高数积分总结教学文案

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高数积分总结(1)-7页文档资料

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高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1:如果在区间I 上,可导函数F (x )的导函数为f(x),即对任一I x ∈,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。

定义2:在区间I 上,函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或者f(x)dx )在区间I 上的不定积分,记作⎰dx x f )(。

性质1:设函数f(x)及g(x)的原函数存在,则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2:设函数f(x)的原函数存在,k 为非零常数,则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1)第一类换元法:定理1:设f(u)具有原函数,)(x ϕμ=可导,则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。

例:求⎰xdx 2cos 2解 ⎰⎰⎰⎰=∙=∙=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2将x 2=μ代入,既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法:定理2:设)(t x ψ=是单调的、可导的函数,并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数,则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例:求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ,那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+,于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dx sec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=,且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C a ax a x a x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰,a C C ln 1-= 3、分部积分法定义:设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。

高数大一下积分知识点总结

高数大一下积分知识点总结

高数大一下积分知识点总结在大一下学期的高等数学课程中,积分是一个重要的知识点。

积分作为微积分的一个重要分支,不仅具有理论上的意义,也有实际应用价值。

下面我将对大一下积分的知识点进行总结,以帮助同学们更好地学习和掌握这一内容。

1. 定积分定积分是积分的一种形式,表示函数在某一区间上的总和。

其定义如下:$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$$其中,$f(x)$是被积函数,$a$和$b$为积分的下限与上限,$F(x)$为$f(x)$在区间$[a,b]$上的原函数。

2. 基本积分公式在求解定积分时,常常需要用到基本积分公式。

以下是一些常用的基本积分公式:- $\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$,其中$n\neq-1$,$C$为常数。

- $\int e^xdx=e^x+C$- $\int \sin xdx=-\cos x+C$- $\int \cos xdx=\sin x+C$- $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$3. 积分法则积分法则是指求解积分时常用的一些规则和方法,包括线性性质、分部积分法、换元积分法等。

- 线性性质:$\int (af(x)+bg(x))dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$,其中$a,b$为常数。

- 分部积分法:$\int u \cdot dv = uv - \int v \cdot du$,其中$u$和$v$是可微函数。

- 换元积分法:设$y=g(x)$为$x=f(u)$的反函数,若$f'(u)$与$g'(x)$都存在且连续,则有$\int f(u)g'(u)du=\int f(x)dx$。

4. 微元法与定积分的关系微元法是使用微积分中的微分思想求解积分的方法,通过将函数分割为无穷小的微元,将积分问题转化为求和问题。

定积分可以看作是微元法的一个特例,当区间上的微元无穷小时,定积分就可以表示为无穷和的极限形式。

高中数学积分知识归纳总结

高中数学积分知识归纳总结

高中数学积分知识归纳总结积分是高中数学中非常重要的概念,它在微积分领域扮演着至关重要的角色。

本文将对高中数学积分的相关知识进行归纳总结,帮助读者更好地理解与掌握积分概念和应用。

1. 积分的概念与性质积分是微积分的基本概念之一,它与导数有着密切的联系。

积分的定义可以用极限的概念进行描述,即通过将一个函数逐段近似,求出每个小面积的和,从而得到函数的积分值。

积分具有线性性质、保号性质和可加性等重要性质,这些性质在积分计算中起着重要的作用。

2. 不定积分与定积分在积分的计算中,常常会涉及到不定积分和定积分。

不定积分是对函数进行积分运算,得到一个含有常数项的表达式,通常记作∫f(x)dx。

定积分则是对函数在给定区间上的积分运算,得到一个确定的数值结果,通常用记号∫a^bf(x)dx表示。

不定积分和定积分是积分的两个基本概念,它们有着密切的联系和相互转化的关系。

3. 基本积分公式为了更方便地进行积分计算,高中数学课程给出了一系列基本积分公式。

这些公式包括常数函数积分、幂函数积分、指数函数积分、三角函数积分、与自然对数相关的积分等。

学生应该牢记这些基本积分公式,并能够熟练地运用它们解决具体问题。

4. 积分的计算方法积分的计算方法有很多种,其中常见的方法包括换元法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分、凑微分法等。

这些方法在具体题目中的应用需要灵活运用,才能有效地求解积分。

5. 积分的应用积分不仅仅是一种纯数学运算,更是在实际应用中的重要工具。

高中数学中,积分的应用非常广泛,如求曲线的面积、求解定积分方程、求取物体的质量与重心等。

在物理、经济、生物等领域,积分的应用更是与实际问题的建模和求解密切相关。

通过以上总结,我们可以看到高中数学积分不仅是数学知识体系中重要的一环,更是与实际应用紧密相连的工具。

掌握了积分的概念、性质、不定积分与定积分的区别,以及基本积分公式和计算方法,对于高中数学学习和日后的大学数学学习都具有重要意义。

积分教案(3)

积分教案(3)

积分教案(3)
一、教学目标
通过本节课的研究,学生将能够:
- 理解积分在数学中的概念和意义;
- 掌握求函数的不定积分的方法;
- 解决简单的积分计算问题。

二、教学内容
1. 积分的概念
- 积分的定义
- 积分的几何意义
2. 求函数的不定积分
- 基本积分公式
- 基本积分运算法则
3. 积分计算问题的解决
- 利用基本积分公式求积分
- 利用基本积分运算法则求积分
- 求函数定积分的方法
三、教学步骤
1. 导入
- 通过一个简单的问题引入积分的概念,激发学生的兴趣。

2. 概念讲解
- 用图形说明积分的定义和几何意义。

3. 求函数的不定积分
- 讲解基本积分公式和基本积分运算法则的具体应用。

4. 解决积分计算问题
- 给出一些示例,演示如何利用基本积分公式和基本积分运算法则求积分。

5. 总结
- 对本节课的内容进行总结,并强调积分在数学中的重要性和应用价值。

四、教学资源
- PowerPoint演示文稿
- 积分计算问题示例
- 板书
五、教学评估
- 学生上课参与情况及回答问题的准确性和深度;
- 学生课后作业的完成情况和准确性。

