与对数函数有关的不等式的解题策略

与对数函数有关的不等式的解题策略

摘要：在全国各地的高考模拟题乃至高考题中，与对数函数有关的不等式的证明题屡见不鲜. 本文主要给出这类问题的处理策略：一般的模式都是给出一个含有参数而且与对数有关的函数，通过求导和单调性的计算得到参数的取值范围，然后在参数中选定一个参数，得到一个与对数函数有关的不等式，最后对变量x相应地赋值证得结论.

关键词：对数函数；不等式；参数赋值

在全国各地的高考模拟题乃至高考题中，与对数函数有关的不等式的证明题屡见不鲜，并且基本都是处于倒数第二题甚至是压轴题的位置，属于比较难的题目. 学生对于处理这类问题普遍感觉束手无策，本文拟对这一类问题进行分析，希望达到抛砖引玉的目的！特别注重选修2-2中的单调性与导数这节中b组练习题的一个处理指数和对数不等式问题很有用的一个不等式：ex>1+x，?摇x≠0，由它可得x≥ln（x+1）（x>－1）①.

令x+1=t，则x=t－1，于是又得t－1>lnt?摇（t>0），即x－1>lnx?摇（x>0）；令x=（t>－1），又得到－1>ln（t>－1），即－1>－ln （t+1）（t>－1），整理、换元得1－≤ln（1+x）（x>－1）②.

由①②联立可得1－≤ln（1+x）≤x（x>－1），当x=0时取等号. （*）

在这个不等式中我们可以对x进行不同的赋值，就可以得到不同

的不等式，如令x=，得0时，若对任意的x>0，恒有f（x）≤0，求p的取值范围；

（2）证明：++…+1+x，x≠0的变形）. 令x=n2，得lnn2≤n2

－1，

所以≤=1－，因此++…+≤1－+1－+…+1－=（n－1）－++…+ 1，求证：++…+1+x，?摇x≠0的变形），故1－x≤－lnx=ln.?摇令1－x=，即x=2，则有1+x，?摇x≠0（回到课本选修ⅱ中的重要不等式），取x=－（i=1，2，…n），故e>－+1，从而e-i>－+1?摇，所以1－nf（1）=1－3=－2，因此不等式x－1>lnx?摇在x∈（1，+∞）恒成立. 于是0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x －1.

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+>ln（n+1）+（n≥1）.

证明分析：由（2）得a≥时，f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立.

当a=1时，f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，即x－1>lnx在［1，+∞）上恒成立. 令x=1+，有>ln1+=ln，然后累加即可.

这类问题一般的模式都是给出一个含有参数而且与对数有关的

函数，通过求导和单调性的计算得到参数的取值范围，然后在参数中选定一个参数，得到一个与对数函数有关的不等式，最后对变量