塑性力学基本概念

率为E ；第二条直线 AC代表强化性质 ，其 b 斜率为Et。
s,
E
s
s,
s s
E
Et
刚性线性强化模型
O
问题：卸载BE线怎样描述？
B A
E
p e
C
3、幂指数硬化模型：
将硬化阶段的曲线简化为一条幂指数曲线，
s,
E
s , k n
k和n是材料常数，可 通过拟合试验曲线得 到。
• 弹性变形 e 恢复， 塑形变形 p 保留
b
C
B
s A’ p A
E
O
p e
f
F
e p
• 从B点卸载到E点
后，再重新加拉应 力（称为正向加
b
载），这时应力应
C B
变按卸载曲线BE 变化。
s A’ p A
• 当应力达到卸载前
的B点应力，材料
E
才最新进入屈服。 O
p e
f
F
• 从B点卸载到E点
f
F
统称屈服应力表示为。
• 应力超过A’后，材
料从弹性状态进入
塑形状态。
b
C
随应力的增加，变形
B
不断增加。应变硬 化。
s A’ p A
在硬化阶段，切线
斜率（硬化率）不
E
断减小，直至峰值
O
应力 b ，
p e
f
F
• 在应变进入硬化阶 段后，如减小应力 （如在B点），应力 与应变将不会沿路 径BAO返回到O点， 而是沿BE路径回到 零应力。
2）研究物体在不可避免地产生某些塑性变形后，对 承载能力和（或）抵抗变形能力的影响。
3）研究如何利用材料的塑性性质以达到加工成形的 目的。
举例说明. 图示桁架截面设计问题.(超静定问题)
条件是各杆取相同截面, 屈服
应力为
, 桁架的
工作荷载为100kN, 安全系数
取3, 试确定杆的截面积A.
弹性设计思想为当P=100×3=300kN
• 一、塑形变形行为基本假设
• 1）材料的塑形行为与时间、温度无关；
• 2) 材料具有足够的延性，即材料可进行足够大 地变形而不出现断裂；
• 3）变形前材料是各向同性的，且拉伸和压缩的 应力-应变曲线一致；
• 4）卸载时材料服从弹性规律，重新加载后屈服 应力等于卸载前的应力，重新加载后应力-应变 曲线是卸载前的应力-应变曲线的延长线；
• 这种硬化特征称为 随动硬化。
s
B
A’
s
A
s
O’
2s
Eb O
s
• 设变形中总的弹性变形范围大小不变：
s
s
2 s
• 相当于应力-应变曲线的原点随硬化过程
移动到了新的位置O’。
• O’对应的应力称为背应力。用b表示
• 随动硬化模型对应的屈服条件为：
b s 0
• 等向硬化中的硬化函数k和随动硬化中的 背应力b，可由单轴拉伸（压缩）实验得 到的应力-应变曲线确定。
s A’ p A
力称为比列极
限 p 。在此阶段
卸载，变形沿OA
E O
线返回。
p e
f
F
• 应力在A~A’之间，
应力与应变关系不
b
C
再为线性关系。变
B
形仍为弹性。
• 若卸载，变形仍按
s A’ p A
照原来的应力-应变
关系曲线返回初始
状态。
E
O
由于一般材料的比例极
p e
限、弹性极限和屈服应 力相差不大，不加区别，
Ep
d d p
d k ( p ) d p
E p ( p )
• 加载过程中背应力的增量为
db Ep d p
• 积分即可确定背应力
• 也可以由应力-应变函数直接确定硬化函 数和背应力
e p p
E
( ) ( p )
E
两边取微分 d d d d p
d E
令Et
d
d
曲线
注意：对铸铁、岩石等脆性材料，土壤多空材料， 静水压力对屈服应力和塑形变形有明显影响。
• 影响材料性质的其它几个因素：
1. 温度。当温度上升，材料屈服应力降低、塑性变形 能力提高。高温下，会有蠕变、应力松弛现象。
2. 应变速率。如果在实验时加载速度提高几个数量级， 则屈服应力会相应地提高，塑性变形能力会降低。一 般加载速度不考虑这个因素。高速撞击载荷或爆炸载 荷需要考虑。
conditional yield limit
条件屈服极限
upper
0.5
yield point
lower yield point
0.5
金属材料单轴加载时的应力与应变特征：
b
C
B
s A’ p A
E
p e
f F
（1）加载开始后，
当应力小于A点的 应力值时，应力与
b
C
应变呈线性关系。
B
材料处于线弹性变 形阶段。A点的应