六、教学延伸
介绍积分在实际生活和其他学科中的应用,拓宽学生的知识视野,提高他们对积分的理解和兴趣。

《积分学习的总结》word版

《积分学习的总结》word版

;- 1 –积 分整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础,希望同学们熟记积分公式,及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式:()baf x dx ⎰2.定义域:一维区间,例如[,]a b3.性质:见课本P 229-P 232特殊:若1f =,则()baf x dx b a =-⎰,即区间长度.4.积分技巧:奇偶对称性.注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()bbaaf x dx f y dy =⎰⎰,而不定积分不具有这种性质.5.积分方法:与不定积分的方法相同.6.几何应用: 定积分的几何意义:()baf x dx ⎰表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负);其他应用:如()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长(baf x ⎰等.三、二重积分 1.定义式:(,)xyD f x y d σ⎰⎰2.定义域:二维平面区域3.性质:见下册课本P 77特殊: 若1f =,则(,)xyD f x y dxdy S =⎰⎰,即S 为xy D 的面积.4.坐标系:①直角坐标系:X 型区域,Y 型区域②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围.5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;6.几何应用:二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xyD f x y dxdy ⎰⎰表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积;其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xyD ⎰⎰四、三重积分 1.定义式(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰2.定义域:三维空间区域;3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若1f =,则(,,)f x y z dv V Ω=⎰⎰⎰,其中V 表示Ω的体积.4.坐标系:①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面积易求时采用)②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后ϕ,最后r .5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰为物体质量.(不考虑几何意义)五、第一类曲线积分 1.定义式:(,)Lf x y ds ⎰(二维) | (,,)Lf x y z ds ⎰(三维)2.定义域:平面曲线弧 | 空间曲线弧3.性质:见课本P 128 特殊: 1f =则Lfds s =⎰,s 表示曲线弧长.4.计算公式(二维为例):;- 2 –(,)((),(bLaf x y ds f t t ϕψ=⎰⎰:(),(),[,]L x t y t t a b ϕψ==∈类似可推出:(),[,]L y y x x a b =∈的公式.注意化为定积分时下限小于上限. 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心; 6.几何应用:见上3. 六、第二类曲线积分 1.定义式:(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰(二维)(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dy ++⎰(三维)2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)3.性质:见课本P 1354.计算公式:(,)(,)[((),())()((),())()][(,())(,())()]bLa d cP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dtP x f x Q x f x f x dxϕψϕϕψψ''+=+' =+⎰⎰⎰注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.不能使用奇偶对称性.6.应用:力做功. 七、第一类曲面积分 1.定义式:(,,)f x y z dS ∑⎰⎰2.定义域:空间曲面注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似 特殊: 1f =则(,,)f x y z dS S ∑=⎰⎰,S 表示曲线面积.4.计算公式:(,,)(,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰类似可得在另两个曲面上的投影公式.注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标. 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心. 6.几何应用:见上3. 八、第二类曲面积分 1.定义式Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰2.定义域:有向空间曲面3.性质:见课本P 1624.计算公式:(,,)(,,(,))xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰,类似可得另两个.5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封 闭.6.应用:求流量,磁通量等. 奇偶对称性:定积分:若积分区间关于原点对称,例如[,]a a -若()f x 关于x 为奇函数,则()0aa f x dx -=⎰若()f x 关于x 为偶函数,则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰二重积分:若积分区域D 关于y 轴对称,记1D 为0x >的部分若(,)f x y 关于x 为奇函数,则()()(,)(,)0x y Dx y f x y dxdy dy f x y dx -==⎰⎰⎰⎰若(,)f x y 关于x 为偶函数,则1()()()(,)(,)2(,)2(,)x y x y Dx y D f x y dxdy dy f x y dx dy f x y dx f x y dxdy -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同样可以得到积分区域D 关于x 轴对称时, (,)f x y 关于y 为奇、偶函数的公式. 三重积分: 若积分区域Ω关于xoy 面对称,记1Ω为0z >的部分 若(,,)f x y z 关于z 为奇函数,则(,)(,)(,,)(,,)0z x y z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dz Ω-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰;- 3 –若(,,)f x y z 关于z 为偶函数,则1(,)(,)(,)0(,,)(,,)2(,,)2(,,)z x y z x y z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dzdxdy f x y z dz f x y z dxdydzΩΩ-= ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况. 例题:P 123#1(1)(2) P 124#2(4)第一类曲线积分:若积分曲线L 关于y 轴对称,记1L 为0x >的部分 若(,)f x y 关于x 为奇函数:(,)0Lf x y ds =⎰若(,)f x y 关于x 为偶函数:1(,)2(,)LL f x y ds f x y ds =⎰⎰同样可以得到曲线关于x 轴对称的情况.第一类曲面积分:若积分曲面∑关于xoy 面对称,记1∑为0z >的部分,若(,,)f x y z 关于z 为奇函数:(,,)0f x y z dz ∑=⎰⎰若(,,)f x y z 关于z 为偶函数:1(,,)2(,,)f x y z dz f x y z dz ∑∑=⎰⎰⎰⎰同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况. 例题:课本P 158#6(3),P 184#2变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用,使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如2222,1x y z R x y z ++=++=等,此时()()()f x dS f y dS f z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例题1:2,I x ds Γ=⎰其中Γ为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截的曲线.例题2: 22()d ,I x y S ∑=+⎰⎰其中∑为球面2222().x y z x y z ++=++循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且,,P Q R 中,,x y z 依次替换,即,,x y y z z x →→→后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有3Pdydz Qdzdx Rdxdy Rdxdy ∑∑++=⎰⎰⎰⎰例题:课本168页#3(4)质心:适用重积分,第一类积分.请同学们思考如何区别各种积分?(定义域) 区别:以下两个例题应该怎样算?222222()d ,()x y z S x y z dxdydz Ω∑++++⎰⎰⎰⎰⎰,其中22222222:,:x y z R x y z R ∑Ω++=++≤。

大一高数定积分知识点总结

大一高数定积分知识点总结

大一高数定积分知识点总结在大一的高等数学课程中,定积分是一个重要的概念和工具。

掌握定积分的相关知识点对于理解和应用数学是至关重要的。

本文将对大一高数定积分的知识点进行总结,帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、定积分的定义与性质定积分可以理解为曲线与坐标轴所夹的面积,也可以使用求和的方法进行计算。

其定义如下:设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续,则定义函数 f(x) 在 [a, b] 上的定积分为:∫(a到b) f(x) dx = lim(n->∞) Σ[f(xi)*Δx]其中,Σ表示求和,xi 是 [a, b] 上的任意一组数,Δx = (b - a) / n 是区间的等分长度。

定积分具有以下重要性质:1. 定积分是一个实数,表示函数在区间上的累积效应。

2. 定积分与区间的选取和积分路径无关,只与函数和积分上下限有关。

3. 若 f(x) 在 [a, b] 上连续,则 f(x) 在 [a, b] 上可积。

4. 若函数 f(x) 在 [a, b] 上可积,则 f(x) 在 [a, b] 上连续。

二、定积分的计算方法定积分的计算方法有以下几种常见的情况:1. 基本积分法:对于一些基本的函数,可以直接使用积分表或者公式进行计算。

例如∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

2. 分部积分法:适用于乘积形式的函数积分,通过反复应用分部积分公式可以求得积分结果。

3. 换元积分法:通过引入一个新的变量替代积分变量,从而将复杂的积分转换为简单的形式进行计算。

三、定积分的应用定积分在数学和科学中有广泛的应用,以下是一些常见的应用领域:1. 几何学:定积分可用于计算曲线与坐标轴所夹的面积、体积和质心等几何属性的求解。

2. 物理学:力学、电磁学等物理学问题中,定积分可用于求解质点的位移、物体的质量等相关物理量。

3. 统计学:定积分可用于求解概率密度函数和累积分布函数,进行统计数据的分析。

4. 经济学:定积分可用于计算经济学中的边际效应、消费者剩余、生产者剩余等经济指标。

高中数学 第十课时 定积分复习小结教案 北师大版选修2-2

高中数学 第十课时 定积分复习小结教案 北师大版选修2-2

第十课时 定积分复习小结一、教学目标:1、理解定积分的定义及几何意义,理解定积分的性质,了解微积分的基本定理,并且熟练计算一些函数的积分;2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程;3、掌握定积分的计算方法;4、利用定积分的几何意义会解决问题。

