量子力学第六章
第六章 微扰理论
ˆ H ˆ k H ˆ H 0 k
k 1
ˆ k H ˆ ) E (H 0 k n n n
k
( 0) (1) ( 2) (k) n n n 2 n k n
E n E (n0) E (n1) 2 E (n2) k E (nk )
(1) n k n ( 0 )* ˆ (0) H d k 1 n (0) k
E
(0) n
E
(0) k
E
( 2) n
( 0 )* n
ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H (1) ( 0 )* ˆ (0) 1 kn 1 kn 1 nk ˆ H1 n d ( 0 ) H1 k d ( 0) (0) n (0) k n E n E k kn E n E k
0) ( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) b m (E (m E (n0 ) ) E (n2 ) mn E (n1) m n d m H 1 n d
现在来求能量的二级修正值。当m=n时，上式就变成
( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) 0 E (n2 ) E (n1) n n d n H1 n d
( 0) n (1) n (0) n
k
bm
k n
(E(0) n
ˆ ) (H ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H 1 kn 1 mk 1 nn 1 mn 0) ( 0) 2 E (k0) )(E (n0) E (m ) (E(0) n Em )
(k) n E (nk ) 称为能量的k级校正。 称为波函数的k级校正，
假定级数对于λ=1是收敛的，并希望对于很小的微扰，只要取级数的 头几项，就能得到真实能量和波函数得很好近似。
量子力学导论第6章答案
第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m Mr p-==∙μ （1） 总动量1p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121pMP m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） p P m p +=21μ，p P m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m R ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’）总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m u R p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p mMr p p R -⨯++⨯=)2)(1(p r P R ⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m p P u m pPm m um m p P u m pPm m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p Pm m m Pm m m μ2222pMP +=（4’）［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、P 和L 的算术表示式r i p ∇-= R i P ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m mMi p m p mMp ∇-∇-=-=（1）其中 1111z k y j x ir ∂∂+∂∂+∂∂=∇，而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111，同理，y YM m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZM m z ∂∂+∂∂=∂∂11；（利用上题（17）（18）式。
量子力学课件第六章
第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。
现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。
我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。
微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。
图6.1：受到小微扰的无限深势阱。
首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。
此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。
下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。
将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。
对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。
（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。
）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。
但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。
又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。
它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。
