质点系力学与刚体运动——清华大学物理

i i i c
i
对同一点
2 k c k
i
C.M系，对质心
1 E mv E 2
5
1 1 2 2 mi v mvc mi v vc i i 2 2
注意：从运动学的角度，运动可任意分解 但动力学量关系和动力学方程却 只有选择相对质心的运动才能简化！ ◆质心运动方程 + 动量定理 ＋质点系的 角动量定理 +守恒定律 功能原理 构成解决质点系运动的基本动力学方程组
z z
M i ,z ri Fi ri Fi , sin i
Fi
与力沿转轴的分量无关！ 15
Lz Liz ( mi vi ri )
( m r )
i
i
i 2 i i
令
J m r
z i i
2
i
刚体对z轴的转动惯量
z z z
T ma
1 1 2 2
R
1
m g T m a
2
T2
2
对m3,由转动定理
无相对滑动： a1 a2 R
1 RT RT ( m R ) 2
2 2 1 3
T
2
m2
mg
2
mm g 解得 T m m m /2
1 2 1 1 2 3
m (m m / 2) g T m m m 19 /2
二者之和为零，摩擦力使减少的势能不是 全部转换为平动动能，而是部分地转换为 转动动能。
26
5.4 陀螺的旋进（进动） precession
一. 旋进现象 质量呈轴对称分布的刚体（陀螺）：
不转，倾斜放置 绕对称轴高速旋转
·c
O
·c
O
mg
mg
重力矩使之倾倒。
不倒，其对称轴旋转 27
高速旋转的物体，其（自）旋转轴绕另一轴 旋转的现象称为旋进 二. 旋进的产生 ω ∥L 因为质量对称分布，陀螺自转： × dL M L ‖ ‖对称轴 在对称轴上： c θ ·c M r mg ML 由角动量定理， d L M d t ∥ M 。 O mg ∵ ML ∴ d LL 旋进产生 28 L 只变方向，不变大小
W W
ex
in , n
3. 对质心
d Lc M ex dt
E E
0
3
证明：
由质心系中的速度 vi ' vi vc ＋质心定义易证
结论2：设C.M系为非惯性系,需考虑惯性力的功
结论1：
( f i , I d ri) {( mi ac ) d ri } i i d( mi ri ) ac i m d rc ac 0
2)碰后均匀转动。系统的质心作匀速圆周运动
l l l Rc 质心的半径： 2 3 6 2 l 运动方程：T ( 3m ) 6
牛Ⅲ
2mv T 9l 轴力 10
2 0
例3 如图，例2中连球杆自由平放，碰撞为弹性。 其他条件不变，求碰后杆的运动。 解：三球系统，碰撞前 v0 后动能、动量、角动量 （对任一定点）不变， 设碰后分别为：v1 ; v2c ，ω； 有
第5章
质点系力学基础
刚体的运动
◆基本的动力学方程
◆质点系复杂运动的处理：“分解” 质心运动 质点系整体随质心的平动； 各质点相对于质心的运动 。 质心参考系 5.1 质心和质心运动方程 5.2 质心参考系 5.3 刚体的定轴转动 5.4 旋进 5.5 两体问题 一般原理 典型运动
1
5.1 质心和质心运动方程(已讲）
t
t
23
*六. 刚体平面运动
平面运动
随质心的平动
绕过质心的轴的转动 例1 如图，已知m1,m2, R,圆 m R T 盘无滑动滚动，滑轮质量不 计。求：圆盘角加速度
2
T
解： 对m1,由牛Ⅱ m g T m a 对m2，由质心运动方程 T m2ac
1 1
2
m
mg
2
1
1 相对质心的转动方程 TR ( 2 m R )
ˆ方向： mg cos Nt maCt t
l l 质心加速度： acn , act 4 4
2
21
转动定理
l mg sin J o 4
以上方程联立解得轴对杆的力：
13 N n mg sin , 7
4 N mg cos 7
t
解中“－”号表示Nt方向与所设方向相反。 由牛顿第三定律，杆对轴的力与上解等值反向。
10 gh v 2 gh 7
c
f
r
m R

