第四章(无限自由度系统的振动)解析
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振动力学第四章
因此，只有两个坐标独立。
L2
2
m2
y
(x2 , y2 )
能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。
本例202中0年1，月1可9日选(x1, x2 ) 作为广义坐标。 3
本例《振中动力，学》也可选(θ1,θ2 ) 作为广义坐标。
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
k3
0
k3
k3
2020年1月19日 12
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
例3： 直接写出图示系统的质量矩阵、刚度矩阵及运动方程。
k5
P2(t)
k6
k1
P1(t) k2 m2
m1
k3
P3(t) k4
m3
解： 系统的质量矩阵为：
m1 0 0
[m] 0
5
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
刚度矩阵 [k] 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产 生
单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
kij
Qi
qj qr
1 0(r
1, 2..., n, r
j)
例如
Q1
k11 Q1 k1 k2
k1 1
m1
k21 Q2 k2
m1 0
0
m2
位移向量为：
2020年1月19日 《振动力学》
{x}
L2
2
m2
y
(x2 , y2 )
能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。
本例202中0年1，月1可9日选(x1, x2 ) 作为广义坐标。 3
本例《振中动力，学》也可选(θ1,θ2 ) 作为广义坐标。
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
k3
0
k3
k3
2020年1月19日 12
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
例3： 直接写出图示系统的质量矩阵、刚度矩阵及运动方程。
k5
P2(t)
k6
k1
P1(t) k2 m2
m1
k3
P3(t) k4
m3
解： 系统的质量矩阵为：
m1 0 0
[m] 0
5
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
刚度矩阵 [k] 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产 生
单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
kij
Qi
qj qr
1 0(r
1, 2..., n, r
j)
例如
Q1
k11 Q1 k1 k2
k1 1
m1
k21 Q2 k2
m1 0
0
m2
位移向量为：
2020年1月19日 《振动力学》
{x}
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
第四章多自由度系统
j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1
lr
mij
)
u jr usr
lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r，方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程，取其中的n-1个方程求解，就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值，是使第s 个比值为1得到的，这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统，系统的动能可表示为
T
1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)
或
T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵，通常是正定矩阵，只有当系统中 存在着无惯性自由度时，才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
－ f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离 的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间 无关。因此，其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数，比值一定是一个实数，
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数，有
n U 1 n n 2U
U
汽车振动分析
汽车振动分析编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（汽车振动分析）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为汽车振动分析的全部内容。
研究生试卷2013 年—2014年度第 2 学期评分:______________________课程名称：振动理论专业：车辆工程年级: 2013级任课教师：李伟研究生姓名：王荣学号： 2130940008注意事项1.答题必须写清题号;2.字迹要清楚,保持卷面清洁;3.试题随试卷交回；4.考试课按百分制评分，考查课可按五级分制评分；5.阅完卷后，授课教师一周内将成绩在网上登记并打印签名后，送研究生部备案；6.试题、试卷请授课教师保留三年被查。
