第三章刚体的定轴转动

合集下载

第三章刚体的转动

M
o
r
F

M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F

※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向（或者说，在运动的各个时刻始终保持彼此平行）。特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。平动的刚体可看作质点。刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。

大学物理.第三章.刚体的转动

动 .试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度
和角速度 .
解细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z

O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布；（如圆环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。（如细棒绕中心、绕一端）
运动。一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.

第3章刚体的定轴转动习题答案

1
1 v r 78 . 5 1 78 . 5 m s (3) 解：
an r 78.5 1 6162 .2 m s
2 2
2
a r 3.14 m s
2
3-13. 如图所示，细棒长度为l，设转轴通过棒上距中心d的一点并与棒垂直。求棒对此轴的转动惯量 J O '，并说明这一转动惯量与棒对质心的转动惯量 J O之间的关系。(平行轴定理)
n0
J 2 2 n 收回双臂后的角动能 E k J n 0 2 J 0 n
1 2 2 1 2
Ek 0 J
1 2
2 0
3-17. 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来，此后无外力矩作用。则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的转速、转动动能、角动量如何变化？
解：首先，该系统的角动量守恒。
设初始转动惯量为 J ，初始角速度为 0 收回双臂后转动惯量变为 J n ，由转动惯量的定义容易知，n 1 由角动量守恒定理容易求出，收回双臂后的角速度初始角动能
M t J
代入数据解得：M 12.5 N m
3-4. 如图所示，质量为 m、长为 l 的均匀细杆，可绕过其一端 O 的水平轴转动，杆的另一端与一质量为m的小球固定在一起。当该系统从水平位置由静止转过角时，系统的角
速度、动能为？此过程中力矩所做的功？
解：由角动能定理得：
解：设该棒的质量为m，则其
线密度为 m l
1 l d 2 1 l d 2
O
d O'
J O'

0
r dr
2
3
0
r dr

第三章刚体的定轴转动

令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二转动惯量 ( moment of inertia ) 质量质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环，对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。解：根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大小都不发生任何变化的物体刚体是一种理想模型
一刚体的运动刚体的运动
｛转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线，在运动过程中始终保持其方向不变。刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt

大学物理第3章刚体的定轴转动

13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm

l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P

x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ

v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt

dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0

刚体的定轴转动

第3章刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。

重要的概念有转动惯量和力矩。

刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。

§1 刚体的运动一刚体刚体是固体物件的理想化模型。

实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。

如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。

这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。

刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。

既然是一个质点系。

所以关于质点系的基本定律就都可以应用。

当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。

二刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。

如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。

在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。

因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。

平动是刚体的基本运动形式之一。

转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。

定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。

定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。

刚体不受任何限制的的任意运动。

它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。

三刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。

在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。

刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。

力学讲义-3刚体的定轴转动

物体（包括子弹）在 B 点的速度大小和θ 角的大小。
【思路分析】此题可分两个过程，第一阶段，子弹射入木块前后，水平方向动量守恒；
第二阶段，含子弹的木块由 A 点沿曲线运动到 B 点，由于作用在木块上的弹簧拉力为有心
力，所以角动量守恒。同时，机械能也守恒，可解之。
解子弹与木块作完全非弹性碰撞，水平方向动量守恒。设碰后的速度为 uK ，其大小为
（1）
T2 − m2 g sin α = m2a
（2）
另根据转动定律，对滑轮有
还有辅助方程
T1′R − T2′R = J β
T1′ = T1 T2′ = T2 a = Rβ
联立求解上述六个方程，解得 m1 的加速度大小为
a
=
(
m1 − m2 sinα (m1 + m2 )R2
) gR2
+J
（3）
（4）（5）（6）
与质点直线运动相对应的定理和定律，为便于记忆和理解，此处给出了质点一维运动与刚体
定轴转动的相应公式：
2
质点一维运动
刚体定轴转动
位移 Δx 速度 υ = dx
dt
加速度 a = dυ = d2 x dt dt2
质量 m
K 力F
运动定律
K F
=
maK
动量
K P
=
mυK
动量定理
JK dp
=
JK F
dt
∫K Fdt
向弹回，碰撞时间极短，如图 3-4 所示。已知滑块与棒碰撞
前后的速率分别为υ 和 u ，桌面与细棒间的滑动摩擦系数为 μ 。求从碰撞后到细棒停止运动所需的时间。
【思路分析】首先由碰撞过程角动量守恒求出碰后细棒的角速度，再求得细棒受到的