二、学法指导:1、重点理解定积分的定义及几何意义,理解定积分的性质,了解微积分的基本定理,并且熟练计算一些函数的积分;2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想;3、重点掌握定积分的计算方法。

三、重点与难点:重点:理解并且掌握定积分算法;难点:利用定积分的几何意义解决问题。

四、教学方法:探究归纳,讲练结合 五、教学过程 (一)、知识闪烁1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值,分割的 ,估计值就也接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于 时,过剩估计值和不足估计值都趋于 ;误差趋于 。

2、定积分的定义思想:(1) (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ;其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义 ;在x 轴上方的面积取 ,在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义 ;()baf x dx ⎰的几何意义 ;()ba f x dx ⎰,()baf x dx ⎰,()baf x dx ⎰的关系 ;计算()baf x d x ⎰时,若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥,],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质:1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=(定积分对积分区间的可加性)()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数,即()f x = ,则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理,也称牛顿—莱布尼茨公式,()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续,且是偶函数,则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续,且是奇函数,()aaf x dx -=⎰(二)、方法点拨:1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤:(1)、画出图形;(2)确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标,为定积分的上下界;(3)确定被积函数函数,特别分清被积函数的上、下位置;(4)写出平面图形面积的定积分表达式;(5)运用微积分公式求出定积分。

高等数学第五章定积分总结

高等数学第五章定积分总结

高等数学第五章定积分总结定积分作为微积分的重要概念,是无穷积分的一种形式,并在多个领域中有着广泛的应用。

本章主要介绍了定积分的定义和性质,以及定积分的计算方法和应用。

首先,本章介绍了定积分的概念和定义。

定积分是一个数值,表示在给定的区间上,函数曲线与x轴之间的面积。

定积分可以分为两个部分:积分号和被积函数。

积分号表示积分的区间,被积函数表示要求积分的函数。

定积分的计算可以通过数值方法或解析方法进行,具体方法和结论有不少。

其次,本章介绍了定积分的性质。

定积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质。

线性性质表示定积分可以进行加减运算,并且可以乘以一个常数。

区间可加性是指定积分的区间可以分为多个子区间,进行分段积分。

保号性表示如果被积函数在一些区间上恒大于等于0,那么该区间上的定积分也大于等于0。

这些性质为定积分的计算和应用提供了更多的方便性。

然后,本章介绍了定积分的计算方法。

定积分的计算可以通过不定积分和定积分的关系来进行。

通过求解原函数,并利用牛顿-莱布尼茨公式,可以简化计算过程。

本章还介绍了定积分的几何意义,即定积分表示函数曲线与x轴围成的面积,也可以表示其中一种物理量在一定时间或一定空间内的累积变化量。

最后,本章介绍了定积分的应用。

定积分在几何学、物理学、经济学等多个领域中有着广泛的应用。

例如,通过定积分可以计算曲线的弧长、曲线围成的面积、质心的坐标等几何问题;通过定积分可以计算物体的质量、重心、转动惯量等物理问题;通过定积分可以计算收益、成本、利润等经济问题。

这些应用都是建立在定积分的几何意义和计算方法的基础之上,对于深入理解和运用定积分具有重要意义。

总之,定积分是微积分中的重要概念,不仅具有丰富的理论性质,还有着广泛的应用价值。

通过学习定积分的定义、性质、计算方法和应用,可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的知识,为解决实际问题提供更有效的数学工具。

高中数学中的积分知识点总结

高中数学中的积分知识点总结

高中数学中的积分知识点总结在高中数学中,积分是一个重要的概念和工具。

它不仅与微积分紧密相关,而且在物理、经济学等领域中也有广泛的应用。

本文将对高中数学中的积分知识点进行总结和归纳。

1. 积分的定义与性质积分的定义是一个数学极限的应用,即将被积函数逐点近似地表示为无穷小的和。

积分的性质包括线性性质、可加性、平均值定理等。

通过这些性质,我们可以对积分进行一系列的运算和推导。

2. 积分的求法常见的积分求法包括用基本积分公式、换元积分法、分部积分法、三角函数积分法等。

这些方法能够帮助我们简化积分式子,使其更易计算和处理。

3. 定积分与不定积分定积分是指从一个数到另一个数的区间上对函数进行积分,它的结果是一个确定的数值。

不定积分则是在函数原象上进行积分,结果是一个函数加上一个常数。

两者之间存在关系,通过定积分可以求得不定积分,而通过不定积分也可以得到定积分。

4. 积分的几何意义积分的几何意义可以用来计算曲线下的面积、体积等几何量。

例如,通过将曲线与坐标轴所围成的图形划分为无数个小矩形或小圆柱体,我们可以利用积分来计算出具体的数值结果。

5. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的重要定理之一,它建立了微积分的基础架构。

基本定理分为两个部分:第一部分是微分与积分的相互联系,即导函数与原函数的关系;第二部分是定积分的计算,即通过求导来计算积分。

这个定理为我们提供了一种计算积分的方法。

6. 不定积分的应用不定积分在实际问题中有广泛的应用。

例如,在物理学中,通过求速度函数的不定积分可以得到位移函数;在经济学中,通过求边际收益函数的不定积分可以得到总收益函数。

这些应用使我们能够更好地理解和解决实际生活中的问题。

7. 定积分的应用定积分在几何和物理学中有着重要的应用。

例如,通过计算曲线下的定积分可以求得曲线的弧长;通过计算物体的体积密度函数在空间上的定积分可以得到物体的质量等。

这些应用使我们能够对问题进行量化和分析。

8. 微积分与其他学科的应用微积分作为一门重要的数学学科,不仅在数学中有广泛的应用,而且在物理学、经济学、生物学等学科中也有重要的地位和作用。

高数积分总结【教学内容】

高数积分总结【教学内容】

高数积分总结【教学内容】高等数学中积分是一个重要的概念,是求解函数积分的方法,可以在多个数学领域中得到应用。

本文将对高等数学中常见的积分方法进行总结,帮助学生更好地理解和掌握积分的相关知识。

一、不定积分不定积分,也称原函数积分或算符积分,是指对于一元函数f(x),求出它的一个不定积分F(x),即有F’(x)=f(x)。

不定积分的符号为∫f(x)dx,其中f(x)为被积函数,dx 为积分变量。

求不定积分有以下几种方法:1. 直接积分法直接积分法是指通过展开被积函数的积化和差,再利用已知的基本积分求得不定积分的方法。

例如:∫(3x^2+2x-1)dx = x^3+x^2-x + C2. 变量代换法变量代换法也叫换元法,是指通过对被积函数进行一定的代换,将原积分式转化为一个更容易积分的形式,从而求得不定积分。