v
c
mg

由质心系中动能定理：
h 1 2 f r ( mR2 ) 2 sin 2 5
2 代入ω值得 f r mg sin 7 25
结果讨论：静摩擦力在能量转换中的作用 把刚体边缘与斜面接触点的位移分解为： 随质心的平动＋绕质心的转动 等值，反向 摩擦力对此作负功 摩擦力对此作正功
②若以相等速率对撞：
资用能 Ek0/2
0 Ek 0 全部动能可用 Eck 0 0 E资用 Ek
→对撞机的思路！
按狭义相对论计算，二者相差很大。 如北京正负电子对撞机：对撞能量 2 × 2.2GeV 相同资用能，单粒子的能量需1.9×104GeV 8
例2 如图，轻质杆长l，两端固结球； 球A以速度v0 ，⊥杆与杆端球碰；
ω
20
由平行轴定理 有
J O J C md 2 ， 1 l 2 7 2 2 J O ml m( ) ml 12 4 48
Nn
6 g sin 解得 2 7l
应用质心运动定理求轴力： 设轴对杆的力方向如图，有
Nt
mg
ˆ方向： n mg sin N n maCn
碰后粘合，三球质量同为m。
A m v0
O轴
C
m
水平光滑 m
求：碰后1)角速度;2)对杆的作用力 解：1) 对三球系统，碰撞过程只有轴处有外力 所以角动量（对O）守恒。 9
初态：(l/2)mv0
末态：
l l l l 3l 2 m 2m m ( ) 2 2 2 2 4
2
lmv0 3l m 2v0 2 4 3l
a R ac 运动学关系：
2m1 g 24 3m1 m 2 R
例2 匀质球由静止沿斜面无滑动滚动（纯滚动） 求质心下降h时的vc 及斜面的摩擦力fr 解： 无滑动， f 不作功
r
球(＋地) E 守恒
1 1 2 2 mgh mvc ( mR2 ) 2 2 2 5 无滑动：vc R
1 2 3 2 1 2 3
例2 如图示，均匀直杆质量为m，长为l，初始 l 水平静止。轴光滑， AO 4 轴 l,m 求：杆摆到 角时的角 O · A θ B 速度和对轴的作用力 l /4 · 解： C 杆摆动过程， 机械能守恒。
初态： E k 1 0， 令 E P 1 0 1 l 2 末态： E k 2 J O , E P 2 mg sin 2 4 1 l 2 J O mg sin 0 则： 2 4
ai
a it ri
14
二. 转动方程 方程的得出：
z ω ,α F i vi θ i ri Δ mi
刚体 O× 定轴 ri
由质点系角动量定理：
dL 对 O点 M dt
ex
讨论对转轴z的分量式：
Fi z
Fi
dL M dt 分解： Fi Fiz Fi ; ri riz ri
vc const . Eck 0
E 0 弹性碰撞
k
E E 完全非弹性碰撞
k k0
最大可利用动能——资用能 等于质心系中系统初动能，
0 Emax Ek
向粒子内部 自由度转移 （粒子物理〕
7
设为两相同粒子碰撞：
①若其一运动，其一静止
v10 1 1 2 vc Ekc ( 2m )vc Ek 0 2 2 2
v0
C A B 无约束
13
5.3 刚体定轴转动
刚体：特殊质点系 ——相对位置不变 平面平行运动、 运动：平动、定轴转动 分解 定点运动… 一. 运动描述 角速度 z ω ,α d 角加速度 v dt
r P θ r 刚体
O×
定轴
参 考 方 位
vi ri ri ri —对圆心的位矢。 2 ain ri ,
dL d M J dt dt 所以刚体定轴转动时，质点系角动量定理沿 转轴的分量式可简化为：
则 Lz J z
M z J z
转动方程
16
是刚体定轴转动的基本动力学方程！
三. 转动惯量 （rotational inertia） 定义：连续质量分布
Jz
m
r
2
dm
r — d m 到转轴的距离
mv mv 2m v ,
0 1 2c
B 无约束 A
1 1 1 1 l mv mv 2mv 2 m ( ) 2 2 2 2 2
2 2 2 0 1 2c
2
பைடு நூலகம்
选择与Α重合的定点，由角动量守恒：
0 lm (v
2c
l
2
)
11
三个守恒式化简为：
v0 v1 2v2 c , v v 2v
22
例 转盘上站立一人，沿边缘行走一周。 z 求: 转盘转过的角度。 m
L 守恒： 解：人＋转盘，
z
M
1 mR MR 0 2 相对运动：
2 2
R
mR 解得 1 mR MR 2
2 2 2
2m 2m dt 2 dt 2m M 0 2m M 0
Win 0 E p mghc
（课后自己导出）
◆定轴转动刚体与直线运动质点之间的对比：
质点
1 2 r v a m p mv F ma Ek mv 2
18
刚体
1 2 J L J M J Ek J 2
例1 如图，定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无 相对滑动，桌面水平光滑。已知 m1,m2, m3 ,R. 求：两侧绳拉力。 解：各物受力如图 m1 T1 m3 对m1,m2，由牛顿定律
=
0
如动能 关系：
1 2 mi v i i 2
1 vc ) ( v vc ) mi (v i i 2
6
例1 讨论两自由粒子碰撞的动能损失 解： E E E E E E k ck k k ck k “自由”→动量守恒 两种 Ek Ek 极端
2 0 2 1 2 2c
l
2
2 2
v
2c
l
2
v0 v 2 c , (v1 0) 三式联立解得： 2 v0 l
碰撞后球1静止；杆既平动又转动。
12
例3 如图，例2中连球杆自由平放，碰撞为弹性。 其他条件不变，求碰后杆的运动。 解： 先看C、A弹性碰撞 质量相同， ∴C静止，A速度v0 再考虑AB系统 质心速度v0/2，=v0/l
回顾： 一.质心定义 质心的位矢
rc m i ri
i 1 N N
mi
i 1
i

m i ri
i 1
N
m
二.质心的速度
d rc vc dt 三.质心运动定理（方程）
mi vi m
F外i mac
2
5.2 质心（参考）系
质心系是固结于质心上的平动参考系（一般 原点选在质心上）。 质心系不一定是惯性系（系统可能受外力）。 一. 质心系是特殊的参考系 无论是否是惯性系，在质心系中均满足下述规律！ mi v 0 1. 是零动量系 i i 2.
（质心系中质心的位移＝0）
即：质心系中惯性力的总功恒为零。 结论3：惯性力对质心的力矩之和为零 （课下证） 4
二. 系统的运动与质心运动之间的关系：
运动学量： v v v
i c i
动 力 学 量
对实验室参考系 m v mv c mi vi ri mivi rc mvc ri对
Jz反映转动的惯性； 取决于质量相对于转轴的分布。
2 计算：◆平行轴定理： J z J c ,z md
z
m
以过质心的平行轴的转动惯量最小
d
17
C
◆可叠加
四. 功和能 定轴转动时，功和动能可用角量表示。 1 1 2 转动动能： Ek mi vi J 2 2 i 2 力的功： d Wi Fi d ri M iz d 力矩的功