数列应用题专题训练
1-2-3等差数列应用题.题库版
【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550⨯⨯（）（方法二）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ⨯-（）， 所以，第102项321021205=+⨯=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499-÷+=÷+=+=（）【答案】499【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d =+-⨯5(281)1=+-⨯32=(根)故最下面的一层有32根．【答案】32例题精讲等差数列应用题【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
数列练习题高中
数列练习题高中一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，求前10项的和。
3. 已知等差数列的通项公式为an=3n2，求前n项和的表达式。
4. 在等差数列{an}中，若a5+a8=34，a3+a6=26，求首项a1和公差d。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求第6项的值。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=3，公比q=3，求前5项的和。
3. 已知等比数列的通项公式为bn=2^n，求前n项和的表达式。
4. 在等比数列{bn}中，若b3•b6=144，b4•b5=108，求首项b1和公比q。
三、数列的综合应用1. 已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2+n，求前n项和。
2. 在数列{dn}中，若d1=1，d2=3，dn=dn1+dn2（n≥3），求第10项的值。
3. 已知数列{en}的前n项和为Sn=2^n1，求通项公式。
4. 设数列{fn}的通项公式为fn=3n+2，求证：数列{fn+1 fn}是等差数列。
四、数列的极限1. 求极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。
2. 求极限：lim(n→∞) (n^2 n) / (2n^2 + 3n + 1)。
3. 求极限：lim(n→∞) (sqrt(n^2+1) sqrt(n^21))。
五、数列的应用题1. 一等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求前15项和。
2. 一等比数列的第3项为12，第6项为48，求首项和公比。
3. 一数列的前n项和为2^n 1，求第10项的值。
4. 一数列的通项公式为an=n^2+n，求证：该数列的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
六、数列的性质与判定3. 已知数列{gn}的通项公式为gn=2n1，判断数列{gn+1 gn}是否为等差数列。
4. 已知数列{hn}的通项公式为hn=n^3，判断数列{hn+1 / hn}是否为等比数列。
数列应用题
数列应用题
1、某林场计划第一年造林80亩，
（1）若以后每年比上一年多造林20亩，求第五年造林多少亩？五年共造林多少亩？
（2）若以后每年比上一年多造林20％，求第五年造林多少亩？五年共造林多少亩？
2、在一次人才招聘会上，有甲乙两家公司开出工资标准分别是：
甲：第一年月工资1500元，以后每年月工资比上一年增加230元；
乙：第一年月工资2000元，以后每年月工资比上一年增加5％。
如某人想从中选择一家公司连续工作10年，他从哪家公司得到的报酬较多？
3、有一个消息，若每人在1小时内传递给两个人，假设没有一人被重复传递，问一天（以16小时计）能有多少人得到这个消息？
4、某市去年年底有待业人员10万人，据测算，今后几年还将每年新增待业人员8千人，由于市政府采取积极措施，估计今年可提供新增就业岗位5千个，且以后新增岗位平均每年递增10％，问从今年起，经过多少年可使待业人员总量少于5万人?
5、某人用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，
（1）若以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1％，若交付150元以后的第一个月开始分期付款，问分期付款的第10个月应该付多少钱？
（2）若剩余部分在二十个月内按每月底等额还款的方式付款，欠款月利率为1％。
问每月还款额为多少元？（精确到0.01元）？。
(完整版)数列应用题专题训练
数列应用题专题训练高三数学备课组以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。
一、储蓄问题对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。
设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。
复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。
设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。
例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)；(2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。
问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。
解：若不计复利，5年的零存整取本利是2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950；若计复利，则2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。
所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。
二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。
购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。
若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。
奥数：1-2-3等差数列应用题
等差数列应用题目tM 怔 例题精讲【例1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬 冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星【题型】解答【解析】首项=17，末项=150，公差=7,项数=（150-17） £+1=20【答案】20【例2】 一个队列按照每排 2, 4, 6, 8人的顺序可以一直排到某一排有 100人，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例 1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数——配对，可配成 25对. 所以 2 4 696 98 100 = （ 2+100） 25=103 25= 2550（方法二）根据 1・2・3 . 98 99 10^5050，从这个和中减去 13 5 7 ... 99的和，就可得出此题的结果，这样从反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫.【答案】2550【例3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的•第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有 5只蝴蝶，第三个雕塑有 7只蝴蝶，第四个雕塑有 9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方， 学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、……，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式 一一第门项=首项+公差（n-1）,所以，第102项=3+2（102-1） = 205；由 项数=（末项-首项尸公差十1”，999所处的项数是：（999—3）2+1 =996 斗 2 +1 =498+1 =499【答案】499【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层.问最下面一层有多少根 ？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】将每层圆木根数写出来，依次是：5, 6, 7, 8, 9, 10 ,…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1,项数是28•求的是第28项•我们可以用通项公式直接计算.解：a n =印（n — 1） d=5 （28 -1） 132（根）故最下面的一层有 32根.【答案】32【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多 4块砖，已知最下层 2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少 块？【解析】项数=（2106-2）韶+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）吃=1054，数列和=中间项X项数=1054 >527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