《汽车振动分析》总结王荣(重庆交通大学机电与汽车工程学院重庆 400074）摘要：本课程由浅入深、循序渐进,从单自由度系统的简单问题逐渐加深到多自由度的分析，甚至是无限自由度系统，并从简单激励的振系逐渐推广到随机激振振系。
作为汽车理论及汽车设计等课程的基础，其对于分析汽车的行驶平顺性、乘坐舒适性、发动机的减振和隔离等具有良好的参考价值。
关键词:单自由度;多自由度；简单激振；随机激振The Conclusion of “Automotive VibrationAnalysis”Abstract: The course progressively， step by step, gradually discusses from the simple question of a single degree of freedom system to the analysis of a multi—degree of freedom system， even to the analysis of the infinite degree of freedom system. In addition， the course extends from simple energized vibration system to random energized vibration system. As the basis of Vehicle Theory and Vehicle Design, this course has direct reference value for the analysis of vehicle ride, comfort of passenger， engine vibration damping and isolation.Keywords：Single-Degree—of-Freedom; Multi—Degree—of—Freedom; Simple Energized Vibration System ;Random Energized Vibration System0 引言随着科学技术的日新月异和人民生活水平的日益提高，人们对汽车的动态性能,例如：汽车行驶的舒适性，操纵的稳定性，车内噪声水平及音质等等——提出了愈来愈高的要求。
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
(4.19)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
无限自由度体系振动(第15讲,11月23日)
=0
频率方程
cos λl cosh λl +1= 0
解得： 解得： 当 i=1,2,3时 λ1l =1.875 时
λ2l = 4.694
λ3l = 7.855
2i −1 当 i ≥ 3时 λil ≈ π , (i = 3,4,⋯ ) 2 EI 2 各阶固有频率： ωi = (λil) 各阶固有频率： , (i =1,2,⋯ ) 4 ρSl
0
y
x
φ(0) = 0 φ′′(0) = 0 φ(l) = 0 φ′′(l) = 0
A =0 4
A = A =0 1 3 A sin λl + A sinh λl = 0 2 4 −A sin λl + A sinh λl = 0 2 4
频率方程： 频率方程： sin λl = 0
iπ 2 EI , (i = 1,2,⋯ ) 固有频率： 固有频率： ωi = ( ) l ρS ω2 2 EI 4 ϕ(x) = A cos λx + A2 sin λx + A3 cosh λx + A4 sinh λx λ = 2 a0 = 1 a0 ρS
再来看空间方程
ϕ '''' ( x ) − λ ϕ ( x ) = 0
4
假定解的形式为： 假定解的形式为：
ϕ ( x ) = De
由此可得： 由此可得：
αx
α = ± λ , ± iλ
无限自由度体系的振动 / 单跨梁的横向弯曲自由振动
于是可得： 于是可得：
ϕ ( x ) = D1eiλ x + D2e −iλ x + D3eλ x + D4 e− λ x
无限自由度体系的振动 / 单跨梁的横向弯曲自由振动
多自由度系统振动理论及应用
多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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振动力学4.1
得很紧，F变化很小，视为常量（仅方向变化），以变形前弦的方向为 x 轴，横向挠度为 y( x, t ) ， y
x
则微段 dx 依据达朗贝尔原理得：
2 y y l 2 F t x x
2 y l dx 2 F sin( dx) F sin 0 t x
- 2 的合理性，否则解 q(t )将趋于无穷；它与单自由度线性振动方
程相同，其通解为
q(t ) A sin(t )
" ( x) ( x) 0 a
2
(简谐振动。 ）
解 (x) 确定杆纵向振动的形态—模态 其一般形式为
( x) C1 sin
2 2 u( x, t ) ( x)q(t ) 代入方程 u ( x, t ) a 2 u ( x, t ) 由分离变量法，令 2 2
t
x
( x)q(t ) a 2 q(t )" ( x)
q(t ) 2 " ( x) a 2 q(t ) ( x)
2u 2u Adx 2 EA 2 dx 0 t x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a2 t 2 x 2
称为一维波动方程
a
E
为弹性纵波沿杆的纵向传播速度。
2.