大学物理上第3章刚体的定轴转动

z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和，对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成：则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中，刚体的平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。上任意两点的连线始终保持平行。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。来处理刚体的平动问题。刚体的定轴转动：刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同一直线作圆周运动，一直线作圆周运动，而直线本身在空间的位置保持不动的一种转动。间的位置保持不动的一种转动。这条直线称为转轴转轴。直线称为转轴。

刚体的定轴转动和转动定律

受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩转动定律转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章刚体的转动

3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章刚体的转动
大小： d
dt
方向：若 2 > 1 则与角速度同向，若 2 < 1 则与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩转动定律转动惯量
第三章刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：

m V
3 – 2 力矩转动定律转动惯量
第三章刚体的转动
三转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS

第3章刚体的定轴转动

绕通过质心由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1）两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章刚体的定轴转动
z
M
F
F
O

第3章_刚体的定轴转动

T3
αB
T1
T2
2011-5-28
刚体的定轴转动
质量m的杆可绕过一端的水平轴转动例：长l质量的杆可绕过一端的水平轴转动。杆从水平静止开质量的杆可绕过一端的水平轴转动。始转动，当转到与水平位置成θ角时角时，角速度ω和始转动，当转到与水平位置成角时，角法速度α ，角速度和质心法速度a 为多少？质心法速度 c为多少？解：(1) mg l cos θ = Jα
2011-5-28
刚体的定轴转动
转动定律及其应用：转动定律及其应用：
对刚体的动力学问题
M = Jα 与 F = ma 联合联来运用
2011-5-28
刚体的定轴转动
二、刚体的定轴转动
1、定轴转动的运动学质律、
刚体定轴转动 ( 运动学 ) —— 转动平面的定轴转动转动平面上任一点 P
角量描述 : θ , ω = ω0 + α t
ω , α
v
v
θ = θ 0 + ω 0t + ω 2 − ω 02
1 α t2 2 = 2 α (θ − θ 0 )
本章教学基本要求本章教学基本要求
1、掌握刚体平动、转动和定轴转动等概念，并角解刚体、掌握刚体平动、转动和定轴转动等概念，的基本运动为平动定轴转动。平动和的基本运动为平动和定轴转动。 2、掌握描述刚体定轴转动的角量描述，熟练掌握刚体上、掌握描述刚体定轴转动的角量描述，法点的角量线量关系角量与关系。法点的角量与线量关系。 3、角解力矩转动惯量的物角意义了解平行轴定角 3、角解力矩和转动惯量的物角意义，了解平行轴定角，力矩和的物角意义，平行轴定角，掌握刚体定轴转动定律及其应用。转动定律及其应用掌握刚体定轴转动定律及其应用。 4、掌握刚体的动能和重力势能的计算，并能在有刚体转动能和的计算，、掌握刚体的动能重力势能的计算动等问题中正确刚应用机械能守恒定律机械能守恒定律。动等问题中正确刚应用机械能守恒定律。 5、会计算刚体对固定轴的角动量，能正确应用角动量定、会计算刚体对固定轴的角动量，能正确应用角动量定角动量守恒定律。角和角动量守恒定律。

大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动

G2 G1
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面从等倾角处静止释放
短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关
第3节机械能守恒定律
用两个对转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量末态角动量
得
守恒例题二
木棒弹
以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之末棒弹棒
对质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置刚体定轴转动的运动方程刚体
刚体中任一点
(t+△t) (t) 参考方向
2. 角位移

第三章刚体定轴转动

第三章刚体定轴转动前面几章主要介绍了质点力学的基本概念和原理，以牛顿定律为基础，建立了质点和质点系的动量定理、动能定理和相应的守恒定律。

对于机械运动的研究，只限于质点和质点系的情况是非常不够的。

质点的运动规律事实上仅代表物体的平动。

当我们考虑了物体的形状、大小后，物体可以作平动、转动，甚至更复杂的运动，而且在运动过程中物体的形状也可能发生改变。

一般固体在外力的作用下，形状、大小都要发生变化，但变化并不显著。

所以，研究物体运动的初步方法是把物体看成在外力的作用下保持其大小和形状都不变，这样的物体叫刚体。

刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，仍是一个理想模型。

本章主要在质点力学的基础上讨论刚体的定轴的转动及其运动规律，为进一步研究更复杂的机械运动奠定基础。

3.1 刚体的定轴转动的描述3.1.1 刚体的基本运动形式刚体是一种特殊的质点系统，它可以看成是由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点就在于无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质元之间的相对位置始终保持不变。

