自动控制原理 控制系统的结构图
合集下载
自动控制原理方框图
[注意]：
相临的信号相加点位置可以互换；见下例
X1(s)
X2(s)
X3(s)
Y (s)
X1(s)
X3(s)
X 2 (s)
Y (s)
同一信号的分支点位置可以互换：见下例
X1(s)
X (s) G(s) Y (s)
X 2 (s)
X (s) G(s) Y (s)
X 2 (s)
X1(s)
相加点和分支点在一般情况下，不能互换。
§2-３ 控制系统的结构图与信号流图
一、结构图的组成和绘制
１、结构图的组成 由四种基本图形符号组成
（1）函数方块
R(s) r(t) G(s)
C(s) c(t)
(2)信号线
R(s) r(t)
(3)分支点(引出点)
R(s) r(t)
R(s) r(t) R(s) r(t)
（4)综合点(比较点或相加点)
R(s)
R
R1Cs
2I
2
(s)
UI (cs)(s)
R2
R1
Uc (s)
U c (s)
I1 (s)
Uc (s)
几点说明：
（1）在结构图中，每一个方框中的传递函数都应是考虑了负 载效应后的传递函数。
（2）描述一个系统的结构图不是唯一的，选择不同的中间变 量得到不同的结构图；
（3）结构图中的方框与实际系统的元部件并非一定是一一对 应的；
X1(s) G(s) X2(s) N(s)
Y (s)
N(s) ? Y (s) [X1(s) X 2 (s)]G(s), 又 : Y (s) X (s)1G(s) X 2 (s)N(s), N(s) G(s)
把相加点从环节的输出端移到输入端：
自动控制原理
直流电动机速度自动控制的原理结构 图如图1-1所示。图中，电位器电压为输 入信号。测速发电机是电动机转速的测量 元件。图1-1中，代表电动机转速变化的 测速发电机电压送到输入端与电位器电压 进行比较，两者的差值（又称偏差信号） 控制功率放大器（控制器），控制器的输 出控制电动机的转速，这就形成了电动机 转速自动控制系统。
(三)、大系统控制理论阶段 20世纪70年代开始，出现了一些新的控制 方法和理论。如（1）现代频域方法，该方法 以传递函数矩阵为数学模型，研究线性定常多 变量系统；（2）自适应控制理论和方法，该 方法以系统辨识和参数估计为基础，处理被控 对象不确定和缓时变，在实时辨识基础上在线 确定最优控制规律；（3）鲁棒控制方法，该 方法在保证系统稳定性和其它性能基础上，设 计不变的鲁棒控制器，以处理数学模型的不确 定性；
• 3．复合控制系统 复合控制是闭环控制和开环控制相结合的一 种方式。它是在闭环控制等基础上增加一个干 扰信号的补偿控制，以提高控制系统的抗干扰 能力。
图1-5 复合控制系统框图
• 增加干扰信号的补偿控制作用，可以在干扰对被控量 产生不利影响所同时及时提供控制作用以抵消此不利 影响。纯闭环控制则要等待该不利影响反映到被控信 号之后才引起控制作用，对干扰的反应较慢。两者的 结合既能得到高精度控制，又能提高抗干扰能力。
• 2．闭环控制系统 系统输出信号与输入端之间存在反馈回路的系统， 叫闭环控制系统。闭环控制系统也叫反馈控制系统。 “闭环”这个术语的含义，就是应用反馈作用来减小 系统误差如图1-4所示。
手
图纸
微型 计算机
放大器
执行机构
工作机 床
位移
切削刀 具
反馈测量元件
图1-4 微型计算机控制机床（闭环系统）
自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
西工大、西交大自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型_2
5 比较点的移动 比较点的前移：
Rs
Cs
Rs
Cs
Gs
Gs
Qs
1 Qs
Gs
若要将比较点由方框后移至方框的前面，为保持信号 的等效，要在移动后的信号线上加入一个比较点所越 过的方框的倒数。
5 比较点的移动 比较点的后移：
Rs
Cs Gs
Rs Gs
Cs
Qs
Qs
G(s)
若要将比较点由方框前移至方框的后面，为保持信号的 等效，要在移动后的信号线上加入一个比较点所越过的 方框。
2-3 控制系统的结构图与信号流图
控制系统的结构图概述
控制系统的结构图(block diagram)是描述系统各元部 件之间信号传递关系的数学图形，表示了系统中各变量 间的因果关系以及对各变量所进行的运算。通过对系统 结构图进行等效变换（equivalent transform）后，可 求出系统的传递函数。
G1(s)
-1 H(s)
R(s)=0
f
(s)
C(s) F(s)
G2 ( s) 1 G2 (s)H (s)(1)G1(s)
G2 ( s) 1 G2 (s)G1(s)H (s)
G2(s) G2(s) 1 G(s)H(s) 1 Gk (s)
单位反馈系统H(s)=1,有
f
(s)
C(s) F(s)
若令：G(s) G1(s)G2(s) 为前向通路传递函数，
则：
B(s)
Gk (s) (s) G(s)H(s)
可见：系统开环传递函数Gk(s)等于前向通路传递函 数G(s)=G1(s)G2(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积。
R(S) ε(s) G1(s)
F(s)
自动控制原理控制系统的结构图
比较点后移
R(s)
G(s)
比较点前移
＋
Q(s)
C(s)
R(s)
＋
C(s) G(s)
比较点后移
Q(s)
R(s)
＋
C(s) G(s)
