浙江省宁波市2018学年第一学期期末九校联考高一数学(PDF)

2018学年第一学期
宁波市九校联考高一数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-10BDACB CDDBC
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.16,112.29π
，13.2，14.25,[,]3182
πππ15.1
216.7
617.8
a ≤三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.解：
（Ⅰ）因为//a b ，所以x x =，------------------------2分
所以tan 3
x =-，------------------------------------------------------4分因为[0,]x π∈，所以56x π=
.----------------------------------------------6分
（Ⅱ）())3
f x a b x x x π=⋅=-=-- ，----------------8分
由于2[,333x πππ-∈-，所以3sin()[,1]32
x π-∈-，()[f x ∈-，
所以当33
x ππ-
=-时，()f x ，此时0x =；--------------------11分
当32x ππ-=时，()f x 取最小值-，此时56x π=.----------------------14分19.解：（Ⅰ）由题意知512sin ,cos 1313
αα=-
=,----------------------------3分故5cos(sin 213παα+=-=,---------------------------------------------5分
2
1cos 1sin 2226αα-==.-------------------------------------------------7分（Ⅱ）cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++,------10分当4cos()5αβ+=-时，63cos 65β=-；---------------------------------12分当4cos()5αβ+=时，33cos 65β=,-------------------------------------14分综上知，63cos 65β=-或33cos 65
β=.-----------------------------------15分20.解：（Ⅰ）因为4A ∈，所以2241a a ≤≤+
，解得2a a ≤≤≤，--2分若5A ∈，则2251a a ≤≤+，解得5222
a a ≤-≤≤
或，--------------------4分又5A ∉，所以5222a a -<<>或,---------------------------------------5分
故22a a -<≤≤<.-------------------------------------------7分（Ⅱ）{|(2)[(31)]0}B x x x a =--+≤，---------------------------------8分当312a +=，即13
a =时，{2}B =，不符题意；--------------------------9分当312a +<，即13a <时，2312,12,a a a +≤⎧⎨+≤⎩
所以1,11,a a ≤-⎧⎨-≤≤⎩解得1a =-；------11分当312a +>，即13
a >时，222,131,
a a a ≤⎧⎨+≤+⎩所以1,03,a a ≥⎧⎨≤≤⎩解得13a ≤≤；---------------------------14分综上知，113a a =-≤≤或.----------------------------------------------15分21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域是}0|{≠∈x R x 关于原点对称.------------------2分又311331()()311331
x x x x x x f x f x --+++-===-=----，故()f x 是奇函数.-----------6分（Ⅱ）()2()2()g x f x f x =--=+.
法1：由()()f x tg x <得，()(()2)f x t f x <+，
所以(1)()20t f x t -+>，-----------------------------------------------8分
当)0,1(-∈x 时，312()1(,2)3131
x x x f x +==+∈-∞---.---------------------10分
令()u f x =，则问题条件等价于(1)20t u t -+>对任意(,2)u ∈-∞-恒成立.
当10t -=，即1t =时，20>成立，故1t =符合；------------------------11分当10t -≠，即1t ≠时，由10,(1)(2)20,t t t -<⎧⎨-⋅-+≥⎩
解得1t <；--------------13分综上知，1t ≤.-------------------------------------------------------14分因此t 的最大值为1.---------------------------------------------------15分
法2：由()()f x tg x <得，313313131x x x x t +⋅-<⋅--，当)0,1(-∈x 时，13(,1)x ∈，故310x -<.------------------------------7分不等式可化为31(331)x x t +>⋅⋅-，-------------------------------------8分
从而(31)310x t t ---<对任意(1,0)x ∈-恒成立.------------------------10分
令3x u =，则(31)10t u t ---<对任意1(,1)3u ∈恒成立.当310t -=，即13t =时，403-<成立，故13t =符合题意；--------------11分当310t -≠，即13t ≠时，由1(31)103(31)110t t t t ⎧-⋅--≤⎪⎨⎪-⋅--≤⎩
，解得1t ≤，故113t t ≤≠且；-------------------13分综上知，1t ≤.------------------------------------------------------14分因此t 的最大值为1.--------------------------------------------------15分
22.解：（Ⅰ）由
140x +>，得140x x +>，解得104x x <->或，----------3分所以()f x 的定义域1{|0}4x x x <->或.--------------------------------4分（Ⅱ）由221log ()log [(3)24]a a x a x +=-+-，得1(3)240a a x a x +=-+->，——①得2(3)(4)10a x a x -+--=，
即(1)[(3)1]0x a x +--=，——②
当3a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立；-------------------5分当2a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立；-------------------6分
当3a ≠且2a ≠时，方程②的解为113x x a =-=-或.若1x =-为方程①的解，则110a a x +=->，解得1a >；若13x a =-为方程①的解，则1230a a x +=->，解得32
a >.要使得方程①有且仅有一个解，则312
a <≤.--------------------------8分综上知，a 的取值集合为3(1,]{2,3}2
.----------------------------------9分（Ⅲ）()f x 在[,31]t t -上单调递减，依题意得()(31)1f t f t --≤，即2211log ()log ()131a a t t +-+≤-，-------------------------------------11分所以112()31
a a t t +≤+-，即12131(31)t a t t t t -≥-=--.----------------------12分令1([0,1])r t r =-∈，有21(31)(1)(32)352
t r r t t r r r r -==-++++.当0r =时，20352r r r =++；当01r <≤时，21235235r r r r r
=++++
，在
上单调递增，在上单调递减，
所以当r =
时，最大值为5-.---------------------------------14分因此，a
的取值范围为5a ≥-.------------------------------------15分。