常见的变量代换法有以下几种:(1)第一类换元法:该方法适用于含有同时含有一个多项式和一个三角函数的积分式。

具体做法是,将三角函数部分的自变量用多项式的自变量代换,以去除三角函数,使其成为整式的形式。

分部积分法,也叫反复积分法,是指将被积函数化成乘积形式后,利用乘积的求导公式,通过不断的反复积分来求解原函数的方法。

具体做法是,将不定积分化成形如∫u(x)v’(x)dx的形式,然后通过分部积分公式∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u’(x)dx求解出原函数。

4. 有理函数分解法有理函数分解法适用于一些特殊的被积函数,比如一个单项式分母的函数,或一个分子分母都是多项式的有理函数。

该方法的核心思路是将有理函数分解为若干个基本有理函数的和的形式。

例如:∫(x^2+1)/(x^3+x^2+x+1)dx通过将被积函数分解为基本有理函数的和,再使用部分分式展开法,可以求得不定积分。

定积分,也称区间积分或Riemann积分,是指在一定区间[a,b]上,对一元函数f(x)进行积分,求得定积分的值。

高数——一元函数积分学教学文案

高数——一元函数积分学教学文案

高数——一元函数积分学一元函数积分学【知识要点】1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。

2、熟练掌握不定积分的基本公式。

3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换)。

4、熟练掌握不定积分的分部积分法。

5、掌握简单有理函数不定积分的计算。

6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件7、掌握定积分的基本性质8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。

9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

11、.理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。

12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。

1不定积分定义 函数)(x f 的全体原函数称为函数)(x f 的不定积分,记作⎰dx x f )(,并称⎰微积分号,函数)(x f 为被积函数,dx x f )(为被积表达式,x 为积分变量。

因此⎰+=C x F dx x f )()(,其中)(x F 是)(x f 的一个原函数,C 为任意常数(积分常数)。

基本积分公式(要求熟练记忆) (1)⎰=C dx 0 (2))1(111-≠++=+⎰a C x a dx x a a . (3)C x dx x+=⎰ln 1.(4)C a a dx a xx +=⎰ln 1 )1,0(≠>a a (5)C e dx e x x +=⎰ (6)⎰+-=C x xdx cos sin (7)⎰+=C x xdx sin cos(8)C x dx x +=⎰tan cos 12. (9)C x dx x +-=⎰cot sin 12.(10)C x dx x+=-⎰arcsin 112.(11)C x dx x +=+⎰arctan 112. 正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一,所有积分公式中的x 均应理解为x 的连续函数,例如C x a dx x a a ++=⎰+111理解为下面的结构式:式中的方块可以为自变量x ,也可以是x 的函数,如:正确理解公式并能熟练掌握它,对于学习后续知识会有极大的好处。

高中数学积分解题讲解教案

高中数学积分解题讲解教案

高中数学积分解题讲解教案一、教学目标:1. 理解积分的概念及性质;2. 掌握积分法则的运用;3. 学会通过积分解决实际问题。

二、教学重点:1. 积分的定义及性质;2. 积分法则的运用;3. 积分在实际问题中的应用。

三、教学难点:1. 复杂函数的积分求解;2. 实际问题的积分求解。

四、教学准备:1. 教学课件;2. 教学案例及练习题;3. 教学实例及应用问题。

五、教学内容与教学步骤:1. 积分的定义及性质1.1 引入积分的概念,讲解定积分的定义;1.2 解释不定积分的概念及表示方法;1.3 展示积分的性质,如线性性质、可加性等。

2. 积分法则的运用2.1 教授积分的基本运算法则;2.2 指导学生掌握不定积分的计算方法;2.3 练习相应的例题,并教导解题技巧。

3. 积分在实际问题中的应用3.1 介绍积分的应用领域及重要性;3.2 演示如何通过积分解决实际问题;3.3 练习实际问题的积分求解,并引导学生分析问题,提高解题能力。

六、教学反馈:1. 设置课后作业,检测学生对积分理论的掌握程度;2. 定期进行小测或考试,评估学生的学习成果;3. 鼓励学生积极参与课堂练习及讨论,激发学习兴趣。

七、教学拓展:1. 拓展积分理论的相关知识,如区间的性质、定积分与不定积分的关系等;2. 引导学生学习更多复杂的积分求解方法,提高解题技巧;3. 鼓励学生进行积分问题的探索与实践,拓展应用领域。

八、教学心得:通过本次教学,学生能够理解积分的概念及性质,掌握积分法则的运用,并能够应用积分解决实际问题。

同时,教学中注重培养学生的问题分析和解决能力,激发学生的学习兴趣,提高学生的数学素养。

高数大一上积分知识点总结

高数大一上积分知识点总结

高数大一上积分知识点总结在高等数学中,积分是一个重要的概念,也是数学的一种运算方法。

在大一上学期的高等数学课程中,积分是一个必学的内容。

本文将对大一上积分的相关知识点进行总结和归纳,帮助读者更好地理解和掌握积分的概念和运算技巧。

一、不定积分不定积分,也称为原函数或者不定积分,是积分的一种形式。

不定积分表示对函数进行积分运算,并得到其原函数。

在大一上学期的高等数学课程中,学习不定积分是一个基础的内容。

1. 基本积分表在学习不定积分时,需要掌握一些基本的积分公式,也称为基本积分表。

这些基本积分表中包含了一些常见函数的积分形式,比如幂函数、三角函数、指数函数等。

熟练掌握这些基本积分表可以快速计算不定积分。

2. 不定积分的运算法则不定积分的运算法则包括线性运算法则、积分的可加性和分部积分法等。

线性运算法则是指对于任意两个函数f(x)和g(x),以及常数a和b,有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

积分的可加性是指∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

分部积分法是一种将原函数的积分转化为两个函数乘积的积分形式,即∫f(x)g'(x)dx =f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx。

