(U AV)自主导航控制器时,采用增量进化方式,显著提高了UAV在线设计的成功率.Stew art等[37]运用并行M OEA对离线设计的模糊控制器的模糊规则和隶属度函数进行在线自适应调整,使之能适应系统的动态变化,从而进一步提高了模糊控制器的性能.但他们的研究目前还处于实验验证阶段,更深入的研究工作有待于进一步展开.此外,M OEA还在神经网络控制[38]和预测控制[35]等方面取得了很大进展.限于篇幅,在此不作详细介绍.5 展 望 作为一类具有广泛适用性和很强鲁棒性的软计算方法,M OEA具有广阔的应用前景.目前,除自动控制领域之外,MOEA还在机械设计[6]、航空航天[7]、网络通信[9]、作业调度[10]、图像处理[11]、生命科学[12]等诸多领域得到了成功的应用.虽然M OEA的研究已取得很大进展,但由于M OEA的集中研究只有10年左右的时间,仍有许多具有挑战性的问题亟待解决,未来的研究工作可从以下几个方面展开:1)加强M OEA的基础理论研究,发展新的数学分析和建模工具,从理论上证明M OEA的收敛性,并建立更有效的性能评价准则.2)深入研究混合M OEA,并行M OEA和自适应M OEA算法,进一步增强M OEA的搜索能力.3)对于高维多目标优化问题,研究新的非基于Pareto最优概念的群体排序方法.4)关注现代生物学的最新研究成果,不断探索484控 制 与 决 策第21卷基于新型进化机制的MOEA算法.5)设计与领域知识相结合的M OEA算法,针对具体的多目标优化问题的特点,并结合相关的领域知识,设计出各种专门的M OEA算法,才能取得较好的优化效果.目前,国内的MOEA研究已取得初步成果,但大多属于应用研究[9,32,34].可以预计,随着M OEA理论研究的不断深入,MOEA也必将在更多领域得到成功的应用.参考文献(References)[1]Co ello C A C,V eldhuizen D A V,Lamo nt G B.E volutionary A lgorithms f or Solving M ulti-obj ectiv eP roblems[M].N ew Y or k:K luw er A cademic P ublishers,2002.[2]A bra ham A,Jain L,G oldber g R.Ev olutionar yM ultiobj ective Op timiz ation:T heoretical A dv ances andA pp lications[M].L ondon:Spr inger,2005.[3]T an K C,K hor E F,L ee T H.M ultiobj ectiv eE volutionary A lg or ithms and Ap p lications[M].L o ndon:Spr inger,2005.[4]Schaffer J D.S ome Exp eriments in M achine L ear ningU sing V ector E valuated Genetic A lgor ithms[D].N ashville:V ander bilt U niv ersit y,1984.[5]K ollat J B,R eed P M.T he V alue of Online A dapt iveSear ch:A Per for mance Co mpar sio n o f N SGAⅡ,E-N SG AⅡand E M O EA[A].P roc of the3rd I nt Conf onE volutionary M ulti-cr iter ion Op timiz ation[C].M exico,2005:386-398.[6]G unaw an S,Far hang-M ehr A,A zarm S.M ulti-lev elM ulti-objective g enetic A lgo rithm U sing Entro py to P reser ve Div ersit y[A].Pr oc of the2nd I nt Conf onE volutionary M ulti-cr iter ion Op timiz ation[C].F ar o,2003:148-161.[7]Blumel A L,Hug hes E J,Whit e B A.M ulti-o bject iveEv olutio nar y Design of Fuzzy A ut opilot Contr oller[A].P roc of the1st I nt Conf on Ev olutionary M ulti-cr iterion Op timiz ation[C].Zurich,2001:668-680.[8]L o w K S,W ong T S.O pt imization o f a Har d Dr iveSer vo System U sing M ult iobject ive G enetic A lg or it hm[A].P r oc of the2004I E EE Conf on Cy bernetics andI ntelligent Sy stems[C].Singa po re,2004:705-710.[9]李满林,杜雷,闻英友,等.多目标优化进化算法在移动网络规划中的应用[J].控制与决策,2003,18(4): 441-444.(L i M L,Du L,Wen Y Y,et al.A pplicatio ns of M ultiple O bjective Evo lutionar y A lg or ithms in M o bile N etw or ks P lanning[J].Control and D ecision,2003,18(4):441-444.)