Q(s)
C(s) R(s)G(s) Q(s)
[R(s) Q(s) ]G(s) G(s)
R(s)
C(s) G(s)
＋
Q(s)
G(s)
C(s) [R(s) Q(s)]G(s)
R(s)G(s) Q(s)G(1s6 )
（5）引出点旳移动（前移、后移）
引出点前移
R(s)
G(s)
分支点（引出点）前移
C(s) C(s)
引出点后移
R(s)
G(s)
R(s)
分支点（引出点）后移
R(s)
G(s)
C(s)
G(s)
C(s)
C(s) R(s)G(s)
G(s) R(s)
C(s) R(s)
将 C(s) E(s)G(s) 代入上式，消去G(s)即得：
E(s) R(s)
1
H
1 (s)G(s)
1
1 开环传递函数
31
N(s)
+ E(s)
++
C(s)
R(s)
G1(s)
G2 (s)
-
B(s)
H(s)
（1）
打开反馈
C(s) R(s)
1
G(s) H (s)G(s)
前向通路传递函数 1 开环传递函数
注意：进行相加减旳量，必须具有相同旳量纲。
X1 +
+
X1+X2 R1(s)
自动控制原理第二章3
Uc(s)
第三节控制系统的结构图和信号流图
N(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
+ _
H(s) 典型反馈控制系统方框图 1）信号线：带单向箭头，表示信号流向 信号线：带单向箭头， 2）引出点：信号从引出点分开，大小和性质相同 引出点：信号从引出点分开， 3）比较点：两个或两个以上的信号相加减 比较点： 4）方框：对信号进行数学变换，方框中写入环节的传递函数 方框：对信号进行数学变换，
R1 C2S 1 C(S) 1 1 R2 +R1C R2 +1)C2S C2S2S
R(s)
_
1 R1C1S+1 R1C2S
1 R2C2S+1
C(s)
第三节控制系统的结构图和信号流图
三、控制系统的信号流图： 控制系统的信号流图：
1、定义 、 一组线性代数方程式变量间传递关系的图形表示， 一组线性代数方程式变量间传递关系的图形表示，由节 支路和支路增益组成。 点、支路和支路增益组成。 y1 典型的信号流图 x1 1 x2 a e a y2=ay1 d x3 b f x4 c x5 g 1 x6 y2
第三节控制系统的结构图和信号流图
绘制动态结构图的一般步骤为: 绘制动态结构图的一般步骤为 （1）确定系统中各元件或环节的传递函数。 ）确定系统中各元件或环节的传递函数。 （2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 ）绘出各环节的方框， 递函数、输入量和输出量。 递函数、输入量和输出量。 （3）根据信号在系统中的流向，依次将各 ）根据信号在系统中的流向， 方框连接起来。 方框连接起来。
p1 = abc
L1与L3
p2 = d
L3 = g L2与L3
L1 = ae
L2 = bf
第三节控制系统的结构图和信号流图
N(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
+ _
H(s) 典型反馈控制系统方框图 1）信号线：带单向箭头，表示信号流向 信号线：带单向箭头， 2）引出点：信号从引出点分开，大小和性质相同 引出点：信号从引出点分开， 3）比较点：两个或两个以上的信号相加减 比较点： 4）方框：对信号进行数学变换，方框中写入环节的传递函数 方框：对信号进行数学变换，
R1 C2S 1 C(S) 1 1 R2 +R1C R2 +1)C2S C2S2S
R(s)
_
1 R1C1S+1 R1C2S
1 R2C2S+1
C(s)
第三节控制系统的结构图和信号流图
三、控制系统的信号流图： 控制系统的信号流图：
1、定义 、 一组线性代数方程式变量间传递关系的图形表示， 一组线性代数方程式变量间传递关系的图形表示，由节 支路和支路增益组成。 点、支路和支路增益组成。 y1 典型的信号流图 x1 1 x2 a e a y2=ay1 d x3 b f x4 c x5 g 1 x6 y2
第三节控制系统的结构图和信号流图
绘制动态结构图的一般步骤为: 绘制动态结构图的一般步骤为 （1）确定系统中各元件或环节的传递函数。 ）确定系统中各元件或环节的传递函数。 （2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 ）绘出各环节的方框， 递函数、输入量和输出量。 递函数、输入量和输出量。 （3）根据信号在系统中的流向，依次将各 ）根据信号在系统中的流向， 方框连接起来。 方框连接起来。
p1 = abc
L1与L3
p2 = d
L3 = g L2与L3
L1 = ae
L2 = bf
自动控制原理第二章方框图
R1C2s
(R1C1s 1)(R2C2s 1) R1C2s
(R1C1s 1)(R2C2s 1)
解法二：
ui (s)
-
1 I1(s) - 1 u(s)
R1
I (s) C1s
-
1
1 uo (s)
R2 I2(s) C2s
ui (s) 1
R1
ui (s) 1
R1
-
1
-
C1s
1 R1
-
1
-
C1s
1 R1
1
自动控制原理第二章方框图自动控制方框图闭环控制系统方框图串级控制系统方框图前馈控制系统方框图控制系统方框图单回路控制系统方框图过程控制系统的方框图自动调节系统方框图控制方框图
传递函数的表达形式
有理分式形式：G(s)