例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。
量子力学 第6章-2-第18讲
m 0, 1, 2,... (4)
代入能量本征方程，可求得径向方程
2
2M
2
2
1
m2
2
1 2
M
2 L
2
R
(
)
E m R()
(5)
L
可解出能量本征值E ( Landau能级 )
E EN N 1 L ,
N (2n m m) 0, 2, 4, , n 0,1, 2,
EN N 1 0
N 2n m 0,1, 2,...
f (N) N 1
E EN N 1 L ,
均匀磁场中的电子
N (2n m m) 0, 2, 4,...,
∞
n 0,1, 2,...
对于较低的几条能级的简并度分析
E EN N 1 L ,
N (2n m m) 0, 2, 4, , n 0,1, 2,
第6章 电磁场中粒子的运动
§1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
§2 正常Zeeman效应 §3 Landau能级 §4* Aharonov-Bohm(AB)效应
§3 Landau能级
一、电子的Hamilton量
考虑电子（质量M，荷电-e）在均匀磁场B 中运动，则相应的矢势A可取为
A 1 Br 2
(6)
N
EN/ћωL
nρ
m
0
1
0
0,-1,-2,-3,…
2
3
0
1
1
0,-1,-2,-3,…
4
5
6
7
0
2
1
1
2
0,-1,-2,-3,…
0
3
1
2
2
1
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.7-6#15
1 的本征态，粒子 2
1 2 的本征态，取 =1 ，求体系总自旋 S 的可能值及相应的概率。 2
解： S x ;
1 Sz ; Sz ; 2
1 2
（1）
Sz ; Sx ;
（2）
系统处于 S1z ; S2 x ; 的态上，将其写到 S z 的表象中为
S1z ;
编辑者：霍团长 6— 7
对于两个自旋 1/2 的例子组成的体系，证明张量算符
S12
3 (σ1 r )(σ2 r ) σ1 σ2 r2
和 S 2 及 J 对易。 S 为总自旋， J 是总角动量 J = S + l ，l 是体系的轨迹角动量，在质心坐 标系中， l 的算符形式是：
l r p i r , r = r1 - r2
而 S s( s 1)
2
1 S2 z ; S2 z ; 2
其可能值为 0或2 总自旋为零的态可表示为：
0
1 S1z ; S2 z ; S1z ; S2 z ; 2
0
1 1 1 S2 z ; S1z ; S1z ; S2 z ; 2 2 2
证明： （1）
3 2 , σ1 3, ( 1n )2 1 4 1 S s1 s2 (σ1 σ2 ) 2 3 1 ∴ S 2 σ1 σ 2 2 2 1 1 Sn S n (σ1 n σ2 n) ( 1n 2 n ) 2 2 1 1 1 ∴ Sn 2 ( 1n 2 2 n 2 2 1n 2 n ) 1n 2 n 4 2 2
2 解：取系统的力学量完全集为 ( H , S12 , S 2 , Sz )
量子力学(第六章)
i ( ) t 2 2 q 1 p p A p A p c 2
1 q p p p p A 2 c 2q i p p A 2 c
代入正则方程
H H ,P r P r
(2)
即可得出
式中
1 r q E v B (3) c 1 E A (电场强度) (4) c t
B A (磁感应强度)
c
• H和 p 的关系一样。这里 p 为正则动量。由这
个原理和正则量子化规则可知，有电磁场时， 量子化规则应当变更为
i i q t t q i A c
• 这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程 。于是， 有电磁场时的 Schrodinger 方程为
的电子的速度 v 远小于光速 c ( v / c 102 ),辐
射场中磁场对电子的作用远小于电场,一般只
考虑电场的作用 。
本章将讨论恒定磁场中原子能级和光谱
的变化(Zeeman效应)以及自由荷电粒子在恒
定磁场中的运动(Lanbau能级)。 下面首先给出给出荷电粒子在恒定电磁 场中的Schrodinger方程。
A A A ( r , t ) 1 (r , t ) (16) c t 电场强度 E 和磁场强度 B 都不改变。
可以证明Schrodinger方程(9)在规范变换(16)
式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变
量子力学 6-1 电子自旋的实验证据
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全888—1969），
1888年2月17日出生于德国。1906年开 始学习物理化学，1912年在布雷斯劳大 学获博士学位。同年他到布拉格当爱因 斯坦的助手，以后又随爱因斯坦转到苏 黎世，1913年成为物理化学私人讲师。 1943年诺贝尔物理学奖授予斯特恩，表 彰他发展分子束方法和发现了质子的磁矩。
M sz e Sz
7
S
自旋回旋磁比率：
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
注意
此节重点
(1)理解电子自旋是一种纯粹的量子力学效应，没有经 典图象与之对应。（不是电子自转之类的空间运动）
(2)验证电子自旋存在的实验是斯特恩—盖拉赫实验 (3)每个电子具有自旋角动量 向的取值只能有两个 S z 。 2
1922年，他和合作，成功地做了斯特恩-盖 拉赫实验，通过这个著名实验，他们用分 子束方法证明了空间量子化的真实性，并 为进一步测定质子之类的亚原子粒子的磁 矩奠定了基础。
2
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
格拉赫（Walther Gerlach）
1889出生于德国. 1912年于图宾根大学获得物理学博士学位。 他的研究对象是黑体辐射和光电效应。一战期间, 盖拉赫和 维恩一起发展无线电报技术。在工业界呆了一段时间后, 盖 拉赫于1920年在法兰克福的实验物理研究所谋到了一个助手 的位置, 该所紧捱着玻恩的理论物理所。后来和斯特恩合作 完成了斯特恩-盖拉赫实验. 3