• 塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研究时仍采 用连续介质力学的假定和基本方法。其基本方程有1） 平衡方程，2）几何方程，3）本构方程。连续介质力 学各分支的区别在第三类方程，这是塑性力学研究的 重点之一。
• 塑性本构方程的建立是以材料的宏观实验为依据的。 这是本教材研究的重点。微观机理出发来研究塑性变 形有待于进一步发展和完善。
• 即新的屈服条件（后续屈服条件）：
( s )new max history
max history max history
加载状态 卸载状态
塑性变形 p（内变量）增加，max history 增大
结论：maxhistory 是内变量 p的单增函数
maxhistory k( p )
函数k( p )是单调增长的函数， k( p )称为硬化函数
与加载历史有关的屈服函数(加载函数）:
f ( , p ) k ( p ) 0
f ( , p ) 0 f ( , p ) 0
屈服状态 卸载状态
• 4、硬化规律
• 卸载后应力由拉伸变为压缩，称为反向 加载。
• 当反向加载应力达到一定值后会发生反 向屈服，其反向屈服应力会比正向屈服 应力小，该现象称为包辛格效应
塑性变形－指物体在除去外力后所残留下来的永 久变形，习惯上按破坏时的变形大小分为塑性和脆性， 如果材料的延性好，进入延性仍能承受荷载。 塑性力学来研究这类问题。
粘性变形随时间而改变，例如蠕变、应力松弛等， 这里不研究。
• 学习塑性力学的目的。
1）研究在哪些条件下可以允许结构中某些部位的应 力超过弹性极限的范围，以充分发挥材料的强度潜力。
• 2、加、卸载判别准则
（1）拉伸条件下： 0
•
给定应力增量 d
加载 卸载
（2）压缩条件下： 0
•
给定应力增量d
加载 卸载
f ( ) 0
d 0
d 0
f ( ) 0
d 0
d 0
• 加卸载准则：加载
卸载
f d 0 f d 0
• 3、加载历史
• 以任意不同的应力路径在经历塑性变形后，最终达到 相同的应力状态，由此产生的应变将不同。
B
s A’
*
A
E
O
*
应力路径：
B
O A B E B' H
累积塑性变形量
s
*
OH OE HE dεp
A
将累积塑性变形量作为内变量
屈服条件（加载条件）
HE
O
k( dεp ) 0
*
k函数称为硬化函数，初值：
k(0) s
B‘
• (2)随动硬化模型：
• 对一些材料有包辛 格效应的材料，应 变硬化提高了材料 的拉伸屈服应力， 在反向加载（压缩） 时，压缩屈服应力 降低。
• 即应力-应变关系具有非单值性，与加载历史（加载路 径）有关。
• 总应变可分为弹性应变与塑性应变之和。
e p
e 弹性应变分量，与加载历史无关，只与应
力状态有关。
塑性变形分量 p 反映了加载历史。 通常将刻画加载历史的量称为内变量。即 p
• 由于应变硬化，材料屈服强度提高，新 的屈服极限是：进入初始屈服后历史上 应力曾经达到的最大值。
塑性力学
第六章 塑形力学的基本概念
6.1绪论
什么是塑性力学？
•塑性力学是相对于弹性力学而言。
•在弹性力学中，物质微元的应力和应变之间具有单一 的对应关系。然而，材料在一定的外界环境和加载条 件下，其变形往往会具有非弹性性质，即应力和应变 之间不具有单一的对应关系。
非弹性变形包括塑性变形和粘性变形：
k和n不是独立的
s k ( s / E)n
b B
s A’ p A
E O
p e
C
§6.4 几个重要概念
●上述几种简化模型是针对单调加载情况而言，采 用的是全量应力与全量应变表述。
当涉及到卸载和反向加载时，根据单轴试验 结果和塑形变形特点，建立本构模型时还应考 虑加载、卸载的判别和加载历史的影响，这时 采用增量描述更方便。
完整的增量本构模型必须包括以下几个重要 概念。
• 1、屈服条件
• 根据实验可以确定材料屈服强度 s，无论是单轴 拉伸还是单轴压缩，当应力的绝对值 小于 s 时，材料处于弹性状态，当 达到 s 时，材料
进入屈服。
屈服条件 ＝s
或 f ( ) s 0 f ( )称为屈服函数， 弹性阶段 f ( ) 0， 屈服阶段 f ( ) 0