b0 s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
bm1s an1s
bm an
H3
相加点移动 G3 G1
G3 G1
向同无类用移功动
G2
错！
G2
H1
G(s) G1G2 G2G3 1 G1G2 H1
G2
G1 H1
总的结构图如下：
ui (s)
-
1 I1(s) - 1 u(s)
R1
I (s) C1s
-
1
1 uo (s)
R2 I2(s) C2s
ui (s)
-
C2s
1 I1(s) - 1 u(s)
X 2 (s)
X (s) G(s) Y (s)
X 2 (s)
X1(s)
相加点和分支点在一般情况下，不能互换。
X 3 (s)
X (s)
自动控制原理
dt
dt
原式拉氏变换后得： s 2 C(s) 2sC(s) 2C(s) 1
c(t) r(t) 1 1 C( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 )2 1
c(t ) e sin t
t
0
t
R1
I1(s)
U1(s)
R2
I2(s)
Ur ( s )
sc1
1 C 1
C(s)=
R(s)[ G3G2 (1-G1H1) +G1G2 ] + G2 （1-G1H1）N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 - G1H1G2 H2
G3(s) R(s) R(s) R(s) R(s)
梅逊公式求E(s)
D(s) D(s) D(s)
G2(s) C(s) C(s) C(s)
H3(s)
H 3(s) H (s) H (s) 3 3
C(s)
R(s)
G2 H3 E(S) P1= – P =1 1 H1(s)
1= 1 H △△ =1+G 1 2 H 2 2(s)
E(s)=
第四节 动态结构图
二、 动态结构图的等效变换与化简
系统的动态结构图直观地反映了系统 内部各变量之间的动态关系。将复杂的动 态结构图进行化简可求出传递函数。
1．动态结构图的等效变换
等效变换：被变换部分的输入量和输出量
之间的数学关系，在变换前后 保持不变。
Ur(s)
R1
1
sc1
1
1
1 R2
sc2
1
Uc(s)
第四节 动态结构图
例 求系统传递函数。 解: R(S) R(S) R(S) _ R(S) (1) 用梅逊公式 _ _ _ P4 L= –– GG )s G ) 2 (s ) 1= 1(s 1(
dt
原式拉氏变换后得： s 2 C(s) 2sC(s) 2C(s) 1
c(t) r(t) 1 1 C( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 )2 1
c(t ) e sin t
t
0
t
R1
I1(s)
U1(s)
R2
I2(s)
Ur ( s )
sc1
1 C 1
C(s)=
R(s)[ G3G2 (1-G1H1) +G1G2 ] + G2 （1-G1H1）N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 - G1H1G2 H2
G3(s) R(s) R(s) R(s) R(s)
梅逊公式求E(s)
D(s) D(s) D(s)
G2(s) C(s) C(s) C(s)
H3(s)
H 3(s) H (s) H (s) 3 3
C(s)
R(s)
G2 H3 E(S) P1= – P =1 1 H1(s)
1= 1 H △△ =1+G 1 2 H 2 2(s)
E(s)=
第四节 动态结构图
二、 动态结构图的等效变换与化简
系统的动态结构图直观地反映了系统 内部各变量之间的动态关系。将复杂的动 态结构图进行化简可求出传递函数。
1．动态结构图的等效变换
等效变换：被变换部分的输入量和输出量
之间的数学关系，在变换前后 保持不变。
Ur(s)
R1
1
sc1
1
1
1 R2
sc2
1
Uc(s)
第四节 动态结构图
例 求系统传递函数。 解: R(S) R(S) R(S) _ R(S) (1) 用梅逊公式 _ _ _ P4 L= –– GG )s G ) 2 (s ) 1= 1(s 1(
自动控制原理胡寿松第六版
系统结构图：由四个基本单元组成。
(t)
(s)
信号线：带有箭头的线段，箭头方向表示
信号的流向，线段旁边标注信号相应的变
量名。
引出点（或测量点）：信号线中的一个点，表示一个
信号在这地方分成若干路，流向不同的地方，每一路
(s)
的信号完全相同。通常这种情况出现在信号测量处，
所以也称为测量点。
各环节的信号传递关系如下：
比较电路：U1(s) Ui (s) U校 (s) 其中：Ui 衰减器输出，U校 校正电路输出。
双T滤波电路：属无源网络。
UT (s) U1 ( s)
T02 s 2
1 3T0
s
1
其中：UT 滤波器输出。
调制器与交流放大： U~ (s) K~ UT (s) T合点，经过加 （减）运算，形成一个新的信号。流入信号增加使流 ui (t)
e(t )
出信号增加，在线段旁注“+”；流入信号增加使流出 信号减小，在线段旁注“—” 。通常将“+”符号省略。
u f (t)
方框（或环节）：方框表示系统中的环节（可 以是一个元、部件，子系统，但不是必须）。 方框中填入该环节的传递函数。一个方框的输 入输出与传递函数间满足C(s) G(s)U (s) 。
内回路反馈电压： Ut (s) Kt sm (s)