[10]Ishibuchi H,Y oshida T,M ur ata T.Balance Betw eenEv olutionar y Sear ch and L ocal Search in M emeticA lgo rithms for M ultio bjectiv e Per mutatio n Flo wshopScheduling[J].I EEE T r ans on Evolutionary Comp utation,2003,7(2):204-223.[11]Da le B M.Op timal Design of M R I mage A cquisitionT echniques[D].Cleveland:Case W estern Reser ve U niver sity,2004.[12]Shin S Y,L ee I H,Kim D,et al.M ultiobjectiveEv olutionar y O ptimizat ion o f DN A Sequences for R eliable D NA Computing[J].I E EE T r ans on Ev olutionary Comp utation,2005,9(2):143-158. [13]Deb K,P rat ap A,A gar wa l S,et al.A Fa st andElitist M ultiobjectiv e Ev olutio nar y A lg o rit hm:NSG A-Ⅱ[J].I EEE T r ans on Ev olutionary Com p utation,2002,6(2):182-197.[14]Z itzler E,L auma nns E,T hiele L.SP EA2:Impro vingthe Streng th Par eto Evo lutionar y A lgo rithm[A].Ev olutionary M ethods f or D esig n,Op timiz ation and Contr ol w ith A pp lications to I nd ustr ial Pr oblems[C].A thens,2001:12-21.[15]Co ello C A C,Sierr a M R.A Study of theP arallelizaiton o f a Co evo lutio nary M ulti-objective Ev olutionar y A lgo rithm[A].Pr oc of the3rd M ex icanI nt Conf on A r tif icial I ntellig ence[C].M ex ico,2004:688-697.[16]K hor E F,T an K C,L ee T H.M ulti-objectiveEv olutionar y A lg or ithm with N on-stat ionar y Search Space[A].P r oc of the2001I EEE Congr ess on Ev olutionary Comp utation[C].P iscataw ay,2001,1:527-535.[17]Beck M A,Par mee I C.Desig n Explor atio n:Ex tending the Bo unds o f t he Sear ch Spa ce[A].P r oc of the1999I EEE Cong ress on Evolutionary Comp utation[C].W ashing to n,1999:519-526. [18]P armee I C,A br aham J A.Suppo rting ImplicitL ear ning via the V isualisat ion of COG A M ulti-o bjectiv e D ata[A].P roc of the2004I EEE Congr ess on E volutionary Comp utation[C].Po rt land,2004:395-402.[19]P armee I C.P oo r D efinition,U ncer tainty and HumanF actor s—Satisfying M ultiple O bjectiv e in Real-w or ldDecision-making Env ir onments[A].P r oc of the1stI nt Conf on Evolutionary M ulti-obj ective Op timiz ation[C].Zur ich,2001:67-81.[20]P arso po ulo s K E,V r ahatis M N.Par ticle Swar mO ptimization M ethod in M ultiobjective Pr oblems[A].P roc of the2002A CM Sy mp osium on A pp lied Comp uting[C].N ew Yo rk,2002:603-607.