二、定积分定积分是对函数在一个闭区间上的积分操作。

定积分可以理解为函数在该区间上的累加效应。

在大一上学期的高等数学课程中,学习定积分是一个进一步的内容。

1. 定积分的定义和性质定积分的定义涉及到极限和区间的概念,通过将区间划分为若干小区间,并取得小区间的极限值,从而得到定积分的值。

定积分具有一些重要的性质,比如线性性、区间可加性和保号性等。

2. 定积分的计算方法定积分的计算方法包括换元法、分部积分法和定积分的性质等。

其中,换元法是一种将被积函数的自变量进行变换,从而简化积分形式的方法。

分部积分法是一种将积分分解为乘积的形式,从而利用分部积分公式进行计算的方法。

高中数学积分题讲解教案

高中数学积分题讲解教案

高中数学积分题讲解教案
教学目标:
1. 了解积分的概念和性质
2. 掌握积分的基本计算方法
3. 能够灵活运用积分解决实际问题
教学内容:
1. 积分的定义和基本性质
2. 定积分的计算方法
3. 不定积分的计算方法
4. 微积分基本定理和换元法
教学重点:
1. 理解积分的概念和意义
2. 掌握定积分和不定积分的计算方法
3. 熟练运用微积分基本定理和换元法解决问题
教学方法:
1. 通过讲解和示范,引导学生掌握积分的基本知识和计算方法
2. 通过练习和实例分析,培养学生解决问题的能力
3. 鼓励学生在课堂上提问和讨论,激发他们的学习兴趣
教学过程:
1. 引入:通过一个实际问题引入积分的概念和作用
2. 讲解:介绍积分的定义、性质和基本计算方法
3. 示例:通过几道积分计算题目演示积分的具体操作步骤
4. 练习:让学生进行积分练习题,巩固所学知识和技能
5. 总结:总结本节课所学内容,强调积分的重要性和应用价值课后作业:
1. 完成教师布置的积分练习题
2. 选择一些实际问题,尝试用积分方法解决
3. 阅读相关文献,了解积分的更多应用领域
教学评价:
1. 观察学生在课堂上的回答和表现
2. 收集学生的作业,查看他们的掌握程度和应用能力
3. 定期进行小测验,检验学生对积分知识的理解和掌握情况教学反思:
1. 分析学生在学习积分过程中存在的问题和困难
2. 总结教学方法的有效性和改进的方向
3. 调整教学内容和方式,以更好地促进学生的学习效果。

高中数学备课教案积分与定积分的方法总结

高中数学备课教案积分与定积分的方法总结

高中数学备课教案积分与定积分的方法总结一、引言在高中数学教学中,积分与定积分是重要的概念和工具。

通过对函数的积分和定积分的学习,学生可以更深入地理解微积分的基本原理和应用。

本文将对积分与定积分的方法进行总结,并为高中数学备课教案提供参考。

二、不定积分的方法1. 初等函数的不定积分法初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数有特定的求导公式,因此可以通过逆运算来求解不定积分。

例如,对于多项式函数,可以利用幂函数的求导法则进行求解;对于指数函数和三角函数,可以通过换元法或者递推法进行求解。

2. 条件积分法条件积分法是利用积分的性质来对不定积分进行变形和简化。

常见的条件积分法包括分部积分法和换元法。

分部积分法可以将一个不定积分转化为两个函数的乘积的积分形式,从而简化求解的过程。

换元法则是通过变量代换,将一个复杂的函数替换为简单的新变量,从而简化求解的过程。

三、定积分的方法1. 几何与物理问题的定积分法在几何学和物理学中,很多问题都可以转化为定积分的求解。

例如,计算曲线与坐标轴所围成的面积、计算物体的质量或者重心等。

这些问题可以通过定积分的定义和几何解释进行求解,其中上下限表示积分区间的起点和终点,被积函数表示曲线或者物体的属性。

2. 定积分的性质利用法定积分具有一些重要的性质,例如线性性质、区间可加性、积分中值定理等。

这些性质可以被应用于定积分的求解过程中,使得计算更为简化。

例如,利用线性性质可以将复杂的被积函数进行分解,然后分别进行积分;利用区间可加性可以将积分区间分成若干子区间进行计算。

四、积分与定积分的应用积分和定积分在数学和其他学科中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域:1. 几何与物理学应用:通过定积分可以计算曲线的长度、曲线与坐标轴所围成的面积等几何问题;还可以应用于物理学中的质量、重心、力、功、能量等计算。

2. 统计学与概率论应用:积分和定积分在统计学和概率论中被广泛应用于概率密度函数和累积分布函数的计算。

高中数学备课教案函数的积分与定积分

高中数学备课教案函数的积分与定积分

高中数学备课教案函数的积分与定积分高中数学备课教案函数的积分与定积分一、引言数学中,积分与定积分是重要的概念,特别是在函数的研究中,起着至关重要的作用。

本教案将介绍函数的积分与定积分的概念、性质以及相关的计算方法,旨在帮助学生深入理解和掌握这一知识点。

二、函数的积分1. 定义在微积分中,对于给定函数f(x),它的不定积分被称为函数的积分。

记作:∫f(x)dx。

其中∫表示积分的符号,f(x)为被积函数,dx表示变量x的微小变化。

2. 基本性质(1)积分的线性性质:对于任意实常数a、b和任意函数f(x)、g(x),有以下公式成立:∫[a·f(x) + b·g(x)]dx = a·∫f(x)dx + b·∫g(x)dx(2)积分的限制:在定义不定积分时,使用的是一个不带上限和下限的符号∫。