数列应用题
数列应用题1.一列火车自A 城驶入B 城，沿途有n 个车站（包括起点A 和终点B ），车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设从第k ()123k n = 、、、、站出发时，邮政车厢内共有邮袋k a 个()123k n = 、、、、，试求： （1）数列{}k a 的通项公式；（2）k 为何值时k a 最大？并求出k a 的最大值2.某商店积压了100件某种商品，为让这批货竟快脱手，该商店采取如下销售方案，将价格提高到原价的2.5倍,再做三次降价处理：第一次降低30％，标出“亏本价”第二次再降低30％，标出“破产价”第三次又降低30％，标出“跳楼价”结果：第一次降价处理仅售出5件，第二次降价处理售出40件，第三次降价处理剩下的商品被一抢而空问：（1）“跳楼价”与原价之比为多少？（2）该商店按新销售方案，相比按原价全部销售，哪一种方按更盈利？3.某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款十万元，第一年便可获利1万元，以后每一年比前一年增加30％的利润；乙方案：每年贷款一万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元；两种方案使用期限都是10年，到期一次性归还本息，若银行 贷款利息按10％的复利计算，比较两个方案哪个获利更多？（计算数据精确到千元）4.近日国内某大报纸有如下报道：加薪的学问学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密，在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加1000元，二是每半年结束时加300元，请选择一种，一般不擅数学的，很容易选择前者，因为一年加一千元比两个半年加600元要多，其实加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利。
例如在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000元,而第二种方案在第一年加得300+600=900元,第二年加得900+1200=2100元,总数也是3000元,但到第三年,第一方案可得1000+2000+3000=6000元, 第二方案则为300+600+900+1200+1500+1800=6300元,比第一方案多了300元,第四年、第五年会更多，因此，你若会在公司干三年以上，则应选择第二方案。
数列应用题(典型例题)
1、(2004年福建高考)某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测今年起每年比上一年纯利润减少20万元。
今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+12n）万元（n为正整数）①设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元,进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（需扣除技术改造资金）,求A n、B n的表达式;②依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润2、(2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14。
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元. 写出a n，b n的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?3、（2007年安徽卷）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1 + r)n – 1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r) n – 2，…，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出T n与T n– 1(n≥2)的递推关系式；（2）求证：T n = A n + B n，其中{A n}是一个等比数列，{B n}是一个等差数列.4、某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为na元，（1）求{}na的通项公式；（2）当827ab=时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？（3）当38ab≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？5、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件。
数列专项练习(附答案)
数列专项练习（附答案）1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,a n +2S n S n-1=0(n ≥2). (1)求证:数列{1Sn}是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.2．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .3．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.4．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .5．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．6．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n <38.7．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和. 8.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝lg a n ＋2a n，求数列{b n }的前n 项和S n .9.在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．10．数列{}n b 满足：1b =2 b +2n n +，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .1(1)证明:∵n≥2时,a n=S n-S n-1,又a n+2S n S n-1=0,∴S n-S n-1+2S n S n-1=0.∵S n≠0,两边同除以S n S n-1,得1 S n-1−1S n+2=0,即1S n−1S n-1=2(n≥2),∴数列{1S n}是等差数列.(2)解:∵a1=1,1S1=1a1=1,∴1S n =1+(n-1)×2=2n-1,∴S n=12n-1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=12n-1−12(n-1)-1=-2(2n-1)(2n-3).而-2(2×1-1)(2×1-3)=2≠1,故{a n}的通项公式a n={1,n=1,-2(2n-1)(2n-3),n≥2.2[解析](1)设等差数列{a n}的首项为a，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.∴a n＝2n＋1，S n＝n(n＋2)．(2)∵a n＝2n＋1，∴a2n－1＝4n(n＋1)，∴b n＝14n n＋1＝14(1n－1n＋1)．故T n＝b1＋b2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＝n4(n+1)，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n+1)3[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.4[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1. 两式相减得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6＝(7－2n )·2n ＋1－14.5解 (1)证明：1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1－1a n －1＝13，∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.6解 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，a 1＋6d2＝a 1＋d a 1＋21d ，解得a 1＝6，d ＝4， ∴a n ＝6＋(n －1)×4＝4n ＋2. (2)证明：∵a 1＝6，d ＝4， ∴S n ＝6n ＋n n －12×4＝2n 2＋4n ， 即1S n ＝12n n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝38－2n ＋34n ＋1n ＋2<38，∵T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3>0，∴数列{T n }是递增数列，即(T n )min ＝T 1＝38－2n ＋34n ＋1n ＋2＝16.故16≤T n <38.7答案：(1)21n a n =-；(2)2132-+=n n n T .