弹性弦横向振动 设弦两端固定且为张力F所拉紧，弦的长度单位质量为 l ，因弦绷
解:
设
x
坐标如图
等截面直杆纵向振动偏微分方程为
A
2u 2u dx 2 EA 2 dx g t x
2u Eg 2u 2 t x 2
( x) C1 sin x
无限自由度体系振动(第17讲,12月3日)
l
∫ ρSf (x)ϕ (x)dx
0 l 1 j
l
∫ ρSf (x)ϕ (x)dx
0 2 j
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
模态初始条件： 模态初始条件：
x x 3 l − x l − x 3 l iπ x iπ x qi ( 0) = ∫ ρSyst 3 − 4 Ci sin dx + ∫ l ρSyst 3 − 4 Ci sin dx l l 2 l l l l Pl 4 ρS =− 4 4 正则广义力 i π EI
ρ Sl
2
C = 1 Ci =
2 i
2 ρAl
l
l
l
& qi (0) = 0, i = 1,3,5,L
l − x l − x 3 iπ x + ∫ l ρSyst 3 − 4 Ci sin dx qj (0) = l 2 l l Pl 4 ρS & qj (0) = =− 4 4 i π EI
∑( EIqϕ
i= 1
∞
"" i i
& & +ρSqiϕi ) = P ( x−l) sinω δ t
两边乘 φ j 并沿梁长对 x 积分： 积分：
& & ∑(q ∫ EIφ φ dx+q ∫ ρSφφ dx) = Psinωt∫ δ(x−l)φ dx
l 1 i= i 0 "" i j l l i 0 i j 0 j
∞
i =1,3,5L
l
∑
∞
( −1)
i4
i −1 2
∫ ρSf (x)ϕ (x)dx
0 l 1 j
l
∫ ρSf (x)ϕ (x)dx
0 2 j
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
模态初始条件： 模态初始条件：
x x 3 l − x l − x 3 l iπ x iπ x qi ( 0) = ∫ ρSyst 3 − 4 Ci sin dx + ∫ l ρSyst 3 − 4 Ci sin dx l l 2 l l l l Pl 4 ρS =− 4 4 正则广义力 i π EI
ρ Sl
2
C = 1 Ci =
2 i
2 ρAl
l
l
l
& qi (0) = 0, i = 1,3,5,L
l − x l − x 3 iπ x + ∫ l ρSyst 3 − 4 Ci sin dx qj (0) = l 2 l l Pl 4 ρS & qj (0) = =− 4 4 i π EI
∑( EIqϕ
i= 1
∞
"" i i
& & +ρSqiϕi ) = P ( x−l) sinω δ t
两边乘 φ j 并沿梁长对 x 积分： 积分：
& & ∑(q ∫ EIφ φ dx+q ∫ ρSφφ dx) = Psinωt∫ δ(x−l)φ dx
l 1 i= i 0 "" i j l l i 0 i j 0 j
∞
i =1,3,5L
l
∑
∞
( −1)
i4
i −1 2
机械振动基础--第四章--多自由度系统PPT课件
.
5
例 4.1 求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。
解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即 {x}={yA,yB,y1,y2}T
各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。
.
6
(1) 求[K]的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位 移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时： 外力{f}=???
x2 ) c3 x2
[M ]{x} [C]{x} [K]{x} {F(t)}
.
1
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
2) 分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法； 3) 用变换方法求多自由度系统动力（态）响应的问题。
.
2
§4.1 运动微分方程
kij
2U xix j
2U x jxi
k ji
质量矩阵、阻尼矩阵和刚度. 矩阵均是对称矩阵。 9
针对本例：系统的动能为杆的平动 动能和转动动能与两个质量的动能 之和，设杆的质心在杆的中点，质 量为M。系统的动能为：
ET
M 2
y A
2
yB
2
I 2
yB
L
y A
2
1 2
m1 y12
1 2
在静力学中，各自由度的位移{x}、系统的刚度矩阵[K]、 各自由度上所受到的外力关系为：
{ f } [K]{x}
——如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移， 其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状 态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施 加的外力就是kij。
.
