第四章 衍射

a为圆孔半径
3、艾里斑—中央亮斑: 光强占入射光的84%。 第一暗环的角半径（爱里斑半角宽 ）
0.61

a
or
1.22

D
(4.50)
D为圆孔直径
f t an 很小 , t an sin 1.22

D
f
D
~ U k P0
k

A1 ( P0 ) A2 ( P0 ) A3 ( P0 ) A4 ( P0 )
4.13
(4.14)
由惠更斯-菲涅耳原理:
k Ak f ( k ) rk
k R rk Rb
与k无关 (4.16)
f (k )随k 增大缓慢减小
~ A( P0 ) U P0
~ U k P0
k
A1 ( P0 ) A2 ( P0 ) A3 ( P0 ) A4 ( P0 )
1 A( P0 ) [ A1 (1) n 1 An ] 2 (4.17 )
4.13
自由传播: 孔径ρ→∞
f (k ) 0, Ak 0 1 A( P0 ) A1 ( P0 ) (4.18) 2
照相机镜头的孔径至少应为:
1.22 S 1.22 5.0 107 1.6 105 D 1.952m d 0.05
§4-5 多缝夫琅禾费衍射和光栅
衍射光栅: 任何具有空间周期性的衍射屏。
透射光栅 反射光栅 transmission grating reflexion grating
每两个相邻带的边缘到P0点的距离都相差半波长。这样，由任何相邻 的两带的对应部分发的子波到达P0点时的光程差为：λ／2，亦即相位 相反，这样分成的环形带称为菲涅耳半波带。
合成复振幅: ~ A( P0 ) U P0
~ U1 P0 A1 P0 ei1 ~ U 2 P0 A2 P0 ei (1 ) ~ U 3 P0 A3 P0 ei (1 2 )


(4.25)

三、单缝衍射因子的特点
1、主极大——零级衍射斑 各衍射光线光程差为零 a sin (4.26) 2 0 “等光程差性” 零级衍射斑中心 ——几何光学的像点 2、次极大——高级衍射斑
(
sin

) 2 — — 单缝衍射因子
sin

主极大光强最强，第一次极大不到主极大的5%。
3、菲涅耳衍射积分公式
eikr ~ ~ U P K U 0 (Q) F ( 0 , ) d r ()
（2）次波在P点的振幅与距离r成反比。
4.6
（1）波面是一个同相面，其上各点相位相同。
（3）d∑面元所发出的次波的振幅与d∑面积成正比。且随d∑面
元的法线与r之间的夹角θ增大而减小。
码，如果需要识别的牌照上字划间的距离为5cm，光波的波长按 500 nm计算，则在160km高空的卫星上照相机镜头的孔径至少应 为多少米?
解 d 5 cm 0.05m 由
1.22
D
500 nm 5.0 10 m
-7
S 160 km 1.6 105 m d S
由式(4.17) 圆孔中包含奇数个半波带时, 中心是亮点. 圆孔中包含偶数个半波带时, 中心是暗点. 圆屏中心总是亮点: 1 n 1 A( P0 ) Ak 1 ( P0 ) Ak 2 ( P0 ) (1) An ( P0 ) Ak 1 ( P0 ) 2
三、矢量图解法
t 时刻波面
· · · · ·
t+t时刻波面
波传播方向
t + t
· · · t · · · ·· ·· ·
· ··
ut 平面波
球面波
· a· ·
·
惠更斯原理可定性地说明衍射现象，但不能解释光的衍射 图样中光强的分布。 2、菲涅耳假定：波在传播过程中，从同一波阵面上各点 发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，产生相干叠 加。
k
Rb k k 1 Rb
(k 1,2,) (4.19)
Rb 1 Rb
(4.20)
k2 r 2 (b h) 2 r 2 b 2 2bh h 2
(r 2 b 2 ) 2bh
(忽略了高次项 h2)
(1)
h
(r 2 b 2 ) (b k

l
二、望远镜的分辨本领
光的衍射效应是提高光学 仪器分辨本领的障碍
f
1、瑞利判据
最小分辨角：
瑞利判据

0
能分辨
可分辨

0
恰能分辨
刚可分辨

0
不能分辨
对于两个等光强的非相干物点 , 如果一个像斑中心刚好落在另 一像斑的第一级暗纹处上时 , 就认为这两个像刚刚能够被分辨。
sin 1.43

2

a sin
, 3.47
( 4.26)

a
, 2.46

a

a
, (4.36)

次极大彼此不是等间距的! 3、暗斑(纹)位置(极小)
0 , sin 0
, 2 , 3 , (4.38)
a a a L a sin , 2 , 3 , k sin
a 2 sin (4.26) 2 2 sin 2 I I 0 ( ) (4.27 ) sin 2 sin 2 sin 2 矩孔 : I ( P) I 0 ( ) ( ) (4.33) ( ) — — 单缝衍射因子
ห้องสมุดไป่ตู้