[21]Sierr a M R,Coello C A C.Impr ov ing P SO-basedM ulti-objective O pt imization U sing Cro wding,M uta tio n and E-do minance[A].Pr oc of the3r d I nt485第5期马清亮等:多目标进化算法及其在控制领域中的应用综述Conf on Ev olutionary M ulti-criter ion Op timiz ation[C].M ex ico,2005:505-519.[22]M ar iano C E,M o rales E.M OA Q an A nt-Q A lg or it hmfor M ultiple Objective Optim izatio n Pr oblems[A].Pr oc of the1999Genetic and Evolutionary Comp uting Conf[C].San F r ancisco,1999,1:894-901.[23]Coello C A C,Co r t s N C.Solving M ultio bject iveOptimizatio n P ro blems U sing an A rtificial Immune System[J].Genetic Pr ogr amming and Ev olv able M achine,2005,6:163-190.[24]V illalobo s-Ar ias M,Co ello C A C,Hern ndez-L ermaO.Conver gence A naly sis of a M ultio bjectiv e Ar tificial Immune System A lgo rithm[A].Pr oc of the3r d I nt Conf on A r tif icial I mmune Sys tems[C].Ca tania,2004:226-235.[25]Zit zler E,L aumanns M,T hiele L,et al.Why Q ualityA ssessment o f M ult iobject ive O pt imizer s is Difficult[A].P r oc of the2002Genetic and Ev olutionar yComp utation Conf[C].Califo rnia,2002:666-673.[26]Zit zler E,T hiele L,L auma nns M,et al.Per for manceA ssessment of M ultiobjective Optimizer s:A n A naly sisand Rev iew[J].I EEE T r ans on Ev olutionar y Comp utation,2003,17(2):117-132.[27]Rudo lph G,A g apie A.Co nv erg ence P ro per ties ofSome M ulti-objective Evo lutionary Alg or ithm[A].Pr oc of the2000Conf on Evolutionary Comp utation[C].Piscat away,2000,2:1010-1016.[28]Ro dr ig ue-V azque K,Fo nseca C M,Fleming P J.Identifying the Str uct ur e of N onlinea r Dynamic Systems U sing M ultio bjectiv e G enetic Pr og r amming [J].I E EE T r ans on Sy stems,M an,and Cyber netics—Part A:Sy stems and H umans,2004,34(4):531-545.[29]Wang H L,Kw o ng S,Jin Y C,et al.M ulti-o bject iveHiera rchical G enet ic A lgo rithm fo r Inter pretable F uzzy Rule-based K no w ledge Ex tr actio n[J].F uz zy S ets and Sy stems,2005,149(1):149-186.[30]N ant awat ana W,N acho l C.Closed-loop T ime-optimalPath P lanning U sing a M ulti-objective Diver sity Contr ol Or iented G enet ic A lgo rithm[A].P roc of the 2002I EE E Conf on Sy stems,M an,and Cy ber netics[C].T unisia,2002,6:346-352.[31]R ahmati A,Rashidi F.M ult i-o bjectiv e Evo lutionar yT echinique Based Intelligent Contr oller s:A pplication to Contr ol of M ultivar iable N o nlinear Sy stems[A].P roc of the2004I E EE I nt Con f on Sy stems,M an,and Cy bernetics[C].Hague,2004,4:3704-3708. [32]李艳君,吴铁军.一种混合动力学系统多目标优化控制问题的求解方法[J].自动化学报,2002,28(4):606-609.