【强烈推荐】七年级数学平方根知识点复习
七年级下数学平方根知识点
七年级下数学平方根知识点在七年级下学期的数学课程中，平方根是重要的知识点之一。
平方根是数学中最基础的概念之一，它在各个领域都发挥着重要的作用。
本文将会详细介绍七年级下学期中平方根的相关知识点。
一、平方数与非平方数首先，我们需要了解平方数和非平方数的概念。
平方数指的是某个数的平方，例如1、4、9、16、25等等。
而非平方数则是某个数不是平方数，例如2、3、5、7等等。
二、平方根的概念平方根是指某个数的平方等于它的数，即可称为该数的平方根。
例如，2的平方根为√2，因为√2 × √2 = 2。
同样的，4的平方根为2，因为2 × 2 = 4。
需要注意的是，非负数都有平方根，但负数没有实数平方根。
三、平方根的运算法则接下来，我们需要了解一些平方根的运算法则。
首先是平方根的乘法，即√a × √b = √ab。
例如，4的平方根乘以9的平方根等于36的平方根，即2 × 3 = 6。
其次是平方根的除法，即(√a) ÷ (√b) = √(a ÷ b)。
例如，16的平方根除以4的平方根等于4的平方根。
最后是平方根的加减法，即√a ± √b = √(a ± b)。
例如，3的平方根加上2的平方根等于√(9+4) = √13。
四、平方根的化简对于一些带根式的运算，我们可以通过化简的方式来简化结果。
具体来说，我们需要将分子里的平方数提取出来。
例如，把√50化简成√(25×2)，再把25的平方根提取出来，即为5√2。
在实际计算中，平方根的化简可以大大简化运算过程，提高计算的效率。
五、平方根的应用在生活和工作中，平方根有着广泛的应用。
例如，在建筑中，需要计算建筑面积和体积等数据时，就需要用到平方根。
此外，在学习科学和技术时，平方根也是重要的工具之一。
例如，在物理中，速度的计算就需要用到平方根。
总结：在七年级下学期的数学课程中，平方根是基础和重要的知识点之一。
七年级数学平方根、立方根、实数本章复习
本章复习本章的知识网络结构：知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：1.如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；3.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：1.如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±B ．24±= C.81的平方根是3± D.0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ） A.981±= B.14.314.3-=-ππ C.3927-=- D.235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
七年级上册平方根的知识点
七年级上册平方根的知识点介绍
平方根是数学中经常使用的一种运算方法，对于我们学习数学也有重要的意义。
本文将为大家详细介绍七年级上册平方根的知识点。
一、平方根的定义
平方根是指一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是这个数的平方根。
比如，3的平方根是√3，因为3的平方是9，√3也就是3的一个正平方根。
二、平方根的性质
1. 正数的平方根是一个正数，而负数则没有平方根。
2. 一个正数的平方根可以有两个解，即正根和负根。
例如，4的平方根可以是正的2或负的-2。
3. 如果是一个实数的平方根，则必须要求这个实数大于或等于0。
三、平方根的运算
1. 运用乘方的方法来计算平方根。
比如，在计算4的平方根时，可以表示为4^(1/2)，结果为2。
2. 可以运用除法法来计算平方根。
例如，√2可以化成2/√2，结果为√2。
3. 可以间接求解平方根，通过乘积进行计算。
比如，求解12
的平方根，在1-12中找到两个数相乘可以得到12的最小数，可以得到2×6或3×4，因此12的平方根为2√3或2×2。
四、应用实例
1. 用平方根来计算三角形的面积，就可以先求出三角形周长，
然后运用海伦公式来求得三角形面积。
2. 平方根也常常被用来计算人口增长率、股票的涨跌幅度等。
结语
以上便是七年级上册平方根的知识点介绍，本文尽可能详尽地介绍了平方根的定义、性质、运算以及应用实例等方面。
希望这篇文章能够帮助各位同学更好地掌握平方根的概念和使用方法。
七年级数学平方根知识点复习
平方根是数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
所以理解和掌握平方根成为学习数学的关键。
以下是七年级数学平方根知识点的复习，详细介绍了关于平方根的概念、性质和运算等内容。
一、平方根的概念1.平方根的定义：对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么称x是a的平方根。
2.平方根的符号：x的平方根用符号√a表示，读作“根号a”，也可以简写为√a=x。
3.平方根的记法：如果a的平方根是一个整数，那么a就是一个完全平方数。
4.平方根的求解：为了求一个数a的平方根x，可以通过不断试探的方法，找出一个数x，使得x的平方与a尽可能接近。
二、平方根的性质1.平方根的非负性质：任何实数的平方根都是非负数，即√a≥0。
2.平方根的非负性质的逆命题：如果x≥0，那么x的平方是非负数。
3.平方根的唯一性质：对于任何非负实数a，其平方根是唯一的。
4.平方根与乘法的关系：(√a)²=a，即一个数的平方根的平方等于该数。
5.平方根与除法的关系：√(a/b)=√a/√b，即一个数的商的平方根等于该数的平方根之商。
三、平方根的运算1.简化平方根：将一个平方数的平方根记作一个整数，如√25=52.估算平方根：根据平方根的性质，可以通过估算找到一个接近实数的平方根。
3.混合运算：在进行数学运算时，可以使用平方根来简化计算，如√(a²b³)=a√(b³)。
四、平方根的应用1.平方根的图像：平方根函数的图像是一条抛物线，开口向上，图像通过原点。
2.长方形的对角线：对于一个长方形，它的对角线的长度等于两个边长的平方根的平方根，即d=√(a²+b²)。