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
从薛定谔方程出发可以解释许多微观现象，例如计 算谐振子和氢原子的能级从而得出它们的谱线频率 等。计算结果在相当精确的范围内与实验符合。
量子力学概论第6章 不含时微扰理论
6.4.3 中间情况的塞曼效应
表6.2 存在精细结构和塞曼分裂的氢原子n=2能级
图6.12 弱场、中间场、强场下，氢 原子n=2能态的塞曼分裂
6.5 超精细分裂图6.1 基态氢原子的超精细分裂图6.14 两个相邻的极化原子
图6.6 例题6.2中的简并的消除
6.3 氢原子的精细结构
6.3.1 相对论修正 6.3.2 自旋-轨道耦合
表6.1 氢原子玻尔能量修正量级图
6.3.2 自旋-轨道耦合
图6.7 从电子看质子运动
图6.8 带电圆环绕轴旋转
图6.9 考虑了精细结构的氢原子能级图(未按比例大小给出)
6.4 塞曼效应
第6章 不含时微扰理论
6.1 非简并微扰理论 6.2 简并微扰理论 6.3 氢原子的精细结构 6.4 塞曼效应 6.5 超精细分裂
6.1 非简并微扰理论
6.1.1 6.1.2 6.1.3
一般公式 一级近似理论 二级能量修正
6.1.1 一般公式
图6.1 受到小微扰的无限深方势阱
对于零级(λ0)项1有H0ψ0n=E0nψ0n, 有 H0ψ0n=E0nψ0n,(6.1)
对于一级项(λ1)有，
H0ψ1n+H′ψ0n=E0nψ1n+E1nψ0n.(6.7)
对于二级项(λ2)有，
H0ψ2n+H′ψ1n=E0nψ2n+E1nψ1n+E2nψ0n， (6.8)
依次类推。(方程中并没有λ——它仅仅用来 更清楚地按数量级分出各方程——所以现在 把λ取为1。)
6.1.2 一级近似理论
E0nxnynz=π2ћ22ma2(n2x+n2y+n2z).(6.32) 注意到基态(ψ111)是非简并的；它的能量为：
周世勋量子力学习题复习资料第六章散射
第六章 散射1．粒子受到势能为2)(r ar U =的场的散射，求S 分波的微分散射截面。
[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。
注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在∞→r 时的位相差。
因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。
矢径的波动方程是：0))1()((12222=+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛l lR r l l r V k drdR r dr d r其中l R 是波函数的径向部分，而E k r U r V 2222),(2)(ηημμ==令r r x R l l )(=，不难把矢径波动方程化为02)1(2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+''l l x r r l l k x ημα再作变换 )(r f r x l =，得0)(221)(1)(2222=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+'+''r f r e k r f r r f ημα这是一个贝塞尔方程，它的解是)()()(kr BN kr AJ r f p p +=其中222221ημα+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l p 注意到)(kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数∞→=rN R p l ，不符合波函数的标准条件。
所以必须有0=B故)(1kr J r AR p l =现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求得相角位移l δ，由于：)2sin(1)42sin(1)(l lkr r p kr r r R δπππ+-=+-→∞→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=∴21221224222l d l l p l ημππππδ当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-=2122l l ημαπδ又因l i i e l δδ212=- 故 ∑∞=-+=02)(cos )1)(12(21)(l l i P e l ik f l θθδ∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=02)(cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπη∑∞=-=02)(cos l l P k θπμαη注意到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=∑∑∞=∞=02121202112121222112)(cos 1)(cos 1cos 211l l l l l lr r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθρ如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有∑∞===-02sin21)(cos )cos 1(21l l P θθθ故2sin21)(2θπμαθηk f -=微分散射截面为θθαμπθθαμπθθd Ed k d f 2csc 82sin41)(2222242222ηη==由此可见，粒子能量E 愈小，则θ较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数α愈大，微分散射截面也愈大。
量子力学曾谨言习题解答第六章
