参数变量函数的导数
第三讲 参变量函数
u
(nk )
v
(k )
uv
Cnu
k
(nk )
v
(k )
k0
公式（3）称为 莱布尼兹公式
几个初等函数的高阶导数
(1 ) ( a )
x (n)
a
(n)
x
ln
n
n
a
(a 0)
(e )
x
(n)
e
x
( 2 ) (sin kx ) ( 3 ) (cos kx )
(4) ( x )
2
设函数
y f ( x ) 有导数
,
f ( x ),
( 1 ) 若 x 是自变量时
dy f ( x ) dx ;
( 2 ) 若 x 是中间变量时 微函数
, 即另一变量
t 的可
x ( t ), 则 dy f ( x ) ( t ) dt
dy f ( x ) dx .
x e 2 t 3t 1 3 2 y 4t 2t 6
t x 1 t y 1 t 1 t
第四讲 微分
1、定义：
设函数 y
y f
f
x 定义在 x 0 的改变量是 y 与自变数 x 的改变量 x ，有下列关系
f
x 的 n 1 阶微分在 x 的微分，称为函数 f x 在 x 的 n 阶微
分，表为 d n y 或 d n f x
dy f ' x dx
d y d dy
2
f ' x dx ' dx
2
f '' x d x
参变量函数的导数
(4)
1 tan tan
将 (3) 式代入 (4) 式, 化简后可得
tan ( ) .
(5)
( )
例3 证明对数螺线 e 2上所有点处的切线与向
径的夹角 是常数.
证 因为对每一 值 , tan ( ) ( )
e 2 1 e 2
2 2,
T
e 2
H
•M
O
1x
所以这条曲线上任一点的切线与向径的夹角等于
其中 是切线与 x 轴正向的夹角 ( 见下页图 ) .
当 (t0 ) 0 时, 有 cot (t0 ) . (t0 )
y
Q
•
P•
Δy Δx
O
C
x
若 , 在 [ , ] 上都存在连续导数,且 2(t) 2(t) 0 ,
则称曲线 C 为光滑曲线. 光滑曲线的每一点都存在
切线, 且切线与 x 轴正向的夹角 (t)是 t 的连续函
常数 arctan 2.
Δ y (t0 Δt) (t0) , Δ x (t0 Δt) (t0)
如果 (t ), (t ) 在点 t0 可导，(t0 ) 0, 则切线
的斜率为
tan lim Δ y lim [ (t0 Δt) (t0 )] Δt Δt0 Δ x t0 [ (t0 Δt) (t0 )] Δt (t0 ) , (t0 )
函数和反函数的求导法 (t) .
(2)
dx dt dx dt dt (t)
(2) 式的几何意义如下: 设由 (1) 式表示的曲线 C
在点 P( (t0 ), (t0 )) 处有切线. 过点 P及邻近点
Q( (t0 Δt), (t0 Δt)) 的割线 PQ 的斜率为
( )tan ( ) . ( ) ( )tan
求隐函数偏导数的三种方法
求隐函数的偏导数有三种常用的方法
1. 全微分法：利用全微分的定义，即对于一个自变量和因变量之间的函数关系，将其看作是多个自变量的函数关系，然后对其进行求导。
该方法适用于方程形式简单，且易于进行全微分的情况。
2. 参数法：采用参数将隐函数表示出来，然后对参数进行求导。
具体的做法是引入新的参数，使得原方程式可以表示为参数方程式，然后对参数方程式进行求导。
这种方法适用于将隐函数表示为参数方程式较为容易的情况。
3. 直接求导法：将隐函数视为一个整体，直接对方程式两边进行求导。
首先求出隐函数对于一个自变量的导数，然后通过链式法则等方法将其转化为对其他自变量的导数。
这种方法适用于函数关系比较复杂，无法简单表达为参数方程式的情况。
这些方法可以根据具体的隐函数形式和求导的难度选择合适的方法进行求解。
13 隐函数及由参数方程所确定的导数
隐函数及由参数方程所确定的导数一、隐函数的导数1、隐函数的求导法函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，例如2ln cos y x x =，3523x x y x e =-+等，这种函数表达式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式却不是这样，例如方程310x y +-=表示一个函数，因为当自变量x 在()+∞∞-,内取值时，变量y 有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如由方程310x y +-=解出31x y -=，就把隐函数化成了显函数.但是，隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.例如，方程0y e xy -=所确定的隐函数就不能用显式表示出来.因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.我们知道，把方程()0,=y x F 所确定的隐函数()x y y =代入原方程，便得恒等式()()0,≡x y x F ，把这个恒等式的两端对x 求导，所得的结果也必然相等.但应注意，左端()(),F x y x 是将()x y y =代入(),F x y 后所得的结果，所以，当方程()0,=y x F 的两端对x 求导时，要记住y 是x 的函数，然后利用复合函数求导法则求导.这样，便可得到欲求的导数.下面举例说明这种方法.例1求由方程221x y +=所确定的隐函数y 的导数.解把方程两端分别对x 求导，记住y 是x 的函数，得220x yy '+=，由此得xy y'=-（0y ≠）.例2求由方程0y e xy e +-=所确定的隐函数y 的导数.解把方程两端分别对x 求导，得0='++'⋅y x y y e y ，由此得()0,≠++-='y ye x ex yy .例3求曲线322y y x +=在横坐标为1的点处的切线和法线方程.解由导数的几何意义，所求切线的斜率为1x k y ='=，方程两端分别对x 求导，有2322y y yy ''+=，从而2232y y y'=+当时，1=y ，代入上式，得1125x y y =='=.于是所求的切线方程为()1521-=-x y ，即0352=+-y x .法线方程为()1251--=-x y ，即0725=-+y x .例4求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dxy d .解方程两端分别对x 求导，得0cos 211='⋅+'-y y y ，于是yy cos 22-='.上式两端再对x 求导，得()()232sin 4sin 2cos 2cos y y yy y y '-⋅-''==--.上式右端分式中的y 是由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数.2、对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.我们通过下面的例子来说明这种方法.例5求()tan 0x y x x =>的导数.解对于tan x y x =两边取对数，得x x y ln tan ln =，两边对x 求导，得xx x x y y tan ln sec 12+='，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x x x x x y y x tan ln sec tan ln sec 2tan 2.注例5中函数tan x y x =既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数.幂指函数的一般形式为()0v y u u =>，其中,u v 是x 的函数.例6求y x =的导数.解先在两边取对数（假定4>x ），得()()()()[]4ln 3ln 2ln 1ln 21ln 2ln -----+-+=x x x x x y ，上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-+='413121112121x x x x x y y ，于是()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-+----='4131211121243212x x x x x x x x x x y .当1<x 时，y x =；当32<<x 时，y x =，用同样的方法可得与上面相同的结果.