3.直角三角形的斜边：对于一个直角三角形，斜边的长度等于两条直角边长的平方根的平方，即c²=a²+b²。
以上是七年级数学平方根知识点的复习，希望能够帮助你理解和掌握平方根的概念、性质和运算等内容。
七年级平方根知识点
七年级平方根知识点平方根是数学中常见的概念，也是七年级数学中的重要知识点。
学好平方根，不仅可以提高数学素养，还能帮助我们解决实际问题。
下面就来详细了解一下七年级平方根知识点。
1. 平方根的定义平方根指的是一个数的正平方根或负平方根。
例如正数a的正平方根是x，即x²=a，那么x就是a的正平方根；负数a的平方根是i*x，即(i*x)²=a，其中i表示虚数单位，那么i*x就是a的负平方根。
2. 平方根的性质平方根有以下几个重要的性质：（1）正数的平方根是正数，负数的平方根是虚数；（2）任何正数都有两个平方根，一个正平方根和一个负平方根；（3）零的平方根是零，任何负数的平方根都不存在实数解。
3. 简化平方根当我们求解平方根时，有一些情况下可以将平方根简化为较小的数。
例如对于正整数a，如果a可以分解成两个数的积，那么a 的平方根可以被简化。
具体地说，我们可以找到a的因数b和c，使得a=b*c，那么a的平方根就可以化简成根号b*根号c。
4. 平方根的运算在平方根的运算中，最基本的运算是加减。
有平方根的表达式相加减时，我们需要先将同类项合并，再根据平方根的性质进行约分，最后将常数项相加减即可。
在乘除运算中，平方根可以和普通数相乘除，也可以和平方根相乘除。
具体方法如下：（1）和普通数相乘除时，我们可以将平方根化简为最简形式，再和另一个数相乘除。
例如sqrt(2) * 3 = 3sqrt(2)，3 / sqrt(2) =3sqrt(2) / 2。
（2）和平方根相乘除时，我们需要用到一个公式：sqrt(a) *sqrt(b) = sqrt(ab)。
例如，我们要求解sqrt(2) * sqrt(3)，可以将其化为sqrt(6)，即sqrt(2)*sqrt(3) = sqrt(6)；同样地，我们也可以将sqrt(2)/sqrt(3)化为sqrt(2/3)。
5. 平方根的应用平方根除了在数学中起到重要的作用外，在实际生活中也有许多应用。
七年级下册数学期末考复习专题01平方根及立方根(知识点串讲)【含答案】
专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A．B．C．D．12±12-12116练习1_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
例3．（·_________的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．3x a=2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ）A ．8的立方根是2B ．﹣8的立方根是﹣2C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）的立方根是__________．8-例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c 5a 2+3a b 1+-分．（1（求a ，b ，c 的值；（2）求的平方根．3a b c -+练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±C解：9的平方根是.3±故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A ．B ．C ．D ．12±12-12116C 本题解析: ∵ ，211()24=∴的算术平方根为，1412+故选C.练习1 _____．2，的算术平方根是2，4 2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
初中数学平方根知识点归纳
初中数学平方根知识点归纳数学中的平方根是许多初中生在学习中常常接触到的知识点之一。
平方根可以说是代表着数学中的一种特殊运算，它可以帮助我们解决一些平方数的性质和问题。
在本文中，我将为您归纳总结初中数学中与平方根相关的知识点。
首先，让我们明确平方根的概念。
平方根是指一个数的平方等于另一个数的时候，这个数就是另一个数的平方根。
以数学符号表示，如果a²=b，那么a为b的平方根。
例如，4的平方根是2，因为2²=4。
接下来，我们可以讨论一下平方数和非平方数。
平方数是指等于一个数的平方的数字，而非平方数则是指不是平方数的数字。
以平方根的概念来理解，平方数的平方根一定是一个整数，而非平方数的平方根则是一个无理数，即无法用两个整数比值来表示的数。
在初中数学中，我们还需要了解一些关于求平方根的基本方法。
最常见的方法是通过计算器求平方根。
大多数科学计算器都有求平方根的功能，只需要按下相应的按钮，即可得到平方根的近似值。
另外一种方法是通过各种数值逼近方法来计算平方根，例如牛顿迭代法和二分法。
这些方法是更加高级的方法，初中阶段一般不需要深入学习。
了解了基本方法后，我们可以进一步探讨平方根在代数中的运算规则。
首先是平方根的乘法和除法规则。
如果a和b都是正数，那么(a√b)的平方等于a²乘以b。
例如，2√3的平方等于2²乘以3，即12。
另外，a√b除以a等于√b。
例如，4√7除以4等于√7。
这些规则可以帮助我们简化平方根的运算。
在初中数学中，我们还会遇到一些关于平方根的应用问题。
例如，通过求平方根可以帮助我们计算一些几何图形的边长。
以正方形为例，如果已知正方形的面积，我们可以通过求平方根来计算出正方形的边长。
同样地，在解决勾股定理的应用问题时，平方根也是一个重要的工具。
勾股定理告诉我们，一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
当我们已知两个直角边的长度时，可以通过求平方根来计算出斜边的长度。
人教版七年级数学第六章实数6.1平方根
a
－a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解：(1)因为(±11)2=121，