其中K：t 测速电机转换系数， 分压系数。
齿轮系：s (s) m (s) / i ；绳轮：L(s) r(s)
测量电路：U p (s) K1L(s) 微分校正电路：参见例2-13。
U校 (s) s 1
U p (s) Ts 1
u (t )
c(t)
自动控制原理控制系统的结构图
I1(s)
I2 (s)
CR1s
7
i2
C
i
i1 R1
ui
R2
uo
（3）
I(s) I1(s) I2 (s)
I2 (s)
I (s)
I1(s)
（4）U o (s) R2 I (s)
I (s)
Uo (s)
R2
8
（1）Ui (s)
（3）
- Uo(s)
I2 (s)
（2）
1
I1(s)
I1(s)
I2 (s)
－ Uo (s)
（d）
将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该 一阶RC网络的方框图。
11
2.3.3 系统结构图的等效变换和简化
为了由系统的方框图方便地写出它的闭环传递函 数，通常需要对方框图进行等效变换。
方框图的等效变换必须遵守一个原则，即： 变换前后各变量之间的传递函数保持不变
在控制系统中，任何复杂系统的方框图都主要由 串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。
u
o
idt c
对其进行拉氏变换得：
I (s)
U
o
(s)
U
i (s)
I (s) sC
U R
o
(s)
(1) (2)
10
I (s)
U
o
(s)
U
i (s)
I (s) sC
U R
o
(s)
(1) (2)
Ui (s)
I(s)
（b）
Uo (s)
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
Uo (s)
自动控制原理02结构图及其等效变换
e)
R( s )
G 1 G 2 G3G 4 C (s) 1 G 1 G 2 G3G 4 G 2 G3 H 1 G3G 4 H 2
f)
2.3 控制系统的结构图及等效变换
2.3.4 系统传递函数
典型闭环控制系统
N (s)
R( s )
E ( s)
G1 (s)
结构图。
2.3.2 结构图的建立
例2-7 RLC电路网络的结构图
解： U (s) U (s) U (s) U (s) i R L 0
U R ( s) RI ( s)
U L ( s) LsI ( s)
{
I ( s)
U i ( s) U 0 ( s ) U R ( s ) U L ( s )
C 传输到 ( s)
单位反馈： H ( s) 1 开环传递函数：
G( s) H ( s)
2.3.3 结构图的等效变换和简化
（4）比较点的移动
R1 (s)
G(s)
R2 ( s )
a)
C (s)
R2 ( s )
R1 (s)
G(s)
C (s)
1/ G(s)
b)
R1 (s)
R2 ( s )
a)
G(s)
C (s) G(s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s )
2.3.3 结构图的等效变换和简化
反馈连接中的术语：
R( s)
E (s)
G (s)
H (s)
C (s)
B( s)
前向通道：信号从 R( 传输到 s) 反馈通道：信号从
的通道 C ( s) 的通道 R( s )
R(s)
R( s )
G 1 G 2 G3G 4 C (s) 1 G 1 G 2 G3G 4 G 2 G3 H 1 G3G 4 H 2
f)
2.3 控制系统的结构图及等效变换
2.3.4 系统传递函数
典型闭环控制系统
N (s)
R( s )
E ( s)
G1 (s)
结构图。
2.3.2 结构图的建立
例2-7 RLC电路网络的结构图
解： U (s) U (s) U (s) U (s) i R L 0
U R ( s) RI ( s)
U L ( s) LsI ( s)
{
I ( s)
U i ( s) U 0 ( s ) U R ( s ) U L ( s )
C 传输到 ( s)
单位反馈： H ( s) 1 开环传递函数：
G( s) H ( s)
2.3.3 结构图的等效变换和简化
（4）比较点的移动
R1 (s)
G(s)
R2 ( s )
a)
C (s)
R2 ( s )
R1 (s)
G(s)
C (s)
1/ G(s)
b)
R1 (s)
R2 ( s )
a)
G(s)
C (s) G(s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s )
2.3.3 结构图的等效变换和简化
反馈连接中的术语：
R( s)
E (s)
G (s)
H (s)
C (s)
B( s)
前向通道：信号从 R( 传输到 s) 反馈通道：信号从
的通道 C ( s) 的通道 R( s )
R(s)
自动控制原理第2版全篇
=
△
- + - 其中:△称为系统特征式 △= 1 ∑La ∑LbLc ∑LdLeLf+…
—∑La 所有单独回路增益之和
∑L∑和dLLebLLf—c—所有所三有个互两不两接互触回不路接增益触乘回积路之增和益乘积之
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
△k称为第k条前向通路的余子式 去掉第k条前向通路后所求的△
x0
(x x0 )
1 d 2 f (x)
2!
