九章算术中的立体几何

《九章算术》中的立体几何

《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。

《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。

《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（Ⅰ）（文理）第6题,通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。

题目是：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”

其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的

四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米

堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为

1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见

例25）

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.

《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。

【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？

【注释】穿地：挖地取土. 坚：坚实的土. 壤：松软的土.

【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？

【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述.

【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向.

【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，

纵长126丈5尺.问这段城的体积是多少？

【解析】本题是求水平放置的直四棱柱的体积.

如图，底面为等腰梯形，上底20a =尺，下底 40b =尺，高50h =尺，侧棱1265l =尺，所求体积 ()(2040)501265189750022

a b h V S h l +⋅+⨯=⋅=⋅=⨯=立方尺. 【例3】今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸.问积 几何？

【注释】垣: 低矮的墙.

【译文】现有矮墙下底长3尺，上底长2尺，高1丈2尺，纵长22丈5尺8寸.问这段矮墙的体积是多少？

【例4】今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何？

【译文】现有坝堤下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺.问这段坝堤的体积是多少？

【例5】今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？

【译文】现有沟，上底长1丈5尺，下底长1丈，高5尺，纵长7丈.问这段沟的容积是多少？

【例6】今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸.问积几何？

【注释】堑:护城河

【译文】现有护城河上底长1丈6尺3寸，下底长1丈，深6尺3寸，纵长13丈2尺1寸.问这段护城河的容积是多少？

【例7】今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺.问积几何？

【译文】现挖渠上底长1丈8尺，下底长3尺6寸，深1丈8尺，纵长5万1千8百24尺.问这段渠的容积是多少？

【例8】今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺.问积几何？

【注释】堡壔:土筑小城. 方堡壔：正四棱柱形的土筑小城堡.

【译文】现有正四棱柱形的土筑小城堡，底面边长为1丈6尺，高1丈5尺，问它的体积是多少？

【解析】本题是求正四棱柱的体积.底面正方形，边长16a =尺，高15h =尺，所求体积1616153840V S h a a h =⋅=⋅⋅=⨯⨯=立方尺.

【例9】今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？

【注释】圆堡壔：圆柱形的土筑小城堡.

【译文】现有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的

a b l h

体积是多少？

【解析】本题是求圆柱的体积.设底面圆的半径为r ，周长c ,高h ，因为2c r π=, 所以2c r π=,则所求体积22248112112412

c h V S h r h ππ⋅⨯=⋅=⋅===(取3π=)立方尺.

【例10】今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈.问积几何？

【注释】方亭:正四棱台形建筑物.

【译文】现有正四棱台形的建筑物，下底面正方形的边长为5丈，上底面正方形的边长为4丈，高为5丈.问它的体积是多少？

【解析】本题是求正四棱台的体积.设上底边长为a ，上底面的面积为1S ,下底边

长为b ,下底面的面积为2S ,高h ，则所求体积121(3

V h S S =++, 221305()33

a b ab h =++=立方丈.

对于公式121(3

V h S S =++适用所有棱台或圆台计算体积. 【例11】今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何？

【注释】圆亭:圆台形建筑物.

【译文】现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈.问它的体积是多少？

【解析】本题是求圆台的体积.设上底面圆的半径为r ，周长为12C r π=,面积 211S r π=，下底面圆的半径为R ,周长为22C R π=,面积为22S R π=,高h .对于圆

台，可以用上下底圆的面积面与高表示为：121(3

V h S S =++，也可用上下底面圆的半径与高表示：221()3

V h r R rR π=++,也可用上下底面圆的周长与高表示2212121()12V h C C C C π=++,所求体积为1912V π

=立方丈. 【例12】今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？

【注释】方锥: 正四棱锥.

【译文】现有正四棱锥，下底面正方形的边长为2丈7尺，高为2丈9尺.问它的体积是多少？

【解析】本题是求正四棱锥的体积.设底面正方形边长为a ,高为h .

13V Sh =2127293

=⨯⨯7047=立方尺.