初三中考数学图形的相似
中考数学总复习之图形的相似(15大题)
中考数学总复习之图形的相似（15大题）1．小明和小红学习了《利用相似三角形测高》一课后，对我国杰出数学家刘徽的著作《海岛算经》非常感兴趣，也想利用相同的方法测量广场上路灯的高度．如图所示，他们在广场上竖立两根长均为1.5米的标杆BC 和DE ．测得标杆BC 在路灯AH 下的影长BF 为1米，标杆BF 在路灯AH 下的影长DG 为3米，两根标杆BC 和DE 之间的距离BD 为10.8米．已知AH ⊥HG ，CB ⊥BF ，ED ⊥DG ，点H 、B 、F 、D 、G 五点在同一直线上，求路灯的高AH ．2．如图，点D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，DE ∥BA ，DF ∥CA ． （1）求证：∠FDE ＝∠A ．（2）若BD ：DC ＝1：4，S △CDE ＝16，求S △ABC ．3．（2023•镇海区校级一模）如图，在△ABC 中，BC AC=23，D ，M ，N 分别在直线AB ，直线AC ，直线BC 上．（1）若D 是AB 中点，∠MDN ＝∠A +∠B ，求MD ND ；（2）若点D ，M ，N 分别在AB ，CA ，CB 的延长线上，且ABBD=34，∠MDN ＝∠ACB ，求MD ND．4．（2023•工业园区校级模拟）如图，已知BF 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上（异于B 、F ）一点，过点A 的直线MA 与FB 的延长线交于点M ，G 为BF 上一点，AG 的延长线交⊙O 于点E ，连接BE ，∠MAE +∠AFM ＝90°． （1）求证：AM ∥EF ；（2）MA ＝6√2，BE ＝2，记△AMF 的面积为S 1，记△AEF 的面积为S 2，记△EFG 的面积为S 3，若S 1•S 3=35S 22，求⊙O 的半径．5．（2023•舟山一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，以A 为圆心，AE 为半径作⊙A 交BE 于点F ，直线AB 交⊙A 于G 、H 两点，AF 的延长线交BC 于点D ，作EK ⊥BC ，垂足为点K ． （1）求证：AD ⊥BC ； （2）求证：BF BE=AD AC；（3）当BF •BE ＝BG •BH 且AH ＝BD 时，求证：BFBG=AC BE．6．（2023春•桐城市月考）如图，平面直角坐标系中点A （﹣3，3），B （﹣5，1），C （﹣2，0），P （a 、b ）是△ABC 的边AC 上的任意一点．（1）以点M （﹣1，2）为位似中心，在M 点的右侧把△ABC 按2：1放大得△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；直接写出△A 1B 1C 1的边A 1C 1上与点P （a 、b ）的对应点P 1的坐标． （2）将△ABC 绕N （﹣1，﹣2）逆时针旋转90°得△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2，求旋转过程中线段BC在平面上扫过部分的面积．（用π表示）7．（2022秋•兴县期末）数学社团的同学们想用边长为20cm的正方形铝板，设计小组会徽下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题；“兴趣小组”：我们小组设计的会微如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”．“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为16cm2．解决问题：（1）“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于cm（精确到0.1 cm）．（2）请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少cm？8．（2023•蜀山区校级模拟）如图，已知△ABC ，在已知的直角坐标系网格内画出下面图形： （1）画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，其中点C 为位似中心，且A 1B 1AB=2．（2）画出△ABC 经过平移后得到的△A 2B 2C 2，其中△ABC 的一边上的点K （x ，y ），平移后的对应点为K 2（x +4，y ﹣4）．9．（2023春•南岸区校级月考）如图，已知在直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，E 为AC 边上一点，连接BE ，过E 作ED ⊥AC ，交BC 边于点D ．（1）如图1，连接AD ，若CE ＝2，BD ＝3√2，∠C ＝45°，求△ADE 的面积； （2）如图2，作∠ABC 的角平分线交AC 于点F ，连接DF ，若∠BDE ＝∠CDF ，求证：AE +DE =√2BE ；（3）如图3，若∠C ＝30°，将△BCE 沿BE 折叠，得到△BEF ，且BF 与AC 交于点G ，连接AD ，DF ，点E 在AC 边上运动的过程中，当BF ⊥AC 时，直接写出DF DA的值．10．（2023春•西湖区校级期中）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，过点F 作DF ⊥BC ，其中AD =185，BC ＝8． （1）求证：AC 3BC 3=AE BF；（2）求BD 的值．11．（2023•普陀区一模）已知：如图，在四边形ABCD 中，E 为BC 上一点，AB •DE ＝AE •EC ，∠ABE ＝∠AED ． （1）求证：△ABE ∽△ECD ；（2）如果F 、G 、H 分别是AE 、DE 、AD 的中点，联结BF 、HF 、HG 、CG ．求证：BF •HF ＝CG •HG ．12．（2022秋•辽宁期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，联结AD ，BE 交于点G ，且AD ＝CD ． （1）如果BE ＝AB ，求证：BE •AG ＝BC •EG ；（2）如果射线CG 交AB 于点P ，且AD •AE ＝BD •CE ，求证：点P 是AB 中点．13．（2023•大连模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，AD＝3cm，BD＝4DC，点P是AB边上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ⊥BC于点Q，点M在射线QC上，且QM＝BQ．设BQ＝xcm，△PQM与△ABD重叠部分的面积为Scm2．（1）求AB的长；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．14．（2022秋•河西区校级期末）如图，D，E，F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF 为矩形，BC＝6，∠A＝30°．（1）求AB的长；（2）设AE＝x，则DE＝，EF＝（用含x的表达式表示）；（3）求矩形CDEF的面积的最大值．15．（2023•宝山区一模）已知：如图，四边形ABCD、ACED都是平行四边形，M是边CD 的中点，联结BM并延长，分别交AC、DE于点F、G．（1）求证：BF2＝FM•BG；（2）联结CG，如果AB=√2CG，求证：∠BGC＝∠BAC．。
中考数学知识点总结图形的相似
中考数学知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。
它不仅在几何题目中频繁出现，也是解决实际问题的有力工具。
下面就让我们一起来详细了解一下图形相似的相关知识。
一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。
比如说，两个正方形，它们的边长可能不同，但形状是一样的，这就是相似图形。
相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形就是相似多边形。
二、相似三角形1、相似三角形的判定（1）两角分别相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（1）相似三角形对应边的比等于相似比。
（2）相似三角形对应角相等。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三、相似三角形的应用1、测量高度在实际生活中，我们常常需要测量一些物体的高度，比如旗杆、建筑物等。
这时就可以利用相似三角形的知识来解决。
通过测量一些已知长度的线段和对应的角度，构建相似三角形，从而求出物体的高度。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量距离。
比如，在河的一岸要测量到对岸某一点的距离，可以在这一岸选取两个点，构建相似三角形，通过测量已知边的长度和角度，来计算出河的宽度。
四、位似图形1、位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
（2）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。
3、位似图形的作图在位似图形的作图中，要先确定位似中心，然后根据位似比确定对应点的位置，最后连接各点得到位似图形。
中考数学《图形的相似》按考点试题
第二十四章 图形的相似考点一：相似图形的概念例1：下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定是相似图形的有哪些？考点二：线段的比和比例线段的概念例2：在一幅地图上，量得甲、乙两地的距离是4厘米，乙、丙两地距离是3.6厘米，已知乙、丙两地实际距离是36千米，求甲、乙两地的实际距离．例3：判断下列各组线段是否成比例（1）4cm 、6cm 、8cm 、2cm （2）1.5cm 、4.5cm 、2.5cm 、7.5cm（3）1.1cm 、2.2cm 、3.3cm 、6.6cm （4）2cm 、4cm 、4cm 、8cm ．考点三：比例的基本性质例4（1）已知2132x y y x -=+，求x y的值。
（2）已知::2:3:4a b c =求2324a b c a b c +--+的值。
（3）已知345x y z ==，求代数式236324x y z x y z-+-+的值。
例5:已知实数a b c 、、满足b c c a a b k a b c+++===，判断函数3y kx =-的图像一定经过哪些象限？考点四：黄金分割 例6：线段AB 的长度为10厘米，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为多少？ 考点五：相似三角形的概念例7：如图，点D 、E 是ABC ∆的边BC 上的两点，且AD=AE, ADE ∠=70°，ADBCEA ∆∆,求BAC ∠的度数。
考点六：相似三角形的判定方法一例8：在Rt ∆ABC 中ABC ∠=90°，BD ⊥AC 交AC 于点D.（1）求证：ABCADB BDC ∆∆∆ (2)求证：2BD AD CD =⋅;2AB AD CA =⋅;2CB CD CA =⋅考点七：相似三角形的判定方法二例9：如图，∆ABC是等边三角形，且B、C在线段DE上，问：（1）当DB、BC、 CE满足什么条件时，∆ABD相似于∆ECA？∠的度数。
中考数学复习《图形的相似》
(3)设 EG＝KD＝x，则 AK＝80－x. EF AK EF 80－x 3 ∵△AEF∽△ABC，∴BC＝AD，即120＝ 80 ，∴EF＝120－2x， 3 32 3 ∴矩形面积 S＝x(120－2x)＝－2x ＋120x＝－2(x－40)2＋2 400， 故当 x＝40 时，此时矩形的面积最大，最大面积为 2 400 mm2
(3)如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【解析】(1)根据正方形的对边平行得到 BC∥EF，利用“平行于三角形的 一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似” EF 判定即可；(2)设 EG＝EF＝x，用 x 表示 AK，根据△AEF∽△ABC 列比例式BC AK ＝AD可计算正方形边长； (3)设 EG＝KD＝x， 根据△AEF∽△ABC 用 x 表示 EF， 根据矩形面积公式可以写出矩形面积关于 x 的二次函数，根据二次函数求出矩 形的最大值．
【解析】根据题意可知一块 10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费 180 元， 18 因此每平方厘米的广告费为：180÷50＝ 5 元，然后根据相似三角形的性质， 由该版面的边长都扩大为原来的 3 倍， 18 广告费为：3×10×3×5× 5 ＝1620 元．故选 C.