【解析】（1）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211bb q==，4327b b q ==，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =， 所以21n a n =- ……………………………(6分) （2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=，因此1213n n n c a b n -=+=-+，从而数列{}n c 的前n 项和()()1221133113211332132n n n n n n S n n ----=+++-++++=+=+-8解 (1)由题意得1a n ＋1－1a n ＝1，又因为a 1＝1，所以1a 1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n . (2)由(1)得b n ＝lg n －lg (n ＋2)，所以S n ＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg (n －2)－lg n ＋lg (n －1)－lg (n ＋1)＋lg n －lg (n ＋2)＝lg 1＋lg 2－lg (n ＋1)－lg (n ＋2) ＝lg2(n ＋1)(n ＋2).9【解】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.10【答案】（1）122n n b +=-；（2）222(4)n n S n n +=-++．【解析】（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵1222n n b b ++=+， 又121224b a a +=-+=，∴数列{}2n b +是首项为4，公比为2的等比数列， ∴112422n n n b -++=⋅=，∴122n n b +=-．（2）由（1）知，1-122(2)n n n n a a b n --==-≥，∴122(2)nn n a a n --=-≥．令2,,(1)n n =-，赋值累加得：232(222)2(1)n n a n -=+++--，∴2312(21)(2222)22222221n nn n a n n n +-=++++-+=-+=--．∴224(12)(22)2(4)122n n n n n S n n +-+=-=-++-．。
数列应用题
数列应用题
1、年初时出生的一对兔子，这对兔子2个月后有生殖能力。
若每月每对兔子会生产一对幼兔，假设没有兔子死亡，到年底一共会有多少对兔子？
2、同学小张的家中用住房公积金贷款购买三室一厅的新房，银行职员告诉小张妈妈：1999年６月起10年还清的公积金贷款的月利率为3.6‰，小张妈妈想贷款１0万元，那小张妈妈在10年内每个月末都要还银行多少元？
3、污水处理厂通过污水中的污染物获得清洁用水并产生肥料，该厂的污水处理装置每小时从处理池除掉12%的污染残留物，一天后还有百分之几的污染物残留在池中？使污染物减半要多长时间？。
高中数学经典应用题及答案解析
高中数学经典应用题及答案解析一、数列与数列求和1. 数列的等差数列通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，d 为公差。
2. 数列的等差数列求和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
3. 数列的等比数列通项公式为 $a_n = a_1 * q^{(n-1)}$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，q 为公比。
4. 数列的等比数列求和公式为 $S_n = \frac{a_1 * (q^n - 1)}{q - 1}$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
二、函数与方程1. 一次函数的一般式为 $y = kx + b$，其中 k 为斜率，b 为截距。
2. 二次函数的一般式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
3. 求解一元二次方程可使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
4. 求解一元二次方程的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 可判断方程的根类型。
三、三角函数1. 正弦定理为 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$，其中 a、b、c 为三角形的边长，A、B、C 为对应的角度。
2. 余弦定理为 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$，其中 a、b、c 为三角形的边长，C 为对应的角度。
3. 正弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$。
4. 余弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$。
四、概率与统计1. 事件 A 和 B 的并集为 $A \cup B$，相应的概率为 $P(A \cupB) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。
小学数学数列练习题
小学数学数列练习题一、填空题（每题2分，共10分）1. 下面是一个等差数列：2, 5, 8, 11, __, __。
填入空白处的数字是____和____。
2. 下面是一个等比数列：3, 6, 12, 24, __, __。
填入空白处的数字是____和____。
3. 下面是一个数列：1, 5, 9, 13, 17, 21。
求出这个数列的通项公式是_____。
4. 有一个数列：4, 12, 24, 40, __, __。
填入空白处的数字是____和____。
5. 下面是一个递归数列：1, 1, 2, 3, 5, __, __。
填入空白处的数字是____和____。
二、选择题（每题2分，共10分）1. 数列1, 4, 7, 10, 13, … 的通项公式是：A. n + 3B. 3n - 2C. 3n - 1D. n + 22. 数列2, 4, 8, 16, … 的通项公式是：A. 2^nB. n^2C. n^2 + 2D. 2n3. 数列2, 5, 8, 11, … 的前10项和是：A. 275B. 280C. 285D. 2904. 数列1, 3, 5, 7, … 的前20项和是：A. 200B. 210C. 220D. 2305. 数列1, 4, 9, 16, … 的通项公式是：A. n^2 + 1B. n^2 - 1C. n^2D. 2^n三、计算题（每题10分，共20分）1. 求等差数列3, 6, 9, 12, … 的前10项和。
2. 求等比数列2, 4, 8, 16, … 的前10项和。
四、应用题（每题15分，共30分）1. 小明每天花费的零花钱是一个等差数列，第一天他得到了1元，每天增加3元。
他花掉第10天的零花钱后，还剩下多少钱？2. 小红每天做的运动量是一个等比数列，第一天她运动了3公里，每天增加50%的距离。
她连续运动了10天后，累计运动了多少公里？答案:一、填空题1. 14, 172. 48, 963. 4n - 34. 56, 725. 8, 13二、选择题1. B2. A3. B4. C5. A三、计算题1. 前10项和为165。
数列应用题专题训练题
数列应用题专题训练题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998《数列应用题》专题训练题1.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.（1）设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元.写出,n n a b ；（2）只需经过几年旅游的总收入就能超过总投入2.某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为14，因生产建设需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区的木材存量，（1）求n a 的表达式：（2）为不发生水土流失，要求木材存量不少于79a ，若1972a b =，该地区会发生水土流失吗若会，需经过几年（lg 20.3=）3.某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设2001年末汽车保有量为b 1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则 .94.0,30121x b b b +⨯==………………2分对于n >1，有 ,)94.01(94.094.0211x b x b b n n n ++⨯=+⨯=-+.94.0)06.030(06.0n x x ⨯-+=………………6分 当.30,8.1,006.03011=≤≤≤≤≥-+b b b x xn n 时即………………8分当,06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim ,8.1,006.0301x x x b x x n n n n =⨯-+=><--∞→∞→时即并且数列{b n }逐项增加，可以任意靠近06.0x. ……………10分因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即),3,2,1(60 =≤n b n .则6.3,6006.0≤≤x x即（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过万辆.………12分 例 1 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，调查后提供了两个不同的信息图，甲调查表明：从第一年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第六年平均每个养鸡场生产2万只鸡，如图甲；乙调查表明：由第一年养鸡场有30个减少到第六年有10个，如图乙. 请你根据提供的信息回答下列问题：（1）第六年这个县的生产鸡数比第一年增多了还是减少了说明理由：（2）设第n 年平均每个养鸡场生产只数为a n ，第n 年的养鸡场个数为b n ，写出a n ，b n 的解析式(用n 表示，1≤n ≤6，n ∈N *)；（3）在这6年内，哪一年该县生产鸡数最多说明理由.例 2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.（1）设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元.写出a n ，b n ；（2）只需经过几年旅游的总收入就能超过总投入例 3、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，2007年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。