所以121 的平方根是±11，算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
，因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
，算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) －( －4)3=64，因为( ±8)2=64， 所以－ (－4)3 的平方根是±8，算术平方根是8.
感悟新知
解：(1)因为1＜ 3＜2，所以0＜ 3－1＜1.
所以 3－1＜ 1 . 22
(2)因为 401＞ 400=20，
所以 401－5＞ 400－5 20－5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)－ 10与－3.2;
(2) 6－1 与 2＋1；
2
2
(3) 99－7 与 8 . 25
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
初中数学平方根知识点整理
初中数学平方根知识点整理平方根是数学中的一个重要概念，它是指一个数的平方根是另一个数，即被开方的数。
在初中数学中，平方根是一个基础知识点，学生需要掌握平方根的计算方法和相关性质。
下面我们来整理一下初中数学中关于平方根的知识点。
一、平方根的定义1.正数的平方根：如果a的平方等于b，那么b就是a的平方根，记为√b=a。
例如，√9=3，因为3的平方等于92.负数的平方根：负数的平方根可以写成√-a=i√a，其中i是虚数单位。
例如，√-9=3i，因为3i的平方等于-9二、平方根的计算1.简化平方根：将一个数写成两个数的积的形式，其中一个数是能被开方的完全平方数，这样就可以简化平方根的计算。
例如，√75=√25×3=5√32.估算平方根：对于不是完全平方数的数，可以通过估算来计算它的近似值。
例如，√13≈3.6，因为3.6的平方约等于13三、平方根的性质1.非负性：平方根是非负数，即√a≥0。
2.奇函数：平方根函数是奇函数，即√(-a)=-√a。
3. 开平方的性质：如果a≥0，b≥0，则√(ab)=√a×√b。
4.套用公式：如果√a=√b，则a=b；如果√a=-√b，则a=-b。
四、平方根的应用1.平方根定理：平方根定理是一个在初中数学中广泛应用的公式，它是勾股定理的推广，用于解决关于直角三角形的问题。
2.模型问题：平方根在数学建模中有着广泛的应用，例如在物理学中用于求解速度、加速度等问题。
3.几何问题：平方根在几何图形中也有着重要的应用，例如用于求解正方形的对角线长度。
总结：平方根是初中数学中重要的知识点之一，学生要熟练掌握平方根的计算方法和性质，灵活运用平方根解决各种问题。
希望以上整理的知识点能够帮助学生更好地理解和掌握平方根的概念。
初一平方根知识点
初一平方根知识点
成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。
小编给大家准备了初一年级下册数学第六章知识点，欢迎参考！
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
规定：0的平方根是0。
负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。
例如：—1的平方根为±1i，—9的平方根为±3i。
平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
任何复数都有平方根。
算术平方根为：√a=a（a为非负数）
被开方数是乘方运算里的幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即±√a=±x（a为非负数）
小编为大家提供的初一年级下册数学第六章知识点就到这里了，愿大家都能在学期努力，丰富自己，锻炼自己。
七年级数学平方根知识点复习
二、知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-，2x -等都不是二次根式。
2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。
3、二次根式a （a ≥0）的非负性a （a ≥0）表示a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，即a 0（a ≥0）。
注意：因为二次根式a （a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2()a （a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若0a b +=，则a=0,b=0；若20a b +=，则a=0,b=0；若20a b +=，则a=0,b=0。
4、二次根式2()a 的性质：2()a a =（a ≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式2()a a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2()a a =，如：22(2)=，211()22=。
5、二次根式的性质2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：（1）、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即2(0)a a a a ==≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a, 即2 1.4143 1.7325 2.236 7 2.646≈≈≈≈； ； ；；2、2a 中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义；3、化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简。
初一数学下册：平方根知识点