3．(2017· 杭州)如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC， AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； AF (2)若 AD＝3，AB＝5，求AG的值． 证明：(1)∵AF⊥DE，AG⊥BC，
EA OD 3 (2)两个矩形不可能全等．当EG＝ DE ＝2时，两个矩形相似， 3 3 3 EA＝2EG，设 EG＝x，则 EA＝2x，∴OB＝2＋2x，FB＝3－x， 3 3 5 ∴F(2＋2x，3－x)，∴(2＋2x)(3－x)＝6，解得 x1＝0(舍去)，x2＝3， 5 5 EG 3 5 ∴EG＝3，∴矩形 AEGF 与矩形 DOHE 的相似比为DE＝2＝6
中考数学专题13 图形的相似(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题13 图形的相似1．（2019•常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B【解析】∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1∶2．故选B．2．（2019•兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'=A．2 B．43C．3 D．169【答案】B【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，∴8463BC ABB C A B''''=--．故选B．3．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B【解析】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴AE EGAD DH=，∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴AE EFAD CD=，∴EG EFDH CD=，∵EG=EF，∴DH=CD，设DH=x，则CD=x，∵BC=12，AC=6，∴BD=12-x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴DH BDAC BC=，即12612x x-=，解得，x=4，∴CD=4，故选B．4．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=【答案】C【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴DN AN BM AM=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴NE ANMC AM=，∴DN NEBM MC=．故选C．5．（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处【答案】B【解析】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、，“车”、“炮”之间的距离为1，12==，∴马应该落在②的位置，故选B．6．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【解析】∵△ABO∽△CDO，∴BO ABDO DC=，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴632AB=，解得AB=4．故选C．7．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD AEAC AB=，即246AE=，解得AE=3，故选C．8．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，∴S△AOB：S△BOE=2，设S △BOE =S ，S △AOB =2S ，又BO =OD ，∴S △AOD =2S ，S △ABD =4S ，∵AD ∶DC =1∶2，∴S △BDC =2S △ABD =8S ，S四边形CDOE=7S ，∴S △AEC =9S ，S △ABE =3S ，∴3193ABE AEC S BE S EC S S ===△△，故选B ． 9．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB =AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】D【解析】如图，根据题意得△AFH ∽△ADE ，∴2239()()416AFH ADE S FH S DE ===△△，设S △AFH =9x ，则S △ADE =16x ，∴16x -9x =7，解得x =1，∴S △ADE =16， ∴四边形DBCE 的面积=42-16=26．故选D ．10．（2019•玉林）如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有A ．3对B ．5对C ．6对D ．8对【答案】C【解析】图中三角形有：△AEG ，△ADC ，CFG ，△CBA ， ∵AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，∴△AEG ∽△ADC ∽CFG ∽△CBA ，共有6个组合分别为：∴△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽CFG ，△AEG ∽△CBA ，△ADC ∽CFG ，△ADC ∽△CBA ，CFG ∽△CBA ，故选C ．11．（2019•淄博）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为A ．2aB ．52a C ．3aD ．72a【答案】C【解析】∵∠CAD =∠B ，∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ，∴2()ACD BCA S AC S AB =△△，即14BCA a S =△， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为：4a -a =3a ，故选C ．12．（2019•邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′=1∶2D ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C【解析】∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上，AB ∥A ′B ′， AO ∶OA ′=1∶2，故选项C 错误，符合题意．故选C ．13．（2019•淮安）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB =3，DE =2，BC =6，则EF =__________．【答案】4【解析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB DEBC EF=，又AB =3，DE =2，BC =6，∴EF =4，故答案为：4．14．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=__________．【答案】2 5【解析】∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，∴22235 OA ABOC CD===+．故答案为：25．15．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16 5【解析】在Rt△ABC中，AB，由射影定理得，AC2=AD·AB，∴AD=2ACAB=165，故答案为：165．16．（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）【解析】以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×12，2×12）或（-4×12，-2×12），即（2，1）或（-2，-1），故答案为：（2，1）或（-2，-1）．17．（2019•烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）【解析】如图，P点坐标为（-5，-1）．故答案为：（-5，-1）．18．（2019•南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD=BD=3，∴∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=∠B，∵∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC=，∴AC 2=AD ×AB =2×5=10，∴AC19．（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为__________m ． 【答案】54【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为60 m ， ∴1.8390h=，解得h =54（m ）．故答案为：54． 20．（2019•福建）已知△ABC 和点A '，如图．（1）以点A '为一个顶点作△A 'B 'C '，使△A 'B 'C '∽△ABC ，且△A 'B 'C '的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D '、E '、F '分别是你所作的△A 'B 'C '三边A 'B '、B 'C '、C 'A '的中点，求证：△DEF ∽△D 'E 'F '．【解析】（1）作线段A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，得△A 'B 'C '即可所求．∵A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴2()4A B C'ABC ''S A B''S AB==△△．（2）如图，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴111222DE BC DF AC EF AB ===，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．21．（2019•凉山州）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．【解析】（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴AD BD BD CD=，∴BD2=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，∴BC2=BD2-CD2=12，∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC=∵BM ∥CD ，∴△MNB ∽△CND ，∴23BM MN CD CN ==，且MC =，∴MN =5． 22．（2019•巴中）△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，使其位似比为1∶2．且△A 1B 1C 位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．②作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C ． ③在②的条件下求出点B 经过的路径长．【解析】①如图，△A 1B 1C 为所作，点A 1的坐标为（3，-3）． ②如图，△A 2B 2C 为所作．③OB =点B 经过的路径长=90ππ1802⋅=．23．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC =2 m ，BD =2.1 m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE ．【解析】如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF 并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴AC MA MO FG MF MH==，即：AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ===++，∴21.62.1OEOE=+，∴OE=32，答：楼的高度OE为32米．24．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ， 又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ABPB PC BC ==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴PB PA ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3， ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ， ∴2PE APDP PC==，即322h h =，∴h 3=2h 2，∵△PAB ∽△PBC ，∴12h AB h BC==∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即h 12=h 2·h 3．25．（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，1111AB BCA B B C =11CDC D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD相似，求21S S 的值．【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真． （2）如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且1111BC CDB C C D =， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ， ∵111111AB BC CD A B B C C D ==，∴1111BD ABB D A B =， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1， ∴∠ABD =∠A 1B 1D 1， ∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴1111AD ABA D AB =，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11111111AB BC CD ADA B B C C D A D ===，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似． ∴DE EFAE AB=， ∵EF =OE +OF ，∴DE OE OFAE AB+=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴DE OE DE OC OF AD AB AD AB AB =-=，，∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+，∴2DE DEAD AE =， ∵AD =DE +AE ， ∴21DE AE AE=+，∴2AE =DE +AE ， ∴AE =DE ，∴12S S =1．祝你考试成功!祝你考试成功!。
中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)