4
系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移 为零这种变形状态可以由向量{x}＝{ej}描述。
第四章(第1节)两自由度系统的振动介绍
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
◆同步化现象虽然是耦合振动体最简单的运动形态，
但这并不意味着耦合振动体只能做同步运动。耦合振动 体的运动形态是多种多样的。 让我们来看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追逐在 袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳跃的时候，两只脚做的是 位移相同的移动。但土著人在走路时，左脚与右脚所做 的却是位移相反的移动。如果将袋鼠的跳跃看成同步化 的结果的话，那么土著人的走路则是反同步化的结果。
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛 顿运动定律有
m1 x 1 k1x1 k2 ( x2 x1 ) m2 x 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 移项得
m1 x 1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x （k2 k3 ) x2 0 2 k2 x1
由系数矩阵组成的常数矩阵 M和K分别称为质量矩阵和 刚度矩阵，向量x称为位移向量。
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 设
k1 k2 k11 , k2 k12 k21 , k2 k3 k22 (4.1-3)
则方程(4.1-1)可以写成
m1 x 1 k11x1 k12 x2 0 m2 x 2 k21x1 k22 x2 0
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
四只脚的动物： 兔子在奔跑的时候，两只前脚 移动的位移相同，但两只后脚移动 的位移却和前脚的相反。 长颈鹿，是同侧的前后两只脚 一起移动。左前脚和左后脚一起动， 右前脚和右后脚一起动。 马的走路方式有些特别，做位 移相同移动的是对角线上的两只脚， 即左前脚和右后脚一起动，而右前 脚则和左后脚一起动。
第四章结构动力学多自由度体系详解
此时惯性力
设解为 y1(t) Y1 sin(t )
y2
(t)
Y2
s
in(t
)
幅值
m1y1(t) m1 2Y1 sin(t )
m2
y2
(t
)
m2
2Y2
s
in(t
)
2m1Y1 2m2Y2
Y1 ( 2m1Y1)11 ( 2m2Y2 )12
Y2 ( 2m1Y1) 21 ( 2m2Y2 ) 22
振但动其过比程值中始，终结保构持位不移变形。状保持不变的振动形式，称为主振型。
(k11 2m1
k21Y1 (k22
)Y1 k12Y2
2m2 )Y2
0 0
当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令
D (k11 2m1)
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
第1振型
第2振型
（2）求频率(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22 0
若有 m1 nm2 [(n 1)k2 2nm2 ](k2 2m2 ) k22 0
k1 n k2 （3）求主振型
12
2
1 2
(2
1) n
4 n
1 n2
k2 m2
1 :
Y21 Y11
k22
二、 柔度法
m2 y2 m2
m1y1 m1
在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、
y2(t) m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。
y1(t)
y1(t) m1y1(t)11 m2 y2(t)12
y2 (t) m1y1(t) 21 m2 y2 (t) 22
分析力学第四章
设
是系统的平衡位置，在
附近展开L ，则
注：a(q)展开到零阶小量
略去 m: 等效质量 k: 等效倔强系数
代入拉格朗日方程，得
二、自由振动方程的解
振动方程
解 积分常数：A—振幅； —初相位
由初始条件确定。
保守系能量守恒
解的复数形式（指数形式）
运用指数解的进行运算： 如果 那么
能量
？
条件：线性运算才可以先用指数解运算，最后再取实部。
2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。
二、阻尼振动方程的解
阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使