(L i Y J,Wu T J.A n Appro ach to M ulti-objective Optimal Co nt ro l P ro blems for Hybrid Dy namic Systems[J].A cta A utomatica S inica,2002,28(4):606-609).[33]Da-Fo nseca N J V,Bott ur a C P.A n InequalitiesM ethod for M ultivar iable System's Eig enstr uct ur eA ssig nment via G enetic M ult i-o bjectiv e O ptimization[A].Pr oc of the2003A mer ican Contr ol Conf[C].Denv er,2003,2:1476-1481.[34]马清亮,胡昌华.基于多目标进化算法的混合H2/H∞优化控制[J].控制与决策,2004,19(6):699-701.(M a Q L,Hu C H.M ix ed H2/H∞Optim al Contr ol Based o n M ultiobjecitv e Evo lutionar y A lgo rithm[J].Contr ol and D ecis ion,2004,19(6):699-701.)[35]M ahfo uf M,L inkens D A,Abbod M F.M ulti-o bjectiv e Genetic Optim isatio n of G PC and SO FL C T uning Par ameter s U sing a Fuzzy-based R anking M ethod[J].I EE P r oc:Contr ol T heory andA pp lications,2000,147(3):344-354.[36]Barlo w G J,Oh C K,G rant E.Incr ement al Evo lutiono f A uto nomo us Co ntr o llers fo r U nmanned Aer ial V ehicles U sing M ulti-object ive Genetic P ro gr amming[A].Pr oc of the2004I EEE Conf on Cy bernetics andI ntelligent Sy stems[C].Singapo re,2004:688-693.[37]Stew ar t P,Stone D A,Fleming P J.Desig n o f F uzzy-log ic Contr ol Sy st ems by M ult i-o bjectiv e Evo lutionar y M ethods with Har dw are in the L oo p[J].Eng ineer ingA pp lications of A r tif icial I ntellig ence,2004,17(3):275-284.[38]F ieldsend J E,Singh S.Par eto Evo lutionar y N euralN etw or ks[J].I EEE T r ans on N eur al N etwor ks,2005,16(2):338-354.486控 制 与 决 策第21卷。
多目标进化算法综述
多目标进化算法综述作者：梅志伟来源：《软件导刊》2017年第06期摘要：基于种群的进化算法在一次运行中能够产生一组近似的 Pareto 最优解集，因此多目标进化算法成为处理多目标优化问题中的主流方法。
介绍了多目标优化问题中的数学模型以及相关定义，根据多目标进化算法的特点，将现有算法分为4类并分别进行阐述，同时分析了它们的优缺点。
关键词：多目标优化；进化算法；支配；分解DOIDOI：10.11907/rjdk.171169中图分类号：TP301文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2017）006-0204-040 引言在人们的实际生活中，大多数优化问题都是多目标优化问题，广泛存在于经济管理、工程实践和科学研究等领域中。
当前，多目标优化在理论和应用方面均取得了不少进展，但是由于多目标优化问题的复杂性，因此仍存在大量挑战。
多目标优化问题中往往存在多个彼此相互冲突的目标。
与单目标优化不同，在多目标优化中，提高一个目标的性能会引起其它一个或多个目标性能的下降。
因此，多目标优化问题中不存在一个单独的最优解，而是存在一组表示各个目标间权衡和折中关系的解集，称该解集为Pareto最优解集。
Pareto最优解集在目标域的投影被称为Pareto前沿。
由于很多现实工程问题中的优化问题是NP难，传统的数学规划方法将会变得异常困难。
而具有自然界规律启发式特征的求解方法往往适合近似求解这些困难问题，这些方法被称为进化计算[1]。
进化算法基于种群的特性使其十分适合多目标优化问题的求解。
同时，进化算法还具有鲁棒性强的特点。
因此，进化算法被广泛应用在多目标优化问题的求解上。
1 多目标进化问题概述多目标优化问题同时优化多个目标，这些待优化的目标包含最大化、最小化或者两者都有的问题。
在实际处理时，为了简化问题，可以将最大化或最小化问题取反，使所有优化目标全部转化成最小化或最大化问题。
本文中将讨论最小化问题。
2 多目标进化算法一般流程生物进化是一个不断优化的过程，在不断的变化过程中增加自身的适应性。
多目标优化进化算法比较综述
多目标优化进化算法比较综述作者：刘玲源来源：《决策与信息·下旬刊》2013年第07期摘要多目标优化是最优化领域的一个重要研究方向，本文简要介绍了多目标优化的模型和几种多目标优化的进化算法，并对算法进行了简要比较。