八年级数学下册数列的计算与应用练习题
八年级数学下册数列的计算与应用练习题数列是数学中常见且重要的概念，它在许多数学问题中都有广泛的应用。
在八年级数学下册中，我们学习了数列的计算和应用。
为了巩固这些知识，下面我们来进行一些练习题。
练习一：计算数列的通项公式
1. 数列的前三项分别为3，7，11，求该数列的通项公式。
2. 数列的前四项分别为1，3，5，7，求该数列的通项公式。
3. 数列的前五项分别为2，6，18，54，求该数列的通项公式。
练习二：求数列的前n项和
1. 数列的通项公式为an = 2n + 1，求前10项的和Sn。
2. 数列的通项公式为an = n^2，求前8项的和Sn。
3. 数列的通项公式为an = (-1)^n * n，求前12项的和Sn。
练习三：应用题
1. 有一只蚂蚁每次爬行的距离是原来的一半，第一次爬行距离为30cm，求第八次爬行距离。
2. 一个小球从高度为10米的位置自由下落，每次弹起的高度是上一次弹起高度的一半。
求小球第五次弹起的高度。
3. 一个数列的前四项为1，3，6，10，该数列的通项公式为an = n(n+1)/2，求该数列的第十项。
以上就是本次关于八年级数学下册数列的计算与应用练习题。
通过这些题目的练习，相信大家对数列的计算和应用有了更深入的理解。
希望大家继续努力学习，掌握更多数学知识！。
数列应用题一
数列应用题—分期付款问题如果在计算本利和时，把上期产生的利息也纳入本期的本金一起计算利息，这叫做复利。
P 元本金在利率i 下，经n 期后按复利计算的本利和公式（即复利公式）为(1)n n F p i =+，习惯上常将按复利计算本利和时的利率叫做复利率。
例1． 某单位集资，年复利率10％，为期3年，试问（1） 甲现在交款20000元，到期后他可得多少钱？（精确到元）（2） 乙如果3年后需使用资金50000元，则现在至少需集资多少？（精确到元）例2．某房产公司推出住房分期付款（按揭）方案，首期支付总额的三分之一，余下部分在购房的第二年的购房日起分10年还清，年复利率8％，某人向该房产公司购买一套价值30万元的住房，⑴他首期需支付多少？今后10年每年一期等额还款，每期需支付多少元？（精确到元）⑵若每年都还相等的本金，问买房者实际还款总额多少元？练习：1、某人年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款优惠利率为4％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），若这笔借款要求每年一次，分15次等额还清，并从借款后的次年年初开始归还，则每年应还多少元？（精确到1元）2．某厂进行技术改造有两种方案：方案1：投资100万元购置新设备，每年末可增收18万元。
方案2：投资80万元改造设备，可节省每年初的15万元检修费，若这些设备使用期限为8年，银行复利率为4%。
问哪个方案收益更好？3、上海市从2005年1月起，调整购房商业贷款，贷10年的月利率是0.42％，一所房子建筑面积为100平方米，房价为9000/米2，买房者先付房价的三分之一，余款进行商业贷款，次月开始付款，10年付清。
⑴若每月都付a万元，问买房者每月应还款多少元？（精确到元）⑵若每月都还相等的本金，问买房者实际还款总额多少元？（精确到元）。
高中数学数列专题训练6套含答案
目录第一套：等比数列例题精讲第二套：等差等比数列基础试题一第三套：等差等比数列基础试题二第四套：等差等比数列提升试题一第五套：等差等比数列提升试题二第六套：数列的极限拓展等比数列·例题解析【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．[ ]A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列分析 由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．说明 数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ． 解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10(p 1)p 2n n 1⇔--=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪--()()p pp p p n 212意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a nn -1=q2n(1+2n)2==+q n n n ()212【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公12解 (1)a =a q q =5252-∴－12∴a 4＝2【例4】 已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证明 设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1【例5】 设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2) ＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边证毕．证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8n 2n 2n 2n 4354234543----1212又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =322635423456452证…＜．x x x a bn n 122+∴∴……＜q b ax x x aqaq aq aqab a bn n n nn n ++====+1122122∴a b b c c d==∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2 ＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边证毕．说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】 求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数∴上述方程的判别式Δ≥0，即又∵a 1、a 2、a 3为实数因而a 1、a 2、a 3成等比数列∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．【例8】 若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数列，求b 的值．解 设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有整理，得∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 122222132232122242213422324[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤∴－≥必有－即(a a a )0a a a =0a =a a 2213222132213又∵a =2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312222131213212++=++=b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)22－＋＋①－＋＋②⎧⎨⎪⎩⎪b =b d b db =b d 2b 2d 222222－＋＋－＋－⎧⎨⎪⎩⎪【例9】 已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：(1)求a 1与d 的值； (2)b 16是不是{a n }中的项？ 思路：运用通项公式列方程(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则 －32a 1=a 1＋(k －1)d ∴(k －1)d=－33a 1=33d∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d解 (1)a =b a =b 3d =a d a 9d =a da (1d )=3d a (1d )=9d4410101131191319由＋＋－－－－⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪a ⇒⇒==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 1231331222()且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2413441313113-【例10】 {a }b =(12)b b b =218b b b =18n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．