中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．两个相似三角形的相似比是1:2，则其对应中线之比是( )A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:42．如图，在ABC 中2AC =，BC=4，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC △的面积为2，则ABD △的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．若35a b =，则下列各式一定成立的是（ ）A ．53a b =B ．35a b =C ．65a b a +=D ．145a b += 4．如图，在ABC 中DE BC ∥，AD=1，BD=2，AC=6，则CE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别是BC AC ，上的点72AB CD ==，，60ADE ∠=︒则AE 等于（ ）A ．5B ．397C ．6D ．4176．下列命题正确的是（ ）A ．方程210x x --=没有实数根B ．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似C ．平分弦的直径垂直于弦D ．反比函数的图像不会与坐标轴相交7．已知ABC DEF ∽△△，:1:2AB DE =且ABC 的周长为6，则DEF 的周长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．248．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()0,0,1,2,0,3O A B ．若OA B ''△与OAB 是原点O 为位似中心的位似图形，且点B 的对应点为()0,9B '-，则点A 的对应点A '坐标为（ ） A ．()3,6 B ．()3,6-- C ．()3,6- D ．()3,6- 9．如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC △∽△的是（ ）A ．ACDB ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AB AD AC = 10．如图，已知ABC DAC △∽△，37B ∠=︒和116∠=︒D ，则BAD ∠的度数为（ ）A ．37︒B ．116︒C ．153︒D ．143︒二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，8AB =和4BC =，连接AC ，EF AC ⊥于点O ，分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接AF 、CE ，则AF CE +的最小值为 ．12．如图，在ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，点F 为DE 中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，则:AG GE = ．13．如图AC ，AD 和CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：（1）CA 平分BCF ∠；（2）2CF EF =；（3）四边形ABCF 是菱形；（4）2AB AD EF =⋅．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）14．如图AC 、BD 交于点O ，连接AB 和CD ，若要使AOB COD ∽，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)15．如图，在ABC 中4AC AB ==和30C ∠=︒，D 为边BC 上一点，且3CD =，E 为AB 上一点，若30ADE ∠=︒，则BE 的长为 ．16．在ABC 中，6810AC BC AB D ===，，，是AB 的中点，P 是CD 上的动点，若点P 到ABC 的一边的距离为2，则CP 的长为 ．17．如图，M 是Rt ABC △斜边AB 上的中点，将Rt ABC △绕点B 旋转，使得点C 落在射线CM 上的点D 处，点A 落在点E 处，边ED 的延长线交边AC 于点F ．如果3BC =．4AC =那么BE 的长为 ；CF 的长为 ．18．如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若:3:1BF FD =，8BC =则CE 的长为 ．三、解答题19．已知O 为ABCD 两对角线的交点，直线l 过顶点D ，且绕点D 顺时针旋转，过点A ，C 分别作直线l 的垂线，垂足为点E ，F ．(1)如图1，若直线l 过点B ，求证：OE OF =；(2)如图2，若EFO FCA ∠=∠，2FC AE =求CFO ∠的度数；(3)如图3，若ABCD 为菱形4AE =，6AO =和8EO =直接写出CF 的长． 20．如图，在ABC 中2BAC C ∠=∠，利用尺规作图法在BC 上求作一点D ，使得ABDCBA ．（不写作法，保留作图痕迹）21．如图，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点E 作EF CB ∥交BD 于点F ．(1)求证：ACE BAC ∽△△；(2)若5AC =，5AB =求CE 及EF 的长．22．如图，在直角梯形OABC 中BC AO ∥，=90AOC ︒∠点A 、B 的坐标分别为()5,0、()2,6点D 为AB 上一点，且2BD AD =．双曲线()0k y x x=>经过点D ，交BC 于点E ．求点E 的坐标．23．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．求证：APE FPA △∽△．24．如图1，菱形AGBD 边长为3，延长DB 至点C ，使得5BC =．连接AB ，AB AD =点E ，F 分别在线段AD 和AB 上，且满足DE AF =，连接BE ，DF 交于点O ，过点B 作BM BE ⊥，交DF 延长线于点M ，连接CM ．图1 图2(1)求OB 与BM 之间的数量关系；(2)当DMB DCM △∽△时，求DO 的长度；(3)如图2，过点M 作MN CD ⊥交CD 于N ，求MN MC的最大值． 1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．C8．B9．C10．C11．1012．2:113．①①①14．A C ∠=∠(答案不唯一)15．9416．103或52或3512 17． 59418．16519．(2)60CFO ∠=︒(3)CF 的长为7 21．(2)1CE = 655EF =． 22．4,63⎛⎫ ⎪⎝⎭/11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭ 24．(1)3BM OB =(2)1OD =(3)1014101911316206517MN CN ++=。
知识必备08 相似三角形(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：d ad=bc②a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.典例1：（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 1.2 倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．典例2：（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. (3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.典例3：（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 5 ．【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB ＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．典例4：（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．典例5：（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE 的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．典例6:（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∵AB是⊙O的直径，AD＝3，∴∠ADB＝90°，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．典例7：（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【分析】解法一：先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB 的长，最后由线段的差可得结论．解法二：过点C作CM⊥OD于C，证明△EGF∽△MDC可得结论．【解答】解：解法一：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF，∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG，∴＝，即＝，∴AO＝15，同理得△BOC∽△AOD，∴＝，即＝，∴BO＝12，∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M，∵△EGF∽△MDC，∴＝，即＝，∴CM＝3，即AB＝CM＝3（米），答：旗杆的高AB是3米．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．典例8：（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．（1）求证：△ABM∽△EBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E为BC的中点，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：∵sin B＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值为，答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．考点三、位似图形1.位似图形的定义： 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类： (1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. (2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.典例9：（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．。
初三数学图形的相似试题
初三数学图形的相似试题1.若，则= ．【答案】.【解析】先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解;∵，∴.∴.【考点】比例的性质．2.如图，测得BD="120" m，DC="60" m，EC="50" m，则河宽AB为（）．A．120 m B．100 m C．75 m D．25 m【答案】B．【解析】根据题意易知：△ABD∽△ECD∴∴m．故选B．【考点】相似三角形的判定与性质．3.如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连结AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求证：(1)CG＝BH，(2)FC2＝BF·GF，(3)＝.【答案】见解析【解析】证明：(1)∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠BCG＝90°，∠BAH＋∠ABH＝90°，∴∠BAH＝∠CBG，∠ABH＝∠BCG，AB＝BC，∴△ABH≌△BCG，∴CG＝BH；(2)∵∠BFC＝∠CFG，∠BCF＝∠CGF＝90°，∴△CFG∽△BFC，∴＝，即FC2＝BF·GF；(3)由(2)可知，△BCG∽△BFC∴＝，∴BC2＝BG·BF，∵AB＝BC，∴AB2＝BG·BF，∴＝＝即＝.4.已知：如图9，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得，DC=3且﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出BD=2CD，然后求出BC，再根据两组角对应相等两三角形相似求出△ABC和△DAC相似，然后根据相似三角形对应边成比例可得AC:CD="BC:AC" ，代入数据计算即可得解；（2）根据翻折的性质可得∠E=∠C，DE=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠EDF，然后求出∠EDF=∠CAD，再根据两组角对应相等两三角形相似求出△EFD和△ADC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．试题解析：（1）∵﹦1﹕2∴CD：BD=1:2∵DC="3" ∴BD="6"在△ACD和△BCA中，∠CAD=∠B，∠C=∠C∴△ACD∽△BCA∴即∴．（2）∵翻折∴∠C=∠E，∠1=∠2，DE="DC=3"∵AB∥DE∴∠3=∠B∵∠1=∠B∴∠1=∠3∴△ACD∽△DEF∴．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.翻折变换（折叠问题）．5.若x：y=6：5，则下列等式中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵x：y=6：5，∴设x=6k，y=5k，A．，故本选项错误；B．，故本选项错误；C．，故本选项错误；D．，故本选项正确．故选D．【考点】比例的性质．6.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为；AD的中点E的对应点记为.若∽，则AD=__________.【答案】.【解析】利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．试题解析：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC=，设AD=，∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，∴AE=DE=DE1=A1E1=，∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴=，即，解得DF=，在Rt△DE1F中，=，又∵BE1=AB﹣AE1=10﹣3x，△E1FA1∽△E1BF，∴，∴，即，解得，∴AD的长为．故答案为：．【考点】1．相似三角形的性质；2．坐标与图形性质；3．翻折变换（折叠问题）．7.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．【答案】（1）作图见解析；（2）2:1 ；（3）（6，0），（3，-2），（4，-4），作图见解析.【解析】（1）对应点连线的交点即为位似中心点；（2）根据网格中的距离即可写出△ABC与△Ａ′Ｂ＇Ｃ＇的位似比；（3）作出△A＇Ｂ＇Ｃ＇关于点 O中心对称的△Ａ″Ｂ″Ｃ″，根据平面直角坐标系中的位置写出△Ａ″Ｂ″Ｃ″各顶点的坐标.试题解析：（1）图中点O为所求：（2）△ABC与△A＇B＇C＇的位似比等于2:1 .（3）△A＇＇B＇＇C＇＇为所求，A＇＇（6，0）；B＇＇（3，-2）； C＇＇（4，-4）.【考点】1.作图（位似和中心对称变换）；2.平面直角坐标系和点的坐标.8.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=900，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止。
2024年中考数学总复习专题17图形的相似与位似命题39图形的相似与位似
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中考命题39 图形的相似与位似
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中考命题39 图形的相似与位似
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解析：设 A1(m，n)，
∵△ABC 与△A1B1C1 位似，原点 O 是位似中心，且AA1BB1 ＝3.A(9，3)，
∴位似比为31 ，∴m9 ＝31 ，n3 ＝31 ，解得 m＝3，n＝1，
3．[2022哈尔滨，9，3分]如图，AB∥CD，AC，BD相交
C 于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为( )
3 A.2 C．92
B．4 D．6
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中考命题39 图形的相似与位似
解析：因为 AB∥CD，所以ACEE ＝DBEE ， 所以 BE＝AEC·EDE ＝1×2 3 ＝32 ， 所以 BD＝BE＋DE＝32 ＋3＝92 .故选 C.