dx2
x0
(x x0 )2
忽略二阶以上各项，可写成
y
f
(x0 )
df (x)
dx x0
(x
x0 )
2、对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量 为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作 点为y0＝ f(x10, x20) 。
注意：相加点和分支点一般不能变位
25
2.3.3闭环传递函数
1、给定输入单独作用下的系统闭环传递函数
(s) G1G2 G1G2 1 G1G2H 1 Gk
2、扰动输入单独作用下的闭环系统
n
(
s)
1
G2 G1G2
H
G2 1 Gk
3、误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信 号的拉氏变换之比。
（1）给定输入单独作用下的闭环系统
Er
(
s)
1
1 G1G2
H
1 1 Gk
（2）扰动输入单独作用下的闭环系统
En
(
s)
1
G2 H G1G2
H
G2H 1 Gk
4)给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输
出量和偏差输出量
自动控制原理课件第4次课 传递函数、结构图
• 一阶微分环节: G ( s ) s 1 • 振荡环节 : • 延迟环节
2 n 1 G( s) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2n s n 2
G ( s ) e s
哈尔滨工程大学自动化学院
20
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
注意： 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理 装置或元件。 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同 组成。
哈尔滨工程大学自动化学院
12
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2-4-2 传递函数的零点和极点
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm an 1s an M (s) N (s)
M (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm
系统(或环节) 的输入量 系统(或环节) 的输出量
X r ( s)
X c ( s) X r ( s)G( s)
X c (s)
哈尔滨工程大学自动化学院
7
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
系统传递函数的一般形式 设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：
d d d a0 n c(t ) a1 n1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) dt dt dt m m 1 d d d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
哈尔滨工程大学自动化学院
6
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2-4-1 传递函数的定义和性质
定义：在零初始条件(输入量施加于系统之前，系统处于
自动控制原理 第2章数学模型
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件 都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
《自动控制原理》-胡寿松-002-自动控制原理-第二章ppt
3
2-0 预备知识—牢记一些典型时域数学模型
1.电容 2 .电感 3弹簧弹性力 4 阻尼器 5 牛顿定律 6 电机 7 二阶方程的通解
4
§2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换
▪ 傅里叶 变换 自学
5
拉氏变换及其性质
1.定义 X (s) x(t )est dt 0 记 X(s) = L[x(t)]
24
2.2 时域模型 - 微分方程
2.2.1. 建立系统或元件微分方程的步骤
I. 确定元件输入量和输出量
II. 根据物理或化学定律，列出元件的原始方 程
III. 在可能条件下，对各元件的原始方程进行 适当简化，略去一些次要因素或进行线性 化处理
IV. 消去中间变量，得到描述元件输入和输出 关系的微分方程
t
0
t
0
t0
0
t
A
解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 )
X (s) A A et0s A (1 et0s )
ss
s
13
例2-7 求e at 的拉氏变换。
解:
X (s) eat est dt
1
e(as)t
1
0
as
0 sa
X (s) L 1(t )eat 1 sa 例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。 解：
论： （1） D(s) = 0无重根。
16
X (s) c1 c2
cn
n
ci
(s p1 ) (s p2 )
(s pn ) i1 (s pi )
式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。
ci
lim(s
2-0 预备知识—牢记一些典型时域数学模型
1.电容 2 .电感 3弹簧弹性力 4 阻尼器 5 牛顿定律 6 电机 7 二阶方程的通解
4
§2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换
▪ 傅里叶 变换 自学
5
拉氏变换及其性质
1.定义 X (s) x(t )est dt 0 记 X(s) = L[x(t)]
24
2.2 时域模型 - 微分方程
2.2.1. 建立系统或元件微分方程的步骤
I. 确定元件输入量和输出量
II. 根据物理或化学定律，列出元件的原始方 程
III. 在可能条件下，对各元件的原始方程进行 适当简化，略去一些次要因素或进行线性 化处理
IV. 消去中间变量，得到描述元件输入和输出 关系的微分方程
t
0
t
0
t0
0
t
A
解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 )
X (s) A A et0s A (1 et0s )
ss
s
13
例2-7 求e at 的拉氏变换。
解:
X (s) eat est dt
1
e(as)t
1
0
as
0 sa
X (s) L 1(t )eat 1 sa 例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。 解：
论： （1） D(s) = 0无重根。
16
X (s) c1 c2
cn
n
ci
(s p1 ) (s p2 )
(s pn ) i1 (s pi )
式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。
ci
lim(s
自动控制原理
1 C2s
C ( s)
(a)
39
(b)
方块图 消除局部反馈回路
2－3
R(s)
+ _
1 R1C1s + 1
1 R2C2s + 1
C (s)
R1C2 s
(b)
40
2－3 方块图
（C） 消除主反馈回路
R( s)
1 R1C1R2C2 s 2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) s + 1
G(s) Q(s) 1/G(s)
23
综合点之间的移动
X(s) R(s)
±
X(s) C(s) R(s)
± ±
Y(s) ±
C(s)
Y(s)
24
4.综合点之间的移动 4.综合点之间的移动
结论： 结论：
X(s) R(s)
±
X(s) C(s) R(s)
± ±
Y(s) ±
C(s)
Y(s)
结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。 结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。
反馈结构图
R(s) B(s) ±
E(s)
C(s)
G(s) H(s)
C(s) = ?
9
3.