二、由参数方程所确定的函数的导数一般地，如果参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数）确定y 与x 之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.对于参数方程所确定的函数，通常也并不需要由参数方程消去参数t 化为y 与x 之间的直接函数关系后再求导.如果函数()t x ϕ=，()t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，又()t x ϕ=具有单调连续的反函数()x t 1-=ϕ，则由参数方程所确定的函数可以看成()t y ψ=与()x t 1-=ϕ复合而成的函数()[]x y 1-=ϕψ，根据复合函数与反函数的求导法则，有()()t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，即()()t t dx dy ϕψ''=，也可写成dtdxdt dy dx dy =.例7求摆线()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩在2π=t 处的切线方程.解摆线在任意点的切线斜率为()[]()[]()tt t a t a t t a t a dx dy cos 1sin cos 1sin sin cos 1-=-='-'-=，2π=t 时，摆线上对应点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-a a ,12π，在此点的切线斜率为1cos 1sin 22=-====ππt t tt dxdy k ，于是，切线方程为⎪⎭⎫⎝⎛--=-12πa x a y ，即22y x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.例8求方程32ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数的二阶导数22d ydx.解()()ttt t t e e e ee dx dy 2323232-=-=''=--，22223t d y d dy d e dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第四节隐函数和由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数函数)(x f y =的形式,是因变量y 由含有自变量x 的数学式子直接表示的函数,例如x y 2sin =,21x y -=等,称为显函数.如果变量x 与y 的函数关系可以由一个二元方程0),(=y x F 表示,例如013=-+y x ,0=-+e xy e y ,122=+y x 等,对在给定范围内的每一个x ,通过方程有确定的y 值与之对应,所以y 是x 的函数,这种函数称为隐函数.定义1如果变量x 、y 之间的函数关系是由某一方程0),(=y x F 所确定,那么称这种函数是由方程),(=y x F 所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程013=-+y x 解出31x y -=,就把隐函数化成了显函数.但有的隐函数不易显化,甚至不可能显化.例如由方程0=-+e xy e y确定的隐函数就不能显化.对由方程),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =,在不显化的条件下,怎样求)(x y '呢?假设由方程),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =,将y 视为中间变量,利用复合函数求导法,方程两边分别对x 求导,可得到一个含有y '的方程,最后解出y '即得隐函数)(x y y =的导数.例1已知由方程0=-+e xy e y 确定了隐函数)(x y y =,求)(x y '及)0(y '.解把y 看成x 的函数)(x y ,将方程两边分别对x 求导,由复合函数的求导法则有0)()()()(='++'x y x x y x y e x y .从而)()()(x y e x x y x y +-=',即ye x yx y +-=')()0(≠+y e x .将0=x 代入原方程得1=y ,故11)0(-==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='e e x y y y x y.隐函数求导方法小结:(1)把y 视作复合函数的中间变量,将方程两边分别对x 求导；(2)从求导后的方程中解出y '；(3)隐函数求导的结果允许含有y ,但求某一点的导数时不仅要代x 的值,还要把对应的y 值代入.例2求曲线)1(322+=x x y 在点)2,2(处的切线方程.解把2y 看成x 的复合函数,方程两边分别对x 求导,得x x y y 2362+=',解得yxx y 6232+=')0(≠y .因而所求切线斜率为34)2,2(='y .于是所求切线方程为)2(342-=-x y .即234=--y x .例3证明抛物线)0>=+a a y x 上任一点的切线在两个坐标轴上的截距之和等于a .证方程两边分别对x 求导,有2121='+y y x ,得x yy -='.设),(000y x M 是抛物线上任一点,则抛物线过点),(000y x M 的切线斜率为0),(00x y y k y x-='=,所以切线方程为)(000x x x y y y --=-,即100000=+++y x y y y x x x.所以抛物线上任一点),(000y x M 的切线在两坐标轴上的截距之和为0000000002)()(y y x x y x y y x x ++=+++aa y x ==+=2200)()(.例4求由方程)tan(y x y +=所确定的隐函数的二阶导数22dx yd .解方程两边分别对x 求导,得)1)((sec 2y y x y '++=',即)(sec 1)(sec 22y x y x y +-+='111222--=+-=y y y .从而523)1(22y y y y y +-='='')(cot )(csc 32y x y x ++-=.说明：求由方程),(=y x F 确定的函数)(x y y =的二阶导数,可把y 视为中间变量将0),(=y x F 两边分别对x 求导,,求出),(y x y ϕ='后,仍视y 为中间变量,对y '再求一次导数,则表达式中有y ',将第一次求出的y '代入后即可求出y ''.二、对数求导法定义2先将函数)(x f y =的两边取对数,然后利用隐函数求导法求出y 的导数dx dy,这种方法称为对数求导法.对以下两类函数,使用对数求导法求导一般较为简便.(1)幂指函数)()]([x g x f y =)0)((>x f ；(2)多个因式的积、商、乘方、开方构成的函数.下面通过例题来说明这种方法.例5求幂指函数)0(>=u u y v的导数,其中v u ,为x 的可导函数.解（法一）将函数)0(>=u u y v 两边取对数得u v y ln ln =,两边分别对x 求导,由于v u y ,,都是x 的函数,则由隐函数求导法则,有u u v u v y y '⋅⋅+⋅'='1ln 1,⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'='u u v u v u u u v u v y y v ln ln .（法二）因为uv v e u y ln ==,所以由复合函数求导法则得)ln ()(ln ln '⋅='='u v e e y u v u v ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅⋅+'=u u v u v u u u v u v e v u v ln 1ln ln .例6已知xx y cos 2)1(+=,求y '.解两边取对数得)1ln(cos ln 2x x y +⋅=,上式两边分别对x 求导得x x x x x y y 211cos )1ln(sin 122⋅+⋅++⋅-='⋅,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++⋅-+='22cos 21cos 2)1ln(sin )1(x x x x x x y x .例7已知xxx y =,求y '.