第六章：中心力场[1]质量分别为 m 1,m 2的两个粒子组成的体系，质心座标及相对座R标r为：R =212211m m r m r m ++ (1)r 12r r r-= (2)试求总动量21p p P+=及总角动量21l l L +=在R ,r表象中的算符表示。
1. [解] （a ）合动量算符21p p P+=。
根据假设可以解出1r ，2r令21m m m +≡ ： r m m R r121-= （３）r m m R r212+= （４）设各个矢量的分量是),,(1111z y x r ，),(22,22z y x r ,),,(z y x r和),,(Z Y X R 。
为了计算动量的变换式先求对1x ， 2x 等的偏导数：xX m m x x x X x X x ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111 （5）xX m m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2222 （6） 关于1y ∂∂，2y ∂∂，1z ∂∂，2z ∂∂ 可以写出与（5）（6）类似的式子，因而： )()(212^1^^2^1^x x i p p p p P x x x x ∂∂+∂∂=+=+==Xi x X m m x X m m i ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )(21 RiZ i k Y i j X i i P ∇=∂∂+∂∂+∂∂= ^(b)总角动量)(2211^2^1^∇⨯+∇⨯=+=r r il l Lx x r r iL )(2211^∇⨯+∇⨯==)()(2222111y z z y i z z y i ∂∂-∂∂+-∂∂ 利用（3），（4），（5），（6）： ))({(12^zZ m m y m m Y i L x ∂∂-∂∂-=))((12y Y m m z m m Z ∂∂-∂∂-- ))((21zZ m m y m m Y ∂∂+∂∂++ )})((21yY m m z m m Z ∂∂+∂∂+- =)()({1y Z z Y Y Z Z Y m m i ∂∂-∂∂-∂∂-∂∂ )()(221y z z y m m Y z Z y m m m ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂-)()(2yZ z Y Y Z Z Y m m ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+)}()(2221yz z y m m Y z Z y m m m ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+=)}(){(yz z y Y Z Z Yi∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ =x r R r iR i )(∇⨯+∇⨯因而 r R r iR i L ∇⨯+∇⨯=^[2]证明r r r ∂∂+=∇1],[212，∇=∇],[212r（证明）第一式ψ)(2122∇-∇r r =))((21222222222ψz y x zy x ++∂∂+∂∂+∂∂ )(21222222222zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂++-ψψψ但xz y x z y x x z y x x∂∂+++++=++∂∂ψψψ222222222)( 22222222()(z y x x x z y x x ++∂∂=++∂∂ψψ+)222xzy x ∂∂++ψ =232222222)())((z y x x x xz y x ++-+∂∂++ψψψ+2222223222)(xz y x z y x x x∂∂+++++∂∂ψψ即2222222222x z y x z y x x ∂∂++-++∂∂ψψ=232222222)(2z y x x zy x x x++-+++∂∂ψψψ同样写出关于y,z 的式子，相加得：22222222{21)(21zy x zz y y x xr r ++∂∂+∂∂+∂∂=∇-∇ψψψψ+}3222zy x ++-ψψ=r z r z y r y x r x ψψψψ+∂∂+∂∂+∂∂ =ψ)1(rr +∂∂ 因ψ是任意函数，因而第一式得证。
第六章量子力学的矩阵形式及表示理论
我们将会看到，{am} 与 Ψ 一样， 提供我
们同样多的信息。
状态表示的定义：若力学量的完全集 Mˆ 的
共同本征函数组为 ϕm ，则 am = (ϕm , Ψ)
{ } 的全体 am ，被称为体系所处态 Ψ 在表象
M 中的表示。
也可以看作态矢量 Ψ 在 ϕm作为基矢所张
的“坐标系”中的“坐标”。
rˆ 的本征函数为 φ r′(r) =δ (r − r′)，它是力 学量 (x, y, z) 的共同本征函数。
∫ ∑ ∑ ∑ (ψ,ψ) =
a∗mu∗m (r) anun (r)dr = am 2
m
n
m
⎛ a1 ⎞
=
(a1∗, a∗2 L
)
⎜ ⎜
a
2
⎟ ⎟
=
a†a
=1
⎜⎝ M⎟⎠
对于连续谱：则 Ψ 在表象 α 中的表示
{aα，}它是 α 的函数
∫ (ψ, ψ) = a∗αϕ∗α (r)aα′ϕα (r)dαdα′dr
2
= ∫ aα dα = 1
§6.2 Dirac 符号介绍
一个态矢量可由一组数 {am}表示，但在表示
a m（或计算）时，其实已用到态矢量在 r 表
象中的表示及 r 表象的共同本征矢的表示。
∫ am =
Φ
∗ m
(r
)Ψ
(r
)dr
(ϕr , ψ) = ∫ δ(r′ − r)Ψ(r′)dr′ = Ψ(r)
(即N轴)，再绕新z轴(即 z′ )转 γ ，
这时
⎜⎛ ⎜
a1′ a′2
⎟⎞ ⎟
=
R
z′
(γ)R
N
(β)R
z
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.1-6#13
0 1 0 i Sn cos cos i 0 cos 2 1 0
cos 1 0 0 1 2 cos i cos
2
cos i cos cos