关键词多目标优化粒子群遗传算法蚁群算法人工免疫系统中图分类号：TP391 文献标识码：A一、背景多目标优化（Multiobjective OptimizaTionProblem，MOP）是最优化的一个重要分支，多目标问题中的各目标往往是有着冲突性的，其解不唯一，如何获得最优解成为多目标优化的一个难点，目前还没有绝对成熟与实用性好的理论。
近年来，粒子群算法、遗传算法、蚁群算法、人工免疫系统、等现代技术也被应用到多目标优化中，使多目标优化方法取得很大进步。
本文将其中四种多目标优化的进化算法进行一个简单的介绍和比较。
二、不同算法介绍（一）多目标遗传算法。
假定各目标的期望目标值与优先顺序已给定，从优先级最高的子目标向量开始比较两目标向量的优劣性，从目标未满足的子目标元素部分开始每一级子目标向量的优劣性比较，最后一级子目标向量中的各目标分量要全部参与比较。
给定一个不可实现的期望目标向量时，向量比较退化至原始的Pareto排序，所有目标元素都必须参与比较。
算法运行过程中，适应值图景可由不断改变的期望目标值改变，种群可由此被引导并集中至某一特定折中区域。
当前种群中（基于Pareto最优概念）优于该解的其他解的个数决定种群中每一个向量解的排序。
（二）人工免疫系统。
人工免疫算法是自然免疫系统在进化计算中的一个应用，将抗体定义为解，抗原定义为优化问题，抗原个数即为优化子目标的个数。
免疫算法具有保持个体多样性、搜索效率高、群体优化、避免过早收敛等优点。
其通用的框架是：将优化问题的可行解对应抗体，优化问题的目标函数对应抗原，Pareto最优解被保存在记忆细胞集中，并采取某种机制对记忆集进行不断更新，进而获得分布均匀的Pareto最优解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多目标进化算法综述多目标进化算法综述作者：梅志伟来源：《软件导刊》2017年第06期摘要：基于种群的进化算法在一次运行中能够产生一组近似的 Pareto 最优解集，因此多目标进化算法成为处理多目标优化问题中的主流方法。
介绍了多目标优化问题中的数学模型以及相关定义，根据多目标进化算法的特点，将现有算法分为4类并分别进行阐述，同时分析了它们的优缺点。
关键词：多目标优化；进化算法；支配；分解DOIDOI：10.11907/rjdk.171169中图分类号：TP301文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2017）006-0204-040 引言在人们的实际生活中，大多数优化问题都是多目标优化问题，广泛存在于经济管理、工程实践和科学研究等领域中。
当前，多目标优化在理论和应用方面均取得了不少进展，但是由于多目标优化问题的复杂性，因此仍存在大量挑战。
多目标优化问题中往往存在多个彼此相互冲突的目标。
与单目标优化不同，在多目标优化中，提高一个目标的性能会引起其它一个或多个目标性能的下降。
因此，多目标优化问题中不存在一个单独的最优解，而是存在一组表示各个目标间权衡和折中关系的解集，称该解集为Pareto最优解集。
Pareto最优解集在目标域的投影被称为Pareto前沿。
由于很多现实工程问题中的优化问题是NP难，传统的数学规划方法将会变得异常困难。
而具有自然界规律启发式特征的求解方法往往适合近似求解这些困难问题，这些方法被称为进化计算[1]。
进化算法基于种群的特性使其十分适合多目标优化问题的求解。
同时，进化算法还具有鲁棒性强的特点。
因此，进化算法被广泛应用在多目标优化问题的求解上。
1 多目标进化问题概述多目标优化问题同时优化多个目标，这些待优化的目标包含最大化、最小化或者两者都有的问题。
在实际处理时，为了简化问题，可以将最大化或最小化问题取反，使所有优化目标全部转化成最小化或最大化问题。
本文中将讨论最小化问题。
2 多目标进化算法一般流程生物进化是一个不断优化的过程，在不断的变化过程中增加自身的适应性。
进化计算以生物进化为启发，对一个解进行抽象编码，模拟生物进化中的基因。
进化算法以种群为基础，是一个黑盒的搜索、优化方法，进化算法不需要优化问题具备一定的前提条件，例如连续性、可微性等，且一次运行能够产生一组解。
因此，进化算法特别适合处理多目标优化问题。
生物的进化过程主要包括繁殖、变异、竞争和选择。
与之类似，一个典型的进化算法主要包含以下步骤：①初始化：生成一个初始化种群，记为P，其中包含N个个体（解），并记当前代数t=0；②适应度评价：计算每个个体x∈P的适应度值F（x）；③繁殖：从父代种群P 繁殖出后代种群Q，具体包括交叉和变异过程；④选择：使用选择算子从P∪Q中选择出N个精英个体，作为下一代的父代种群P；⑤下一代进化：增加进化代数t=t+1，如果满足终止条件，则停止算法并输出P，否则进入下一代迭代过程，即转入第2步。
一个典型的进化算法流程如图1所示。
3 多目标进化算法分类从进化算法诞生之初，由于其在多目标优化问题上的优异表现，众多研究人员提出了多种多目标进化算法。
根据算法特性不同，具体可分为以下几类：3.1 基于Pareto支配关系的多目标进化算法通过Pareto支配关系，可以对两个解进行对比，从而利用支配信息指导解集的选择。
基于Pareto支配关系的多目标进化算法一直以来都是一个热门研究方向，研究人员提出了许多算法，例如SPEA[2]、SPEA2[3]、PESA[4]、PESA-II[5]、NSGA-II[6]等。
基于Pareto支配的多目标进化算法取得了令人瞩目的成就，然而在处理超多目标优化问题时却面临许多挑战。