反馈结构的等效变换
等效变换证明推导
C (s) = G(s)E (s) B(s) = C ( s)H ( s) E ( s ) = R( s) ± B( s) 消去中间变量 E ( s ), B ( s )得 G(s) C (s) = R( s) 1 m G ( s)H ( s)
两个串联的方框可以 合并为一个方框， 合并为一个方框，合 并后方框的传递函数 等于两个方框传递函 数的乘积。 数的乘积。G1(Leabharlann )G2(s)R(s)
自动控制原理
F k x k vdt
1 dF v k dt
4.阻尼器（不储存能量，吸收能→热能） 平动阻尼器 K：阻尼系数 F：阻尼力 dy F kv k y：位移 dt
旋转阻尼器
d T k k dt
K：阻尼系数 ω：旋转角速度 θ：旋转角度 T：阻尼力矩
例2-3
建立如图所示为电枢控制 直流电动机的微分方程， ＋ if 要求取电枢电压 La Ra ua(t)(v)为输入量，电 动机转速ωm(t)(rad/s) ＋ ia ωm 为输出量，列写微分方 负 ua Ea Jm,fm SM 载 程。图中Ra(Ω)、La(H) 分别是电枢电路的电阻 _ 和电感，Mc(N· M)是折 电枢控制直流电动机原理图 合到电动机轴上的总负 载转距。激磁磁通为常 值。
k
F(t)
x(t)位移
m
弹簧 阻尼系数f 阻尼器
首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物 体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在 我们单独取出m进行分析
F1 kx ( t ) F 2 f x (t)
而 F ma
K2
Ra Ra f m CmCe
电动机传递系数
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽 略不计时 ⑥还可进一步简化为 Cem (t ) U a (t ) ⑦ 电动机的转速m (t ) 与电枢电压 U a(t ) 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。
2 线性系统
1).定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这 样的系统就是线性系统。 线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元 件。
3).重要特点：对线性系统可以应用迭加性和 齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几 个外作用单独求响应，然后加起来就是总响 应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可 以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉 冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化 了问题。
1 dF v k dt
4.阻尼器（不储存能量，吸收能→热能） 平动阻尼器 K：阻尼系数 F：阻尼力 dy F kv k y：位移 dt
旋转阻尼器
d T k k dt
K：阻尼系数 ω：旋转角速度 θ：旋转角度 T：阻尼力矩
例2-3
建立如图所示为电枢控制 直流电动机的微分方程， ＋ if 要求取电枢电压 La Ra ua(t)(v)为输入量，电 动机转速ωm(t)(rad/s) ＋ ia ωm 为输出量，列写微分方 负 ua Ea Jm,fm SM 载 程。图中Ra(Ω)、La(H) 分别是电枢电路的电阻 _ 和电感，Mc(N· M)是折 电枢控制直流电动机原理图 合到电动机轴上的总负 载转距。激磁磁通为常 值。
k
F(t)
x(t)位移
m
弹簧 阻尼系数f 阻尼器
首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物 体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在 我们单独取出m进行分析
F1 kx ( t ) F 2 f x (t)
而 F ma
K2
Ra Ra f m CmCe
电动机传递系数
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽 略不计时 ⑥还可进一步简化为 Cem (t ) U a (t ) ⑦ 电动机的转速m (t ) 与电枢电压 U a(t ) 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。
2 线性系统
1).定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这 样的系统就是线性系统。 线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元 件。
3).重要特点：对线性系统可以应用迭加性和 齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几 个外作用单独求响应，然后加起来就是总响 应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可 以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉 冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化 了问题。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其他变化（比较点的移动、引出点的移动）以此三种 基本形式的等效法则为基础。
12
（1）串联连接
R( s )
U (s) 1
G (s) 1
G (s) 2
C( s )
R(s)
C(s)
G(s)
（a）
（b）
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量
U1(s) G1(s)R(s) C(s) G2 (s)U1(s) G2 (s)G1(s)R(s)
注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。
X1 +
+
X1+X2 R1(s)
-
R1(s)R2(s)
X1
X2
R2(s)
X3
X1-X2 +X3 -
X2
4
(4) 引出点（分支点、测量点） 表示信号测量或引出的位置
R(s)
G (s) 1
X(s)
G (s) 2
C(s)
X(s) 引出点示意图
注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样
G(s)
分支点（引出点）前移
C(s) C(s)
引出点后移
R(s)
G(s)
R(s)
分支点（引出点）后移
R(s)
G(s)
C(s)
G(s)
C(s)
C(s) R(s)G(s)
G(s) R(s)
C(s) R(s)
C(s) R(s)
G1(s)G2
(s)
G(s)
结论：
n
G(s) Gi (s) n为相串联的环节数 i 1
串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积
13
（2）并联连接
G1 (s)
C1 (s)
R(s)
C(s)
R( s )
C2 (s) G2 (s)
C( s )
G(s)
（a）
（b）
特点:输入信号是相同的,输出C(s)为各环节的输出之和.
