参数变量函数的导数

§3 参数变量函数的导数

(一) 教学目的：掌握参变量函数的导数的求导法则． (二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法则．

(三) 基本要求：熟练掌握参变量函数的导数的求导法则．

(四) 教学建议：通过足量习题使学生掌握参变量函数的导数的求导法则

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平面曲线C 一般的可表示为参变量方程形式：

),(,

)( ),(βαψϕ∈==t t y t x

设 0t t = 对应曲线上的P 点，如果P 点由切线，那么切线斜率也可由割线斜率去极限得到

割线 PQ 的斜率为

)

()()()(0000t t t t t t x

y ϕϕψψ-∆+-∆+=

∆∆

取极限得切线斜率

)

()()

()(lim )

()(lim lim

00000

000

t t t t t t t t x

y tg t t x ϕψϕϕψψα''=

-∆+-∆+=

∆∆=→∆→∆→∆

于是得到下面结论

结论：设函数 )( ),(t y t x ψϕ==可导且 0)(≠'t ϕ，则 .)

()(t t dx

dy ϕψ''=

证 （ 法一 ） 用定义证明.

（法二 ） 由 ,0)(⇒≠'t ϕ恒有0)(>'t ϕ或 .0)(<'t ϕ)( t ϕ⇒ 严格单调. (这些事实的证明将在下一章给出.) 因此, )(t ϕ有反函数, 设反函数为 x t (1

-=ϕ

), 有

(

)

,)()(1

x t y -==ϕ

ψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有

.(t)(t)ψdt

dx dt dy

dx

dt dt

dy dx

dy ϕ''==

⋅= 例1 .sin ,cos t b y t a x == 求

.dx

dy

解

t a

b aost t b dt

dx dt

dy dx

dy cot )()}sin (-='

'==

若曲线C 由极坐标 )(θρρ= 表示，则可转化为一极角θ 为参数的参量方程

⎩⎨

⎧====θ

θρθρθ

θρθρsin )(sin cos )(cos y x θ

θρθρθρθθρθ

θρθθρθθρθθρθθρθθρtan )()()(tan )(sin )(cos )(cos )(sin )()cos )(()sin )((-'+'=

-'+'=

'

'=

dx

dy （3）

（3）式表示在曲线 )(θρρ=上的点),(θρM 处切线MT 与极轴OX 轴的夹角的正切，如图所示。

过点M 的射线OH 与切线MT 的交角ϕ

θ

αθα

θαϕtan tan 1tan tan )tan(tan +-=

-= （4）

将（3）代入（4）得向径与切线夹角的正切

)

()(tan θρθρϕ'=

(5)

例2 证明：对数螺线 2

/θρe

= 上所有点的切线与向径的夹角ϕ为一常量

证明 由（5），对每一个θ 都有

22

1)

()(tan 2

/2

/==

'=

θθθρθρϕe

e 即在对数螺线上任意一点的切线 与向径的夹角等于 2arctg