设 J 2 , J z 共同的本征态为 j , m ，利用升降算符，将 J x , J y 表示为
J x
Jx
1 1 J J , J y J J 2 2i 1 j, m J x j m j m J J j ,m 2
，
则
j m j m
1 j m j m , 2
6.2 求 自 旋 角 动 量 在 任 意 方 向 n （ 方 向 余 弦 是 co s , co s 的投影 , c） os
Sn S xc o s Sy c o s Sz
c的本征值和本征函数。 os
解：在 S z 表象内，电子自旋算符 S x , S y , S z 的矩阵表示为，故 S n 的矩阵形式为：
(iii) y Βιβλιοθήκη =1 轾 犏2c 1 (S z )Y 10 (q, j ) + c 1 (S z )Y 1- 1(q, j ) 3犏 臌 -2 2
J 2 = j ( j + 1)h 2 =
35 2 15 2 h = h 22 4 2 1 1 1 1 J z = (Lz + S z )h = (0 - )h + (- 1 + )h = - h 3 2 3 2 2
a1 cos a2 (cos i cos ) a1 a1 (cos i cos ) a2 cos a2
求解此方程可得
量子力学-第六章散射(碰撞)
8
单位时间内穿过半径为R球面上dS的粒子数
其中
dn
jrdS v
f
( , )
2
dS r2
v
f (,) 2 d
jr
i 2m
( 2
r
2
2
r
2
)
v r2
f ( ,) 2 v
k m
由定义式： dn q(,) jd
因为
j
i 2m
(
1
1
z
1
1 )
z
k m
v
所以 dn q(,)vd
故有 q( ,) f ( ,) 2
2
Q 0 0 q( ,)d
粒子被散射到空间各方向上的几率和。 7
2.微分散射截面与散射振幅的关系
设入射粒子： 质量m， 动量 k 波函数 1 eikz
出射粒子：质量m ， 动量 k
波函数
2
fห้องสมุดไป่ตู้
( ,) eikr r
其中f(,)为散射振幅. r→处的波函数：
reikz f ( ,) eikr
l
)
Al
sin(kr l 2
kr
π
l )
12
r
l 0
Al kr
sin(kr
1 2
lπ
l
)Pl
(cos
)
另一方面
eikz eikrcos (2l 1)il jl (kr)Pl (cos ) l0
根据球贝塞耳函数在无穷远处的渐进行为
r
l0
(2l
1)il
1 kr
sin(kr
1 2
lπ)
S
d
6
第六章_群论与量子力学
第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r Hˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g1-=，()r f 为任意函数，有：()()()()()()()()r f P r g H P r g f r g H P r f r H P P r f r Hg g g g g 11ˆˆˆˆˆ--=== 故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r H（由()r f为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r='，()()()r H r H r g H ˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H 或()()r H P P r H g g ˆˆ=即当哈密顿算符()r H ˆ在函数变换算符g P 的作用下不变时，则()r Hˆ与P g 对易：[]0,=g P H【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g H g G H ˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hˆˆ= 令r g r ='，则'1r g r-=，代入得：()'ˆ1r gg H -，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H =-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g =====----结合律和单位元显然存在。
【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
华科量子力学第六章.ppt
e
M S c S
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz
e
2c
MB
Bo(hCr G磁S子)
（四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz e
Sz
c
（2）轨道回转磁比率
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
e
M L 2c L
则，轨道回转磁比率为：
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值
所以 Sˆx
Sˆy
Sˆz 的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
Sˆ 2 算符的本征值是
Sˆ 2
Sˆx2
Sˆ
2 y
Sˆz2
3 4
2
仿照
L2 l(l 1)2
S
2
s(s
1)2
3 4
2
自旋量子数 s 只有一个数值
ˆ yˆ x
iˆ z
ˆ yˆ z ˆ zˆ y iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z iˆ y
3. Pauli算符的矩阵形式
根据定义 求 Pauli 算符的
2
ˆ
z
Sz
2
1 0
01
1 0 ˆ z 0 1
则原子在 Z
向外场 B
中的势能为：
U M B MBz cos
磁矩与磁 场之夹角
原子 Z 向受力
Fz
U z
M
Bz z
cos
分析
量子力学第六章
n n
( F G G F )ψ