∴x＋x 3 ＝x8＋＋1x3 ，解得 x＝12， ∴AD＝8＋x＝20， 在 Rt△ADN 中，由勾股定理，得 AN＝ AD2＋DN2 ＝ 202＋122 ＝4 34 .
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中考命题39 图形的相似与位似
7．[2022 北京，15，2 分]如图， 在矩形 ABCD 中，若 AB＝3，AC ＝5，AFCF ＝14 ，则 AE 的长为 ____1____．
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中考命题39 图形的相似与位似
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解析：如图，过点 D 分别作 BE，AC 的垂线，垂足分
别为点 M，N.
∵∠ACD＝∠BED＝45°，E 为 CD 的中点，
∴DN＝
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浙江省2023年中考数学真题(图形的相似)附答案
浙江省2023年中考数学真题(图形的相似)一、选择题1．如图.在直角坐标系中.△ABC的三个顶点分别为A(1.2) B(2.1) C(3.2).现以原点O为位似中心.在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′.则顶点C′的坐标是（）A．(2，4)B．(4，2)C．(6，4)D．(5，4)2．如图.点P是△ABC的重心.点D是边AC的中点.PE∥AC交BC于点E.DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6.则△ABC的面积为（）A．12B．14C．18D．243．如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∥C=45°.以AB为腰作等腰直角三角形BAE.顶点E恰好落在CD边上.若AD=1．则CE的长是（）A．√2B．√2C．2D．124．如图.在△ABC中.D是边BC上的点（不与点B.C重合）.过点D作DE//AB交AC于点E；过点D作DF//AC交AB于点F.N是线段BF上的点.BN=2NF；M是线段DE上的点.DM=2ME.若已知△CMN的面积.则一定能求出（）A．△AFE的面积B．△BDF的面积C．△BCN的面积D．△DCE的面积5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽.图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF.使点D.E.F分别在边OC.OB.BC上.过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC，∠BOC= 30°，DE=2时.EH的长为（）A．√3B．32C．√2D．43二、填空题6．小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后.发现学习内容是一个逐步特殊化的过程.请在横线上填写适当的数值+感受这种特殊化的学习过程．7．如图.在△ABC中.AB=AC ∠A<90°.点D.E.F分别在边AB.BC.CA上.连接DE.EF.FD.已知点B和点F关于直线DE对称．设BCAB=k .若AD=DF.则CFFA=（结果用含k的代数式表示）．8．如图.在Rt△ABC中.∠C=90°,E为AB边上一点.以AE为直径的半圆O与BC相切于点D.连接AD.BE=3 BD=3√5．P是AB边上的动点.当△ADP为等腰三角形时.AP的长为．三、解答题9．如图.在⊙O中.直径AB垂直弦CD于点E.连接AC AD BC作CF⊥AD于点F.交线段OB于点G（不与点O.B重合）.连接OF．（1）若BE=1.求GE的长．（2）求证：BC2=BG⋅BO（3）若FO=FG.猜想∠CAD的度数.并证明你的结论．10．在边长为1的正方形ABCD中.点E在边AD上（不与点A.D重合）.射线BE与射线CD交于点F．（1）若ED=13.求DF的长．（2）求证：AE⋅CF=1．（3）以点B为圆心.BC长为半径画弧.交线段BE于点G．若EG=ED.求ED的长．11．如图.已知矩形ABCD.点E在CB延长线上.点F在BC延长线上.过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H.连结AF交EH于点G，GE=GH.（1）求证：BE=CF.（2）当ABFH=56，AD=4时.求EF的长.12．如图1.AB为半圆O的直径.C为BA延长线上一点.CD切半圆于点D，BE⊥CD.交CD延长线于点E.交半圆于点F.已知OA=32，AC=1.如图2.连结AF.P为线段AF上一点.过点P作BC的平行线分别交CE.BE于点M.N.过点P作PH⊥AB于点H.设PH=x，MN=y.（1）求CE的长和y关于x的函数表达式.（2）当PH<PN.且长度分别等于PH，PN.a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时.求a的值.（3）延长PN交半圆O于点Q.当NQ=154x−3时.求MN的长.13．在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列）AB=12，AD=10.∥B为锐角.且sinB=45.（1）如图1.求AB边上的高CH的长.（2）P是边AB上的一动点.点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′，D′.①如图2.当点C′落在射线CA上时.求BP的长.②当ΔAC′D′当是直角三角形时.求BP的长.14．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系.用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图.AB是⊙O的直径.直线l是⊙O的切线.B为切点．P.Q是圆上两点（不与点A重合.且在直径AB的同侧）.分别作射线AP.AQ交直线l于点C.点D．（1）如图1.当AB =6.BP ⌢长为π时.求BC 的长．（2）如图2.当AQ AB =34.BP ⌢=PQ ⌢时.求BC CD的值． （3）如图3.当sin∠BAQ =√64.BC =CD 时.连接BP.PQ.直接写出PQ BP 的值． 15．如图1.锐角△ABC 内接于⊙O .D 为BC 的中点.连接AD 并延长交⊙O 于点E.连接BE ，CE .过C 作AC 的垂线交AE 于点F.点G 在AD 上.连接BG ，CG .若BC 平分∠EBG 且∠BCG =∠AFC ．（1）求∠BGC 的度数．（2）①求证：AF =BC ．②若AG =DF .求tan∠GBC 的值.（3）如图2.当点O 恰好在BG 上且OG =1时.求AC 的长．16．已知.AB 是半径为1的⊙O 的弦.⊙O 的另一条弦CD 满足CD =AB .且CD ⊥AB 于点H （其中点H 在圆内.且AH >BH ，CH >DH ）．（1）在图1中用尺规作出弦CD 与点H （不写作法.保留作图痕迹）．（2）连结AD.猜想.当弦AB 的长度发生变化时.线段AD 的长度是否变化？若发生变化.说明理由：若不变.求出AD 的长度.（3）如图2.延长AH 至点F.使得HF =AH .连结CF.∠HCF 的平分线CP 交AD 的延长线于点P.点M 为AP 的中点.连结HM.若PD =12AD ．求证：MH ⊥CP ． 17．如图.在∥O 中.AB 是一条不过圆心O 的弦.点C.D 是AB⌢的三等分点.直径CE 交AB 于点F.连结AD 交CF 于点G.连结AC.过点C 的切线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：AD∥HC ；（2）若OG GC=2.求tan∥FAG 的值； （3）连结BC 交AD 于点N ．若∥O 的半径为5．下面三个问题.依次按照易、中、难排列.对应的分值为2分、3分、4分.请根据自己的认知水平.选择其中一道问题进行解答。
中考数学专题复习：相似图形
中考数学专题复习相似图形【基础知识回顾】一、成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们的比，即：AB CD=2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果ab=那么四条线段叫做同比例线段，简称3、比例的基本性质：ab=cd<＝>4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。
】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似⑵两边对应且夹角的两三角形相似⑶两角的两三角形相似⑷三组对应边的比的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形2、性质：⑴相似多边形对应角对应边⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、位似：1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】【典型例题解析】考点一：比例线段考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．对应训练2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．512-B．512+C．51-D．51+考点二：相似三角形的性质及其应用例 2 已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为．对应训练2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为．考点三：相似三角形的判定方法及其应用例3 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 14BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对考点：相似三角形的判定；正方形的性质．例4（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．对应训练3.如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理．4. 在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC 1A 1的度数；（2）由△ABC ≌△A 1BC 1，易证得△ABA 1∽△CBC 1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC 1的面积；（3）由①当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，即可求得线段EP 1长度的最大值与最小值．解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，∴∠CC 1B=∠C 1CB=45°，..…（2分）∴∠CC 1A 1=∠CC 1B+∠A 1C 1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA=BA 1，BC=BC 1，∠ABC=∠A 1BC 1，∴11BA BA BC BC ，∠ABC+∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1， ∴∠ABA 1=∠CBC 1，∴△ABA 1∽△CBC 1．∴1122416()()525ABA CBC S AB S BC ===△△， ∵S △ABA1=4，∴S △CBC1=254；（3）①如图1，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，∵△ABC 为锐角三角形，∴点D 在线段AC 上，在Rt △BCD 中，BD=BC×sin45°=522， 当P 在AC 上运动与AB 垂直的时候，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为：EP 1=BP 1-BE=BD-BE=522-2； ②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为：EP 1=BC+BE=2+5=7．点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．考点四：位似例5 如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是（ ）A ．16B ．13C ．12D ． 23考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的对应训练5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（2，0）B．（33,)22C．(2,2)D．(2,2)考点：位似变换；坐标与图形性质．【聚焦中考】1．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F 点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A 51-B51+C3D．2考点：相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）．2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A．（-2，3）B．（2，-3）C．（3，-2）或（-2，3）D．（-2，3）或（2，-3）考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质．3.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则BFFD的值是（）A．12B．13C．14D．15考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．4.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．考点：位似变换；坐标与图形性质．6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．【备考真题过关】一、选择题1．已知513ba=，则a ba b-+的值是（）A．23B．32C．94D．492．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．3D．31+3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）A10B13C．10D．13考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．4．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（）A．FG B．FH C．EH D．EF考点：相似图形．5.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL6.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．7.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=考点：相似三角形的判定．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．13 考点：相似三角形的判定与性质．9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 12AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A．17B．16C．15D．14考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．10．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点M B．点N C．点O D．点P11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（）A．（2，4）B．（-1，-2）C．（-2，-4）D．（-2，-1）考点：位似变换；坐标与图形性质．二、填空题14.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．15.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为。