既然是一个质点系，所以以前讲过的关于质点系的基本定理就都可以应用。

刚体的这个特点使刚体力学和一般质点系的力学相比，大为简化。

因此，对于一般质点系的力学问题，求解往往很困难，而对于刚体的力学问题却有不少是能够求解的。

刚体的运动可分为两种基本形式：平动和转动。

刚体的运动一般来说是比较复杂的，一般可分解为平动和绕瞬时轴的转动，比如行进中的自行车轮子，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。

因此，研究刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础。

下面分别介绍刚体的平动和刚体的定轴转动。

当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动就(b)(a)图3-1 刚体的平动和定轴转动是平动，如图3-1(a)所示。

在日常生活中，我们常见的升降机的运动就是平动。

平动的特点是，在任意一段时间内，刚体内所有质点的位移都是相同的，而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。

第03章刚体定轴转动01-转动定律

作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。且 m1 m2 。求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M

第三章刚体的定轴转动

§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
二、刚体定轴转动的动能定理 B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，
一对内力矩的代数和为零；∴内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功相对位移为零 .）
3、功率：
d A F 2d r
pdAMdM
dt dt
当与 M 同方向，和为正当与 M 反方向，和为负
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
1 2 其中(：1 3M h 2 1 m l2l(12) ca 2o M s) 1( 3g )m h 2g(h 2 ) h 2 a (1 co )s(4 )
由（2）（3）（4）式求得：
2Mg(1lcos)/22mg(1acos)
M2l/3m a2
(Ml 2ma)g(1cos)
2
25
整理，得：
1 10 gh,
b7
vcb
10 gh 7
§3.2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
（2）小球到达A点不脱离轨道，要求小球在A点的速度vA 和角速度A满足：
m v a A 2 m g v A 2 a,gA 2 v b A 2 2 a b 2 g (4 )
由机械能守恒：
b<<a
飞轮作变加速转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律例题3-1-2：一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙, 当梯子与地面成角时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡同时要满足两个条件：
Fi 0
Mi 0
列出分量方程：
O
水平方向：
f1N2 0
竖直方向：

大学物理第三章刚体的定轴转动

由于绳子与滑轮间无相对滑动，所以
a1 = β r1 , a2 = β r2
联立以上 5 个方程可得，两物体的加速度和绳子中的张力分别为
a1 = a2 =
( m1r1 − m2 r2 ) r1 g
J1 + J 2 + m1r12 + m2r22
( m1r1 − m2 r2 ) r2 g
1
(J T =
1
解设滑轮的半径为 R ,转动惯量为 J ，如图 3.5 所示。使用大小等于 mg ，方向向下的力拉
ww
对物体有：对滑轮有：
绳子时，如图 3.5（a）,滑轮产生的角加速度为 β =
绳下段挂一质量为 m 的物体时，如图 3.5（b），若设绳子此时的拉力为 T，则
此时滑轮产生的角加速度为
mgR J + mR 2 比较可知，用大小等于 mg ，方向向下的拉力拉绳子时，滑轮产生的角加速度变大，本题 β=
习题精解
3-1 某刚体绕定轴做匀速转动，对刚体上距转轴为 r 处的任意质元的法向加速度为和切线加速度来正确的是（） A. an ， aτ 大小均随时间变化 C. an 的大小变化， aτ 的大小保持不变 B. an ， aτ 大小均保持不变 D. an 大小保持不变， aτ 的大小变化
解刚体绕定轴做匀变速转动时，因为 an = rω 2 , aτ = r β ，而 β 为恒量，所以 ω = ω0 + β t ，故 an = r ( ω0 + β t ) , aτ = r β 。可见： an 的大小变化， aτ 的大小保持恒定，本题答案为 C. 3-2 一飞轮以的角速度转动 300rad • min ，转动惯量为 5kg • m ，现施加一恒定的制动