6
例：试推导并绘制如图所 示电路图的结构图
解：
i2 C i
i1 R1
ui
R2
uo
（1）
Ui (s) I1(s)R1 Uo (s)
Ui (s)
- Uo(s)
（2）
1
I1 (s)R1 I 2 (s) Cs
I1(s)
1 R1
(Ui (s) Uo (s))
1
I1(s)
R1
I 2 (s) CR1sI1(s)
系统结构图（方框图）的四要素：
（1）方框（环节）: 表示输入到输出单向传输间的函数关系。
（2）信号线： 带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直
线旁标记信号的函数。
信号线
r(t)
c(t)
G(s)
R(S)
C(S)
方框
3
（3）比较点（汇合点、综合点） 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件
“+”表示相加，可省略不写；“-”表示相减。
C(s) C1(s) C2 (s)
G1(s)R(s) G2 (s)R(s) [G1(s) G2 (s)]R(s)
C(s) R(s)
G1 ( s)
G2 (s)
G(s)
n
G(s) Gi (s)结论：Fra biblioteki 1
n为相并联的环节数, 当然还有“-”的情况
并联环节的等效传递函数等于并联环节传递函数
5
2.3.2 绘制结构图的一般步骤
1.根据系统中信号的传递过程，将系统划分为若干 个元部件或环节。 2.分别列写每个元部件的微分方程，在零初始条件 下进行拉氏变换，得到每个元部件的传递函数，给 出每个元部件的单元结构图。 3.把系统的输入量置于最左端，输出量置于最右端, 按照系统中信号的流向，把各元部件结构图中相同 的信号连接起来，便得到系统的结构图。
R(s)
＋
C(s) G(s)
Q(s)
C(s) R(s)G(s) Q(s)
[R(s) Q(s) ]G(s) G(s)
R(s)
C(s) G(s)
＋
Q(s)
G(s)
C(s) [R(s) Q(s)]G(s)
R(s)G(s) Q(s)G(16s)
（5）引出点的移动（前移、后移）
引出点前移
R(s)
－ Uo (s)
（d）
将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该 一阶RC网络的方框图。
11
2.3.3 系统结构图的等效变换和简化
为了由系统的方框图方便地写出它的闭环传递函 数，通常需要对方框图进行等效变换。
方框图的等效变换必须遵守一个原则，即： 变换前后各变量之间的传递函数保持不变
在控制系统中，任何复杂系统的方框图都主要由 串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。
2-3 控制系统的结构图
1
2-3 控制系统的结构图及信号流图
控制系统的结构图： 描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形. 结构图＝原理图＋元件数学模型 特点：直观
2.3.1 控制系统结构图的组成
误差
输入
R (s )
E (s )
-
比较点
前向通道函数
G(s)
输出
C(s )
引出点
H(s)
反向通道函数 2
u
o
idt c
对其进行拉氏变换得：
I (s)
U
o
(s)
U
i (s)
I (s) sC
U R
o
(s)
(1) (2)
10
I (s)
U
o
(s)
U
i (s)
I (s) sC
U R
o
(s)
(1) (2)
Ui (s)
I(s)
（b）
Uo (s)
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
Uo (s)
1
G(s) H (s)G(s)
前向通路传递函数 1 开环传递函数
15
（4）比较点的移动（前移、后移）
“前移”、“后移”的定义：
按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不
是位置上的前后。
比较点前移
比较点后移
R(s)
G(s)
比较点前移
＋
Q(s)
C(s)
R(s)
＋
C(s) G(s)
比较点后移
Q(s)
的代数和
14
（3）反馈连接（闭环控制系统）
R(s)
E(s)
G(s)
－ B(s)
H(s)
（a）
C(s)
R(s)
C(s)
（b）
推导(负反馈)： C(s) E(s)G(s) [R(s) C(s)H (s)]G(s)
右边移过来整理得
即：
C(s) G(s) R(s) 1 H (s)G(s)
C(s) R(s)
R1
CR1s
I (s)
（4） I(s)
Uo (s)
R2
I1(s)
Ui (s)
- Uo(s)
1
I1(s)
I2 (s)
I (s)
Uo (s)
R1
CR1s
R2
I1(s)
9
练习
R
画出RC电路的方框（结构）图。ui i C
uo
解： 利用基尔霍夫电压定律及电容
元件特性可得：
（a） 一阶RC网络
i
ui
uo R
I1(s)
I2 (s)
CR1s
7
i2
C
i
i1 R1
ui
R2
uo
（3）
I(s) I1(s) I2 (s)
I2 (s)
I (s)
I1(s)
（4）U o (s) R2 I (s)
I (s)
Uo (s)
R2
8
（1）Ui (s)
（3）
- Uo(s)
I2 (s)
（2）
1
I1(s)
I1(s)
I2 (s)
12
（1）串联连接
R( s )
U (s) 1
G (s) 1
G (s) 2
C( s )
R(s)
C(s)
G(s)
（a）
（b）
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量
U1(s) G1(s)R(s) C(s) G2 (s)U1(s) G2 (s)G1(s)R(s)
注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。
X1 +
+
X1+X2 R1(s)
-
R1(s)R2(s)
X1
X2
R2(s)
X3
X1-X2 +X3 -
X2
4
(4) 引出点（分支点、测量点） 表示信号测量或引出的位置
R(s)
G (s) 1
X(s)
G (s) 2
C(s)
X(s) 引出点示意图
注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样
G(s)
分支点（引出点）前移
C(s) C(s)
引出点后移
R(s)
G(s)
R(s)
分支点（引出点）后移
R(s)
G(s)
C(s)
G(s)
C(s)
C(s) R(s)G(s)
G(s) R(s)
C(s) R(s)
C(s) R(s)
G1(s)G2
(s)
G(s)
结论：
n
G(s) Gi (s) n为相串联的环节数 i 1
串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积
13
（2）并联连接
G1 (s)
C1 (s)
R(s)
C(s)
R( s )
C2 (s) G2 (s)
C( s )
G(s)
（a）
（b）
特点:输入信号是相同的,输出C(s)为各环节的输出之和.