一、平方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．（6）<—>a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式(x≥0)中，规定x=。
（2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）(x≥0)<—>a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
七年级下册平方根知识点
七年级下册平方根知识点平方根是初中数学的一项重要知识点，也是许多同学感到困惑、学习困难的重要原因之一。
本文将从以下几个方面详细介绍七年级下册平方根的相关知识点。
1. 平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的值。
比如说，正整数9的平方根就是3，因为3的平方等于9。
平方根用符号√表示，比如√9就表示9的平方根。
2. 平方根的计算方法对于一个正整数n，它的平方根可以用迭代法来计算。
首先猜测一个数x，然后计算x²和n的差值，如果差值比较小，就认为这个x就是n的平方根；如果差值较大，就用x和n/x的平均数来代替原来的x，然后重复上面的步骤，直到差值足够小为止。
当然，在实际应用中，我们一般会用计算器来得到平方根的近似值。
3. 平方根的性质平方根具有以下几个重要的性质：(1)两个正实数的乘积的平方根等于它们的平方根的积，即√(a*b) = √a * √b。
(2)平方根满足反函数的性质，即√(a²) = a。
(3)平方根的值域为非负实数，即√a ≥ 0。
(4)平方根满足单调性的性质，即如果a>b，则√a > √b。
4. 平方根的应用平方根在许多科学领域和实际生活中都有广泛的应用，比如：(1)在物理学中，平方根被用来计算快速运动体的速度和加速度。
(2)在工程学中，平方根被用来计算建筑物和桥梁的结构强度。
(3)在金融学中，平方根被用来计算股票和股市指数的波动率。
(4)在日常生活中，平方根被用来计算房间的面积和体积。
总之，平方根是一项重要的数学知识点，对于初中数学的学习至关重要。
希望本文能够帮助大家更好地掌握平方根的相关知识，从而取得更好的成绩。
平方根总结知识点
平方根总结知识点一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的操作，比如数a的平方根就是满足等式：x^2= a的x，记作√a。
1. 正数的平方根当a是非负实数时，存在一个非负实数x，使得x^2 = a成立，这个非负实数就是a的平方根。
如果a=0，则a的平方根为0；如果a>0，则a的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。
比如，√9=3，-3。
2. 负数的平方根当a是负实数时，不存在任何实数x，使得x^2 = a成立，因此负数没有实数域内的平方根，这在实数范围内是没有意义的。
3. 复数的平方根如果a是负数，则我们可以在复数域内寻找a的平方根，因为复数域中规定了i^2 = -1，即虚数单位i的平方为-1。
因此，负数a的平方根可以表示为√a=i√|a|，其中|a|表示a的绝对值。
二、平方根的性质平方根具有一系列性质，这些性质对于平方根的运算和性质分析都有着重要的作用。
1. 非负实数的平方根性质（1）正数的平方根是非负实数，即√a≥0。
（2）如果a<b，则√a<√b。
（3）平方根的运算性质：a) √(ab) = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）2. 负实数与复数的平方根性质（1）负实数的平方根是复数且成对出现，例如√-4 = 2i。
（2）负实数的平方根满足共轭关系：如果z是负数a的平方根，那么z的共轭z*也是负数a的平方根。
3. 平方根的运算规律（1）平方根的加减法计算：a) √a + √b = √(a + 2√ab + b)b) √a - √b = √(a - 2√ab + b)（2）平方根的乘除法计算：a) √ab = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）三、平方根的计算方法1. 精确计算如果已知某个数的精确值，可以直接通过平方根的定义来计算，即求解方程x^2 = a。
但是这种方法对于大数来说较为繁琐，且无法精确计算出其平方根。
七年级数学平方根知识点
七年级数学平方根知识点作为学习数学的基础知识，平方根无疑是七年级数学课程中必不可少的一部分。
掌握平方根的知识，不仅有助于我们更好地理解数学知识体系，还可以帮助我们更好地应对日常生活中的数学问题。
本文将就七年级数学平方根知识点进行详细阐述。
一、什么是平方根顾名思义，平方根就是某个数的平方等于它自己的根。
比如2的平方根，就是一个数x，满足x的平方等于2。
通常情况下，平方根用符号√表示。
在数学中，平方根通常有两个解，一个是正的，另一个是负的。
二、平方根的性质平方根具有以下性质：1.非负数的平方根唯一。
也就是说，一个非负数只有一个正的平方根。
2.任何正数的平方根都是正数。
3.如果一个数的平方小于另一个数，则该数的平方根小于另一个数的平方根。
也就是说，平方根具有单调性。
4.如果x>0，那么x的平方根与x互为倒数。
三、平方根的求法1.手算法在七年级数学中，学生可以通过手算法来计算正数的平方根。
一般来说，人们使用“长除法”来进行平方根的计算。
具体方法如下：（1）在要求的数中，从右向左开始，每两位一组加上一个空位。
如果位数是奇数，可以在左边再加上一个空位。
例如，对于数字225，可以写成2 25。
（2）从左向右，找出第一个数字，使它的平方比前面两位数小或等于，将这个数字写在平方根的下面。
例如，对于数字225，可以先把根号下的空格填上一个5。
（3）将前面的这个数字与第一个数成一组，将他们的乘积写在前面两位上。
（4）从新的两位数或三位数中找出一个数，使它与前面的数成一组，且使得前面一组数与新的数成的积小于两位数或者三位数。
将这个数写在根号下面，并计算出与前面一组数字的积。
重复这个步骤，直到所有数字都用完。
2.计算器法另一种计算平方根的方法是使用计算机。