解两边取对数得x x y xln ln =,方程两端再取对数得)ln(ln ln )ln(ln x x x y +=,方程两端分别对x 求导得x x x x x y y y 1ln 11ln 1ln 1⋅+⋅+='⋅,所以)ln 1ln 1(ln xx x x x x y x x x++⋅⋅='1ln (ln 2x x x x x x x ++=+.例8求函数322)2(21x x x x y -+⋅-=的导数.解两边取对数得)2ln(32)2ln(31)1ln(ln 2ln x x x x y --++--=，两边分别对x 求导得x x x x y y --⋅-++---='⋅2132)2(311121，所以⎦⎤⎢⎣⎡-+++-+-+⋅-=')2(32)2(31112)2(21322x x x x x x x x y .例9求函数x x ey xsin 1=的导数.解两边取对数得xx e x y sin ln 81ln 41ln 121ln +⋅+⋅=，方程两端分别对x 求导得x x x x y y sin 8cos 4112112++⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅，即x x ey xsin 1='⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x x x cot 8141212.三、由参数方程所确定的函数的导数在许多实际问题中,变量y 与x 的函数关系可用参数方程⎩⎨⎧==).(),(t y t x ψϕ)(βα≤≤t 确定,于是我们有下面定义:定义3如果参数方程⎩⎨⎧==).(),(t y t x ψϕ确定了y 与x 之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如何求由参数方程所确定函数的导数dx dy呢?在参数方程中,如果函数)(t x ϕ=具有单调连续的反函数)(1x t -=ϕ,且此函数能与函数)(t y ψ=复合而成复合函数)]([1x y -=ϕψ.假设)(),(t y t x ψϕ==均可导,且0)(≠'t ϕ,则根据复合函数和反函数的求导法则,可得)()(1t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=)0)((≠'t ϕ.即dtdxdt dy dx dy =⎪⎭⎫⎝⎛≠0dt dx .如果函数)(),(t y t x ψϕ==有二阶导数)0)((≠'t ϕ,那么可求出22dx yd :dx dtt t dt d dx dy dx d dxy d ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(22ϕψ)(1))(()()()()(2t t t t t t ϕϕψϕϕψ'⋅''''-'''=3))(()()()()(t t t t t ϕψϕϕψ''''-'''=.例10已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin 3,cos 2t y t x )20(π≤≤t .求椭圆在3π=t 相应点处的切线方程.解因为t t t t t dx dy cot 23sin 2cos 3)cos 2()sin 3(-=-=''=,所以椭圆在3π=t 处的切线的斜率为2131233-=⋅-==πt dx dy .当3π=t 时,23,1==y x ,因而椭圆在3π=t 处的切线方程是)1(2123--=-x y ,即042=-+y x .例11求由参数方程⎩⎨⎧=+=.cos ,12t y t x 所确定的函数的22,dx y d dx dy .解t t x y dx dy t t 2sin -=''=,t t x t t dx dt dx dy dt d dx y d '⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=12sin 22t t t t t 212sin cos 2⋅+-=34cos sin t t t t -=.例12求由参数方程⎩⎨⎧-'='=).()(),(t f t f t y t f x ()(t f ''存在且不为零)所确定函数的二阶导数22dx yd .解)(])()([t f t f t f t x y dx dy t t t '''-'=''=t t f t f t f t t f ='''-''+'=)()()()(.)(1122t f x dx dy dx y d t t ''='⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛=.四、相关变化率定义4设)(),(t y y t x x ==都是可导函数,且x 与y 之间存在某种关系,从而变化率dt dx 与dt dy间也存在一定关系.在已知其中一个变化率时,便可求出另一个变化率.这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.例13落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波的半径的增大率总是s m /6,问在s 2末扰动水面面积的增大率为多少？解设在t 秒末最外一圈水波半径为)(t r r =,扰动水面面积为)(t S S =,则2r S π=.两边同时对t 求导,得dt dr r dt dS ⋅=π2.由已知s m dt dr /6=,当s t 2=时,mr 1226=⨯=所以)/(144612222s m dt dS t ππ=⨯⨯==.例14注水入深m 8,上顶直径为m 8的正圆锥容器中,其速率为min /43m ,当水深为m 5时,,其表面上升的速率为多少?解设在t 时刻容积中的水深为h ,容积为V ,由相似三角形的性质得84h r =,即2h r =.于是123132h h r V ππ=⋅⋅=,两边对t 求导dt dh h dt dV ⋅=2312π,当5=h ,4=dt dV 时π2516=dt dh min)/(m .m8m 8r h 42-图。
多元函数的隐函数与参数方程求导
多元函数的隐函数与参数方程求导隐函数求导是微积分中常用的求导方法之一，它用于求解含有多个未知变量的方程。
而参数方程则是将一个变量表示为另外两个变量的函数，通常用于描述曲线或曲面。
一、多元函数的隐函数求导对于一个含有多个未知变量的方程，如果我们无法将其中一个变量表达为其他变量的函数形式，就需要使用隐函数求导的方法。
以二维平面上的函数为例，假设有一个方程 f(x, y) = 0，我们想要求解关于y 的导数dy/dx。
首先，我们需要确保该方程存在一个解y=f(x)。
求解步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求导，得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 02. 将这个方程关于 dy/dx 进行变形，得到 dy/dx 的表达式：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)这样，我们就得到了多元函数隐函数的导数表达式。
二、多元函数的参数方程求导参数方程是将一个变量（通常为 t）表示为另外两个变量（通常为 x 和 y）的函数形式。
在参数方程中，我们可以通过对 t 的求导来求解 x和 y 的导数。
以二维平面上的函数为例，假设有一个由参数方程描述的曲线：x = f(t)y = g(t)我们要求解这条曲线上各个点的导数 dy/dx。
求解步骤如下：1. 先对 x 和 y 分别关于 t 求导，得到导数 dx/dt 和 dy/dt。
2. 计算 dy/dx：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)这样，我们也可以得到多元函数参数方程的导数表达式。
综上所述，多元函数的隐函数和参数方程求导的步骤和原理是类似的，只是需要根据具体的函数形式进行求解。
总结：多元函数的隐函数求导和参数方程求导是微积分中常用的求导方法。
对于隐函数求导，需要通过对方程两边同时对某个变量求导，并变形后得到导数表达式。
而对于参数方程求导，需要分别对 x 和 y 关于参数求导，并计算 dy/dx 的表达式。
这两种方法在解决多元函数的导数问题时非常有用，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化趋势。