当需要计算定积分时,就需要在积分符号上添加上限和下限。

三、定积分的计算1. 定义对于给定函数f(x),定积分的计算可以看作是求函数在给定区间[a, b]上的面积。

定积分的概念可以表示为:∫[a, b] f(x)dx其中,[a, b]表示积分区间,f(x)表示被积函数,dx表示变量x的微小变化。

2. 计算方法定积分的计算可以通过以下几种方法进行:(1)几何解释:将定积分看作是曲线下面的面积,可以通过几何图形的计算方法求解。

(2)划分区间法:将区间[a, b]等分为n个小区间,然后计算每个小区间内函数的取值乘以小区间的宽度,并将所有结果相加。

(3)定积分的性质:定积分具有线性性质,可以利用这一性质将复杂的函数化简为简单的函数进行计算。

四、函数的积分与定积分的关系在函数的研究中,函数的积分与定积分之间存在紧密的联系。

1. 导数与积分的关系根据微积分的基本定理,导数和积分是互逆的运算。

如果函数f(x)的导函数是F(x),那么函数F(x)就是f(x)的原函数。

反之亦成立。

即:如果F'(x) = f(x),那么∫f(x)dx = F(x) + C。

最新高数积分总结教学文案

最新高数积分总结教学文案

第四章 一元函数的积分及其应用第一节 不定积分一、原函数与不定积分的概念 定义1.设)(x f 是定义在某区间的已知函数,若存在函数)(x F ,使得)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=,则称)(x F 为)(x f 的一个原函数定义2.函数)(x f 的全体原函数C x F +)(叫做)(x f 的不定积分,,记为:⎰+=C x F x x f )(d )(其中)(x f 叫做被积函数 x x f d )(叫做被积表达式 C 叫做积分常数“⎰”叫做积分号二、不定积分的性质和基本积分公式性质1. 不定积分的导数等于被积函数,不定积分的微分等于被积表达式,即()⎰=='⎰x x f x x f x f x x f d )(d )(d )(d )(;.性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数,即⎰+=+=⎰'C x f x f C x f x x f )()(d ,)(d )(或性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来,即⎰≠=⎰)0(d )(d )(k x x f k x x kf .性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和,即[]⎰⎰±=⎰±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )()(基本积分公式(1)⎰+=C kx x k d (k 为常数) (2)C x x x ++=⎰+111d μμμ(1-≠μ) (3)C x x x+=⎰ln d 1 (4)⎰+=C e dx e x x(5)⎰+=C aa x a xxln d(6)⎰+=C x x x sin d cos (7)⎰+-=C x x x cos d sin (8)⎰+=C x x x tan d sec 2 (9)⎰+-=C x x x cot d csc 2 (10)⎰+=C x x x x sec d tan sec (11)⎰+-=C x x x x csc d cot csc (12)⎰++=C x x x x tan sec ln d sec(13)+-=C x x x x cot csc ln d csc (14)C x x +=⎰arctan d 12三、换元积分法和分部积分法 定理1. 设)(x ϕ可导,并且.)(d )(⎰+=C u F u u f 则有Cx F x u Cu F uu f x u x x f x x x f +=+⎰=⎰'⎰))(()()(d )()()(d )]([d )()]([ϕϕϕϕϕϕϕ代回令凑微分该方法叫第一换元积分法(integration by substitution),也称凑微分法. 定理2.设)(t xϕ=是可微函数且0)(≠'t ϕ,若)())((t t f ϕϕ'具有原函数)(t F ,则()()d x t f x xϕ=⎰换元()()()()()11d .t x f t t tF t CF x C ϕϕϕϕ--='⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦⎰积分回代该方法叫第二换元积分法:)d (的原则或及选取v v u '1) v 容易求得 ; x v u x v u d d )2''⎰⎰比解题技巧: :的一般方法及选取v u '把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序,前者为u 后者为.v '第二节 定积分概念一、原函数与不定积分的概念 二、定积分的定义和存在定理三、定积分的几何意义与定积分的性质 1.定积分的几何意义 2. 定积分的性质 性质1.=⎰±dx x g x f b a)]()([±⎰b a dx x f )(⎰ba dx x g )(.性质2. =⎰b adx x kf )(k ⎰ba dx x f )( (k 是常数).性质3.=⎰b adx x f )(⎰+c a dx x f )(⎰bc dx x f )(.性质4.=⎰b a dx x f )(a b dx b a-=⎰.推论1. 如果在],[b a 上,则),()(x g x f ≤≤⎰b a dx x f )(⎰b a dx x g )( (a <b ).推论2. ≤⎰b adx x f )(⎰ba dx x f )(性质5.0)(≥⎰b adx x f )(b a <.性质6. 设M 与m 分别是函数],[)(b a x f 在上的最大值及最小值,则≤-)(a b m ≤⎰b a dx x f )()(a b M - (b a <).性质7 .(定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在积分区间],[b a ]上至少存在一点ξ,使下式成立:))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ (b a ≤≤ξ)可积的充分条件:定理1.上连续在函数],[)(b a x f ,则.],[)(可积在b a x f定理2.,],[)(上有界在函数b a x f 且只有有限个间断点 ,则.],[)(可积在b a x f第三节 微积分基本公式 一、微积分基本公式 1. 变上限函数定义1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则它在],[b a 任意一个子区间],[x a 上可积,则⎰=Φxa dx t f x )()( (b x a ≤≤)是上限变量x的函数,称此函数为积分上限函数,也称为变上限函数. 2. 微积分基本公式定理2.=⎰b adx x f )(-)(b F )(a F1.定积分的换元积分法定理3.=⎰b a dx x f )([]dt t t f ⎰'βαϕϕ)()(注:设)(x f 在],[a a -上连续,证明(1)若)(x f 在],[a a -为偶函数,则 ⎰-a adx x f )(=⎰a dx x f 0)(2;(2)若)(x f 在],[a a -上为奇函数,则⎰-aa dx x f )(=0.2.定积分的分部积分法定理4.⎰-⎰=b ab ab avdu uv udv ][第四节 定积分的应用(这点跟高中无异,于是乎就偷懒了=v=~) 一、定积分的微元法其实质是找出A 的微元dA 的微分表达式.二、定积分在几何中的应用 1. 平面图形的面积 ⎰=badx x f A )(.2. 旋转体的体积x x A Vba d )(⎰=三、定积分在物理上的应用 1.变力做功⎰=b a x x F W d )(2.液体静压dx x xf Fba )(g ρ⎰=四、定积分在医学上的应用医疗行业解决方案随着经济持续快速和居民生活水平的不断提高人们对健康的需求也越来越大,医疗市场迅速扩展。

掌握高一数学积分教案重点

掌握高一数学积分教案重点

作为高中数学的重要分支,积分应该算是比较难的一门数学课程之一。

要想学好积分,掌握高一数学积分教案的重点是非常重要的。

因此,本文将会对高一数学积分教案重点进行详细的介绍。

一、概念理解数学中最重要的就是概念。

对积分的概念的掌握是学好积分的基础。

积分是一种以微积分为基础的数学分析工具,用于度量一条曲线下方的面积。

在高一数学积分教学中,要求学生明白积分的基本意义,也就是把需要研究的函数与自变量的积分进行累加求和。

理解这个概念对于后续的积分运算有重要作用。

二、积分的基本性质积分有许多基本的性质,包括线性性,可加性,积分常数等等。

除此之外,高一数学积分课程还包括了有关反函数积分的性质。

理解这些基本性质对于解题以及计算积分有着重要的影响。

三、积分的运算规则在高一数学积分教学中,将对积分运算规则进行详细的讲解。

一些常见的积分运算规则包括:换元法,分部积分法,牛顿—莱布尼茨公式等等。

学生应当熟练运用这些规则来解决问题,并在其基础上,灵活应用运算来求解较复杂的积分。

四、常见的函数积分在高一数学积分课程中,学生将会接触到许多不同的函数类型。

对于每种类型的函数,都有其特点,并且需要采取相应的方法来解题。

常见的函数类型包括有理函数,三角函数,反三角函数等等。

理解不同函数的特性对于学生解决问题有着很重要的影响。

五、积分和微分的关系在高一数学积分课程中,还需要学生了解积分和微分的关系。

微分和积分在数学中是相互联系的。

学生应当理解函数的微分和积分之间的联系,以及微分和积分的公式等等内容。

六、积分应用在学好积分之后,学生也应该了解积分的应用。

积分作为微积分的重要分支,在许多领域都有应用,例如物理学、计算机科学、工程学等等。

学生应当熟练掌握积分的各种应用,以便在解决实际问题时使用。

高一数学积分课程重点包括概念理解、积分的基本性质、积分运算规则、常见的函数积分、积分和微分的关系以及积分应用等等。

学生应该全面理解这些基本知识,并根据实际情况进行巩固和练习,从而能够在积分课程中取得好的成绩。

高中数学积分套路教案及反思

高中数学积分套路教案及反思

高中数学积分套路教案及反思一、教学目标:1. 理解积分的基本概念,知晓积分在实际问题中的应用;2. 掌握定积分和不定积分的计算方法;3. 学会利用积分解决简单的数学问题。

二、教学内容:1. 积分的定义和性质;2. 不定积分和定积分的概念及计算方法;3. 积分的几何意义和物理意义。

三、教学重点:1. 积分的定义和性质;2. 不定积分和定积分的计算方法。

四、教学难点:1. 积分的几何意义和物理意义的理解;2. 不定积分和定积分的联系和区别。

五、教学过程:1. 引入:通过实际例子引入积分的概念,让学生了解积分的应用背景;2. 讲解:介绍积分的基本定义和性质,引导学生掌握积分的概念和基本思想;3. 练习:通过一些简单的例题和练习题,让学生熟练掌握不定积分和定积分的计算方法;4. 拓展:引导学生了解积分的几何意义和物理意义,启发学生发现积分在生活中的应用;5. 总结:总结本节课的重点内容,引导学生复习笔记和巩固所学知识。