机械运动停止(无外力时)。 1.振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数； 2.办法：在运动方程中加进阻力项： 振子的弹力 受力 分析： 周期性策动力 介质阻尼 运动方程
求通解 齐次方程：
而这种组合一定是符合分子所属的对称性群的一个对称类的。
画出一个分子可能的结构，就能够根据这个结构求算出分子的 可以预测分子在红外光谱和拉曼光谱中的特征吸收峰。 /wiki/Normal_mode
简正坐标，通过考查分子的简正坐标可以了解分子内部运动的能量，
1 s 1 s 2 L m x k x x 2 1 2 1
一般性思路： 拉格朗日方程 m x
k x 0
1
s
( 1, 2, s)
设 x Re[C eit ] ( 1, 2, s) 代入运动方程得：
能量
三、受迫振动方程的解
系统处在随时间变化的外场中：
在平衡位置附近展开外场： 忽略
运动方程
运动方程
则运动方程降阶为 齐次方程 的通解
(1)
机械振动理论基础(第四章)
2 y 2 y m 2 T 2 0 x1 t x y(0, t ) y(1, t ) 0
(4 15) (4 16)
如初瞬时，弦上各点的初位移 y0 ( x ) ，各 点的初速度 v0 ( x)，求系统的响应。 在求多自由度系统对于初条件的响应时， 我们是先求足够多的特解，再根据叠加原理把 它们线性组合得系统的通解，然后由初条件来 定任意常数，我们现在也这样做，先求满足方 程和边界条件（4-15），（4-16）的特解，然
杆的纵向振动
u( x,t )
EA
x
dx f ( x,t )
s s dt t
dx 图4-2
均匀细长杆单位体 积质量为 ，截面抗 拉刚度为 EA ， E 为弹 性模量，A 为横截面 积。假设杆的横截面 在纵向振动过程中始 终保持平面，杆的横 向变形也忽略不计， 即同一横截面上各点 仅在 x 方向作相等位 移。以表示截面的位
(4 12)
式（4-12）通常称为波动方程， 称为波 速，是波在连续体中沿长度方向传播的速度(也 是声在材料中传播的速度)。 波动解一般的形式为
y f1 ( x at) f 2 ( x at) (4 13) f1 , f 2 为任意函数，下面验证 f1 , f 2 是方程
相当于弦上的位移模式 f1 ( x ) 向右移一段距离 a ； 同理， t 2 时 y f1 ( x 2a )，如图（c），相当 于位移模式又往前移一段距离 a 。所以，式 （4-14）形的波动解表示位移模式以速度 a向 右匀速移动。同理 f 2 ( x at) ，表示位移模式以 速度 a 向左匀速移动。 所以，无限长的弦上如果给个初始位移 y0 ( x) 初速度为 v0 ( x) 0 (0 x 1)，则 y0 y0 y ( x at) ( x at) 2 2
机械振动第四章
第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。
两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。
在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。
受迫简谐振动的频率与激励频率相同。
两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。
如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。
用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。
4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。
三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。
这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。
图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。
在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。
取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。
方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。
因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。
方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。
通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。
建筑结构抗震总复习第四章-多自由度体系结构的地震反应
[M
]
m1
0
0
m2
[K
]
k1 k2
－k2
－k2
k2
I＝11
x(t
)
x1 x2
t t
x(t
)
x1 x2
t t
则两自由度体系的运动方程可写成