=
= ( FnG
n
G n F n )ψ
= 0
体系的任意态可表示为: ψ 体系的任意态可表示为:
( F G G F )ψ =
∑ ∑
n
a nψ
并且设所有能级En不简并,则: 并且设所有能级En不简并, En不简并
n
a n ( F G G F )ψ
d dt
r r r p
=
2
r r [r p , H ]
] + r r [ r p , V ( r )]
1 = 2m
r r r [r p , p
= ih (
r p m
2
r r V (r ) )
对于定 态有
d dt
r r r p
= 0
推出
1 m
r p
2
=
r r V (r )
n n n
Q [F , Q [G ,
H ] = 0 H ] = 0
H Fψ H G ψ
n
n n
= F H ψ = G H ψ
n
n n
= E Fψ = E G ψ
n
n n
设能级En不简并,则有: 设能级En不简并,则有: F ψ En不简并 易得
= F nψ
n
Gψ
n
= G nψ
推论2 如果[F,G]=C常数,则体系所有能级都简并,而且简并度为无穷大. 推论2:如果[F,G]=C常数,则体系所有能级都简并,而且简并度为无穷大. [F,G]=C常数 证 首先:设能将 不简并,则由证明2中 很容易知道 则由证明 很容易知道[F,G]ψn=0, 但Cψn=0,矛盾 矛盾. 首先 设能将En不简并 则由证明 中,很容易知道 设能将 矛盾
量子力学6-2-0
1 2
6.4-6
U0 2 U kaU 0 当离子能量很高时， 容易看出， 当离子能量很高时， E >> U 0 , 1 − ≈ 1 − 0 。容易看出，当 E 2E 2E 很小时， 就很小。 很小时，相移 δ 0就很小。故波恩近似的 条件为
2 µk i ( k′−k ).r dr dΩ = vL − ∫ U(r)e 2 3 4π ℏ v −3
6.4-2
ℏK 是散射引起动量的变化 。式积分简化为 3
U(r)e ( ∫
∞ 0 i k′−k ) .r
dr
π
−iKr cosθ 0来自= ∫ U(r)r dr ∫ e
2
sinθdθ ∫
2π
0
dϕ
4π = K
∫
∞
0
rU(r)sin( Kr ) dr
设粒子的势能可写为
4µ2 q(θ ) = 2 4 π ℏ
∫0
∞
rU(r)sin( Kr)dr
r≤a r>a
2
6.4-5
U 0 , U (r ) = 0,
根据6.2节 若散射波的相移很小，特别是 分波的相移 根据 节，若散射波的相移很小，特别是s分波的相移 很小，说明势场对散射波影响很小，可看作微扰。 很小，说明势场对散射波影响很小，可看作微扰。
L ρ (m ) = µ ℏ kd Ω 2π ℏ
3
由5.7-6可得 可得
2π ′ dn = | Hmk |2 ρ(εm ) ℏ 3 2 Lµ 2π k i ( k′−k ).r −3 dr dΩ = − L ∫ U(r)e 3 2 ℏ 8π ℏ
量子力学第六章
当代入（1）式得，，则本征函数为
利用归一化条件来确定常数 ： ，即
取 因此，对应于的本征函数是 当时代入（1）式得，，本征函数为 利用归一化条件求常数：
，即 取 因此对应于的本征函数是
同理可求对应的本征函数为 现在求的本征值和本征函数。设的本征函数为
本征值为，则本征方程为 即
而
即
将以上两式与（1）与（2）式对比可知 ，
，
以上是用特殊的方法求得。 6.12 已知在和共同表象中，算符和的矩阵分别为 ，
求它们的本征值和归一化本征矢，最后将矩阵和分别对角化。 解 设的本征函数（在和的共同表象中）为
本征值为，则本征方程为 即
（1） 齐次方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即 展开整理后得
解 （1）因为和都是对称的实矩阵，故和都是厄密矩阵，即 ，
(2)
可见与对易，即 （3）求和的共同本征矢 因为是对角矩阵，故，，是的本征矢，分别对应本征值，，，而且 ，， ， 也是的本征矢，对应本征值为，这是因为
但，都不是的本征矢，将，重新组合：
（+）
（）
则有
，
可见，，就是的本征矢。
因为，是，的线性组合，当然仍是的本征矢。这样，我们就找到了
与的共同本征矢：
本征值 本征值
（+） （） 6.10 粒子在力学量的三个本征矢和所张成的三维态空间中运动，其 Hamiltonian和另一力学量算符的形式如下： （为实数） （1）求的本征值和相应的本征矢；（2）若时粒子处于
所描述的状态，求时粒子的态矢，问它是否定态？（3）求时，的平
均，并讨论随时间变化的规律。
代入（1）式得
于是得到 （3）利用平均值公式 则
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z2 z1 at1t2
1 2 1 F d at1 at1t2 z 2 2 m v/ /
Fz d 2 FzdD m v/ / v / / mv/ / 2
，而且它们在z方
向的分量只取两个数值
，自旋磁矩是理论值的两倍。
电子自旋是原子物理学和量子力学中十分重要的概念， 在假说的提出与被接受的过程中，从名不见经传的在校学 生到物理学权威皆卷入其间，不同观点针锋相对，虽然电 子自旋假说的提出稍早于量子论的矩阵力学和波动力学， 但它们之间没有直接的逻辑联系，因此不是物理学史家关 注的焦点。 由于自旋发现的历史非常曲折有趣，而且很有教育意 义。艾伦费斯特的教育艺术、乌仑贝克与古兹米特的理论 实验协作、泡利的直觉与执着、克罗尼格的背运、爱因斯 坦的举重若轻、托马斯的数学计算都在这个故事里让人眼 睛一亮。
Z μ
Lz ml
L
l l (l 1) B , l 0,1,2,3.......n
L
l , z ml B ,
m 0,1,2,3....... l
二、史特恩—盖拉赫实验
史特恩和盖拉赫在 1921 年进行的实验是对原子在外场中取向 量子化的首次直接观测，它是原子物理学中最重要的实验之一， 其装置示意图如下 氢原子从容器O内通过小 孔逸出，氢原子通过狭缝 后 , 形成细束 , 经过一不均 匀的磁场区域 , 在磁场的垂 直方向运动 , 最后撞在底片 P 上 , 显像后在底片上看到 两条黑斑 , 表明氢原子在经 过不均匀磁场区域时已分 成两束.