•怎样描述反向加载时的屈服条件？？？
• 首先建立反向硬化模型： • (1)等向硬化模型： • (2)随动硬化模型：
• (1)等向硬化模型：
• 有一些材料没有包 辛格效应，应变硬 化提高了材料的拉 伸屈服应力，在反 向加载（压缩）时， 屈服应力也得到同 样程度的提高。
• 这种硬化特征称为 等向硬化。
§6.3 单轴应力-应变关系的简化模型
• 由试验得到的应力应变曲线，为进行力学分析， 通常需要将应力应变曲线用数学表达式描述， 即给出应力和应变的函数关系式。
• 方法： • （1）直接对实验曲线进行数学拟合得到。
直接拟合的表达式较复杂，不便于实际工程 弹塑性问题的计算。
• （2）根据实验曲线特点，进行适当的简化， 得到能反映曲线特性又便于数学计算的简化模 型。
• 设应力-应变曲线方程为
( )
( )
s A
O
对于
曲线上的应力超过
的每一点，从对应的
s
应变中减去弹性应变 e / E,得到对应的塑性应
变 p，得到 p的关系曲线 k( p )
函数k ( p )即为硬化函数
k ( p )
s
O
p
定义 p的关系曲线切线的斜率 为塑性模量。
首先建立有关的物理概念，为以后的学习打下基 础。
6.2 材料实验结果
一、单轴拉伸实验 • 材料塑形变形性质通过试验研究获得。 • 最简单实验是室温单轴拉压实验： •材料：金属多晶体材料 •试件如图 •名义应力和名义应变定义为
P / A0 l l0 / l0
A0
l0
－－材料的单轴拉伸实验曲线有如图所示两种形态。
b
后，如加压应力
（称为反向加
C B
载），应力应变 沿EF曲线变化，
s A’ p A
材料在F点屈服。
通常F点对应的屈
E
服应力明显低于
O
比B点对应的应
p e
力值。（称为包 辛格效应）
f
F
• 塑形变形特点：
• （1）加载过程中，应力与应变关系一般是非线 性的。
• （2）应力-应变之间不是一一对应的单值关系。 发生塑形变形后，应变不仅取决于应力状态， 而且与到达该应力状态所经历的历史有关。即 与变形历史有关。
E
s,
s ,
d 0卸载,
E
d 0,
E
式中为一个任意值。
d 0
d 0 d 0
理想刚塑形模型？？？
2、线性硬化模型：硬化阶段曲线为线性
将硬化阶段的曲线简化为一条直线，即连续的应力-应 变关系曲线OAA’C简化为两条直线组成的折线OAC。
第一条直线OA代表线
弹性变形性质，其斜
时各杆要处在弹性状态.
根据结构力学理论可以解得P1=2P2=175.7kN, 因为杆1的力比 杆2的力大, 所以杆1先屈服, 这样杆的设计面积为
如果采用塑性极限设计思想, 允许杆1屈服, 此时杆2处于弹性
极限, 材料为理想弹塑性, 所以有P1=P2
衡条件得到
, 这样
, 那么根据节点平
可见, 采用塑性极限设计可以节省材料30%.
• 5）任何状态下的总应变可分解为弹性和塑形两 部分，且材料的弹性性质不因塑形变形而改变；
• 6）塑形变形时，体积不变（不可压缩），静水 压力只产生体积的弹性应变，不产生塑形应变；
二、简化模型
1、理想弹塑性模型：无应变硬化效应
低碳钢（有屈服平台），低硬化率材料，可用理想弹 塑形模型
s , d 0加载,
• 外力在塑形变形所做的功即塑形功具有不可逆 性。
二、静水压力试验
对金属材料在静水压力（各向均匀等压）作 用下的体积改变进行的试验研究结果： （1）体积变形是弹性的。弹性体积变形很小，当 发生较大塑形变形时，可忽略弹性体积变化， 即认为在塑形阶段，材料是不可压缩的
（2）金属材料的屈服和塑形变形与静水应力无关。
( )切线的斜率
d
Et
d
E
d
p
整理上式得
d d p
EEt E Et
Ep
EEt E Et
对上式积分得硬化函数 k ( p )
0
p
E pd
p
背应力b
0
p
E pd
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p
5. 轴向拉伸时的塑性失稳
•什么是拉伸失稳？ 由图2看，C点前增加应变应力必 须增加，称材料是稳定的。C点后增加应变应力反而 下降，试件明显颈缩，称试件是不稳定的，即所谓拉 伸失稳。