M xtKxt＝－M Ixg t
多自由度体系的运动方程也可以按上式表示
（4.3）
5
运动方程的建立
矩阵[M]称为体系的质量矩阵；矩阵[K]称为体系的刚度
两个自由度的层间剪切模型计算简图
3
运动方程的建立
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑 阻尼影响）
质点1 fI1 fS1＝－m1x1 t m1xg t －k1x1 t k2x2 t k2x1 t ＝0
即 质点2
即
m1x1 t k1 k2 x1 t k2x2 t ＝－m1xg t fI 2 fS2＝－m2x2 t －m2xg t －k2 x2 t x1 t ＝0
矩阵；而 xt 和 xt 称为体系的加速度矢量和位
移矢量。如考虑阻尼影响，则体系的运动方程为
M xtCx t K x t ＝－M Ixg t （4.4）
矩阵[C]称为体系的阻尼矩阵,如采用瑞利阻尼假定，则阻 尼矩阵为
C＝0 M 1 K 其中，0， 1为与体系有关的常数
6
多自由度体系的自振频率及振型
不一定也达到最大。从而结构地震作用的最大值并不等于各
振型地震作用最大值之和，根据随机振动理论，近似地取
“平方和开方”。
20
底部剪力法(寻求更为简便的适合设计的方法） 适用条件： • 结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； • 房屋的总高度不超过40m； • 建筑结构在地震作用下的变形以剪切变形 为主； • 建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略 不计。 结构在地震作用下的反应一第一振型为主， 图 3-18 底部剪力法地震作用分布 且近似为直线。
第四章多自由度系统(21-24)
(1) 影响系数法
}和系统的质量 x 设各个自由度的加速度为{ 矩阵为[M]，则各个自由度上所受到的外力 为： } { f } [ M ]{ x
定义质量矩阵[M]的元素Mij：如果系统的第j个 自由度沿其坐标正方向有一个单位加速度，其 余各个自由度的加速度保持为零，为保持系统 这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其 中在第i个自由度上施加的外力就是Mij。 mij是使系统仅在第j个坐标上产生单元加速度 而相应于第i个坐标上所需施加的力
0 x 若
静力加载 K x P(t )
假定有这样一组外力，使系统只在第j个坐标上产生单位位移， 而在其他方向都不产生位移，即产生如下的单位向量：
x x1 0
0 1 0 0 T
x j1
xj
x j1 xn T
{P(t )} [ K ]{x} [ K ]{e j } k11 k12 k k 21 22 ki1 ki 2 k k n 1 n2 k1n 0 k1 j k2 j k2n 0 k 2j kij kin 1 kij k nj k nn 0 k nj k1 j
可见所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K的第j列，其中 Kij(i=1,…,n)是在第i个坐标上施加的力，Kij是使系统仅在第j 个坐标上产生单元位移而相应于第i个坐标上所需施加的力
m11 m 21 m n1
m12 m22 mn 2
1 k11 m1n x k 2 m2 n x 21 mnn x n k n1
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(一) 直杆的纵向振动微分方程
(
x)
A(
x
)
2 u(
t
x
2
,
t
)
u(x, t)
[E(x) A(x)
]
x
x
f
(x, t )
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2u(x,t) c2 2u(x,t) 1 f (x,t)
t2
x2 A
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
u fdx
u
N
N N dx x
A
u dx x
C
u
u
AB u u dx x
B
x
dx
(一) 直杆的纵向振动微分方程
dx
u u dx x
u fdx
N
N N dx x
微段的轴向应变： (x,t)
u
u( x, t
x
)
dx
u
u(x,t)
dx
x
横截面轴向力：
N ( x, t )
E(x) (x,t)A(x)
第四章：无限自由度系统的振动
第一讲： 弹性杆的纵向振动
弹性杆的纵向振动
y
u( x, t )
x
图 弹性杆的纵向振动
杆的纵向振动主要研究杆的任一截面沿 x 方向（轴线）的振动规律。
弹性杆的纵向振动
【纵向振动的例子】
火箭的纵向耦合振动 POGO vibration
大型液体火箭的结构与推进系统相互作用而产生的不稳定振动。 其特征频率是由结构纵向振动与推进剂输送管路振动的固有频率彼 此接近或相等时所产生的一个共振频率，它的幅值开始于动力飞行 过程中的某瞬间,随后达到最大,最后减弱。幅值达到最大时会引起 火箭剧烈振动，使整个火箭出现不稳定状态。振动量级超过设计允 许值时会影响火箭上仪器、设备的工作可靠性。对于载人航天器, 还会导致航天员生理失调,如视力模糊等。