由于Pareto支配的特性，超多目标空间中的大部分解均为非支配关系，从而失去了选择压力。
研究人员通过改进Pareto支配关系，提出了一系列方法。
Laummans等[7]定义了一种ε支配关系，增加了一个解的支配空间；Deb等[8]根据ε支配关系，提出了ε-MOEA算法，在超多目标优化问题中取得了较好效果。
ε-MOEA算法将目标空间划分成网格，不同网格中的解使用ε支配关系进行比较，相同网格中的解则使用传统的Pareto支配关系。
2001年，Ikeda等[9]也提出了一种新的支配关系，称为α支配。
在α支配关系中，比较一个目标的同时会考虑其它目标函数值。
通过一个线性平衡函数重新计算对比时的目标值，若一个解在一个目标上显著优于另一个解，而在另一个目标上则略微处于弱势，则前者仍然能α支配后者，这样的支配关系有利于选择更好的解。
除此之外，还有多种算法建立在改进的Pareto支配关系之上，例如基于网格支配的GrEA 算法[10]、基于ε排序策略的εR-EMO算法[11]等。
3.2 基于分解的多目标进化算法将一个多目标优化问题分解为一组单目标的子问题进行求解也是一个常见的解决方法。
常见的分解方法包括加权和法、切比雪夫法以及基于惩罚值的边界交叉法[12]。
2007年，Zhang等[13]结合了上述几种分解方法提出了一种基于分解的多目标进化算法（MOEA/D），这是近年来的一个热门算法框架。
在MOEA/D算法中，通过传统的分解方法将一个多目标优化问题分解为一组单目标的子问题，然后使用进化算法同时求解这些子问题。
MOEA/D还通过权重向量之间的距离关系定义了子问题间的邻居关系。
在优化一个子问题时，通过相邻子问题间交叉变异的进化过程生成新解，并使用新解来更新当前子问题的解。
MOEA/D中还引入了一种邻居子问题间的信息共享方法，即一个新解在更新对应子问题的同时还会更新其邻居子问题。
实验表明，MOEA/D算法相较于以往的一些基于分解的算法，效果更为突出。
Li等[14]将差分进化的思想引入到MOEA/D的进化过程中，同时还限制了邻居子问题的最大更新数目，进一步提高了算法性能。
与基于Pareto支配关系的算法在超多目标优化问题中的局限不同，基于分解的算法能够直接适用于超多目标优化问题中。
针对超多目标优化问题的特性，研究人员也提出了许多改进方法。
Asafuddoula等[15]将系统抽样和自适应的ε控制技术引入到基于分解的进化算法中，在超多目标空间中生成均匀的权重向量，平衡解集的收敛性与多样性；为了解决超多目标空间选择压力过大导致的多样性丢失问题，Fabre等[16]提出了一种并行的遗传算法，将每个子问题都关联到一个子种群，通过子种群的进化实现整个种群的进化，实验结果也验证了其在多样性保持方面的优势。
3.3 基于指标的多目标进化算法多目标进化算法求得的解集可以通过许多评价指标来衡量，基于指标的多目标进化算法通过评价指标来指引算法的搜索方向，指导进化过程中新种群的选择。
Zitzler等[17]首先将评价指标引入到进化算法的选择策略中，提出一种基于评价指标的进化算法（IBEA），可以通过任意一种评价指标来对比候选解。
在IBEA中，不需要使用例如适应值共享等多样性保持策略，也不需要对整个近似Pareto最优解集进行计算，只需对比其中的部分解即可。
IH指标可以衡量一个解集的质量，IH指标值越大，表示解集质量越好。
为了能够最大化一个解集的IH指标值，Emmerich等[18]提出了一种基于S-度量选择的多目标进化算法（SMS-EMOA）。
SMS-EMOA通过IH指标的梯度信息来指导种群进化过程。
在处理低维的多目标优化问题时，SMS-EMOA求得的解集具有很好的收敛性和多样性。
但是，在面对超多目标优化问题时，SMS-EMOA的计算复杂度成指数上升，算法效果急剧下降。
其每一代进化的计算复杂度为O（Nm/2+1），其中N为种群大小，m为问题的目标个数。
Brockhoff等[19]将目标空间缩小技术与基于IH指标的方法结合起来，提出一种新的算法，通过使用不同的目标空间缩小方法提高基于IH指标的算法性能。
IH指标的计算是一个非常耗时的过程，对基于IH指标的算法有很大影响。
为了克服计算过于复杂的弊端，Bader等[20]提出了一种快速的近似计算方法，使用蒙特卡罗模拟近似计算解集的IH值，并提出了一种基于IH指标近似的多目标进化算法，在处理超多目标优化问题上取得了令人满意的成果。
通过将非支配排序和R2指标结合起来，Manriquez等[21]提出了R2-MOGA和R2-MODE 算法，在处理超多目标优化问题时有显著优势；Gomez等[22]也提出了一种基于R2指标的优化算法MOMBI，同样也取得了不错的优化效果。
3.4 混合算法在多目标进化算法中，研究人员提出了众多优化技术，不同技术均有其独特优势，例如基于Pareto支配关系的算法能够适应各种形状的Pareto前沿，但在处理超多目标优化问题时却显得不尽如人意；基于分解的算法通用性较好，但是常规的分解方法却容易导致解集多样性的丢失。
其它的优化技术也各有优缺点。
将这些技术混合起来，结合各种方法的优点来处理复杂的优化问题，也是一种非常有效的方法。
一种方法是将全局搜索与局部搜索结合起来，即多目标模因算法。
例如，在Adra等[23]的算法中，对每一代进化中求得的最优解使用局部搜索策略在目标空间进一步优化，随后将优化后的解映射到对应的决策空间并预测其具体的决策向量；在Wang等[24]的算法中，则使用局部搜索来生成子代解。
另一种广泛使用的方法是将不同方法中的搜索策略结合起来，例如将粒子群优化和进化算法结合起来[25]，在每一代中，由粒子群优化产生的解再使用进化算法进行优化。
另一方面，还可以根据进化过程的不同特性将整个进化过程划分为多个阶段，在不同阶段使用不同的搜索策略。