第三章刚体定轴转动基本定律

B
此时角加速度
θ
A
mg
又由得
β=
dω dω dθ dω = =ω dt dθ dt dθ
βdθ = ω dω
图例３－９
两边取积分，并代入始、末条件，得
∫ βdθ = ∫ ω dω
0
π 2 0
ω
3g 1 2 2 [ − cos θ ] 0 = ω −0 2l 2 ω = 3g l
π
解法二：棒由竖直位置运动到地面，重力矩所做的功为
dL = rυdm = m rυdr 2l
2l
Ｏ
．
2L 图例３－１０
整个杆对圆孔的动量矩为
L=
∫ dL = ∫ 2l rυdr
0 0
2l
m
= mυl
设小钉穿入后杆做定轴转动的角速度为ω，在此过程中杆对轴的动量矩守恒，即
mυl = Iω = 1 m(2l ) 2 ω 3 3υ 4l
7
则
ω =
在杆定轴转动时，距轴为 r，长为 dr 的一小段杆受到的向心力为
rF = Iβ rF I= β
Ｏ．Ｆ
当悬挂 m 时，设下落 2m 时速度为υ，且此时圆盘转动的角速度为ω，因只有重力做功，系统的机械能守恒。
mgh = υ = rω 1 1 mυ 2 + Iω 2 2 2
Ｏ．
由以上各式可得
υ2 = 2mgh F m+ rβ 2 × 1 × 9 .8 × 2 = 13.5 1+ 0 .3 × 5
小球与细杆系统在碰撞前后动量矩守恒设细杆逆时针转动为动量矩正方向碰撞后细杆获得角速度为则细杆转动中受到平面的摩擦力矩以o为原点沿杆长方向建ox处取长度dx的一小段杆则杆转动时dx受到摩擦力为dxdmgdf方向如图该力的力矩为dmxdf整个杆受到的摩擦力矩为gmlxdx设开始转动后t秒停下则由动量矩定理df图315dx17所以mgmg

《大学物理》第三章刚体的定轴转动

P
t
=
1 2
ω J 2 自
t
=
ω J 2 自 2P
=
2×105× (30π)
2×736×103
2
=
1.21×103s
(2) ω进 = 1度秒 = 0.0175rad/s
ω进 =
M
Jω自
M = Jω进ω自
M = 2×105×0.0175×30π= 3.3×105 N返回.m退出
3-14 在如图所示的回转仪中，转盘的质量为 0.15kg , 绕其轴线的转动惯量为： 1.50×10-4 kg.m2 ,架子的质量为 0.03kg, 由转盘与架子组成的系统被支持在一个支柱的尖端O，尖端O到转盘中心的距离为0.04 m , 当转盘以一定角速度ω 绕其轴旋转时，它便在水平面内以1/6 rev/s的转速进动。
为25cm，轴的一端 A用一根链条挂起，如
果原来轴在水平位置，并使轮子以ω自=12 rad／s的角速度旋转，方向如图所示，求：
（1）该轮自转的角动量；
（2）作用于轴上的外力矩；
（3）系统的进动角速度， ω
并判断进动方向。
AO
B
R
l 返回退出
解：
(1)
J
=
m
R
2
回
=
5×(0.25 )2
ω
= 0.313 kg.m2
a
=
m
1+
m m
1g 2+
J
r2
T1 =
m 1g (m 2+ J m 1+m 2 + J
r 2) r2
T2 =
m 1m 2g m 1+m 2 + J

3第三章_刚体的定轴转动

d dt
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘，质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力. o 解: 受力图如下，设 m 2 >m 1 r

(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义，刚体对转轴的动量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求，有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小保持不变的物体(ideal model）刚体特征：构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保持不变。是一种“速冻”质点系。研究任务：刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J

i
m i ri
2
2
m

r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2

i3
m i ri
2
2
i 1

第三章 刚体的定轴转动

第三章 刚体的转动

大学物理.第三章.刚体的转动

第3章 刚体的定轴转动 习题答案

第三章 刚体的定轴转动

大学物理第3章刚体的定轴转动

刚体的定轴转动

力学讲义-3刚体的定轴转动

大学物理上第3章 刚体的定轴转动

刚体的定轴转动和转动定律

第3章刚体的定轴转动

第3章_刚体的定轴转动

大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动

第三章 刚体定轴转动

第03章 刚体定轴转动01-转动定律

第三章刚体的定轴转动

大学物理 第三章 刚体的定轴转动

第三章 刚体定轴转动基本定律

《大学物理》第三章 刚体的定轴转动

3第三章_刚体的定轴转动

第三章刚体的定轴转动

第三章刚体的转动

第3章刚体的定轴转动习题答案

第三章刚体的定轴转动

大学物理上第3章刚体的定轴转动

第三章刚体定轴转动

第03章刚体定轴转动01-转动定律

大学物理第三章刚体的定轴转动

第三章刚体定轴转动基本定律

《大学物理》第三章刚体的定轴转动