一般来说，在计算中使用平方根函数（sqrt()），可以快速准确地获得平方根。
例如，对于数字2，可以在计算器上输入sqrt(2)，即可获得2的平方根。
四、平方根的应用平方根在日常生活中有着广泛的应用。
平方根(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
平方根（5种题型）【知识梳理】一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质x a 2x a =x a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪−<⎩()20a a =≥四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：.【考点剖析】题型一、平方根和算术平方根的概念例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2－4＝－（3－1），解得＝1；∴的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【变式1】下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（ ）（2．（ ）（3）的平方根是．（ ） 250=25= 2.5=0.25=m m m m m m m m m ()24−9−4=±21()10−110±（4）是的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．【变式3】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以例2、 填空：（1）是 的负平方根．（2表示 的算术平方根， ．（3的算术平方根为 ． （4，则 ，若，则 ． 【思路点拨】（3就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 【变式1】下列说法中正确的有（ ）：③ 3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根． ④ 是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】的平方根是 ．25−−4254=25425a a m m a a m a a a a a m ()()22212111a −=⨯−=a a a ()()22221[2(1)1]39a −=⨯−−=−=4−=3=x =3=x =181191911;164138−【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.例3.为何值时，下列各式有意义？； (4)．【答案与解析】解：(1)因为，所以当(2)由题意可知：，所以(3)由题意可知：解得：．所以(4)由题意可知：，解得且．所以当且时有意义．【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．【变式1的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，≥0，≥0.【变式2】已知，求的算术平方根．【答案】解：根据题意，得则，所以＝2，∴，∴．x 3x −20x ≥x 40x −≥4x ≥1010x x +≥⎧⎨−≥⎩11x −≤≤11x −≤≤1030x x −≥⎧⎨−≠⎩1x ≥3x ≠1x ≥3x ≠3x −x x 1−x x 1−a a 2b =11a b+320,230.a a −≥⎧⎨−≥⎩23a =b 1131222a b +=+=11a b +=题型二、平方根的运算例4、求下列各式的值．；【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：；．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．题型三、利用平方根解方程例5、求下列各式中的x值， （1）169x 2=144（2）（x ﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x ，x=x=. （2）（x ﹣2）2﹣36=0，（x ﹣2）2=36，x ﹣2=2234+2234+257535==⨯=110.63035=⨯−⨯90.26 1.72=−−=−(0)a a =>2144=1691213±x ﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．【变式1】求下列各式中的.（1） （2）； （3）【答案与解析】解：（1）∵∴ ∴（2）∵∴∴＋1＝±17＝16或＝－18.（3）∵∴∴∴【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.【变式2】求x 的值：（x ﹣2）2=4．【答案】解：∵，∴（x ﹣2）2=36， x 23610;x −=()21289x +=()2932640x +−=23610x −=2361x =19x ==±()21289x +=1x +=x x x ()2932640x +−=()264329x +=8323x +=±21499x x ==−或∴x ﹣2=6或x ﹣2=﹣6，解得：x1=8，x2=﹣4．题型四、平方根的综合应用例6.若x ，y 为实数，且满足．求的值．【答案与解析】解：∵+|y ﹣|=0， ∴x=，y=， 则原式=1．【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x ，y ，然后代入求值即可.，求的值． 【答案】，得，，即，． ①当＝1，＝－1时，．②当＝－1，＝－1时，． 【变式2】已知a 2＝16，|﹣b |＝3，解下列问题：（1）求a ﹣b 的值；（2）若|a +b |＝a +b ，求a +b 的平方根．【分析】（1）根据平方根、绝对值的定义解决此题．（2）根据平方根、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：（1）∵a2＝16，|﹣b|＝3，∴a ＝±4，b ＝±3．