例如在Yang等[26]的算法中，进化过程包含3个阶段，分别侧重于被支配的解、平衡支配解和非支配解，以及着重于非支配解3个部分，结合NSGA-II算法的思想和局部增强搜索策略来实现各个阶段的进化过程。
4 结语多目标进化算法由于其基于种群的特性而成为处理多目标优化问题的一种热门方法。
本文进行了多目标优化问题的相关数学描述，简要介绍了相关理论定义。
根据多目标进化算法的特性，本文还将近年来的主流进化算法分为4类进行阐述，并分析了它们的优缺点，以更好地应用于多目标优化问题的求解。
参考文献：[1]POOLE D，MACKWORTH A，GOEBEL putational intelligence：a logical approach[M].Oxford University Press，1997.[2]ZITZLER E，THIELE L.Multiobjective evolutionary algorithms：a comparative case study and the strength Pareto approach[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，1999，3（4）：257-271.[3]ZITZLER E，LAUMANNS M，THIELE L.SPEA2：improving the strength Pareto evolutionary algorithm[C].Eurogen，2001，3242（103）：95-100.[4]CORNE D W，KNOWLES J D，OATES M J.The Pareto envelope-based selection algorithm for multiobjective optimization[C].International Conference on Parallel Problem Solving from Nature.Springer Berlin Heidelberg，2000：839-848.[5]CORNE D W，JERRAM N R，KNOWLES J D，et al.PESA-II：region-based selection in evolutionary multiobjective optimization[C].Proceedings of the Genetic And Evolutionary Computation Conference （GECCO’2001），2001.[6]DEB K，PRATAP A，AGARWAL S，et al.A fast and elitist multiobjective genetic algorithm：NSGA-II[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6（2）：182-197.[7]LAUMANNS M，THIELE L，DEB K，et bining convergence and diversity in evolutionary multiobjective optimization[J].Evolutionary Computation，2002，10（3）：263-282.[8]DEB K，MOHAN M，MISHRA S.Evaluating the epsilon-domination based multi-objective evolutionary algorithm for a quick computation of pareto-optimal solutions[J].Evolutionary Computation，2005，13（4）：501-525.[9]IKEDA K，KITA H，KOBAYASHI S.Failure of pareto-based MOEAs：does non-dominated really mean near to optimal？[C].Evolutionary Computation，Proceedings of the 2001 Congress on.IEEE，2001：957-962.[10]YANG S，LI M，LIU X，et al.A grid-based evolutionary algorithm for many-objective optimization[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2013，17（5）：721-736.[11]AGUIRRE H，TANAKA K.Space partitioning with adaptive ε-ranking and substitute distance assignments：a comparative study on many-objective mnk-landscapes[C].Proceedings of the 11th Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation.ACM，2009：547-554.[12]MIETTINEN K.Nonlinear multiobjective optimization[M].Springer Science & Business Media，2012.[13]ZHANG Q，LI H.MOEA/D：A multiobjective evolutionary algorithm based on decomposition[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2007，11（6）：712-731.