九章算术中的立体几何

《九章算术》中的立体几何《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。

在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。

《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。

内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。

其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。

《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。

卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（Ⅰ）（文理）第6题,通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。

题目是：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见例25）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。

【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？【注释】穿地：挖地取土. 坚：坚实的土. 壤：松软的土.【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述.【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。

问积几何？【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向.【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺.问这段城的体积是多少？【解析】本题是求水平放置的直四棱柱的体积.如图，底面为等腰梯形，上底20a =尺，下底 40b =尺，高50h =尺，侧棱1265l =尺，所求体积 ()(2040)501265189750022a b h V S h l +⋅+⨯=⋅=⋅=⨯=立方尺. 【例3】今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸.问积 几何？【注释】垣: 低矮的墙.【译文】现有矮墙下底长3尺，上底长2尺，高1丈2尺，纵长22丈5尺8寸.问这段矮墙的体积是多少？【例4】今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何？【译文】现有坝堤下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺.问这段坝堤的体积是多少？【例5】今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？【译文】现有沟，上底长1丈5尺，下底长1丈，高5尺，纵长7丈.问这段沟的容积是多少？【例6】今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸.问积几何？【注释】堑:护城河【译文】现有护城河上底长1丈6尺3寸，下底长1丈，深6尺3寸，纵长13丈2尺1寸.问这段护城河的容积是多少？【例7】今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺.问积几何？【译文】现挖渠上底长1丈8尺，下底长3尺6寸，深1丈8尺，纵长5万1千8百24尺.问这段渠的容积是多少？【例8】今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺.问积几何？【注释】堡壔:土筑小城. 方堡壔：正四棱柱形的土筑小城堡.【译文】现有正四棱柱形的土筑小城堡，底面边长为1丈6尺，高1丈5尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱柱的体积.底面正方形，边长16a =尺，高15h =尺，所求体积1616153840V S h a a h =⋅=⋅⋅=⨯⨯=立方尺.【例9】今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？【注释】圆堡壔：圆柱形的土筑小城堡.【译文】现有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的a b l h体积是多少？【解析】本题是求圆柱的体积.设底面圆的半径为r ，周长c ,高h ，因为2c r π=, 所以2c r π=,则所求体积22248112112412c h V S h r h ππ⋅⨯=⋅=⋅===(取3π=)立方尺.【例10】今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈.问积几何？【注释】方亭:正四棱台形建筑物.【译文】现有正四棱台形的建筑物，下底面正方形的边长为5丈，上底面正方形的边长为4丈，高为5丈.问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱台的体积.设上底边长为a ，上底面的面积为1S ,下底边长为b ,下底面的面积为2S ,高h ，则所求体积121(3V h S S =++, 221305()33a b ab h =++=立方丈.对于公式121(3V h S S =++适用所有棱台或圆台计算体积. 【例11】今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何？【注释】圆亭:圆台形建筑物.【译文】现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈.问它的体积是多少？【解析】本题是求圆台的体积.设上底面圆的半径为r ，周长为12C r π=,面积 211S r π=，下底面圆的半径为R ,周长为22C R π=,面积为22S R π=,高h .对于圆台，可以用上下底圆的面积面与高表示为：121(3V h S S =++，也可用上下底面圆的半径与高表示：221()3V h r R rR π=++,也可用上下底面圆的周长与高表示2212121()12V h C C C C π=++,所求体积为1912V π=立方丈. 【例12】今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？