参数变量函数的导数
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
x = ϕ( t ) 若函数 二阶可导, y = ψ( t )
d ψ ′( t ) dt d 2 y d dy ) = ( )= ( 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
x = ϕ( t ) 在方程 中, y = ψ( t )
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
d2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t)
π x = a ( t − sin t ) 例1 求摆线 在t = 处的切线 2 y = a (1 − cos t ) 方程 .
即 y = x + a( 2 − ) 2
π
π
例7 不计空气的阻力, 以初速度 v0 , 发射角 α
发射炮弹 , 其运动方程为 x = v0 t cosα , 1 2 y v t sin α − gt , = 0 2 求 (1)炮弹在时t 0的速度大小 .
v 0 sin α − gt 0 . = v 0 cos α
( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
导数定义求函数的导数
导数定义求函数的导数
导数定义是指在一个函数上，对于固定的变化量，随着自变量取值的趋近，函数值的变化量与自变量的变化量比值的极限值。
利用导数定义可以求得函数在某一点的导数，即斜率。
计算方法为求取函数在该点的切线斜率。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处导数存在，则该导数为：
f'(a) = lim (x→a) [f(x)-f(a)] / (x-a)
其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，f(x)表示函数f 在x处的函数值，a表示点的自变量值，x表示自变量的变化量。
利用导数定义可以求取函数在任意一点的导数，从而方便地绘制函数的切线与法线，进而求取函数的最值以及研究函数的性质等。
总之，导数定义对于求解函数的导数具有重要的作用，是函数微积分中的重要概念之一。
- 1 -。
含参变量求导
( x 2 y 2 2)
例3 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该 曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线
上点 re (e 2 , ) 处的切线的直角坐标方程 2
解
由极坐标和直角坐标的变换关系知 x r ( ) cos y r ( ) sin
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
x ( t ) 若函数 二阶可导, y ( t )
d ( t ) dt d 2 y d dy ) ( ) ( 2 dx dx dt ( t ) dx dx
5.3 参变量函数的导数
一、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
x 2t , x 例如 消去参数 t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x 1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. dx t 2 1 cos 2
所求切线方程为
参数函数求导
参数函数求导一、参数函数的概念参数函数是指函数中参数是变量的一种函数形式，即函数不是写成y=f(x)，而是写成y=f(x,a)的形式，其中a是函数中的参数。
例如：y=x^a，其中a是参数，x是自变量，y是因变量。
二、参数函数的导数参数函数的导数是指将函数中的参数当作常数来对函数求导。
例如：对于函数y=x^a，y'=a*x^(a-1)。
其中，a是参数，x是自变量，y 是因变量。
当求导时，a被视为常数，x被视为自变量。
三、参数函数的求导方法1. 将参数视为常数，对自变量求导。
2. 将自变量视为常数，对参数进行求导。
3. 将函数中的参数进行化简，再对自变量进行求导。
四、参数函数的例题例1：求参数函数y=x^a在x=2处的导数。
解：y'=a*x^(a-1)，将x=2代入得：y'=a*2^(a-1)。
例2：求参数函数y=a*sin(x)关于参数a的导数。
解：y'=sin(x)，因为x是自变量，所以a被视为常数。
所以y关于a的导数是sin(x)。
例3：求参数函数y=ax^(b-1)在x=2处的导数。
解：将y=ax^(b-1)化简得：y'=ab*x^(b-2)。
将x=2代入得：y'=ab*2^(b-2)。
五、总结参数函数在函数中的参数是变量的一种函数形式，函数不是写成y=f(x)，而是写成y=f(x,a)的形式。
对于参数函数的求导，我们可以将参数视为常数，对自变量求导；也可以将自变量视为常数，对参数进行求导；还可以将函数中的参数进行化简，再对自变量进行求导。
导数与微积分
导数与微积分导函数导函数的概念涉及：的对于区间 , 上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作 ;一、基本函数的导函数C'=0C为常数x^n'=nx^n-1 n∈Qsinx'=cosxcosx'=-sinxe^x'=e^xa^x'=a^xlnaloga,x' = 1/xlnalnx'= 1/x二、和差积商函数的导函数fx + gx' = f'x + g'xfx - gx' = f'x - g'xfxgx' = f'xgx + fxg'xfx/gx' = f'xgx - fxg'x / gx^2三、复合函数的导函数设 y=ut ,t=vx,则 y'x = u'tv'x = u'vx v'x例：y = t^2 ,t = sinx ,则y'x = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x一般定义设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δ点仍在该邻域内时,相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即,也可记作,或;邻域数学分析的定义以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作Ua设δ是任一正数,则在开区间a-δ,a+δ就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作Ua,δ,即Ua,δ={x|a-δ<x<a+δ};点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径;a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,有时把开区间a-δ,a称为a的左δ邻域,把开区间a,a+δ称为a的右δ邻域;拓扑学的定义设A是拓扑空间X,τ的一个子集,点x∈A;如果存在集合U,满足①U是开集,即U∈τ,②点x∈U,③U是A的子集,则称点x是A的一个内点,并称A是点x的一个邻域;若A是开闭集,则称为开闭邻域;可导设y=fx是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y'=f'x,则称y在x=x0处可导;如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数若将一点扩展成函数fx在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数fx在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着fx的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数fx的导函数,记作：y'、或者;原函数已知函数fx是一个定义在某区间的函数,如果存在函数Fx,使得在该区间内的任一点都有dFx=fxdx,则在该区间内就称函数Fx为函数fx的原函数;例：sinx是cosx的原函数;关于原函数的问题函数fx满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢这个问题我们以后来解决;若其存在原函数,那么原函数一共有多少个呢我们可以明显的看出来：若函数Fx为函数fx的原函数,即：F'x=fx,则函数族Fx+CC为任一个常数中的任一个函数一定是fx的原函数,故：若函数fx有原函数,那末其原函数为无穷多个.