6
例：试推导并绘制如图所 示电路图的结构图
解：
i2 C i
i1 R1
ui
R2
uo
（1）
Ui (s) I1(s)R1 Uo (s)
Ui (s)
- Uo(s)
（2）
1
I1 (s)R1 I 2 (s) Cs
I1(s)
1 R1
(Ui (s) Uo (s))
1
I1(s)
R1
I 2 (s) CR1sI1(s)
系统结构图（方框图）的四要素：
（1）方框（环节）: 表示输入到输出单向传输间的函数关系。
（2）信号线： 带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直
线旁标记信号的函数。
信号线
r(t)
c(t)
G(s)
R(S)
C(S)
方框
3
（3）比较点（汇合点、综合点） 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件
“+”表示相加，可省略不写；“-”表示相减。
C(s) C1(s) C2 (s)
G1(s)R(s) G2 (s)R(s) [G1(s) G2 (s)]R(s)
C(s) R(s)
G1 ( s)
G2 (s)
G(s)
n
G(s) Gi (s)结论：Fra biblioteki 1
n为相并联的环节数, 当然还有“-”的情况
并联环节的等效传递函数等于并联环节传递函数
5
2.3.2 绘制结构图的一般步骤
1.根据系统中信号的传递过程，将系统划分为若干 个元部件或环节。 2.分别列写每个元部件的微分方程，在零初始条件 下进行拉氏变换，得到每个元部件的传递函数，给 出每个元部件的单元结构图。 3.把系统的输入量置于最左端，输出量置于最右端, 按照系统中信号的流向，把各元部件结构图中相同 的信号连接起来，便得到系统的结构图。
R(s)
＋
C(s) G(s)
Q(s)
C(s) R(s)G(s) Q(s)
[R(s) Q(s) ]G(s) G(s)
R(s)
C(s) G(s)
＋
Q(s)
G(s)
C(s) [R(s) Q(s)]G(s)
R(s)G(s) Q(s)G(16s)
（5）引出点的移动（前移、后移）
引出点前移
R(s)
－ Uo (s)
（d）
将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该 一阶RC网络的方框图。
11
2.3.3 系统结构图的等效变换和简化
为了由系统的方框图方便地写出它的闭环传递函 数，通常需要对方框图进行等效变换。
方框图的等效变换必须遵守一个原则，即： 变换前后各变量之间的传递函数保持不变
在控制系统中，任何复杂系统的方框图都主要由 串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。
2-3 控制系统的结构图
1
2-3 控制系统的结构图及信号流图
控制系统的结构图： 描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形. 结构图＝原理图＋元件数学模型 特点：直观
2.3.1 控制系统结构图的组成
误差
输入
R (s )
E (s )
-
比较点
前向通道函数
G(s)
输出
C(s )
引出点
H(s)
反向通道函数 2
u
o
idt c
对其进行拉氏变换得：
I (s)
U
o
(s)
U
i (s)
I (s) sC
U R
o
(s)
(1) (2)
10
I (s)
U
o
(s)
U
i (s)
I (s) sC
U R
o
(s)
(1) (2)
Ui (s)
I(s)
（b）
Uo (s)
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
Uo (s)
1
G(s) H (s)G(s)
前向通路传递函数 1 开环传递函数
15
（4）比较点的移动（前移、后移）
“前移”、“后移”的定义：
按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不
是位置上的前后。
比较点前移
比较点后移
R(s)
G(s)
比较点前移
＋
Q(s)
C(s)
R(s)
＋
C(s) G(s)
比较点后移
Q(s)
的代数和
14
（3）反馈连接（闭环控制系统）
R(s)
E(s)
G(s)
－ B(s)
H(s)
（a）
C(s)
R(s)
C(s)
（b）
推导(负反馈)： C(s) E(s)G(s) [R(s) C(s)H (s)]G(s)
右边移过来整理得
即：
C(s) G(s) R(s) 1 H (s)G(s)
C(s) R(s)
R1
CR1s
I (s)
（4） I(s)
Uo (s)
R2
I1(s)
Ui (s)
- Uo(s)
1
I1(s)
I2 (s)
I (s)
Uo (s)
R1
CR1s
R2
I1(s)
9
练习
R
画出RC电路的方框（结构）图。ui i C
uo
解： 利用基尔霍夫电压定律及电容
元件特性可得：
（a） 一阶RC网络
i
ui
uo R
I1(s)
I2 (s)
CR1s
7
i2
C
i
i1 R1
ui
R2
uo
（3）
I(s) I1(s) I2 (s)
I2 (s)
I (s)
I1(s)
（4）U o (s) R2 I (s)
I (s)
Uo (s)
R2
8
（1）Ui (s)
（3）
- Uo(s)
I2 (s)
（2）
1
I1(s)
I1(s)
I2 (s)