∴·b =(12)b b =(12)(12)=(12)b n a 13a a +2d 2(a +d)221111+-()n d1解这个方程组，得∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列 即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列 即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列 即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14b b =1781232321231313b b b 123218++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b =2b =18b =18b =21313，或，⇒aq 2=4a ＋②①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三 任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列 得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列 得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③说明 将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq方法二 设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ． 方法三 设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二 设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三 设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．解 设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得件可推得：()a d a+2解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a+2依题意，有－＋＋＋a d =16a (a d)=12()a d a+⎧⎨⎪⎩⎪2解方程组得：或－a =4d =4a =9d =61122⎧⎨⎩⎧⎨⎩依题意有：－＋＋2b bq bq =16b bq =122⎧⎨⎩解方程组得：或b =4q =2 b =9q =131122⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪依题意有＋－·－－x (12y)=2yy (16x)=(12y)2⎧⎨⎩解方程组得：或x =0y =4x =15y =91122⎧⎨⎩⎧⎨⎩解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68当a=17时，q=2，d=－26从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．【例14】 已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．证明 由已知，有 2a 2=a 1＋a 3①即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)所以a 1、a 3、a 5成等比数列．a 42d =85ap 42=76aq 42d =842＋－＋＋＋⎧⎨⎪⎩⎪整理，得－①②＋③a d =43aq =34aq d =422⎧⎨⎪⎩⎪当时，，a =68q =12d =25a =a a 3224·②③211435a a a =+由③，得·由①，得代入②，得··a =2a a a +a a =a +a 2a =a +a 243535213321323535a a a a +整理，得a =a (a +a )a +a 351235a a a =a a a a a =a a 323515353215＋＋∴·【例15】已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z=0．(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．证明(1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0∴b－c=a－b=－d，c－a=2d代入已知条件，得：－d(log m x－2log m y＋log m z)=0∴log m x＋log m z=2log m y∴y2=xz∵x，y，z均为正数∴x，y，z成等比数列(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：(b－c)log m x＋(c－a)log m xq＋(a－b)log m xq2=0变形、整理得：(c＋a－2b)log m q=0∵q≠1 ∴log m q≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a，b，c成等差数列高一数学数列练习【同步达纲练习】 一、选择题1.已知数列1，21，31，…，n1…，则其通项的表示为( ) A.｛a n ｝B.｛n 1｝C. n1D.n2.已知数列｛a n ｝中，a n =4n-13·2n+2，则50是其( )A.第3项B.第4项C.第5项D.不是这个数列的项3.已知数列的通项公式a n =2n-1，则2047是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项 4.数列-1，58，-715，924，…的通项公式是( ) A.a n =(-1)n 122++n nnB.a n =(-1)n12)3(++n n nC.a n =(-1)n1222-+n nnD.a n =(-1)n12)2(++n n n5.在数列a 1,a 2,a 3,…，a n ，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第29项( )A.不是原数列的项B.是原数列的第7项C.是原数列的第8项D.是原数列的第9项6.已知数列的通项公式为a n =1213+-n n ，则a n 与a n+1的大小关系是( ) A.a n ＜a n+1 B.a n ＞a n+1C.a n =a n+1D.大小不能确定7.数列｛a n ｝中，a n =-2n 2+29n+3，则此数列的最大项的值是( ) A.107B.108C.10881 D.1098.数列1，3，6，10，15，…的通项公式a n ，等于( ) A.n 2-(n-1) B.2)1(-n n C.2)1(+n n D.n 2-2n+2二、填空题1.数列-31，91，-271，…的一个通项公式是 .2.数列1，1，2，2，3，3，…的一个通项公式是 .3.数列1×3，2×4，3×5，…，n(n+2)，…，问120是否是这个数列的项 .若是，120是第 项.4.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=pa n +q ，且a 2=3,a 4=15,则p= ,q= .5.一个数列的前n 项之和是n n，则此数列的第4项为 .6.-1103，4203，-7403，10803，-131603，…的一个通项公式为 . 三、解答题1.已知数列｛a n ｝的通项a n =)1(1+-n n n ,207、1207是不是这个数列的项?如果是，则是第几项?2.写出以下数列的一个通项公式.①-31，256，-499，274，-12115…； ②9，99，999，9999，99999，….3.已知下列数列｛a n ｝的前n 项和S n ，求数列｛a n ｝的通项公式.①S n =3+2n ; ②S n =2n 2+n+3【素质优化训练】1.已知数列的前4项如下，试写出下列各数列的一个通项公式：(1) 21，61，121，201； (2)-1，23，-45，87；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999； (4)35，810，1517，2426.2.已知数列的通项公式为a n =-0.3n 2+2n+732，求它的数值最大的项.3.若数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=a n +2n(n ≥1)确定，求通项公式a n .【生活实际运用】参加一次国际商贸洽谈会的国际友人居住在西安某大楼的不同楼层内，该大楼共有n 层，每层均住有参会人员.现要求每层指派一人，共n 人集中到第k 层开会，试问k 如何确定，能使n 位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最少?(假定相邻两层楼楼长都相等)【知识探究学习】某人从A 地到B 地乘坐出租车，有两种方案：第一种方案：利用起步价10元，每千米价为1.2元的汽车.第二种方案：租用起步价是8元，每千米价为4元的汽车.按出租车管理条例，在起步价内，不同型号车行驶的里程是相等的.则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适.解：设起步价内行驶里程为a 千米，A 地到B 地的距离是m 千米. 当m ≤a 时，选起步价8元的出租车比较合适. 当m ＞a 时，设m=a+x(x ＞0)乘坐起步价10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的费用为Q(x)元， 则：P(x)=10+1.2x Q(x)=8+1.4x令P(x)=Q(x)得10+1.28+1.4x 解得x=10(千米) 此时两种出租车任选.当x ＞10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x ＜0，故P(x)＜Q(x) 此时选起步价为10元合适.当x ＜10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x ＞0，故P(x)＞Q(x) 此时选起步价为8元的出租车合适.参考答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C二、1.a n =nn3)1(- 2.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+为偶数为奇数n n n n ,2,213.是，104.2或-3，1或65.2296.a n =(-1)n［(3n-2)+12103-∙n ］ 三、1.207不是｛a n ｝中的项，1207是｛a n ｝中的第15项. 2.①a n =(-1)n2)12(3+n n ;②a n =10n-1.3.①a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=2)(n 21)(n 51-n ②a n =⎩⎨⎧≥-=2)(n 1n 41)(n 6。