六、课后作业:1. 完成教师布置的练习题;2. 思考积分在实际问题中的应用,写一篇小结。

反思范本:在本节课中,我觉得教学过程中引入和讲解部分设计得较为合理,能够引导学生较好地理解积分的基本概念和计算方法。

但在练习环节的设计上,可能还需加强难度适度,以提高学生对知识点的掌握程度。

在拓展环节,可能需要更多丰富多样的实例,以便更好地引导学生发现积分在生活中的应用,从而增强学生对知识的实际应用能力。

在课后作业的设计上,可以适当引导学生思考并总结本节课的重点内容,以帮助他们更好地巩固所学知识。

希望通过不断地反思和改进,能够提高教学效果,帮助学生更好地掌握数学积分的知识,提高他们的数学学习成绩。

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高数积分总结高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1:如果在区间I 上,可导函数F (x )的导函数为f(x),即对任一I x ∈,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。

定义2:在区间I 上,函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或者f(x)dx )在区间I 上的不定积分,记作⎰dx x f )(。

性质1:设函数f(x)及g(x)的原函数存在,则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2:设函数f(x)的原函数存在,k 为非零常数,则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1)第一类换元法:定理1:设f(u)具有原函数,)(x ϕμ=可导,则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。

例:求⎰xdx 2cos 2解 ⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入,既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法:定理2:设)(t x ψ=是单调的、可导的函数,并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数,则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例:求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+,设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ,那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+,于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dx sec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=,且0tan sec >+t t∴1222222)ln(ln C a x x C a ax a x a x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰,a C C ln 1-=3、分部积分法定义:设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。

那么,两个函数乘积的导数公式为()'''μυυμμυ+=移项得 υμμυμυ')'('-= 对这个等式两边求不定积分,得⎰⎰-=dx dx υμμυμυ''此公式为分部积分公式。

例:求⎰xdx x cos解 ⎰⎰-=xdx x x xdx x sin sin cos∴⎰++=C x x x xdx x cos sin cos 分部积分的顺序:反对幂三指。

4、有理函数的积分例:求⎰+-+dx x x x 6512解 ∵)2)(3(652--=+-x x x x ,故设236512-+-=+-+x Bx A x x x 其中A,B 为待定系数。

上式两端去分母后,得)3()2(1-+-=+x B x A x即 B A x B A x 32)(1--+=+ 比较上式两端同次幂的系数,既有⎩⎨⎧-=+=+1321B A B A 从而解得 3,4-==B A 于是C x x dx x x dx x x x +---=⎪⎭⎫⎝⎛---=+-+⎰⎰2ln 33ln 423346512 其他有些函数可以化做有理函数。

5、积分表的查询 二、定积分1、定积分的定义和性质(1)定义:设函数)(x f 在[]b a ,上有界,在[]b a ,中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把区间[]b a ,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,,,,12110-各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i i x x ≤≤-ξξ1,作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()n i x f i i ,,2,1)( =∆ξ,并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ记{}n x x x ∆∆∆=,,,m ax 21 λ,如果不论对[]b a ,怎么划分,也不论在小区间[]i i x x ,1-上点i ξ怎么选取,只要当0→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,那么称这个极限I 为函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分(简称积分),记作⎰badx x f )(,即∑⎰=→∆==ni i i bax f I dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 叫做被积函数,dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限,[]b a ,叫做积分区间。

定理1:设)(x f 在区间[]b a ,上连续,则)(x f 在[]b a ,上可积。

定理2:设)(x f 在区间[]b a ,上有界,且只有有限个间断点,则)(x f 在[]b a ,上可积。

(2)性质1:[]⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()()(性质2:⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( (k 是常数)性质3:设b c a <<,则⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(性质4:如果在区间[]b a ,上1)(≡x f ,则a b dx dx bab a-==⎰⎰1性质5:如果在区间[]b a ,上,0)(≥x f ,则()b a dx x f ba<≥⎰0)(推论1:如果在区间[]b a ,上,)()(x g x f ≤,则()b a dx x g dx x f bab a<≤⎰⎰)()(推论2:)()()(b a dx x f dx x f baba<≤⎰⎰性质6:设M 及m 分别是函数)(x f 在区间[]b a ,上的最大值和最小值,则))(()()(b a a b M dx x f a b m ba<-≤≤-⎰性质7(定积分中值定理):如果函数)(x f 在积分区间[]b a ,上连续,则在[]b a ,上至少存在一个点ξ,使下式成立))()(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ2、微积分基本公式 (1)积分上限函数及其导数定理1:如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续,则积分上限的函数()⎰=Φxadt t f x )(在[]b a ,上可导,并且它的导数))(()()('b x a x f dt t f dx d x xa≤≤==Φ⎰定理2:如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数。

(2)牛顿-莱布尼茨公式定理3:如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰3、定积分的换元法和分部积分法(1)定积分的换元法 定理: 假设函数)(x f 在区间[a,b]上连续,函数x=ϕ(t)满足条件:ϕ(α)=a,ϕ(β)=b;ϕ(t)在[α,β]上具有连续导数,且其值域R ϕ=[a,b],则有⎰⎰=badtt t f dx x f βαϕϕ)()]([)('(1)公式(1)叫做定积分的换元公式 (2)定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法,可得⎰⎰-=baa bb avdudx u uv v ]['三、反常积分(一)无穷限的反常积分定义1 设函数法f(x)在区间[a,∞+)上连续,取t>a,如果极限⎰+∞→tat dxx f )(lim存在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,∞+)上的反常积分,即⎰⎰+∞+∞→=atat dxx f dx x f )()(lim(二)无界函数的反常积分定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续,点a 为f(x)的丅点。

取t>a,如果极限⎰+→btt dxx f a)(lim存在,则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分,仍然记作⎰badxx f )(,即⎰badxx f )(=⎰+→btt dxx f a)(lim例题 讨论反常积分⎰-112x dx的收敛性。