中考数学《图形的相似》专项练习题及答案
中考数学《图形的相似》专项练习题及答案一、单选题1．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（6-√3）cm D．（3+√3）cm2．如图，DE△BC，EF△AB，现得到下列结论：AEEC=BFFC，ADBF=ABBC，EFAB=DEBC，CECF=EABF其中正确的比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:9D．1:164．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条5．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为2，则△EDC的面积是（）A．2B．8C．16D．326．如图，△ADE△△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：27．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．2︰38．如图，按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，则下列说法正确的是（）①△ABC与△DEF是相似图形；②△ABC与△DEF的周长比为2：1；③△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．①、②B．②、③C．①、③D．①、②、③9．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB=45°，则S△CDP：S△ABP 的值（）A．25B．23C．13D．1210．如图，AD△BE△CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．811．一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是()A．725B．18C．48D．2412．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（）A．B．C．D．二、填空题13．勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法．“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法．刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”．若图中BF=4，DF=2，则AE=．14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，BE=1，AE与BD交于点F．则DF的长为．15．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为17．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．18．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．三、综合题19．如图，已知△BAC=90°，AD△BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：（1）△DFB△△AFD；（2）AB：AC=DF：AF．20．一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）.（1）发现BE与DG数量关系是，BE与DG的位置关系是.（2）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图2），（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.（3）把图1中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2，AB=4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请直接写出这个定值.21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD△BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：△BAC＝△AED；（2）在边AC取一点F，如果△AFE＝△D，求证：ADBC=AFAC．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF。
2023中考数学复习：图形的相似与位似
∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( D )
A.(7,2)
1
B.(7,5)
2
3
4
C.(5,6)
5
6
7
8
9
D.(6,5)
10
11
12
13
14
15
挑战高分
基础全练
中考创新练
9.(2022·贵州贵阳)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,
AC ∶ AB=1 ∶ 2,则△ADC与△ACB的周长比是( B )
16
17
18
基础全练
挑战高分
中考创新练
∴△DBH≌△DEC.∴BH=EC.∴ = .∵DH∥AB,∴△EDH∽△EFB.
∴ = = .∴ = .∴ = ;
[问题拓展]解:如图2,取BC的中点H,连接DH.
∵D是AC的中点,∴DH∥AB,DH= AB.
(2)求 的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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15
挑战高分
基础全练
中考创新练
(1)证明:①∵CD∥AB,∴∠D=∠A,∵∠CFD=∠BFA,∴△ABF∽△DCF;
②∵OB=CO,∴∠OCB=∠ABC=45°,∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°,
∵CD∥AB,∴∠OCD=180°-∠COB=90°,∴CD是☉O的切线;
∵AE=3,EF=2AF=4,∴ME=4,BM=2,BE=3,
九年级数学中考《图形的相似》专项训练题(A)
九年级数学中考《图形的相似》专项训练题（A）1．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O，那么点B′位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14的坐标是（）．A．（3，2） B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）2. 如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。
其中正确的有（）．A. 0个B.1个C. 2个D. 3个3．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )．A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似4．现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （4，4），B （6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为（ ）A ．（2，2），（3，2）B ．（2，4），（3，1）C ．（2，2），（3，1）D ．（3，1），（2，2）6．如图，在平行四边形ABCD 中（AB ≠BC ），直线EF 经过其对角线的交点O ，且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO=BO ；②OE=OF ；③△EAM ∽△EBN ；④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是（ ）． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④AB CD O ① ②⊙o ③⊙o④⊙o7.下列图形中不是位似图形的是( ).8.在比例尺1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为 __________km.9. 如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长________，面积________．10.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，则树的高度为______________m11. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．12. 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边10 98 7 6 5 4 3 2 1 11 A 1 B 1 C 1 A B Cy AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝6，BC ＝8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是________．13.如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2，且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为．14. 如图，不等长的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，且将四边形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若12AO BO OC OD ==，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有________．15 . 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．16．如图，一个矩形ABCD 的长AD=a cm，宽AB=b cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值．17．如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.18.已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？19. 如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF 上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB•BD=BM•AB；（2）求证：AE ⊥BE ．20. 已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD 交于P 点．（1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求PC AP 的值； （2）如图2，当OA=OB ，AO AD =41时，求tan ∠BPC ；21.已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，BD=AD=AC ，AD 与CE 相交于点F ，AE 2=EF •EC ．（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF ；（2）求证：AF •AD=AB •EF ．DC P O A B 图 1D C POAB 图 222．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若==2，求的值；（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？23．如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB 于点D.(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；(3)若过A，D，C三点的圆的半径为3,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.CBA24.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD 上滑动时（•点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交AB于点E．我们知道，结论“Rt•△AEP∽Rt△DPC”成立．（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．。
中考数学《图形的相似》真题汇编含解析
图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。