∴当a ＝4，b ＝3，则a ﹣b ＝4﹣3＝1；当a ＝4，b ＝﹣3，则a ﹣b ＝4﹣（﹣3）＝7；当a ＝﹣4，b ＝3，则a ﹣b ＝﹣4﹣3＝﹣7；当a ＝﹣4，b ＝﹣3，则a ﹣b ＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．综上：a ﹣b ＝±1或±7．0=20112012x y +0+=210x −=10y +=1x =±1y =−x y 20112012201120121(1)2x y +=+−=x y 2011201220112012(1)(1)0x y +=−+−=（2）∵|a+b|＝a+b ，∴a+b ≥0．∴a+b ＝1或7．∴当a+b ＝1时，a+b 的平方根为±1；当a+b ＝7时，a+b 的平方根为±． 综上：a+b 的平方根为±1或±．【点评】本题主要考查平方根、绝对值，熟练掌握平方根、绝对值的定义是解决本题的关键． 例7、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片 使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得. . . ∵ ＞0， ∴ .∴ 长方形纸片的长为.∵ 50＞49, ∴.∴ , 即长方形纸片的长大于20.由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积． 2cm 2cm 2:3x x cm x cm 32300x x ⋅=26300x =250x =x x=cm 7>21>cm 2cm cm cm【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；（2）利用长×宽可得结论．【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；（2）阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣6．【点评】考查列代数式和算术平方根问题，得到两个正方形的边长是解决本题的关键．【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】(1)长方形纸片的长为，宽为cm(2)不能，理由见详解【分析】（1）设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据面积求出矩形的长和宽即可；（2）将（1）中求出的矩形的长与正方形的边长进行比较大小即可得出结果．（1）解：设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据题意得3x·2x=300，解得x=或x=−，则3x=，2x=．答：长方形纸片的长为，宽为；（2）小波不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：∵正方形的面积为400cm2，∴边长为20cm ，∵20>cm ，∴不能剪出符合要求的纸片．【点睛】本题主要考查了平方根的应用以及实数比较大小，解题的关键是理解题意并正确列出方程． 题型五：平方根小数点位数移动规律例8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（11.414≈14.14≈141.4≈，……0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873 1.225≈_____≈______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；【详解】解：（1 1.414≈14.14141.4≈，……0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873 1.22512.25≈0.3873≈；故答案为：12.25；0.3873；【变式】如果＝3.9522，则＝ ；＝39.522，则x ＝ ；【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x ＝1562；故答案为：395.22，1562；【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022秋•杭州期末）若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出20的算术平方根，再估算出其取值范围即可．【解答】解：20的算术平方根为，∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∵正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，∴正方形的边长小于5．故选：A．【点评】本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．2．（2015•下城区校级二模）的平方根（）A．4B．2C．±4D．±2【分析】先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义进行求解．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，∵（±2）2＝4，∴的平方根为±2．故选：D．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，需要先求出，是易错题，需要注意．3．（2022秋•越城区期中）“的平方根是±”用数学式子可以表示为（）A．B．C．﹣D．±【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根．4．（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±的数是（）A．B．C．D．±【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（）2＝，∴平方根是±的数是，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．