九年级数学上册图形与坐标用分类讨论思想解相似图形难题素材新版华东师大

用分类讨论思想解相似图形难题
所谓分类讨论思想就是根据问题可能存在的多种情况进行讨论，防止出现漏解的一种数学思想.它能使同学们的思维日趋严谨。

它的应用大致可分为四个步骤：（1）确定分类对象；（2）合理进行分类；（3）逐步进行讨论；（4）归纳讨论结果，得出正确结论.下面举几例说明分类讨论思想在相似图形中的应用.
例 1 已知a 、b 、c 为非零实数，且满足k b
c a c b a a c b =+=+=+,则一次函数)1(k kx y ++=的图象一定经过（ ）.
A 第一、二、三象限
B 第二、四象限
C 第一象限
D 第二象限
分析：本题主要考察一次函数图象性质的灵活应用，但如果思维不周的话，就容易漏掉0=++c b a 的情形，因此可按0=++c b a 和0≠++c b a 两种情况讨论. 解：（1）当0=++c b a 时，1-=-=+=
b
b b
c a k ,此时x y -=，图象过第二、四象限；
（2）当0≠++c b a 时，应用等比性质可以得出： 2=+++++++=b
c a b a b a c b k ,此时32+=x y 的图象过第一、二、三象限，结合两种情况，函数图象一定过第二象限，故选D.
例2 已知线段cm c cm b cm a 3,2,1===,若第四条线段与它们成比例式，则这样的线段有几条？
分析：因为第四条线段大小不定，所以应用分类讨论思想，利用比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，把分类点定为让第四条线段分别与三条线段相乘，既可得到正确答案.
解：设第四条线段为d,让d 分别与1、2、3相乘，得
,312,6,321⨯=⨯=⨯=⨯d cm d d ,213,5.1⨯=⨯=d cm d cm d 32=
,所以这样的线段有三条，分别为.3
2,5.1,6cm cm cm 例3 三角形一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形为（ ）.
A 直角三角形
B 等腰三角形
C 等腰直角三角形
D 等腰三角形或直角三角形
分析：因为只知道两个三角形相似，并没有指定顶点间的对应关系，所以存在多种可能，所以可以把分类点定在顶点对应上.
解：（1）已知AD ⊥BC ，如图（1）所示，若△ABD ∽△ACD ，则有∠B=∠C,所以AB=AC,所以△ABC 为等腰三角形.
（2）已知AD ⊥BC ，如图（2）所示，若△ABD ∽△CAD ，所以∠B=∠CAD,∠C=∠BAD,又因为∠CAD+∠BAD+∠B+∠C=︒180,所以∠CAD+∠BAD=︒90，即∠BAC=︒90，此时△ABC 为直角三角形，综合上述两种情况，△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.
例4 一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与之相似的钢筋三角架，而现在只有30cm,50cm 的两根，现要求其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许剩余，损耗不计）作另两边，则不同的截法有（ ）种.
分析：因为只要求两三角形相似，所以存在多种可能，首先在截哪根上，可以发现只能截取50cm 的一根，因为若截30dm 的一根，则不满足三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”.故只能截取50cm 。

其次，30cm 的一边可以与任何的一边对应，可以就其继续展开讨论.
解：（1）若截取30cm 为一边，用50cm 作另一边，不成立，是因为不满足两边之和大于第三边，故只能截取50cm 作另两边.
（2）因为30cm 可以与三边分别对应，设截取的第三边分别为：ycm xcm ,,1)当30cm
与20cm 对应时，有
60
502030y x ==,解之得：90,75==y x ,因为75+90>50,故做不成三角形.2）当30cm 与50cm 对应时，有60
503020y x ==,解之得：,36,12==y x 12+36<50,成立.3）当30cm 与60cm 对应时，有60305020==y x ，解之得：25,10==y x ,10+25<50,成立。

综上所述，不同的截法有两种，故选B.
例5 已知△ABC ∽△ADE,AE=3,EC=5,BC=7,求DE 的长.
分析：因为题中并未提供图形，所以应该想到存在两种可能，即“A ”字型和“X ”字型，这个题的分类点就是图形的多变性.
解：（1）如图3所示：因为△ABC ∽△ADE ，所以BC ED AC AE =所以7533ED =+所以8
21=ED .
（2）如图4所示，△ABC ∽△ADE 所以
BC ED AC AE =所以7353ED =-，所以221=ED ，综上所述，DE 的长为821或2
21. 例6 如图5，∠ACB=∠D=︒90,AB=a,AC=b,AD=c,当线段a 、b 、c 之间满足什么关系时，图中所示的三角形相似？
分析：此题中Rt △ABC 和Rt △ADC 三边均可用a 、b 、c 表示，所以要使其相似，只要依据它们的两直角边对应成比例就可确定a 、b 、c 之间的关系，但由于没有告诉我们两个三角形边、角之间的对应关系，所以应根据边的对应关系分两种情况展开讨论. 解：因为∠ACB=∠D=︒90，
所以BC=2222b a AC AB -=-,DC=2222c b AD AC -=-所以，
（1）当AC AD BC CD =时，△ABC ∽△ACD ，所以b
c b a c b =--2222整理后得：ac b =2 （2）当BC AD AC CD =时，△ABC ∽△C AD,所以2222b a c b c b -=-,整理后得：
))((2222b a c b bc --=.
所以当a 、b 、c 满足))((2222b a c b bc --=或ac b =2时两三角形相似.。