中考数学专题21图形的相似(全国通用原卷版)
图形的相似一．选择题（共24小题）1．（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE ∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 2．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54B．36C．27D．21 3．（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（）A．B．C．D．4．（2022•武威）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（）A．B．C．D．5．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm 6．（2022•台湾）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B＝∠F AC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF 与△ABC的面积比为何？（）A．1：3B．1：4C．2：5D．3：8 7．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1B．C．2D．4 8．（2022•孝感）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C 为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1 9．（2022•山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割10．（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S △ADE：S△ABC＝（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4 11．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m 12．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE ∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4 14．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3 15．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE ∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③16．（2022•泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E 为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1 17．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．18．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE ＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④19．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（）A．9B．12C．15D．18 20．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．21．（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（）A．B．1C．D．2 22．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9 23．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4B．6C．9D．16 24．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④二．填空题（共17小题）25．（2022•宜宾）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝．26．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC．27．（2022•河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）AE＝．28．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．29．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．30．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．31．（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．32．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝m．33．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．34．（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD 的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈DE．（精确到0.001）35．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B 的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．36．（2022•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE ∥BC，＝．若DE＝2，则BC的长是．37．（2022•武威）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．38．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．39．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD ⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．40．（2022•达州）人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．a＝，b＝，记S1＝+，S2＝+，…，S100＝+，则S1+S2+…+S100＝．41．（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是．三．解答题（共9小题）42．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．43．（2022•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长．44．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．45．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB 到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO •FC．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．46．（2022•孝感）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；应用拓展：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．47．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．48．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．49．（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD ＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．50．（2022•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE ＝3，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG 平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．。
《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学
专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（ ）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（ ）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（ ）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（ ）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（ ）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（ ）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（ ）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（ ）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（ ）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与 相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。
2024中考数学全国真题分类卷 第十五讲 图形的相似(含答案)
2024中考数学全国真题分类卷第十五讲图形的相似命题点1比例线段类型一比例的性质1.(2022大庆)已知x2＝y3＝z4≠0，则x2＋xyyz＝________．类型二黄金分割2.(2023山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的()第2题图A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割3.(新趋势)·数学文化(2023衡阳)在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)()第3题图A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4.(新趋势)·数学文化(2023陕西)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·A B.已知AB为2米，则线段BE的长为________米．第4题图类型三平行线分线段成比例5.(2023丽水)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段AB ＝3，则线段BC 的长是()第5题图A.23 B.1 C.32 D.26.(2023凉山州)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若DE ∥BC ，AD DB ＝23，DE ＝6cm ，则BC 的长为()第6题图A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm命题点2相似的基本性质7.(2023甘肃省卷)若△ABC ∽△DEF ，BC ＝6，EF ＝4，则AC DF ＝()A.49 B.94 C.23 D.328.(2023连云港)△ABC 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF ，其最长边为12，则△DEF 的周长是()A.54B.36C.27D.219.(新趋势)·条件开放性问题(2023盐城)如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，点D ，D ′分别在边BC ，B ′C ′上，且△ACD ∽△A ′C ′D ′，若________，则△ABD ∽△A ′B ′D ′.请从①BD CD ＝B ′D ′C ′D ′；②AB CD ＝A ′B ′C ′D ′；③∠BAD ＝∠B ′A ′D ′这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．第9题图命题点3相似三角形的判定与性质类型一A 字型10.(2023云南)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为线段BC ，BA 的中点，设△ABC 的面积为S 1，△EBD 的面积为S 2，则S 2S 1＝()第10题图A.12 B.14 C.34 D.7811.(2023贵阳)如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，∠B ＝∠ACD ，AC ∶AB ＝1∶2，则△ADC 与△ACB 的周长比是()第11题图A.1∶2B.1∶2C.1∶3D.1∶4源自北师九上P90第3题12.(2023遂宁)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，其中BC ＝8，BC 边上的高为6，且DE ∥BC ，则△DEF 面积的最大值为()第12题图A.6B.8C.10D.1213.(新趋势)·条件开放性问题(2023邵阳)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC 边上，请添加一个条件________，使△ADE∽△AB C.第13题图14.(2023嘉兴)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长为________．第14题图15.(2022南充)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝3AB＝3BD，则AD∶AC的值为________．