【注释】方锥: 正四棱锥.【译文】现有正四棱锥，下底面正方形的边长为2丈7尺，高为2丈9尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱锥的体积.设底面正方形边长为a ,高为h .13V Sh =2127293=⨯⨯7047=立方尺.【例13】今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺.问积几何？【译文】现有圆锥,下底面圆的周长为3丈5尺,高为5丈1尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求圆锥的体积.设底面半径为r ,高为h .底面周长2C r π=,底面积224C S r ππ==,于是体积13V Sh =22211()33212C C h r h h ππππ=⨯==6247512π=立方尺.【例14】今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.问积几何？【注释】堑堵: 底面是直角三角形直三棱柱.【译文】现有底面是直角三角形直三棱柱，底面直角三角形 的两条直角边宽为2丈，长为18丈6尺.高为2丈5尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求直三棱柱的体积.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直于底面ABC ，AC BC ⊥.设底面直角ABC ∆的边20AC a ==,186BC b ==,高为125h AA ==.体积V Sh =1120186254650022ab h =⨯⨯=⨯⨯⨯=立方尺. 【例15】今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？ 【注释】阳马: 底面是矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 【译文】现有底面是矩形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥，底面宽为5尺，长为7尺，高为8尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求四棱锥的体积.如图所示，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥平面ABCD ,设底面矩形的宽为5a =,长为7b =,高为8h =.体积13V Sh =11280578333ab h =⨯⨯=⨯⨯⨯=立方尺. 【例16】今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺.问积几何？【注释】鳖臑:四面都是直角三角形的四棱锥.【译文】现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽5尺而无长，上底长4尺而无宽，高7尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求三棱锥的体积.如图(1)，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC , AC BC ⊥.图（2）、（3）是图（1）的不同视觉放置下的直观图.P A B CD ab hA B C A 1 B 1 C 1 a b h根据题意，5a =, 4b =,高为7h =.体积11115743332V Sh ah b ==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 703=立方尺. 【例17】今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？【注释】羡除：墓道.三个侧面为等腰梯形，其余两个面为直角三角形的五面体.【译文】现有三个侧面都为等腰梯形，其他两面为直角三角形的五面体，下宽6 尺，上宽1丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求规则形状的五面体的体积.如图，五面体EF ABCD -中,四边 形ADEF ,ABCD ,EFBC 均为等腰梯形，EF ∥AD ∥BC .ABF ∆,CDE ∆均为直 角三角形，AB AF ⊥,CD DE ⊥.设下广EF a =，上广AD b =，末广BC c =.高： EF 到平面ABCD 的距离为h ，长：AD 与BC 的距离l .算法：1()6V a b c h l =++⨯⨯采用割的方法推导计算公式.连接BE ，BD ,AE ,如图2,得三个三棱锥，设三棱 锥BAEF 的体积为1V ,三棱锥BAED 的体积为2V ,三棱锥BDEC 的体积为3V ,则 3V 16clh =，216V blh =，12V b V a=，12a V V b =, 所以1216a V V alh b ==,于是五面体的体积公式1231()6V V V V a b c h l =++=++⨯⨯.代入数据6a =,10b =,8c =, 7l =,3h =，代入公式得84V =立方尺.图（1） 图（2） E F A B C D 下广a 上广b 末广c EF A B C D 图1 图2【例18】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？【注释】刍甍：盖上草的屋脊. 刍：草；甍：屋脊.这里指底面为长方形的屋脊状的楔体.【译文】现有底面为长方形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈，问它的体积是多少？【解析】本题是求底面为长方形的楔体（五面体）的体积.如图所示，在五面体 EF ABCD -中，EF ∥底面ABCD ,底面ABCD 是长方形，EF 到平面ABCD 的距离为h , BC a =,AB b =,EF c =. 算法：1()6V b b c ah =++⨯采用割的方法推导计算公式.连接BE ，BF ,DF ,如图2,得三个三棱锥，设三棱 锥ABDE 的体积为1V ,三棱锥BCDF 的体积为2V ,三棱锥BDEF 的体积为3V ,则 1216V V abh ==，32V c V b=，321166c c V V abh ach b b ==⨯=,于是五面体的体积公式1231()6V V V V b b c ah =++=++⨯.代入数据4b =,2c =,3a =,1h =，得5V =立方丈.【例19】今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？