这就是拉莫尔进动的角速度公式。它表明：在均匀外磁场中 的一个高速旋转的磁矩并不向 B 方向靠拢，而是以一定的角 速度 绕 B 进动， 的方向和 B 的方向一致。
磁矩及其Z分量的大小是量子化的，它来源于轨道角动量 L及
其Z分量LZ的大小的量子化。
L l (l 1)
令
e 2me
γ称为旋磁比，式中me为电子的质量，则
此公式即为原子中电子绕核 运动的磁矩和电子的轨道角动 量之间的关系式。 可见电子绕核运动的磁矩与轨
L
L v
道角动量是反向的（磁矩方向是
根据电流方向的右手螺旋定则定 义的，
L r m mr
由公式可见，若仅仅μ是量子化的，而cosβ可以是任意的 话那么μz就不是量子化的，而z2也不可能是量子化。只有当空 间也是量子化时，即μ在z方向的投影也是量子化的，z2的数值 才可能是分立的。因此从实验上测得 z2 的数值是否是分立的， 就可以反过来证明μz是否量子化。史特恩—盖拉赫实验的结果 表明，氢原子在磁场中只有两个取向，这就有力的证明了原子 在磁场中的取向是量子化的。
x方向：x v/ /t v/ / (t1 t2 )
原子束在经过磁场区（长度为 d） 到达出口时，已经偏离 x 轴 z1 的 距离，此时沿z方向的速度为
z方向:
1 Fz 2 z1 t1 2m
Fz d v at1 m v/ / d D v / /t 2 2 z2 z1 v t 2
古兹密特（ Samuel Abraham Goudsmit ，1902—1978），荷兰 裔美籍物理学家。 1953 年获得调查公司奖， 1964 年获得普朗 克奖， 1976 年获得美国国家科学奖。首次测量了核子自旋， 发展了光谱线的超精细结构，首次借助分光镜测出核磁矩， 研究复杂原子和多电子散射理论，引入随机统计问题，发明 一种新的分光计。
μ
）。
dv 磁力矩的存在将引起角动量的变化 dL mr r ma r F dt dt B
L B
d d dL ; B μ B 或 dt dt dt
2
D
d
v/ / v
Bz Fz z z
Bz dD z2 z z mv 2
热平衡时，原子的速度满足
mv 2 3kT
Bz dD z2 z z 3kT
Z B z
z cos
z2 cos Bz dD z 3kT
8、1926年2月20日出版的Nature第117卷发表了乌古二人的论文， 正式以英文形式提出电子自旋假设 ( 不再归因为自转 ) ，以电荷 分布在电子表面解释了反常旋磁比，并计算了原子光谱双线精 细分裂。只留下一个双线分裂距离2倍的最后一个问题。 9、美国物理学家托马斯(Llewellyn Hilleth Thomas)于1925年 秋在哥本哈根受艾伦费斯特的委托，用相对论进行了双线分裂 的计算，其结果以信的方式发表于 Nature1926 年 4 月第 117 卷上 (原来是以前算错了所以才有因子2的差别！) 10、1926年2月，玻尔海森堡改变观念，泡利验算以后也承认自 旋假设。 11、1927年,泡利把电子自旋概念纳入了矩阵力学体系. 12、1928年,狄拉克(Paul A. M. Dirac)建立了量子力学的相对 论性波动方程 , 可以自然地说明电子的半整数的自旋角动量 , 并 得出了反常旋磁因子为2. 13、1940年,泡利基于量子场论的需要，推导出了自旋假设。
三、电子自旋假设
从史特恩—盖拉赫实验只能解释奇数条纹分裂，无法解释偶 数条纹分裂。该实验出现偶数分裂的事实，给人的启示是：要 2l+1为偶数，只有角动量为半整数，而根据轨道角动量理论是 l不可能给出半整数的。 1925 年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据一系列的实 验事实大胆地提出这样一个假设：电子不是点电荷，它除了轨 道角动量以外，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量。