第15题图16.(2023江西)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.(1)求证：△ABC∽△AEB；(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．第16题图17.(2023杭州)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF .已知四边形BFED 是平行四边形，DE BC ＝14.(1)若AB ＝8，求线段AD 的长；(2)若△ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．第17题图18.(2020上海)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H .(1)求证：△BEC ∽△BCH ；(2)如果BE 2＝AB ·AE ，求证：AG ＝DF .第18题图19.(挑战题)(2023宁波)【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF 交DE于点G，求证：DG＝EG；【尝试应用】(2)如图②，在(1)的条件下，连接CD，CG.若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求DEBC的值；【拓展提高】(3)如图③，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD 交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．第19题图类型二8字型20.(2022雅安)如图，将△ABC 沿BC 边向右平移得到△DEF ，DE 交AC 于点G .若BC ∶EC ＝3∶1.S △ADG ＝16.则S △CEG 的值为()第20题图A.2B.4C.6D.821.(2023包头)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接AB ，C D.则△ABE 与△CDE 的周长比为()第21题图A.1∶4B.4∶1C.1∶2D.2∶122.(2022连云港)如图，△ABC 中，BD ⊥AB ，BD ，AC 相交于点D ，AD ＝47AC ，AB ＝2，∠ABC ＝150°，则△DBC 的面积是()第22题图A.3314 B.9314 C.337 D.63723.(2022淄博)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ，若BC ＝4，△AEF 的面积为5，则sin ∠CEF 的值为()A.35 B.55 C.45 D.255第23题图24.(2022云南)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点F .若BF ＝6，则BE 的长是________．第24题图25.(2022包头)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点B 作BD ⊥CB ，垂足为B ，且BD ＝3，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN ⊥CB ，垂足为N .若AC ＝2，则MN 的长为________．第25题图26.(新考法)·结合网格考查线段位置关系(2023河北)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则(1)AB 与CD 是否垂直？________(填“是”或“否”)；(2)AE ＝________．第26题图27.(2022长春)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝4,BD ＝8，点E 在边AD 上，AE ＝13AD ，连接BE 交AC 于点M .(1)求AM 的长；(2)tan ∠MBO 的值为________．第27题图28.(2023泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE 与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．第28题图类型三旋转型29.(2023玉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点(不包括端点D，C)，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a.(1)求BF的长(用含a的代数式表示)；(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．第29题图类型四三垂直型30.(2023达州)如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为()A.9B.12C.15D.18第30题图31.(2022台州)如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB ＝5,AE＝DG＝1,则BF＝________．第31题图类型五网格中相似三角形的判定与性质32.(2020昆明)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有()第32题图A.4个B.5个C.6个D.7个33.(2022临沂)如图，点A，B都在格点上，若BC＝2133，则AC的长为()第33题图A.13B.413C.213D.3133命题点4相似三角形的实际应用34.(2020绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8cm.则投影三角板的对应边长为()第34题图A.20cmB.10cmC.8cmD.3.2cm35.(2022河北)图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB＝()第35题图A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm36.(2023盐城)“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法．步骤第一步：水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼．此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离．参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10(人的手臂与眼距的比值一般为10)，得到的值约为被测物体离观测点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为()第36题图A.40米B.60米C.80米D.100米37.(2023陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.第37题图源自北师九上P103活动参考答案与解析1.562.D3.B 【解析】设该雕像的下部设计高度约为x ，则上部高度为2－x ，根据题意得2－x x ＝x2，解得x ＝－1＋5(负值已舍去)，∴x ＝－1＋2.236≈1.24.经检验x ＝1.24是该分式方程的解且符合实际，∴该雕像的下部设计高度约是1.24m.4.5－1【解析】∵E 为边AB 的黄金分割点，AB ＝2，∴BE AB ＝5－12，即BE2＝5－12，∴BE ＝(5－1)米．5.C 【解析】∵五线谱中五条横线等距离且平行，∴分割线段AC 成比例，∴根据图形得ABBC ＝21，∵AB ＝3，∴BC ＝32.6.C 【解析】∵DE ∥BC ，AD DB ＝23，∴AD AB ＝DE BC ＝25，∵DE ＝6cm ，∴BC ＝15cm.7.D8.C 【解析】△ABC 的最长边为4，与△ABC 相似的△DEF 最长边为12，∴相似比为4∶12＝1∶3，∵△ABC 的周长为2＋3＋4＝9，∴△DEF 的周长为3×9＝27.9.解：选择①BD CD ＝B ′D ′C ′D ′；证明：∵△ACD ∽△A ′C ′D ′，∴∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，AD A ′D ′＝CDC ′D ′，∴∠ADB ＝∠A ′D ′B ′，又∵BD CD ＝B ′D ′C ′D ′，∴BD B ′D ′＝CDC ′D ′，则BD B ′D ′＝CD C ′D ′＝AD A ′D ′，∴△ABD ∽△A ′B ′D ′.【一题多解】选择③∠BAD ＝∠B ′A ′D ′.证明：∵△ACD ∽△A ′C ′D ′，∴∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∴∠ADB ＝∠A ′D ′B ′，∵∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，10.B 【解析】在△ABC 中，∵D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ，∴S 2S 1＝(BE AB )2＝(12)2＝14.11.B 【解析】∵∠CAD ＝∠BAC ，∠ACD ＝∠B ，∴△ADC ∽△ACB ，∴C △ADC C △ACB＝AC AB ＝12.12.A【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，设相似比为k ，则DE ＝8k ，△ADE 的DE边上高为6k ，∴△DEF 的DE 边上高h ＝6－6k ，S △DEF ＝12DE ·h ＝12×8k ×(6－6k )＝－24k 2＋24k ＝－24(k －12)2＋6，∴当k ＝12时，S 取最大值，此时最大值为6.13.∠ADE ＝∠B (答案不唯一)【解析】∵∠A ＝∠A ，∴添加条件∠ADE ＝∠B 即可得到△ADE ∽△ABC .14.233【解析】由题意得，DE ＝1，BC ＝3，在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，则AB ＝BC tan A＝33＝3.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ，即13＝3－BD 3，解得BD ＝233.15.33【解析】∵BC ＝3AB ＝3BD ，∴BC AB ＝ABBD＝3，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△DBA ，∴AD AC ＝BD BA ＝33.16.(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，AC 为对角线，∴∠ACB ＝∠ACD .∵∠ACD ＝∠ABE ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠BAC ＝∠EAB ，∴△ABC ∽△AEB ；(2)解：∵△ABC ∽△AEB ，∴AB AE ＝AC AB ，∵AB ＝6，AC ＝4，∴6AE ＝46，∴AE ＝9.17.解：(1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE ∥BC ，∴AD AB ＝DE BC ＝14，∵AB ＝8，∴AD ＝2；(2)设△ABC 的面积为S ，△ADE 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2.∵AD AB ＝14，∴S 1S ＝(AD AB )2＝116，∵S 1＝1，∴S ＝16.∵CE CA ＝34，同理可得S 2＝9，∴平行四边形BFED 的面积为S －S 1－S 2＝6.18.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∠D ＝∠B ，∵DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE (SAS)，∴∠DCF ＝∠BCE ，∵CD ∥BH ，∴∠H ＝∠DCF ，∴∠H ＝∠BCE ，∵∠B ＝∠B ，∴△BEC ∽△BCH ；(2)∵BE 2＝AB ·AE ，∴AB BE ＝BE AE ，∵CB ∥DG ，∴AE BE ＝AG BC ，∴AG BC ＝BE AB，∵BC ＝AB ，∴AG ＝BE ，∵△CDF ≌△CBE ，∴DF ＝BE ，∴AG ＝DF .19.(1)证明：∵DE ∥BC ，∴△ADG ∽△ABF ，△AEG ∽△ACF ，∴DG BF ＝AG AF ，EG CF ＝AG AF ，∴DG BF ＝EG CF .∵BF ＝CF ，∴DG ＝EG ；(2)解：由(1)得DG ＝EG ，∵CG ⊥DE ，∴CE ＝CD ＝6.∵AE ＝3，∴AC ＝AE ＋CE ＝9.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AE AC ＝13；(3)解：如解图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，过点M 作MN ⊥BC ，垂足为N .在▱ABCD 中，BO ＝DO ，∠ABC ＝∠ADC ＝45°.∵EG ∥BD ，∴同(1)中的方法可得ME ＝GE .第19题解图∵EF ⊥EG ，∴FM ＝FG ＝10，∴∠EFM ＝∠EFG .∵∠EGF ＝40°，∴∠EFG ＝50°.∵FG 平分∠EFC ，∴∠EFG ＝∠CFG ＝50°，∴∠BFM ＝180°－∠EFM －∠EFG －∠CFG ＝30°.在Rt △FMN 中，MN ＝FM ·sin 30°＝5，FN ＝FM ·cos 30°＝53.∵∠MBN ＝45°，MN ⊥BC ，∴BN ＝MN ＝5，∴BF ＝BN ＋FN ＝5＋53.20.B 【解析】由平移性质可得，AD ∥BE ，AD ＝BE ，∴△ADG ∽△CEG .∵BC ∶EC ＝3∶1，∴BE ∶EC ＝2∶1，∴AD ∶EC ＝2∶1，∴S △ADG ∶S △ECG ＝(AD EC)2＝4.∵S △ADG ＝16，∴S △CEG ＝4.21.D 【解析】如解图，取格点F ，H ，易得△AHB ∽△DFC ，∴AB CD ＝AH DF ＝2，∠ABF ＝∠DCF ，∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∵AB ∶CD ＝2∶1，∴周长比为2∶1.第21题解图22.A 【解析】如解图，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，则∠E ＝90°，∵BD ⊥AB ，CE ⊥BD ，∴AB ∥CE ，∠ABD ＝90°，又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ，∴AD CD ＝ABCE＝BD DE .∵AD ＝47AC ，∴AD CD ＝43，∴AB CE ＝2CE ＝43＝BD DE ，则CE ＝32.