【注释】刍童：上下底面都为长方形的草垛.【译文】现有上下底面都为长方形的草垛，下底面宽2丈，长3丈；上底宽3丈， 长4丈，高3丈，问它的体积是多少？【解析】如图所示，在六面体EFGH ABCD -中，面EFGH ∥面ABCD 且都为长 方形，距离为h .设EF a =，FG b =，AB m =，BC n =. 算法：[]1(2)(2)6V h m a n a m b =+++或[]1(2)(2)6V h b n a n b m =+⨯++.E F A B C D a b c 图1 h E F A BD a b c 图2 A B C DEFGH a b m nh 图1 AB C D E F G H 图2采用割的方法推导计算公式.连接AF ，BD ,CF ,DF ,HF ,ED .如图2,得六个 三棱锥，设三棱锥ABDF 的体积为1V ,三棱锥BCDF 的体积为2V ,三棱锥CGHF 的体积为3V ,设三棱锥CHFD 的体积为4V ,三棱锥HEFD 的体积为5V ,三棱锥EAFD 的体积为6V ,则116V mnh =，216V mnh =，316V abh =，43V m V a=，43m V V a = 41166m V abh bmh a =⨯=,516V abh =,65V n V b=,61166n V abh anh b =⨯=,于是六面体的 体积公式1234561()6V V V V V V V mnh mnh abh bmh abh anh =+++++=+++++ [][]11()()(2)(2)66mn mn an ab ab bm h m a n a m b h =+++++=+++. 2m =,3n =,3a =,4b =,3h =,代入公式得26.5V =立方丈.【例20】今有曲池，上中周二丈，外周四丈,广一丈,下中周一丈四尺,外周二丈 四尺，广五尺，深一丈.问积几何？【注释】曲池:上下底面都为扇环形的水池.【译文】现有上下底面都为扇环形的水池，上底面扇环的内弧长为2丈，外弧长为4丈，母线长1丈；下底面扇环的内弧长为1丈4尺，外弧长为2丈4尺，母线长5尺；深1丈. 问它的容积是多少？ 注意：上底长4232+==丈，下底长 1.4 2.4 1.92+==丈. 【例21】今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈.问积几何？【注释】盘池：上下底面都为长方形的土池.【译文】现有上下底面都为长方形的土池，上底面宽6丈，长8丈；下底宽4丈， 长6丈，深2丈，问它的容积是多少？【例22】今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺.问积几 何？【注释】冥谷：上下底面都为长方形的墓坑.【译文】现有上下底面都为长方形的墓坑，上底面宽2丈，长7丈；下底宽8尺， 长4丈，深6丈5尺，问它的容积是多少？【说明】从例20到例22的容积求法与例19算法完全一样.【例23】今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈.问积及为粟几何？【注释】委粟平地：在平地堆放谷子.（成圆锥形）【译文】现将谷子堆放在平地成圆锥形，圆锥底面圆的周长为12丈，高2丈.问这堆谷子的体积是多少？应有谷子是多少斛？【解析】本题是求圆锥的体积是多少立方尺（与例13解法完全相同）及谷子有多少斛.“斛”旧量器，方形，口小，底大. 已知1斛谷子的体积约为2.7立方尺.体积221312CV r h hππ==，取3π=.代入数据得212CV hπ=2120208000123⨯==⨯立方尺.所求谷子数为：800026296229632.727=+≈斛.【例24】今有委菽依垣，下周三丈，高七尺.问积及为菽各几何？【注释】委菽依垣：靠墙壁堆放大豆（成半圆锥形）；菽：大豆.【译文】现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺.问这堆大豆的体积是多少？应有大豆是多少？【解析】本题是求半圆锥的体积是多少立方尺及大豆有多少斛.已知1斛大豆的体积约为2.43立方尺.先补形为圆锥，求出圆锥的体积，再除以2，即为所求体积.体积221312CV r h hππ==，取3π=.代入数据得21122CV hπ=⨯260713501232⨯=⨯=⨯立方尺.所求谷子数为：35081441442.43243=+≈斛.【例25】今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及为米几何？【注释】委米依垣内角: 靠墙壁内角堆放米（成14圆锥形）.【译文】现将米靠墙壁内角堆放成14圆锥形，底面扇形的弧长为8尺，高5尺.问这堆米的体积是多少？应有米是多少？【解析】本题是求14圆锥的体积是多少立方尺及米有多少斛.2015年全国卷（Ⅰ）中，第6题作为选择题，21124CV hπ=⨯2(84)5132012349⨯⨯=⨯=⨯立方尺.1斛米1.62=立方尺，3201.62229÷≈斛.【例26】今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺.穿地下广几何？【译文】现挖坑，上底面长1丈6尺，宽6尺，深1丈.用挖的土筑墙，墙的体积为576立方尺.问所挖坑的下底宽是多少？【解析】所挖坑为水平放置的底面为等腰梯形的直四棱柱，计算方法与例2完全相同，()2a b hV S h l+⋅=⋅=⨯，不过需要注意两点：（1）已知体积求底面宽，需要解方程；（2）挖坑为“虚土”，筑墙为“坚土”，换算关系为：虚土:坚土4:3=.于是，所挖虚土为45767683⨯=，则(6)101607682b+⨯⨯=，185b=尺.所挖坑的下底宽是183.65=尺.【例27】今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.问高几何？【译文】现有粮仓（长方体），宽3丈，长4丈5尺，可装谷子10000斛.问该粮仓高是多少？【解析】本题是已知长方体的长、宽、体积求高.需要将斛换算成立方尺.由例23知1斛粟 2.7=立方尺,则有10000 2.73045h⨯=⨯⨯，20h=尺2=丈.【例28】今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛.问周几何？【注释】困：古代一种圆形的谷仓. 少半寸：13寸.【译文】现有圆柱形粮仓，高1丈3尺3寸又13寸，（即4003寸）.容纳米2000斛.问该粮仓底面周长是多少？【解析】本题是已知圆柱的体积和高求底面圆的周长.需要将斛换算成立方寸. 知1斛粟 1.62=立方尺1620=立方寸.设底面周长为C,半径为r，高为h,容积为V则C=200016203240000V=⨯=立方寸，540C===寸5=丈4尺.。