解:被积函数f (x )=x 21在积分区间[-1,1]上除x=0外连续,且∞=→xx 21lim由于+∞=--=→-⎰1)1(lim 012x dxx x即反常积分⎰-012xdx发散,所以反常积分⎰-112xdx发散定积分()baf x dx ⎰的积分区间[]a b ,是有限区间,又()f x 在[]a b ,上是有界的,如果积分区间推广到无穷区间或()f x 推广到无界函数,就是两种不同类型的反常积分:1.无穷区间上的反常积分 (1)概念 定义:()()limbaab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰若极限存在,则称反常积分()af x dx+∞⎰是收敛的,它的值就是极限值;若极限不存在,则称反常积分()af x dx+∞⎰是发散的,而发散的反常积分没有值的概念.()()limbbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰同样有收敛和发散的概念,收敛的反常积分有值的概念.()()()ccf x dx f x dx f x dx+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰()()limlimcbaca b f x dx f x dx →-∞→+∞=+⎰⎰同样有收敛和发散的概念,收敛的反常积分有值的概念,值得注意:判断()f x dx+∞-∞⎰的收敛性不能用()limRRR f x dx-→+∞⎰的极限存在性.必须要求()cf x dx-∞⎰和()cf x dx+∞⎰两个反常积分都收敛,才能知道()f x dx+∞-∞⎰是收敛的,但是如果已经知道()f x dx+∞-∞⎰是收敛的,而求它的值,那么计算()limRRR f x dx-→+∞⎰是可以的.(2)常用公式11, 11 1p p dx p x p +∞⎧=>⎪-⎨⎪≤⎩⎰收敛,发散, 11, 11(ln ) 1p p ep dxdu p x x u p +∞+∞⎧=>⎪-=⎨⎪≤⎩⎰⎰收敛,发散,k xax edx λλλ+∞-⎧⎨≤⎩⎰收敛(>0)发散(0),k ≥(0)2.无界函数的反常积分(瑕积分) (1)概念: ①设()f x 在[)a b ,内连续,且()lim x b f x -→=∞,则称b 为()f x 的瑕点,定义()()lim b b aaof x dx f x dxεε+-→=⎰⎰若极限存在,则称反常积分()b af x dx ⎰收敛,且它的值就是极限值.若极限不存在,则称反常积分()ba f x dx⎰发散,发散的反常积分没有值的概念.②设()f x 在(]a b ,内连续,且()lim x a f x +→=∞,则称a 为()f x 的瑕点,定义()()0lim b baa f x dx f x dxεε++→=⎰⎰若极限存在,则称反常积分()b af x dx ⎰收敛,且它的值就是极限值,若极限不存在,则称反常积分()ba f x dx ⎰发散,它没有值.③设()f x 在[)a c ,和(]c b ,皆连续,且()lim x C f x →=∞,则称c 为()f x 的瑕点, 定义()()()()()12120lim lim bc bC baacaC f x dx f x dx f x dx f x dx f x dxεεεε++-+→→=+=+⎰⎰⎰⎰⎰(值得注意:这里判别收敛性时,1ε和2ε要独立地取极限,不能都用0ε+→来代替)若上面两个极限都存在时才称反常积分()ba f x dx ⎰是收敛的,否则反常积分()baf x dx ⎰发散.(2)常用公式:10 q q dx x q ⎧⎨≥⎩⎰收敛(<1时)发散(1时)类似地考虑101q dx x -⎰()和11q dx x -⎰最后指出:由于反常积分是变限积分的极限,因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.(乙)典型例题一、用常规方法计算定积分 【例1】 求下列定积分(1)220cos x xdxπ⎰ (2)0arctan xdx(3)ln 0⎰解 (1)2222222000cos sin sin 2sin x xdx x d x x x x xdxππππ=-⎰⎰⎰==222002cos 2cos 2cos xd x x x xdxπππ=-⎰⎰=2042sin 4x πππ-=(2)222200011arctan arctan 2221x x xdx xdx dxx ==-+=203111221dx x ⎫-⎪+⎝⎭=112arctan 222233ππππ--=+=-(3()2,ln 1t x t ==+22,01tdx dt x t ==+时0t =;ln 2x =时,1t =于是2ln 1122000212111t dt dt t t ⎡⎤==-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰⎰ =102[arctan ]214t t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【例2】 计算下列定积分(分段函数) (1)1213x x dx--⎰ (2)1ln eex dx⎰(3){}322min 1,x dx-⎰解 (1)()()101222113333x x dx x x dx x x dx ---=---=⎰⎰⎰(2)()1111ln ln ln eeeex dx x dx xdx=-+⎰⎰⎰=()()1111ln ln 21eex x x x x x e ⎛⎫-++-=-⎪⎝⎭(3){}311322221111min 1,3x dx dx x dx dx ----=++=⎰⎰⎰⎰二、用特殊方法计算定积分 【例1】 计算下列定积分(1)2(sin )(sin )(cos )f x I dxf x f x π=+⎰(f 为连续函数,(sin )(cos )0f x f x +≠)(2)40ln(1tan )I x dxπ=+⎰解 (1)令2xt,则2200(cos ),2,(cos )(sin )24f t I dt I dt I f t f t ππππ====+⎰⎰(2)令4xt,则4041tan 2ln 1()ln 1tan 1tan t I d t dt t t ππ-⎡⎤=+-=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰=ln 2,2ln 2,ln 2448I I I πππ-==【例2】 设连续函数()f x 满足()()1ln ef x x f x dx=-⎰,求()1ef x dx ⎰解 令()1ef x dx A=⎰,则()ln f x x A =-,两边从1到e 进行积分,得()1111ln (ln )(1)ee eef x dx xdx Adx x x x A e =-=---⎰⎰⎰于是1(1)(1),1,A e e A e eA A e =----==则()11ef x dx e =⎰三、递推公式形式的定积分 【例1】 设()2sin 012n n I xdx n π==⎰,,,求证当2n ≥时,21n n n I I n --=求n I 解 (1)()()2221110sincos sincos cos sin n n n n I xd x x x xd x πππ---=-=-+⎰⎰()()()22222201cos sin11sin sin n n n x xdx n x xdxππ--=-=--⎰⎰()()211n n n I n I -=---()21n n nI n I -=-,则()212n n n I I n n --=≥(2)220100sin 12I dx I xdx πππ====⎰⎰, 当2n k =,正偶数时,2220212123122222n k k k k k I I I I k k k ----===- ()()()()2222!2!222!2!k k k k k k ππ== 当21n k =+,正奇数时,21211222222121213n k k k k k I I I I k k k +--===++- ()()()()2222!2!21!21!k k k k k k ==++ 【例2】 设()2cos 012n n J xdx n π==⎰,,,,求证:()012n n J I n ==,,,证 令()2200cos sin 22nn n x t J t d t tdtππππ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰,则 ()012n n J I n == , , ,【例3】 设()420tan 1n n K xdx n π==⎰ ,2,3,求证:1121n n K K n -=--求()123n K n = , , ,解(1)()()42120tansec 1n n K x x dx π-=-⎰ ()4211tantan n n xd x K π--=-⎰1121n K n -=--(2)()442210tan sec 1K xdx x dx ππ==-⎰⎰[]4tan 140x x ππ=-=- ,231111134534K K ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 当3n >,正整数时()()()1121111421k n nn n k K k π--=⎡⎤-=-+-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑四、重积分(一)二重积分的性质与概念 定义:设D 是面上的有界闭区域,在D 上有界,将区域D 任意分成n 个小闭区域,其中既表示第i 个小闭区域又表示它的面积,在每个小区域上任意取一点,作n个乘积,然后作和式记,如当时,以上和式有确定的极限,则称该极限为在区域D 上的二重积分,记作或,即其中称为被积函数,称为被积表达式,称为面积元素,称为积分变量,D 称为积分区域,称为积分和式 几何意义当时,等于以区域D为底,曲面为顶的曲顶柱体体积;当时,等于以上所说的曲顶柱体体积的相反数;当时,等于区域D的面积。

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