如果定义在a,b上的函数Fx和fx满足条件：对每一x∈a,b,F′x＝fx则称Fx为fx的一个原函数;例如,x3是3x2的一个原函数,易知,x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数;因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的,例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝vt,要求它的运动规律 ,就是求v＝vt的原函数;原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当fx为连续函数时,其原函数一定存在;几何意义和力学意义设fx在a,b上连续,则由曲线y=fx,x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数指代数和——x轴上方取正号,下方取负号是fx的一个原函数.若x为时间变量,fx为直线运动的物体的速度函数,则fx的原函数就是路程函数.导函数的定义表达式为：值得注意的是,导数是一个数,是指函数fx在点x0处导函数的函数值;但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点;几何意义如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点;当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线;若曲线为一函数y = fx的图像,那么割线PP0的斜率为：当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,,则P0T的斜率tanα为：上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'x0 = tanα,故导数的几何意义即曲线y = fx在点P0x0,fx0处切线的斜率;函数可导的条件如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢答案是否定的;函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等;这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在,它的左右极限存在且相等推导而来：上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数：极值extremum∶数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得;extreme value∶在给定的时期内,或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值;如果这个时期是整个有观测资料的时期,这个极值就是绝对极值极限在高等数学中,极限是一个重要的概念;极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下;首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积;为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=62的9次方边形,利用不等式An+1<A<An+2An+1-Ann=1,2,3....得到圆周率=3927/1250约等于数列极限：定义：设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε不论它多么小,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn - a|<ε都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a;记为lim Xn = a 或Xn→an→∞数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在,则极限值是唯一的；2.有界性：如果一个数列收敛有极限,那么这个数列有界;但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛;3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a,且a>0或a<0,那么存在正整数N,当n>N时,都有xn>0或xn<0;4.改变数列的有限项,不改变数列的极限;几个常用数列的极限：an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0函数极限的专业定义:设函数fx在点x;的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε无论它多么小,总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x;|<δ时,对应的函数值fx都满足不等式：|fx-A|<ε那么常数A就叫做函数fx当x→x;时的极限;函数极限的通俗定义：1、设函数y=fx在a,+∞内有定义,如果当x→+∞时,函数fx无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数fx的极限;记作lim fx＝A ,x→+∞;2、设函数y=fx在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时记作x→a,函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数fx的极限;记作lim fx=A ,x→a;函数的左右极限：1：如果当x从点x=x0的左侧即x〈x0无限趋近于x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的左极限,记作x→x0-limfx=a.2:如果当x从点x=x0右侧即x>x0无限趋近于点x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的右极限,记作x→x0+limfx=a.注：若一个函数在x0上的左右极限不同则此函数在x0上不存在极限注：一个函数是否在x0处存在极限,与它在x=x0处是否有定义无关,只要求y=fx在x0近旁有定义即可;函数极限的性质：极限的运算法则或称有关公式：limfx+gx=limfx+limgxlimfx-gx=limfx-limgxlimfxgx=limfxlimgxlimfx/gx=limfx/limgx limgx不等于0limfx^n=limfx^n以上limfx limgx都存在时才成立lim1+1/x^x =ex→∞无穷大与无穷小：一个数列极限无限趋近于0,它就是一个无穷小数列极限;无穷大数列和无穷小数列成倒数;两个重要极限：1、lim sinx／x ＝1 ,x→02、lim 1 + 1／x^x ＝e ,x→∞ e≈...,无理数====================================================================== ==举两个例子说明一下一、……＝1以下一段不作证明,只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位,即要知道具体哪一位加哪一位才可操作,下文中……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准,所以对于无限小数并不能做加法;既然不可做加法,就无乘法可言了;谁都知道1/3＝……,而两边同时乘以3就得到1＝……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数;10×……—1×……=9=9×……∴……=1二、“无理数”算是什么数我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯;结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想;类似的根源还在物理中实际上,从科学发展的历程来看,哲学才是真正的发展动力,但物理起到了无比推动作用,比如瞬时速度的问题;我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点切线斜率这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出;真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的;几个常用数列的极限an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0定积分定积分的几何意义众所周知,微积分的两大部分是微分与积分;微分实际上是求一个已知函数的导数,而积分是已知一个函数的导数,求原函数;所以,微分与积分互为逆运算;积分的分类实际上,积分还可以分为两部分;第一种,不定积分,也就是已知导数求原函数,而若Fx的导数是fx,那么Fx+CC是常数的导数也是fx,也就是说,把fx积分,不一定能得到Fx,因为Fx+C的导数也是fx,C是任意常数,所以fx积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用Fx+C代替,这就称为不定积分;这也就是说它是一组函数,而不是有限个;第二种,定积分定积分就是求函数FX在区间A,B中图线下包围的面积;即 y=0 x=a x=b y=FX所包围的面积;这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形;定积分的定义：设一元函数y=fx ,在区间a,b内有定义;将区间a,b分成n个小区间 a,x0 x0,x1x1,x2 .....xi,b ;设△xi＝xi－xi-1,取区间△xi中曲线上任意一点记做fξi,做和式：和式若记λ为这些小区间中的最长者;当λ→ 0时,若此和式的极限存在,则称这个和式是函数fx 在区间a,b上的定积分;记做：∫ _a^b fxdxa在∫下方,b在∫上方其中称a为积分下限,b为积分上限, fx 为被积函数,fxdx 为被积式,∫为积分号;之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数;微分一元微分定义：设函数y = fx在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内;如果函数的增量Δy = fx0 + Δx fx0可表示为Δy = AΔx + oΔx其中A是不依赖于Δx 的常数,而oΔx0是比Δx高阶的无穷小,那么称函数fx在点x0是可微的,且AΔx 称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx;通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx;于是函数y = fx的微分又可记作dy = f'xdx;函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数;因此,导数也叫做微商;当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由fX改变为fX+△X,如果存在一个与△X无关的常数A,使fX+△X-fX和A△X之差关于△X→０是高阶无穷小量,则称A△X是fX在X的微分,记为dy,并称fX在X可微;可导不一定可微,可微一定可导,这时A=f′X;再记A△X=dy,则dy=f′XdX;例如：dsinX=cosXdX;几何意义：设Δx是曲线y = fx上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量;当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多高阶无穷小,因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段;多元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义;运算法则：dy=f'xdxdu+v=du+dvdu-v=du-dvduv=duv+dvudu/v=duv-dvu/v^2黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分;用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间a,b上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积;实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b;黎曼积分如果函数fX在闭区间a,b上定义,而P,ζ是这个闭区间的一个带点分割,则和σf；p,ζ:=Σ fζiΔXi叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割P,ζ的积分和,其中ΔXi=Xi-Xi-1 存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间a,b的任何带点分割P,ζ,只要分化P的参数λP<δ,就有|I-σf；p,ζ|<ε,则称函数fX在闭区间a,b上黎曼可积,而I就成为函数fX在闭区间a,b上的黎曼积分;我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数;它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢微积分基本定理定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系;把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分;这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'x=fx那么∫ _a^bfx dx = Fa-Fb牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差;正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理;牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本定理,其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法;从几何上看,它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系;下面就是该公式的证明全过程：我们知道,对黎曼Riemann可积函数fx于区间a,b上的定积分表达为：b上限∫a下限fxdx现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φx= x上限∫a下限fxdx但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的;虽然这种写法是可以的,但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φx= x上限∫a下限ftdt接下来我们就来研究这个函数Φx的性质：1.定义函数Φx= x上限∫a下限ftdt,则Φx连续;当fx连续时,有Φ’x=fx;证明：让函数Φx获得增量Δx,则对应的函数增量ΔΦ=Φx+Δx-Φx=x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt,利用区间可加性,x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt=x+Δx上限∫x下限ftdt若m和M分别是fx在区间a,b上的最小值和最大值,利用定积分第一中值定理,存在m,M中的实数η,使得ΔΦ=x+Δx上限∫x下限ftdt=ηΔx;进一步,当fx连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ,使得η=fξ;于是当Δx趋向于0时,ΔΦ趋向于0,即Φx连续;若fx连续,那么当Δx趋向于0时,ξ趋向于x,fξ趋向于fx,故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=fx,从而得出Φ’x=fx;2. 若fx在a,b上连续,且Fx是fx在a,b上的一个原函数,那么b上限∫a 下限fxdx=Fb-Fa;证明：我们已证得Φ’x=fx,故Φx+C=Fx;注意到Φa=0积分区间变为a,a,故面积为0,所以Fa=C,于是有Φx=Fx-Fa,当x=b时,Φb=Fb-Fa,这就得到了牛顿-莱布尼茨公式;。