小学奥数：等差数列应用题.专项练习
等差数列应用题例题精讲【例 1】100以内的自然数中。
所有是3的倍数的数的平均数是。
【例 2】一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。
最后，每只小猴分得8个野果。
这群小猴一共有_________只。
【例 3】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有位同学．【例 4】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【例 5】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？【例 6】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【例 7】如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。
其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？【例 8】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【例 9】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢? 【例 10】有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？【例 11】某年4月所有星期六的日期数之和是54，这年4月的第一个星期六的日期数是。
数列应用练习题
数列应用练习题一、等差数列应用题1. 甲买了一批商品，每天卖出其中的5个，经过10天后全部卖完。
已知甲每天的销售额为200元，求甲买进这批商品的总额。
解析：由已知可知，甲每天销售的商品数量为5个，所以经过10天，甲总共卖出的商品数量为5 * 10 = 50个。
同时，甲每天的销售额为200元，所以甲卖出这批商品的总额为50 * 200 = 10000元。
由于这批商品全部卖完，所以甲买进这批商品的总额也为10000元。
2. 一列等差数列的首项是2，公差是3，请问这列数列中第10项的值是多少？解析：由已知可知，这列等差数列的首项是2，公差是3。
根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
代入已知数据可以得到第10项的值：a10 = 2 + (10 - 1) * 3 = 2 + 9 * 3 = 2 + 27 = 29。
二、等比数列应用题1. 一列等比数列的首项是1，公比是2，求前10项的和。
解析：由已知可知，这列等比数列的首项是1，公比是2。
根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
代入已知数据可以得到前10项的和：S10 = 1 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 1 * (-1023) / (-1) = 1023。
2. 一列等比数列的首项是3，公比是0.5，求前10项的乘积。
解析：由已知可知，这列等比数列的首项是3，公比是0.5。
根据等比数列的乘积公式Pn = a1^n * q^{n(n-1)/2}，其中Pn表示前n项的乘积，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
代入已知数据可以得到前10项的乘积：P10 = 3^10 * (0.5)^{10(10-1)/2} = 59049 * (0.5)^45 = 59049 * (0.5)^{45/2} = 59049 * (0.5)^{(9*5)/2} = 59049 * (0.5)^{45/2} = 3.8146973 * 10^{-7}。
1等差数列应用题
【巩固】 例题中已知如果改为 3 号盒子里放了 23 粒糖呢？
【例 10】 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到 1000 元工资，以后每月多得 60 元；小高第一个 月得到 500 元工资，以后每月多得 45 元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？
【巩固】 王芳大学毕业找工作。她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两 个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪 1000 元，乙公司答应每半年加薪 300 元。以五年 计算，王芳应聘 公司工作收入更高。
【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有 3 只蝴 蝶，第二个雕塑有 5 只蝴蝶，第三个雕塑有 7 只蝴蝶，第四个雕塑有 9 只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第 102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由 999 只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？
10根
【例 15】 盒子里放有编号 1～9 的九个球，小红先后三次从盒子中取球，每次取 3 个，如果从第二次起每 次取出的球的编号的和都比上一次的多 9，那么他第一次取的三个球的编号为_____．
【例 16】 小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从 1 开始求和，当加到某一个数的时候，和是 1997，但 他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？
【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有 5 根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了 28 层．问最下面一层有多少根? 【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第 2 层 6 块砖，第 3 层 10 块砖…，依次 每层都比其上面一层多 4 块砖，已知最下层 2106 块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少 块？
数列的综合应用练习题(基础、经典、好用)
数列的综合应用一、选择题1．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．2 B．4 C．8 D．162．(2012·北京高考)已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是()A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a23．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n＋1＝3S n(n≥1，n∈N*)，第k项满足750＜a k＜900，则k等于()A．8 B．7 C．6 D．54．在如图5－5－1所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为()图5－5－1A．1 B．2 C．3 D．45．(2013·茂名质检)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A．①和⑳B．⑨和○10C．⑨和⑪ D.○10和⑪二、填空题6．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{b n}的连续三项，则数列{b n}的公比为________．7．(2012·湖南高考)对于n∈N*，将n表示为n＝a k×2k＋a k－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，a i＝1；当0≤i≤k－1时，a i为0或1.定义b n如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，a k中等于1的个数为奇数时，b n＝1；否则b n＝0.b2＋b4＋b6＋b8＝________．8．对正整数n，若曲线y＝x n(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列{a nn＋1}的前n项和为________．三、解答题9．