工程测量误差测量理论例题和习题

测量误差理论

一、中误差估值（也称中误差）：

Δi （

i=1，2，…，n ） （6-8）

【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为：

第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。 试比较这两组观测值的精度，即求中误差。

解："2

2222219.28

41243133±=+++++++±=m

"222223.38

1

3046151±=+++++++±=m

由于m 1

二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即

m

S S

m K 1

=

=

（6-10） 三、误差传播定律

【例】 丈量某段斜距S = m ，斜距的竖角038'︒=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m 。

解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D

由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“∆”代替“d ”得

δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D

再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值

n m

]

[

2"

"2

222"2

22

2

)(477

.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m S

D

=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ

因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。则最终平距可表示为：D=± m 。

应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。例如，上例中的角值需要化为弧度。

综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下： 列独立观测值函数式

对函数式进行全微分

写出中误差关系式

应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值。

【例】 用长度为l=30 m 的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m=±5 mm ，求全长D 及其中误差m D 。

解：列独立观测值函数式

对函数式进行全微分 写出中误差关系式 则，全长的中误差为 m D =±mm 16105555222±=⨯±=+++Λ 如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l ，写出全长D 的中误差关系式并计算中误差m D =10·m=10·5=±50mm 。答案错误，原因在于错误地列出了函数式。 【例】设有函数式Z=y 1+2y 2+1，而y 1=3x ，y 2=2x+2，已知x 的中误差为m x ，求Z 的中误差。 解：若直接利用式（6-16）和（6-23）计算，则

函数Z 的中误差 x m m m m m m x x y y Z

5)2(4)3(42222

21

±=⋅+±=+±=

上面答案是错误的！这是因为y1和y2均是x 的函数，它们不是互相独立的观测值，因此，不能直接应用误差传播定律进行计算。正确的做法是先将y 1和y 2代入函数式Z ，合并同类项后即为独立观测值，再应用误差传播定律，即

x

Z m m x x x Z 7571)22(23±=+=+++=

【例】 对某段距离进行了5次等精度观测，观测结果列于表6-3，试计算该段距离的最或然值及

)

,,,(21n x x x f z ΛΛ=n n

dx x f dx x f dx x f dz ∂∂++∂∂+∂∂=

ΛΛ22112

2

2

22

2212

1n x n x x m x f m x f m x f z m ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±=ΛΛ10

21dl dl dl dD +++=ΛΛ10

21l l l D +++=ΛΛ2

210222110m

m m m m l l l D ⋅±=+++±=ΛΛ

其中误差。计算见表6-3。

表6－3 利用观测值的改正数计算观测值中误差

四、加权平均值及其中误差

【例】 已知观测值分别为L 1、L 2、L 3，其中误差分别为m 1=±1″、m 2=±2″、m 3=±3″,则它们的权分别为：

取μ=1时， 91,4

1,12

3

32

2

22

11=

=

=

===m p m p m p μ

μ

μ

取μ=4时， 9

4,1,423322

221

1====

==m p m

p m p μμ

μ

取μ=36时，4,

9,

3623

322

221

1==

==

==

m

p m

p m

p μ

μ

μ

【例】 水准测量中按测站数和水准测量距离定权。设在A 、B 两点间进行水准测量，共设置了n 个测站，各测站的高差分别为h 1、h 2、┅、h n ，则A 、B 点间的高差h AB 为

h AB =h 1+h 2+┅+h n （6-38）

若每个测站的高差中误差为m 站，则根据误差传播定律可得h AB 的中误差为

n m m AB h 站= （6-39）

若设每测站的水准距离相等，均为s ，则A 、B 间的水准测量距离S AB =n ·s ，由式（6-39）可得h AB 的中误差

AB AB h S s

m s S m m AB ⋅==站

站

（6-40） 设s

m 站=

μ，则式（6-40）变为AB h S m AB ⋅=μ。当S AB =1 km 时，AB h m =m

公里

=μ，可见μ为

每公里水准测量高差的中误差。因此，式（6-40）变为

AB h S m m AB ⋅=公里 （6-41）

由式（6-39）和（6-41）可得：水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离的平方根成正比。可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短，则观测高差的精度越高。