L l l 1 , l 0,1,2,3,......n. S ss 1 , s 1 / 2
轨道量子数 自旋量子数
Lz ml
ml 0,1,2,..... l
1 2
1 Sz 2
1 2
1 ms . 2
任何电子都有相同的自旋角动量
§6.2 自旋算符和自旋态矢量
一、电子自旋算符 二、泡利算符 三、Sz表象和泡利矩阵 四、电子自旋态矢量
一、电子自旋算符
为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算 ˆ 来表征电子的自旋角动量 S 。 符S
[注意]：自旋角动量是电子内部的一种固有特性， 在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量， 它不能表示为坐标和动量的函数。
3 、 1925 年 1 月 初 ， 德 国 物 理 学 家 克 罗 尼 格 (Ralph De Laer Kronig)根据泡利写给朗德关于第四量子数的信，提出电子内禀 角动量假设并推出了碱金属光谱的双线结构，由于反常旋磁比 的原因，理论值是实验值的两倍。 4、1925年1月8日，克罗尼格请教泡利，电子内禀角动量归结为 电子自转不符合泡利的物理直觉而被否定。加上海森堡的反对， 克罗尼格放弃了！ 5、1925年夏天,莱顿大学艾伦费斯特(Paul Ehrenfest) 的两个 学生乌伦贝克 (George Eugene Uhlenbeck) 和古兹密特 (Samuel Abraham Goudsmit)，将电子内禀角动量理解为第四运动自由度， 提出自旋假设并投稿 Science( 事先不知道泡利和克罗尼格的讨 论)，讨论了反常塞曼效应。 6、1925年秋天，洛伦兹应两人要求算出电子自转违反相对论， 而且反常旋磁比也难解释，两人追回论文未果，于11月发表。 7 、 1925 年 12 月 , 众多物理学家云集莱顿大学庆祝洛仑兹获得博 士学位 50 周年，玻尔请教爱因斯坦，爱因斯坦认为自旋假设是 相对论的必然结果！
B0
B 0 z
史特恩—盖拉赫实验(1922)
角动量取向量子化
史特恩和盖拉赫的功绩之一，就是制造了一块能在很小线度 内产生不均匀磁场的磁铁，对于这样的一个磁场，磁矩只有在Z 方向受力
B
U B μ B
任何一个力都可以写成势能的负梯度，即 U ˆ U ˆ U ˆ F U x i y j z k 所以，一磁矩在z方向上受到的力就可以写成
最终的结论，自旋无需假设！！
保罗 · 埃伦费斯特（ Paul Ehrenfest ， 1880 年 1 月 18 日－ 1933 年9月25日），奥地利数学家、物理学家，1922年取得荷兰国 籍。他的贡献的领域主要是在统计力学及对其与量子力学的 关系的研究上，还有相变理论及埃伦费斯特定理。
乌伦贝克 :(George Eugene Uhlenbeck ， 1900—1988 )1955 年 被任命为洛伦兹讲座教授。 1959 年，他成为美国物理学会主 席。 1965 年获得普朗克奖。 1970 年获得荷兰皇家科学院的洛 伦兹奖章。 1977 年获得美国国家科学奖。 1979 年获得伍尔夫 奖。
B
B
iS iSn0
iS B
iSB sin
磁矩在均匀外场中不受力，但受到一个力矩的作用
B
原子中电子绕核运动必定产生一个磁矩。若电子绕核旋转的 圆周频率为ν，轨道半径为r，则磁矩为
e 2 0 e e 0 2 0 0 iSn e r n r n me rn L 2 r 2me 2me
S 是自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对
易关系
ˆ ˆ ˆ S S iS
自旋角动量平方算符
ˆ S ˆ S ˆ S ˆ i S ˆ S x y y x z ˆ ˆ ˆ S ˆ i S ˆ S y S z S z y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S i S x y y z x