数学分析5.3参变量函数的导数
第五章导数和微分3 参变量函数的导数平面曲线C 一般的表达形式是参变量方程：α设φ, ψ在点t 0可导，且φ’(t 0)≠0. 则 =，于是tan α===. (α为切线与x 正向的夹角) 若φ’(t 0)=0，ψ’(t 0)≠0，则cot α=.若φ, ψ在[α, β]上都存在连续的导函数，且φ’2+ψ’2≠0，则C 为光滑曲线. 且切线与x 轴正方向的夹角α(t)是t 的连续函数。
若x=φ(t)具有反函数t=φ-1(x)，则有复合函数y=ψ◦φ-1(x)，且当φ, ψ可导，φ’(t 0)≠0时，有 =· = / =.例1：试求由上半椭圆的参量方程 所确定的函数y=y(x)的导数.解：y ’(x)= ==cot t.若曲线C 由极坐标ρ=ρ(θ)表示，则可转化为以极角θ为参量的参量方程： θ θ θθ θ θ ，则如上图，tan α= =θ θ =θ θ θ θθ θ θ θ=θ θ θ θ θ θ上式表示曲线ρ=ρ(θ)上的点M(ρ,θ)处的切线MT 与极轴Ox 轴的夹角的正切.切线MT 与向径OH 的夹角φ的正切为：tanφ=tan(α-θ)=αθαθ=θθθθθθθθθθθθθθ=例2：证明：对数螺线ρ=θ上所有点的切线与向径的夹角φ为常量.证：tanφ=θθ=θθθ=2，∴对数螺线上所有的点的切线与向径的夹角φ=arctan2.习题1、求下列由参量方程所确定的导数：(1)在处；(2)在处解：(1)=== -tan2t. =0；=-tan2不存在.(2)=== -2. 即在t>0的任意点处，导数皆为-2.2、设，求，.解：==. ∴=1；=0.3、设曲线方程x=1-t2，y=t-t2，求它在下列各点处的切线与法线方程：(1)t=1；(2)t=.解：===.(1)当t=1时，x=0，y=0，k==，∴切线方程为y=，法线方程为y=-2x.(2)当t=时，x=，y=，k==，∴切线方程为(y)=(x)，即y=x+；可设法线方程为y=x+b，则b==，∴法线方程为y=x+，即y=x.4、证明曲线上任一点的法线到原点距离等于a：证：====tant.∴曲线上任一点的法线方程为：y-a(sint-tcost)=-即x+ytant-atant(sint-tcost)-a(cost+tsint)=x+ytant-atantsint+atsint-acost-atsint=x+ytant-atantsint-acost=xcost+xsint-(asin2t+acos2t)=xcost+xsint-a=0∴曲线上任一点的法线到原点距离为a.5、证明：圆r=2asinθ(a>0)上任一点的切线与向径的夹角φ等于向径的极角θ。
高中数学解题方法系列：导数解参数问题的8种策略
1 2 2
1 4
1 t
1 2
,
f t f 2 3 a2 a 3 1 a 3
min
4
4
2
2
策略二：主次元变换法
案例 1、设函数 f (x) xekx (k 0)（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）
max
只需 t ≥ g (1) 即可，即 t ≥5. 即 t 的取值范围是[5，∞）.
利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体
现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。
案例
6、已知函数
f
x
lg
x
a x
2
，若对任意
x 2, 恒有
3 x2
1 x3
令
g x
3 x2
1 x3
，则
g' x
31 2x
x4
，
所以 g x
在区间
0,
1 2
上单调递增，在区间
1 2
,1
上单调递减，
因此
g x max
g
1 2
4 ，从而 a
4；
当1
x
0 时，
f
(x)
ax3
案例 3、设 a R ，若函数 y eax 3x ， x R 有大于零的极值点，则（
）
A． a 3
导数的定义及几何意义
导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f（x0）或df（x0）/dx。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
导数的几何意义：函数y=f(x) 在x=x0处的导数f′(x0)，表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
第四节 隐函数及参变量函数求法
复习
一、和差积商的求导法则
(u v) u v; (u v) uv uv;
(
u v
)
uv uv v2
(v 0);
二、复合函数的求导法则
设y f [φ( x)]由y f (u), u φ( x)复合而成, 则
2sin y y代入y
(2 cos y)2
4sin y (cos y 2)3
.
例:求下列函数的导数
(1) y ( x 1)3 (3x 1)2( x 2).
(2) y
x ( x 1)2 .
3 x2 x3
(3) y xsin x ( x 0).
一、隐函数的求导法则
根据隐函数求导法，还可以得到一个简化求导运算的
方法—— 对数求导法．
对数求导法的步骤： （1）对函数取绝对值； （2）对绝对值函数取对数； （3）利用隐函数求导法求导; （4）解出导数表达式.
对数求导法适用于 由几个因子通过乘、除、乘方、 开方所构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导.
dy dx
dy du du dx
f (u)'( x)
yu ux .
三.导数公式 十八条公式
求导方法：
（1）分析结构 四则运算、复合
（2）求导
相应法则和公式
四则运算法则
复合函数求导法则， 求导的基本公式，
例1 设y=y (x)由e x y2 xy 确定求y' .
例2
x a cos3 t,
例：圆心在原点、半径为1的上半圆周可表示为
（1）显函数形式 y 1 x2 , x [1,1]
隐函数及其参变量函数的求导方法
x (t ) 从而导函数的参数式表 示式为： ( t ) . y ( t ) ( t 0 ) dy 当t 0给定时，则 t t0 . dx ( t 0 )
平面曲线参数方程的一般形式
x ( t ), y ( t ),
t [ , ]为参数.
(t )2 (t )2 0. 这里x ( t )与y ( t )都可导，且
若 (t ) 0时, 有
dx dx d t dx 1 ( t ) d y d t d y d t d y ( t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
隐函数和参数方程求导 相关变化率
张世涛
主要内容：
一、隐函数的导数 二、由参数方程函数的导数
由方程 F( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为隐函数.
y f ( x ) 形式的函数称为显函数 .
F ( x, y) 0
例如： 例如：
y f ( x)
隐函数的显化
可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?
隐函数求导法
若 确定了隐函数 y y( x ) ，怎样求y ？ 两边对 x 求导
(含导数 y 的方程)
注意： 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数.
( ( t ) 0)
问： 能否用显式求导法求出( x
sin x
) ?