(2012·重庆高考)已知{a n}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k＋2成等比数列，求正整数k的值．10．已知等比数列是递增数列，且满足a1＋a2＋a3＝39，a2＋6是a1和a3的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝⎩⎨⎧1（n＝1），a n－1log3a n（n≥2），记数列{b n}的前n项和为S n，求使S n＞120成立的最小n值．11．(2013·清远模拟)一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b件．当对产品做电视广告后，记每日播n次时的日销售量为a n(n∈N*)件，调查发现：每日播一次则日销售量a1件在b件的基础上增加b2件，每日播二次则日销售量a2件在每日播一次时日销售量a1件的基础上增加b4件…，每日播n次，该产品的日销售a n件在每日播n－1次时的日销售量a n－1件的基础上增加b2n件．合同约定：每播一次企业需支付广告费2b元．(1)试求出a n与n的关系式；(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次．解析及答案一、选择题 1．【解析】 ∵数列{a n }是等差数列，∴a 3＋a 11＝2a 7，由2a 3－a 27＋2a 11＝0得4a 7－a 27＝0，又a n ≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝42＝16.【答案】 D2．【解析】 设{a n }的公比为q (q ≠0)，则a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2，∴a 21＋a 23＝a 21(1＋q 4)≥a 21·2q 2＝2a 22.【答案】 B3．【解析】 由a n ＋1＝3S n 及a n ＝3S n －1(n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)， 又a 2＝3S 1＝3，∴a n ＝⎩⎨⎧1， （n ＝1），3×4n －2， （n ≥2）， 又750＜a k ＜900，验证k ＝6. 【答案】 C4．【解析】 由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1. 根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12.∴y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝6×(12)4＝38. 因此x ＋y ＋z ＝2. 【答案】 B5．【解析】 设树苗放在第i 个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i 个树坑距离的和是S ＝10(i －1)＋10(i －2)＋…＋10(i －i )＋10[(i ＋1)－i ]＋…＋10(20－i ) ＝10[（i －1＋1）（i －1）2＋（1＋20－i ）（20－i ）2]＝10(i 2－21i ＋210)．∴当i ＝10或11时，S 有最小值． 【答案】 D二、填空题6．【解析】 由题意知a 23＝a 1·a 7， ∴(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ， ∴等比数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2da 1＝2.【答案】 27．【解析】 依据所给定义：2＝1×21＋0×20，b 2＝1； 4＝1×22＋0×21＋0×20，b 4＝1； 6＝1×22＋1×21＋0×20，b 6＝0； 8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，b 8＝1. 故b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝3. 【答案】 38．【解析】 由题意，得y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，故曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线的斜率为k ＝n 2n －1－(n ＋1)2n ，切点为(2，－2n )， 所以切线方程为y ＋2n ＝k (x －2)． 令x ＝0得a n ＝(n ＋1)2n ，即a nn ＋1＝2n ， 则数列{a nn ＋1}的前n 项和为2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 【答案】 2n ＋1－2 三、解答题9．【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由题意知⎩⎨⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝2n . (2)由(1)可得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6. 10．【解】 (1)由题知2(a 2＋6)＝a 1＋a 3， 从而a 2＋2(a 2＋6)＝39，所以a 2＝9， 30＝9q ＋9q ⇒q ＝3或13(舍去)，所以a n ＝3n .(2)b n ＝a n －1log 3a n ＝3n －1·n ，(n ≥2)， 所以S n ＝1＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1， ① 3S n ＝31＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，②②－①得：2S n ＝－1－31－32－…－3n －1＋n ·3n ＝－1－3n 1－3＋n ·3n .所以：2S n ＝n ·3n－3n 2＋12＝(n －12)·3n ＋12，由S n ＞120，则(n －12)3n ＋12＞240，所以n ≥4，最小n 值为4.11．【解】 (1)由题意，电视广告日播k 次时，该产品的日销售量a k 满足a k ＝a k －1＋b2k (k ∈N *，a 0＝b )，∴a n ＝b ＋b 2＋b 22＋…＋b 2n＝b [1－（12）n ＋1]1－12＝b (2－12n )(n ∈N *)． 即该产品每日销售量a n (件)与电视广告播放量n (次/日)的关系式为a n ＝b (2－12n )，(n ∈N *)． (2)该企业每日播放电视广告n 次时获利为C n ＝100b (2－12n )－2bn ＝100b (2－0.02n －12n )(n ∈N *)．∵C n －C n －1＝100b (12n －0.02)≥0， 即2n ≤50，n ∈N *， ∴n ≤5(n ∈N *)，∵C n ＋1－C n ＝100b (12n ＋1－0.02)≤0⇒2n ≥25⇒n ≥5，∴n ＝5.∴要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5次．。
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数列应用题专题训练高三数学备课组以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。
一、储蓄问题对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2) 存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。
设本金为P元，每期利率为r,经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr) 。
复利是一种计算利率的方法, 即把前一期的利息和本金加在一起做本金, 再计算下一期的利息。
设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。
例1、(储蓄问题) 某家庭为准备孩子上大学的学费,每年6月30 日在银行中存入2000 元, 连续 5 年，有以下两种存款的方式：(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n 6.5%)计本利(n为年数);⑵如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n a计算本利(n为年数)。
问用哪种存款的方式在第六年的7月 1 日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。
解：若不计复利， 5 年的零存整取本利是2000(1+5 X 0.065)+2000(1+4 X 0.065)+ …+2000(1+0.065)=11950若计复利，则2000(1+5%) 5+2000(1+5%) 4+ …+2000(1+5%)〜1186元。
所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。
二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例2、(分期付款问题) 用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。
购买当天先付150 元，以后每月这一天都交付50 元，并加付欠款的利息，月利率为1%。
若交付150 元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。