∵∠ABC ＝150°，∠ABD ＝90°，∴∠CBE ＝60°，∴BE ＝33CE ＝32，∴BD ＝47BE ＝237，∴S △BCD ＝12BD ·CE ＝12×237×32＝3314.第22题解图23.A 【解析】如解图，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，过点C 作EF 的垂线交EF 的延长线于点H ，∵E 是AB 的中点，BC ＝4，∴EG ∥BC ，EG ＝12BC ＝2，∵△AEF 的面积为5，∴12AF ·EG＝5，∴AF ＝5.∵∠H ＝∠FEA ＝90°，∠CFH ＝∠AFE ，∴△CFH ∽△AFE ，∴CH AE ＝CFAF，∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝AE ，∴CH AE ＝CH CE ＝CFAF .∵∠FEA ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AE AC ＝AF AB ，∴12AB AC ＝5AB ，∴AB 2＝10AC .∵在Rt △ABC中，AB 2＝BC 2＋AC 2，∴10AC ＝16＋AC 2，∴AC ＝2(舍去)，AC ＝8，∴CF ＝3，∴sin ∠CEF ＝CH CE ＝CF AF ＝35.第23题解图24.9【解析】∵点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE ＝12AB .∴△DEF ∽△ABF ，∴EF BF ＝DE AB ＝12，∵BF ＝6，即EF 6＝12，∴EF ＝3，∴BE＝BF ＋EF ＝6＋3＝9.25.65【解析】∵∠ACB ＝90°，BD ⊥CB ，MN ⊥CB ，∴AC ∥MN ∥DB ，∠CNM ＝∠CBD ，∴∠MAC ＝∠MBD ，∠MCA ＝∠MDB ＝∠CMN ，∴△MAC ∽△MBD ，△CMN ∽△CDB ，∴MC MD ＝AC BD ＝23，MN BD ＝CM CD ，∴CM CD ＝25，∴MN 3＝25，∴MN ＝65.26.(1)是；(2)455【解析】(1)如解图，易得△ACH ≌△CGD ，则∠GCD ＝∠CAH ，又∵∠GCD＋∠ECA ＝90°，∴∠CAH ＋∠ECA ＝90°，∴∠CEA ＝90°；(2)由解图可得△CEA ∽△DEB ，BD ＝3，AC ＝2，AB ＝22＋42＝25，∴AC BD ＝AE BE ，∴AE BE ＝23，∴AE ＝25AB ＝455.第26题解图27.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC .∴△AEM ∽△CBM ，∴AM CM ＝AE CB ，∵AE ＝13AD ＝13BC ，∴AM ＝13CM ，∴AM ＝14AC ，∵AC ＝4，∴AM ＝1；(2)14.【解法提示】∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝4，BD ＝8，∴AO ＝OC ＝2，BO ＝OD ＝4，AC ⊥BD ，∵AM ＝1，∴OM ＝1，∴在Rt △BOM 中，tan ∠MBO ＝OM OB ＝14.28.(1)证明：如解图，∵四边形ABCD 为矩形，∴OC ＝OD ，AB ∥CD ，∴∠2＝∠3＝∠4.∵DE ＝BE ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，第28题解图又∵BE 平分∠DBC ，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，又∵∠3＋∠5＝90°，∴∠6＋∠5＝90°，∴BF ⊥AC ；(2)解：△ECF ，△BAF 与△OBF 相似．理由如下：如解图，由(1)知∠1＝∠2，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠3＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠OFB ＝∠BFO ，∴△OBF ∽△BAF ，∵∠1＝∠3，∠OFB ＝∠EFC ，∴△OBF ∽△ECF ；(3)解：∵△OBF ∽△ECF ，∴EF OF ＝CF BF ，∵OF ＝3，EF ＝2，∴23＝CF BF ，∴3CF ＝2BF .∵OA ＝OC ，∴OA ＝OF ＋CF ，∴3OA ＝3CF ＋3OF .∴3OA ＝2BF ＋9，①∵△OBF ∽△BAF ，∴OF BF ＝BF AF ，∴BF 2＝OF ·AF ，∴BF 2＝3(OA ＋3).②由①②，得BF ＝1＋19(负值已舍去)，∴DE ＝BE ＝2＋1＋19＝3＋19.29.(1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠BAD ＝∠D ＝90°，∴∠ABF ＝90°＝∠D ，∠BAE ＋∠DAE ＝90°，∵AE ⊥AF ，∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAF ，∴△DAE ∽△BAF ，∴AD AB ＝DE BF ，即48＝a BF，∴BF ＝2a ；(2)证明：如解图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形，第29题解图∴CE ＝AG ，∵AB ＝CD ，∴DE ＝GB ＝a ，∵BF ＝2a ，∴tan ∠BFG ＝BG BF ＝12，∵△DAE ∽△BAF ，∴AE AF ＝AD AB ＝12，∴tan ∠AFE ＝12，∴∠BFG ＝∠AFE ，即FE 平分∠AFC ，∵EA ⊥AF ，EC ⊥CF ，∴AE ＝EC ，∴四边形AGCE 是菱形．30.C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，∵将△ADE 沿DE 翻折，∴AD ＝DF ，AE ＝EF ，∠A ＝∠EFD ＝90°，设BF ＝x ，则AB ＝CD ＝3x ，∵BE ＝4，∴AE ＝EF ＝3x －4，在Rt △BEF 中，EF 2＝BF 2＋BE 2，∴(3x －4)2＝x 2＋42，解得x 1＝3，x 2＝0(不符合题意，舍去)，∴EF ＝3x －4＝5.∵∠BFE ＋∠CFD ＝90°，∠BFE＋∠BEF ＝90°，∴∠CFD ＝∠BEF ，∵∠B ＝∠C ，∴△CFD ∽△BEF ，∴DF FE ＝CD BF ，∴DF 5＝3BF BF，解得DF ＝15，即AD ＝15.31.54【解析】如解图，记EG 与AF 交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°.∵AF ⊥EG .∴∠AGE ＋∠GAH ＝90°，∠FAB ＋∠GAH ＝90°.∴∠AGE ＝∠FAB .∴△ABF ∽△GAE ，∴AB GA ＝BF AE ，∴AB AD －GD ＝BF AE ，∵AB ＝5，AE ＝GD ＝1，∴55－1＝BF 1，解得BF ＝54.第31题解图32.C 【解析】如解图，使得△ADE ∽△ABC 的格点三角形一共有6个．第32题解图33.B 【解析】由相似得AC BC ＝42，∴AC 2133＝42，解得AC ＝4133.34.A 【解析】设投影三角尺的对应边长为x cm ，∵三角尺与投影三角尺相似且相似比为2∶5，∴8∶x ＝2∶5，解得x ＝20.35.C 【解析】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可知15－711－7＝6AB ，即84＝6AB ，解得AB ＝3cm.36.C 【解析】根据三角形的相似，可以得到被测物体(汽车头部)到大拇指的距离为被测物体到睁开左眼时，大拇指指向的位置距离的10倍，而这个水平距离约是2个汽车的长度，因此这个距离约是2×4×10＋大拇指到右眼的距离＝80＋0.7(估算手臂长度)≈80.7，因此汽车到观测点的距离约为80米．37.解：∵AD ∥EG ，∴∠ADO ＝∠EGF .又∵∠AOD ＝∠EFG ＝90°，∴△AOD ∽△EFG .∴AO EF ＝OD FG.∴AO ＝EF ·OD FG ＝1.8×202.4＝15.同理，△BOC ∽△AOD .∴BO AO ＝OC OD，∴BO ＝AO ·OC OD ＝15×1620＝12.∴AB ＝AO －BO ＝3(米).∴旗杆的高AB 为3米．。
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课时32．图形的相似
班级_________学号_________姓名_________
【学习目标】
1. 理解比和比例的概念，掌握其基本性质，理解线段的比，比例线段的概念，了解黄金分割，
及利用比例及其性质进行简单计算.
2. 理解相似三角形，多边形概念，能灵活运用相似的判定和性质进行有关计算与证明.
3. 掌握多边形问题可转化为三角形问题来解决的数学思想.
【考点链接】
1.比例的性质： （1）==ad d c b a ，则若。
（2）=±=b
b a d
c b a ，则若 。
2.黄金分割：点C 把线段AB 分成AC 和BC 两段（AC ＞BC ），且AC 是AB 和BC 的 ，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的 。
3.相似三角形的判定方法：
① ② ③ ④ 4. 基本图形：
5.相似三角形的性质：
①相似三角形的对应边_________，对应角________．
②相似三角形的对应角平分线，对应边的______线，对应边上的_____线的比等于_____比。
③相似三角形的周长之比也等于________比，面积比等于_________．
6.位似图形：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,对应边_______,那么这样的两个图形叫做_______,这个点叫做_______.
【典例精析】
例1．如图，在三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC= ，三角形ADE 与三角形ABC 的周长之比 ，三角形CFG 与三角形BFD 的面积之比是 。
例2.在三角形ABC 中，∠A=300，BD 是AC 边上的高，若BD
CD AD BD =，则∠ABC 等于（ ）
A 、300
B 600
C 900 D300或900
G A B
F
D E A
A E D
A
B
C
D
E
例3. 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10。
三角板的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A 、D 不重合），一直角边经过点C ，另一直角边交AB 与点E ，我们知道，“AEP Rt ∆∽DPC Rt ∆”结论成立。
（1）当∠CPD=300
时，求AE 的长；
（2）是否存在这样的点P ，使三角形DPC 的周长等于三角形AEP 的周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由。
E A B
D
C
P
【当堂反馈】
1．已知:3:2a b =，且10a b +=，则b= .
2．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m
3．已知线段AB =10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为__________ 4．在比例尺1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15㎝，这两地的实际距离是（ ） A ．0.9㎞ B. 9㎞ C.90㎞ D.900㎞
5.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）
A ．∠E=2∠K B. BC=2HI
C. 六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长
D. S 六边形ABCDEF=2S 六边形GHIJK 6. 如图，正方形ABCD 的两边BC 、AB 分别在平面直角坐标系内的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC=23，若点A ′的坐标为（1，2），则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ ）
7.如图所示，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标为（—1，1），点C 的坐标为（—4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 。
A
B
C
A
B C D
G F E
O
x
y
8．（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A 、C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO=OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．则点P 的坐标为 ．
9．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一三角形ABC
（1） 在网格上画一个与三角形ABC 相似，且面积最大三角形三角形A 1B 1C 1，并使它的三
个顶点落在正方形的顶点上。
（2）三角形A 1B 1C 1的面积是 。
10．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6
，AF=4
，求AE 的长．
1１．（2013•泰州）如图，在矩形ABCD 中，点P 在边CD 上，且与C 、D 不重合，过点A 作AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q ，连接PQ ，M 为PQ 中点． （1）求证：△ADP ∽△ABQ ；
（2）若AD=10，AB=20，点P 在边CD 上运动，设DP=x ，BM 2=y ，求y 与x 的函数关系式，并求线段BM 的最小值；
（3）若AD=10，AB=a ，DP=8，随着a 的大小的变化，点M 的位置也在变化．当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围．
1２．（2012南京市）“？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批语.
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中化了一条横线，并打了一个“？”. 结果为何正确呢？
（1） 请你指出小明解答过程中存在的问题，并补充缺少的过程；
变化一下会怎样……
（2）如图，矩形A`B`C`D`在矩形ABCD 内部.AB ∥A`B`，AD ∥A`D`，且AD:AB=2:1,设AB 与A`B`、BC 与B`C`、CD 与C`D`、DA 与D`A`之间的距离分别为a 、b 、c 、d ，要使矩形A`B`C`D`∽矩形ABCD ，a 、b 、c 、d 满足什么条件？请说明理由.
D`C`
B`
A`D
C
B A。