数理方程第2章波动方程

π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
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例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
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• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
求解该常微分方程齐次边值问题， 求出全部固有值和固有函数，并求 出相应的 T(t) 的表达式。
固有值 问题
将所有变量分离形式的特解叠加起来，并 利用初始条件定出所有待定系数。
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附：
kπ sin x," 是[0, l]上的正交函数列 sin x, l l ⎧l , m=n ⎪ l mπ nπ ⎪2 ∫0 sin l x sin l xdx = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
常系数齐次的常微分方程：
它的特征方程
r 2 + pr + q = 0，
假设特征方程的根为 r1，r2 .
3
(1)特征方程有两个不等的实根: 齐次方程通解为：
y = Ae + Be .
r1 x r2 x
(2)特征方程有两个相等的实根:
y = ( A + Bx)e .
r1 x
(3)特征方程有一对共轭的复根:
∞
其中
2 l kπ ak = ∫ x(l − x)sin x dx l 0 l
bk =
2 l kπ = − ∫ x(l − x)d(cos x) kπ 0 l 2 l kπ = − ( l 2 x )cos xdx ∫ 0 kπ l
k π a ∫0
2
l
sin
2π kπ x sin x dx l l
kπ = 2 2 ∫ sin xdx 0 kπ l 4l 2 = 3 3 [1 − (−1)k ] kπ 4l
r1 = α + i β , r2 = α − i β ,
齐次方程通解为
y ( x) = eα x ( A cos β x + B sin β x).
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第一节 有界弦的自由振动
2 ⎧ ∂ 2u ∂ u 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 ⎪ ⎪ ⎩
包含节点的振动波 驻波
解u(x,t)是由一系列不同频率，不同位相，不同 振幅的驻波叠加而成的。
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分离变量法的解题步骤 第一步
令u ( x, t ) = X ( x )T (t ) 适合方程和边界条件，
从而定出 X ( x) 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及 T (t ) 适合的常微分方程。
第二步 第三步
2 2 + bn , ϕ n = arctan N n = an
⎞ ⎤ ⎛ nπ t ⎟ ⎥ sin ⎜ ⎠⎦ ⎝ l
⎞ x⎟ ⎠
振 幅 频 率
初相位 ϕn
⎛ nπ ⎞ N n sin ⎜ x⎟ ⎝ l ⎠ anπ ωn = l
an bn
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除两个端点外，弦在某些点始终保持静止的，这样的 点称为节点。
以及
6
X (0)T (t ) = X (l )T (t ) = 0
上述等式左端是t 的函数，右端是x的函数，由此可 得两端只能是常数，记为 −λ. 从而有 X(x):
⎧ X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0 ⎨ ⎩ X (0) = X (l ) = 0
T ′′(t ) + a 2 λT (t ) = 0
l t + Dk sin l
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
t
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故有
u ( x , t ) = ∑ X k ( x )Tk (t )
k =1
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ = ∑ ⎜ a k cos t + bk sin t ⎟ sin x l l ⎠ l k =1 ⎝ a k = Bk C k ,bk = Bk Dk .
注意，a k ,
k π a bk l
分别是 ϕ ( x ), ψ ( x ) 在[0, l]区间上
Байду номын сангаас
正弦展开的Fourier级数的系数。
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物理意义：
• 驻波
o
n=4 l
其中
⎡ ⎛ anπ ⎞ ⎛ anπ un ( x, t ) = ⎢ an cos ⎜ t ⎟ + bn sin ⎜ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎣ ⎛ nπ ⎞ = N n sin ⎜ x ⎟ sin (ωnt + ϕn ) ⎝ l ⎠
∞
代入初始条件, 由 ut ( x, 0) = 0 可得 Bk = 0 ( n = 1, 2,") 又由初始条件 所以,
∞
8π x u ( x, 0) = 3sin + 5sin l l
πx
nπ x πx 8π x An sin = 3sin + 5sin ∑ l l l n =1
系数 An 为 A1 = 3, A8 = 5，其余系数为零. 因此, 定解问题的解为
λ =0
其通解为
X ( x) = A + Bx,
代入边界条件可得 只有零解。
情形（C）
A= B=0
λ >0
其通解为
X ( x) = A cos λ x + B sin λ x,
由边界条件X(0) = 0推出
A = 0,
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再由
X (l ) = B sin λ l = 0 知道 为了使 B ≠ 0, 必须 sin λ l = 0. 于是有
物理解释： 一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位 移和速度，在没有强迫外力作用下的振动
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• 求解的基本步骤 第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把分离形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
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第三步：利用初始条件求得定解问题的解
为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件。 一般来讲，前面求出的特解不一定满足初始条件。 为此，我们把所有特解 u k ( x , t ) 叠加起来， 并使之满足初始条件，即取
u ( x , t ) = ∑ X k ( x )Tk (t )
k =1
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ a k cos l l ⎠ l k =1 ⎝
l
⎧ l , ⎪ ⎪ 2π a =⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 0,
k=2 k≠2
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u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
∞
1 − (−1) kπ a kπ = 3∑ cos t sin x 3 l l π k =1 k l 2π a 2π + sin t sin x 2π a l l 4l
∞
使得
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k π a bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ a k sin x l k =1
∞
其中
2 l ⎛ kπ ⎞ ak = ∫ ϕ ( x) sin ⎜ x ⎟ dx l 0 ⎝ l ⎠ 2 l ⎛ kπ ⎞ bk = ψ ( x) sin ⎜ x ⎟ dx. ∫ 0 kπ a ⎝ l ⎠
两端自由的边界条件
⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 ⎨ ⎩ X ′(0) = X ′(l ) = 0
⎛ nπ ⎞ λn = ⎜ ⎟ , ⎝ l ⎠ ⎛ nπ X n ( x) = Bn cos ⎜ ⎝ l n = 0,1, 2,3," ⎞ x⎟, ⎠
1
常微分方程求解： 一阶非齐次的常微分方程： 它的通解为
dy + P( x) y = Q( x), dx
− P ( x ) dx