u( x, t )
f (x,t)
o
x dx
x
l
长度为 l 材料弹性模量为 E(x)
横截面积为 A(x)
体密度为(x)
u(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移
f (x, t) 是作用在杆上的纵向分布力
(一) 直杆的纵向振动微分方程
u( x, t )
f (x,t)
o
x
dx
l
x
dx
u u dx x
第四章 无限自由度系统的振动
m
k
c
引言
u1
2k
k
m
c
u2
mk
u3
2k
m
离散系统
引言
连续系统 分布参数系统 无限自由度系统
引言
杆：以拉压为主要变形的构件 F
轴：以扭转为主要变形的杆 T
梁：以弯曲为主要变形的杆
F
T
F
一个方向的尺寸远 大于其他两个方向 的尺寸
板：一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸的构件
各阶固有频率
n
n c
l
n
l
E,
n 1, 2,
(二) 固有振动
U(x) a2 sin c x
n
n c
l
n
l
E,
n 1, 2,
Un (x)
sin n
c
x
sin
n
l
x
x l
(二) 固有振动
【例2】：求一端固定一端自由杆的纵向振动的固有频率和固有振型。
y
固有振型函数：
U
(x)
a1
cos
c
x
a2
sin
c
x
x l
边界条件：
U (0) 0,U(l) 0
a1 0,
a2 c cos c l 0
各阶固有频率
cos l 0
c
n
(n
1) 2
1.固有振动
2u(x, t)
t2
c2
2u(x, t)
x2
（分离变量法）
u(x,t) U(x)q(t)
U (x)q(t) c2q(t)U (x)
q(t) c2 U (x) 2
q(t) U (x)
U (x) ( )2U (x) 0
c
q(t) 2q(t) 0
(二) 固有振动
U (x) ( )2U (x) 0
引言
连续系统与离散系统不同之处：
u
o x
A
u( x, t )
x
A
1. 连续系统的振动是时间和空间坐标的函数 2. 连续系统的运动方程要用偏微分方程来描述 3. 连续弹性体有无限多个固有频率和固有振型
引言
连续系统与离散系统相似之处：
1. 连续系统固有振型关于质量与刚度具有加权正交性 2. 连续系统的自由振动可表示为各阶固有振动的线性叠加 3. 对弹性体的振动，模态叠加法、模态截断等方法同样适用
2.边界条件 y
x
简单边界条件
固定端： u 0
U 0
自由端： N EA u 0 x
U 0
(二) 固有振动
【例1】：求两端固定杆的纵向振动固有频率和固有振型。
固有振型函数：
U
(x)
a1
cos
c
x
a2
sin
c
x
a1 0,
a2 sin c l 0
sin l 0
c
x l
边界条件：
U(0) 0, U(l) 0
基本假设： 微振动假设 研究对象为理想弹性体，即匀质分布，各向同性和服 从胡克定律。
引言
实际工作中，如何分析连续系统的振动？
（1）首先判定是否是简单几何和边界条件的系统，如果是，则可获得 系统固有振动特性和响应的解析解（本章内容）
（2）如是复杂几何和边界条件的系统，则用有限单元法求解
图 利用有限单元法将连续系统（阿波罗飞船） 离散化为离散系统
弹性杆的纵向振动
神六减轻“第120秒痛苦”
“神五” 火箭发射后120秒时，火箭箭 体的纵向振动和液氧输送管路中的液氧水 平振动出现了耦合，形成一种纵向耦合振 动，造成航天员的痛苦。
神六设计时便改动了氧气输送管道的 一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。
图 神州五号飞船
(一) 直杆的纵向振动微分方程
E( x) A( x)
u( x, t )
x
( x) A( x)dx
2u( x, t )
t2
[N(x,t)
N ( x, t )
x
dx
]
N ( x, Байду номын сангаас )
f
( x, t )dx
(x) A(x) 2u(x, t)
u(x, t)
[E(x) A(x)
] f (x,t)
t2
x
x
（直杆纵向受迫振动微分方程）
引言
1744年， Euler研究了梁的横向自由振 动，导出了铰支、固定和自由三类边界 条件下的振型函数与频率方程 1759年， Euler解决了矩形膜的自由振 动问题 1814-1850年，Poisson、Kirchhoff、 Navier建立板弯曲振动理论。
瑞士-俄罗斯科学家 Euler（1707-1783）
c
q(t) 2q(t) 0
U
(
x)
a1
cos
c
x
a2
sin
c
x
q(t) b1 cost b2 sint
u(x,t) U (x)q(t)
(a1
cos
c
x
a2
sin
c
x)(b1
cos
t
b2
sin
t)
固有振动的 表达式
a1, a2 ,
固有振型函数
由边界条件确定 b1, b2
由初始条件确定
(二) 固有振动