设每次所付欠款顺次构成数列｛a n｝，则a i=50+1000 >0.01=60 元,a2=50+(1000-50) 0>仁59.5 元，^=50+(1000-50 2) >.01=59 ,a n=60-(n-1) 0.5所以｛a n｝是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，故a10=60-9 >.5=55.5 元20次分期付款总和「60 50.5 一S20= X20=1105 兀，2实际付款1105+150=1255(元)答：第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。
例3、(疾病控制问题) 流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。
某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。
由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。
这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列a n, a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数a n=50n—30;从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n,b1=50n-60,d2= —30, b n=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11 月30 日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.n 2-61 n+588=0,解得n=12或n=49（舍），即11月12日这一天感染者人数最多，为例4 （住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为 6 m 2,如果该城市每年人口 平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为 30万m 2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m 2?（精确到0.01）解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成a 1 = 6 爲00 = 3000 万 m 2, d = 30 万 m 2, a 10 = 3000 + 9 3（0= 32701990年、1991年、……2000年人口数成b 1 = 500 , q = 1% , bg 500 1.019500 1.0937 546.8 ••• 2000年底该城市人均住房面积为:3270 546.825.98 m点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。
例5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为 20%的盐水2 kg 的容器中倒出1 kg 盐水，然后加入1 kg 水，问：以后每次都倒出1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水， 1.第5次倒出的的1 kg 盐水中含盐多少g ？2经6次倒出后，一共倒出多少 kg 盐？此时加1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多 少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为1a 1= 0.2 kg ,a 2= X0.2 kg ,2 1 由此可见：an= （ —）n 1X ）.2 kg ,22•由1•得｛a n ｝是等比数列{a n }，则:1 2 a 3= ( )2X).2 kg1 1a5= ( )5 1X0.2= (— )4>0.2=0.0125 kg221 a 1 =0.2 ,q=—2S印(1q 6)0.2(10.39375 kg1 2 0.4 0.39375 0.006250.00625 2 0.003125 点评：掌握浓度问题中的数列知识。
例6.（减员增效问题） 某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第 2 一年可以到原单位领取工资的100 %，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的 领取工 3 资，该厂根据分流人员的技术特长， 计划创办新的经济实体， 该经济实体预计第一年属投资阶段， 第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增 50%，如果某 人分流前工资的收入每年 a 元，分流后进入新经济实体，第 n 年的收入为a n 元， （1 ）求｛a n ｝的通项公式；故共感染者人数为：(20 50n 30)n [50n 60 ( 20n 570)](30 n)=8670，化简得:2 2APGP570 人。
8a（2） 当b时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？273a （3） 当b 时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入? 8 解：（1 ）由题意得，当n 1时,a i a ，当 n 2 时，a n (n 1) …a n 1 n (2) 由已知b2时，a n 2 当且仅当a （2）n b(3\n 8a 27， 2 n 1a(3)8a/3、n27(2)(n 2) 8a -() 27 2 2，即(j)2n 2 n 1 8a 3 n 2[a(—) (—)3 27 2(2)4，解得 n 3, 3 8a要使得上式等号成立,9因此这个人第三年收入最少为8a 9元. (3)当n 2时, a n述等号成立，须b 2、n 1 叫)且 n 1 83、n 2b(=)2log 2： 32/2、na（3） 1 log 233a 3 n 2詐)"J 1 ?(2)n22因此等号不能取到,3a当b 时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入. 8 例7.（等差等比综合问题） 银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即 将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性贷款 乙方案：每年贷款1 两种方案的期限都是 试比较两个方案 10 _________ . -10 10万元，第一年便可获得利润 1万元，以后每年比上年增加 万元，第一年可获得利润 1万元，以后每年比前一年多获利 10年，到期一次行归还本息.若银行贷款利息均以年息 哪个获得存利润更多？ 1•仁 2.594,1.3~ 13.796） 解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前 10 1.3 1 (1 30%) (1 30%)2 L 到期时银行的本息和为 10 （1 • ••甲方案扣除本息后的净获利为： 乙方案：逐年获利成等差数列，前 1 (1 0.5) (1 2 0.5) L ，上30%的利润； 5000 元. 10%的复利计算， （计算精确到千元，参考数据：10项的和: 1 一 42.62 (万兀) 1.3 1 10 2.594 25.94 (万元) 42.62 25.94 16.7 (万元) (1 30%)9 1010%) 10年共获利： (1 9 0.5)迥8 2 32.50 (万元) 1 110 17.53 （万元） 1.1 1•乙方案扣除本息后的净获利为： 32.50 17.53 15.0 （万元） 所以，甲方案的获利较多.贷款的本利和为：1.1[1 (1 10%) L (1 10%)9] 1.1三、a n - a n-i =f （n ）,f （n ） 为等差或等比数列有的应用题中的数列递推关系， a n 与a n-i 的差（或商）不是一个常数，但是所得的差 f （n ）本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。
例8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广 告宣传且每件获利 a 元的前提下，可卖出b 件。
若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1） 千元时多卖出B 件，（n € N *）。
2n（1）试写出销售量s 与n 的函数关系式；（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大?分析：对于（1）中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为S n ,则S n-1表示广告费为（n-1）元时的 K销量，由题意，Sn — S n-1=--，可知数列｛S n ｝不成等差也不成等比数列，但是两者的差2n数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：欲使T n 最大，则：T nT n 1，得门5，故n=5,此时S=7875。
T n Tn 1n 5即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。
四、a n = C • a n-i +B,其中B 、C 为非零常数且12构成等比2n解法一、直接列式：由题， s=b+b + 2+2+…+2 22 23（广告费为1千元时，s=b+b ；2千元时，s=b+bb1寸b (r )2 2b 2 22 ;••• n 千元时 s=b+b +— 2 2b b 、 2 + 2?十 +2*解法二、（累差叠加法）s o 表示广告费为0千元时的销售量,由题:S i S 2 S n S o S iS nb 2n相加得 b b b bS n -S 0=T 尹尹…肯b=b(2-2n 21(2) b=4000 时，S =4000(2-F ，设获利为 t,则有 t=S • 10-1000n=40000(2-2 即 S=b+ b + 2b+ +…+22 23!)。