A0
sin
550 nm
眼睛的最小分辨角为
1.22

D
取
d S
d Dd 5.0 10 3 1.20 3 S 8 . 94 10 m 9 1.22 1.22 550 10

观察者
d =120 cm
S
例 据称美国间谍卫星上的照相机能清楚识别地面上汽车牌照号


a
(4.40)
a , 0 ( 自由传播 , 衍射斑 几何光学像点 ,即光沿直线传播 )
a↑→ Δθ ↓； a ↓ → Δθ ↑（限制→
扩展）
a


l
f
称“衍射反比律”
波前上在哪个方向上 受到限制较大, 则衍
射斑在该方向上拓展
得较宽。
(2) 角宽度Δθ与波长λ 成正比, 几何光学是λ→0的极限 角宽度
Rb 将(2)(3)代入 (1)式 k k k 1 (k 1,2,) (4.19) Rb R b k 1 1 k 1 1 1 由(4)式 2 2 (4.22) Rb k R b k R b f
波带片与透镜不同: (作用与透镜相似)
＊ 一个波带片有许多焦点, 作上述主焦点外, 还有一系 列次焦点, f/3、f/5 、f/7、……；还有一系列虚焦点, -f 、 - f/3、-f/5 、-f/7、…… ＊由于波带片的焦距 f 与波长λ密切相关，因此它的色差 比一般透镜大得多。 ＊波带片与普通透镜的比较: 1、长焦距波带片设计、制作简单 2、面积大、轻便、可折叠 3、适宜远程光通讯、测距及宇航技术 4、在微波、红外、紫外线、X光成象技术中得到应用。

2 kb (2)
)2 b2
(忽略了高次项 (kλ/2)2)
2 2 ( r b ) 2 2 2 2 2 k R ( R h) r (b h) h (3) 2( R b) 2 2 2 b ( r b ) R 2 2 2 k (r b ) 2bh kb kb (4) 2( R b) Rb
R
1
min
D 1.22
例 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120 cm ，设夜间人眼瞳孔 直径为5.0 mm ，入射光波为 550 nm。 求 人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这是两盏灯？ 解 设人离车的距离为 S 时，恰能分辨这两盏灯。 由题意有
d 120 cm
D 5.0 mm

故用白光可出现彩色条纹,
(4.40) a
§4 - 4 光学仪器的像分辨本领
一、夫琅禾费圆孔衍射
1 、装置 2、光强分布
2 J ( x) ~ U ( ) 1 x (4.47 )
x
2a

sin
(4.48)
J1(x)为贝塞耳函数符号
I ( ) I 0 [ 2 J1 ( x ) 2 ] x (4.49 )
§4 - 3
夫琅和费单缝衍射和矩孔衍射
一、实验装置与实验现象
1、装置如图
2、衍射图样
二、单缝衍射的强度公式
缝衍角θ， 光程差： L a sin 相位差： 2 2a L sin
(4.24)
R AB 2


A AB 2R sin
A AB AB sin
y tan

,2

, 3

y

, (4.39)
2 , 4 , 2k
暗纹是等间距的!
4、亮斑的角宽度
sin

a
,2

a
, 3

a
, (4.39)
角宽度 : 相邻暗条纹到透镜中心所张角度 其他亮纹角宽度 零级亮纹半角宽度 a (1) 角宽度Δθ与缝宽a 成反比
当圆面积孔内包含的不 是整数个半波带时,将半 波带分割为m个更窄的 带环, 小矢量:
A1、A2 、 、Am
代表各小环带的贡献, 相邻小矢量角度差: /m
m , 折线 曲线
考虑倾斜因子, 半径 逐渐收缩; 自由传播 时, 如图 4-15c 所示
四、菲涅耳波带片
只让偶数(或只让奇 数)的半波带透光的 波带片, 如图: 可使场点光强增加很 多倍, 作用与透镜相 似。
6、衍射的分类
（1） 菲涅耳衍射（近场衍射） 障碍物距光源和考察点的距离（或其中之一）是有限的。 S （2） 夫琅禾费衍射（远场衍射） 障碍物到光源和考察点的距离可认为是无限远，即平行光束衍射。 P

S
P
§4-2 菲涅耳圆孔衍射和圆屏衍射
一、实验现象
圆孔
圆屏 圆屏：衍射中心总是亮斑
二、半波带法
第四章
衍
射
• • • • • •
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6
光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理 菲涅耳圆孔衍射和圆屏衍射 夫琅禾费单缝衍射和矩孔衍射 光学仪器的像分辨本领 多缝夫琅禾费衍射和光栅 光栅光谱仪
§4-1 光的衍射现象
一、光的衍射现象
惠更斯-菲涅耳原理
当光遇到小的障碍物（小孔、金属细线）时，也出现偏离直线 传播而进入几何阴影区，并在屏幕上出现光强不均匀的分布的 现象。
d 令: d
sin 2 sin cos sin 0 3 2
2
(
sin

) 2 — — 单缝衍射因子
sin 0 , tan 1.43 , 2.46 , 3.47 , (4.35)

干涉和衍射的相同点：
都是相干光叠加引起光强的重新分布
干涉和衍射的区别：
干涉现象是有限个相干光波的叠加， 衍射现象是无限多个相干光波的叠加。
二、惠更斯—菲涅耳原理
1、惠更斯原理：在波的传播过程中，波阵面（波面） （相位相同的点构成的面）上的每一点都可看作是发射 子波（次波）的波源，在其后的任一时刻，这些子波的 包络面就成为新的波阵面。
P r
d
4、菲涅耳-基尔霍夫衍射公式
i eikr ~ ~ U P (cos 0 cos )U 0 (Q) d 2 ( ) r
4.10
5、巴比涅原理
~ ~ ~ Ua P Ub P U0 P
4.12
互补屏造成的衍射场中复振幅之和等于自由场的复振幅。
最小分辨角 min 1.22 D
(4.51)
D
2、几何光学与波动光学的区别 几何光学 :
(经透镜) 物点 像点
→艾里斑变小
波动光学 :
( 经透镜 ) 物点 像斑
不考虑艾里斑
物(物点集合) 像(像斑集合) 考虑艾里斑
(物点集合) 像(像点集合)
3、光学仪器分辨本领