[14]LI H，ZHANG Q.Multiobjective optimization problems with complicated Pareto sets，MOEA/D and NSGA-II[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2009，13（2）：284-302.[15]ASAFUDDOULA M，RAY T，SARKER R.A decomposition-based evolutionary algorithm for many objective optimization[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2015，19（3）：445-460.[16]GARZA-FABRE M，TOSCANO-PULIDO G，COELLO C A C，et al.Effective ranking+ speciation= many-objective optimization[C].2011 IEEE Congress of Evolutionary Computation （CEC）.IEEE，2011：2115-2122.[17]ZITZLER E，KNZLI S.Indicator-based selection in multiobjective search[C].International Conference on Parallel Problem Solving from Nature.Springer Berlin Heidelberg，2004：832-842.[18]EMMERICH M，BEUME N，NAUJOKS B.An EMO algorithm using the hypervolume measure as selection criterion[C].International Conference on Evolutionary Multi-Criterion Optimization.Springer Berlin Heidelberg，2005：62-76.[19]BROCKHOFF D，ZITZLER E.Improving hypervolume-based multiobjective evolutionary algorithms by using objective reduction methods[C].2007 IEEE Congress on Evolutionary Computation.IEEE，2007：2086-2093.[20]BADER J，ZITZLER E.HypE：an algorithm for fast hypervolume-based many-objective optimization[J].Evolutionary Computation，2011，19（1）：45-76.[21]DAZ-MANRQUEZ A，TOSCANO-PULIDO G，COELLO C A C，et al.A ranking method based on the R2 indicator for many-objective optimization[C].2013 IEEE Congress on Evolutionary Computation.IEEE，2013：1523-1530.[22]GMEZ R H，COELLO C A C.MOMBI：a new metaheuristic for many-objective optimization based on the R2 indicator[C].2013 IEEE Congress on Evolutionary Computation，2013：2488-2495.[23]ADRA S F，DODD T J，GRIFFIN I A，et al.Convergence acceleration operator for multiobjective optimization[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2009，13（4）：825-847.[24]WANG Y，CAI Z，GUO G，et al.Multiobjective optimization and hybrid evolutionary algorithm to solve constrained optimization problems[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part B （Cybernetics），2007，37（3）：560-575.[25]ELHOSSINI A，AREIBI S，DONY R.Strength Pareto particle swarm optimization and hybrid EA-PSO for multi-objective optimization[J].Evolutionary Computation，2010，18（1）：127-156.[26]YANG D，JIAO L，GONG M.Adaptive multi-objective optimization based on nondominated solutions[J].Computational Intelligence，2009，25（2）：84-108.（责任编辑：黄健）。