( x 1) x 1 例5 设 y , 2 x ( x 4) e
函数的定义及其导数的意义
函数的定义及其导数的意义函数是数学中一个重要的概念，用于描述两个变量之间的关系。
在数学中，函数可以理解为输入一个数值，通过特定的规则或操作，输出相应的数值。
函数的定义可以用多种方式来表示，包括显式定义、隐式定义和参数方程等。
一、函数的显式定义函数的显式定义是指通过一个数学公式或等式明确地表示函数与自变量之间的关系。
常见的显式定义形式为：y = f(x)，其中f表示函数名称，y表示因变量，x表示自变量。
通过函数的显式定义，我们可以轻松地计算给定自变量的函数值，以及函数在不同自变量取值下的变化趋势。
二、函数的隐式定义函数的隐式定义是指通过一个数学方程来描述函数与自变量之间的关系，而不直接给出函数的具体表达式。
在隐式定义中，通常会包含一个或多个未知数，并且方程中的自变量和因变量通常以相同的字母表示。
通过求解隐式方程，我们可以确定函数的具体形式，并得到函数在不同自变量取值下的对应因变量数值。
三、函数的参数方程函数的参数方程是指通过一组参数表达函数与自变量之间的关系。
在参数方程中，自变量通常用一个参数表示，而因变量则用一组参数中的一个或多个来表示。
通过设置不同的参数取值，我们可以观察函数在不同自变量取值下的表现和特性。
为了研究函数的性质和变化规律，导数的概念应运而生。
导数可以看作是函数的局部变化率，表示函数在某一点上的斜率或切线的斜率。
导数的意义在于提供了描述函数变化速率和变化方向的工具。
导数的计算可以通过函数的定义式进行，其中常见的计算方法包括基本求导法则、链式法则、导数的四则运算、隐函数求导等。
通过求导可以得到函数在某一点的导数值，从而揭示了函数在该点附近的变化趋势。
导数还可以帮助我们找到函数的极值和拐点等重要特性。
导数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，导数可以描述物体的速度和加速度；在经济学中，导数可以分析收益曲线和成本曲线的变化；在工程学中，导数可以用于优化问题的求解等。
总之，函数的定义及其导数的意义在数学和实际应用中具有重要的地位。
导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。
若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。
注意：①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。
函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量可以是正数，也可以是负数；②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P(x0，y)及其附近一点Q(x+△x,y+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y+△y)沿曲线无限接近于点P(x，y)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即：。
(2)导数的几何意义：函数在点x的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。
参数变量函数的导数
即d d22 yx(t)( t) 3( t)(t)(t).
例1 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切
方程.
dy
解 dy dt asint sint dx dx aacost 1 cost
dt
sin
1 2
gt
2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
y
解 (1) 在t0时刻的运动方向即 v 0
vy
v vx
轨迹在t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
dy (v0t
sin1gt2) 2
dx (v0tcos)
v0
sin gt v0 cos
§ 3参数变量函数的导数
一、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
yt2 (x)2 x 2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1)
2
即yxa(2)
2
例7 不计空气的阻力, 以初速度v0, 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos,
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§3 参数变量函数的导数
(一) 教学目的：掌握参变量函数的导数的求导法则． (二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法则．
(三) 基本要求：熟练掌握参变量函数的导数的求导法则．
(四) 教学建议：通过足量习题使学生掌握参变量函数的导数的求导法则
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平面曲线C 一般的可表示为参变量方程形式：
),(,
)( ),(βαψϕ∈==t t y t x
设 0t t = 对应曲线上的P 点，如果P 点由切线，那么切线斜率也可由割线斜率去极限得到
割线 PQ 的斜率为
)
()()()(0000t t t t t t x
y ϕϕψψ-∆+-∆+=
∆∆
取极限得切线斜率
)
()()
()(lim )
()(lim lim
00000
000
t t t t t t t t x
y tg t t x ϕψϕϕψψα''=
-∆+-∆+=
∆∆=→∆→∆→∆
于是得到下面结论
结论：设函数 )( ),(t y t x ψϕ==可导且 0)(≠'t ϕ，则 .)
()(t t dx
dy ϕψ''=
证 （ 法一 ） 用定义证明.
（法二 ） 由 ,0)(⇒≠'t ϕ恒有0)(>'t ϕ或 .0)(<'t ϕ)( t ϕ⇒ 严格单调. (这些事实的证明将在下一章给出.) 因此, )(t ϕ有反函数, 设反函数为 x t (1
-=ϕ
), 有
(
)
,)()(1
x t y -==ϕ
ψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有
.(t)(t)ψdt
dx dt dy
dx
dt dt
dy dx
dy ϕ''==
⋅= 例1 .sin ,cos t b y t a x == 求
.dx
dy
解
t a
b aost t b dt
dx dt
dy dx
dy cot )()}sin (-='
'==
若曲线C 由极坐标 )(θρρ= 表示，则可转化为一极角θ 为参数的参量方程
⎩⎨
⎧====θ
θρθρθ
θρθρsin )(sin cos )(cos y x θ
θρθρθρθθρθ
θρθθρθθρθθρθθρθθρtan )()()(tan )(sin )(cos )(cos )(sin )()cos )(()sin )((-'+'=
-'+'=
'
'=
dx
dy （3）
（3）式表示在曲线 )(θρρ=上的点),(θρM 处切线MT 与极轴OX 轴的夹角的正切，如图所示。
过点M 的射线OH 与切线MT 的交角ϕ
θ
αθα
θαϕtan tan 1tan tan )tan(tan +-=
-= （4）
将（3）代入（4）得向径与切线夹角的正切
)
()(tan θρθρϕ'=
(5)
例2 证明：对数螺线 2
/θρe
= 上所有点的切线与向径的夹角ϕ为一常量
证明 由（5），对每一个θ 都有
22
1)
()(tan 2
/2
/==
'=
θθθρθρϕe
e 即在对数螺线上任意一点的切线 与向径的夹角等于 2arctg。