圆的证明与计算

《圆的证明与计算》

一、重要考点：

考点（一）垂径定理及推论：

1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的

2、推论：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

一直线平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

【名师提醒：1、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线

２、垂径定理常用作计算，在半径r、弦长a、弦心距d和弓形高h中已知两个可求另外两个】

考点（二）、圆心角、弧、弦之间的关系：

定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】

考点（三）圆周角定理及其推论：

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧

推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是

【名师提醒：作直经所对的圆周角是圆中常作的辅助线】

考点（四）切线的性质和判定：

⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的

【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】

⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线

【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，可证圆心到直线的距离d=r来判定相切,即“有公共点连半径，无公共点作垂直”】

O D C B A O E

D C

B A F

O

E D C B A

考点（五）、切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 考点（六）、弧长和扇形面积 1、圆周长C ＝2πR ；2、弧长180

R

n L π=

２、圆面积：2

R S π=； 2、扇形面积：360

2R n S π=扇形

二、考题形式：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或阴影面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

三、解题思路与技巧：

1、判定切线的方法：

（1）若有公共点，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；推算夹角等；

（1）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O 的切线；

（2）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.

（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线.

F

O

E

D

C

B

A

（4）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.

（2）若无公共点，则“作垂直，证d=r ”。

1．（2013，湖北孝感，）如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠

ADC ． 求证：CD 是⊙O 的切线；

2、与圆有关的计算：

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

（1）构造思想：A ）挖掘特殊角，构造特殊角的直角三角形.

典例1：

如图，AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ．

（1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE 3 ，求AM 的长．

举一反三1(枣庄满分8分)

如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，且AC =CD ， ∠ACD =120°.

（1）求证：CD 是O ⊙的切线；

（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.

N M

F O

E

C

B

A

O

C

F E

D B

A

O

F E

D C B

A

B)构建矩形转化线段（常作的辅助线：遇直径连线段作直经所对的圆周角是直角）

构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径，或构造勾股定理模型；另外要转移角

典例．如图，Rt △ABC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ， ，过D 作AE 的垂线，F 为垂足.

（1）求证：DF 为⊙O 的切线；

（2）若DF =3，⊙O 的半径为5，求tan BAC ∠的值.

举一反三：．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点O 为圆心过B 、D 两点作⊙O ，⊙O 交AB 于点一点E ，EF ⊥AC 于点F .

（1）求证：⊙O 与AC 相切； （2）若EF =3，BC =4，求tan A ∠的值.

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是通过全等发现其

中的相等关系建立方程，解决问题。

典例2．(淄博，21，9分)已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，EF ⊥AC ，垂足为F . （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；

（2）当直线DF 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径.

BD=DE