5．（2022秋•桐乡市期中）平方根等于本身的数是（）A．﹣1B．0C．1D．0，±1【分析】根据平方根的定义选项．【解答】﹣1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1，故选：B．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题关键．6．（2020秋•义乌市期中）的算术平方根是（）A．4B．2C．±4D．±2【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，∴的算术平方根是2，故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．7．（2022秋•越城区期中）若，则＝（）A．1.01B．±1.01C．±0.101D．10.1【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．【解答】解：∵，∴故选B．【点评】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．二．填空题（共11小题）8．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±）2＝2，∴2的平方根一个是，另一个是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．9．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个数的一个平方根是﹣10，则另一个平方根是．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵一个数的一个平方根是﹣10，∴这个数是（﹣10）2＝100，∴100的平方根为±10，∴另一个平方根是10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．10．（2022秋•柯桥区期中）已知一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，则这个数是．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：∵一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，∴a+2＝﹣（a﹣18），∴a＝8，∴a+2＝8+2＝10，∴这个数是102＝100．故答案为：100．【点评】本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．11．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），∴a+a﹣4＝0，∴a＝2，∴b＝4，∴b﹣a＝2，∴（b﹣a）的算术平方根为，故答案为：．【点评】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键．12．（2022秋•永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，则b﹣c+2a＝．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b﹣c，代入计算即可．【解答】解：∵+（b﹣c+1）2＝0，∴a+3＝0，b﹣c+1＝0，∴a＝﹣3，b﹣c＝﹣1，∴b﹣c+2a＝﹣1+2×（﹣3）＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记算术平方根、偶次方具有非负性是解题的关键．13．（2022秋•兰溪市期末）如图，在3×3的方格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的边长是．【分析】根据正方形的面积＝大正方形的面积﹣三角形面积×4求出正方形的面积，从而得到正方形的边长．【解答】解：正方形的面积＝32﹣×2×1×4＝9﹣4＝5，正方形的边长＝．故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，求出正方形的面积是解题的关键．14．（2022秋•余姚市月考）4的算术平方根是．【分析】根据算术平方根的意义进行计算即可．【解答】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是正确计算的关键．15．（2021秋•松阳县期末）如图，在7×7方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是．【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查算术平方根，根据网格构造直角三角形是解决问题的关键．16．（2022秋•鹿城区校级期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是2a﹣1和3，则a的值为．【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值即可．【解答】解：根据题意得：2a﹣1+3＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．17．（2022秋•苍南县期中）如图，把一张面积为25的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为．【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设未知数，求出直角三角形的直角边，再根据长方形周长与“直角边”的关系进行计算即可．【解答】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设短直角边为x，则长直角边为2x，由题意得，x2+（2x）2＝25，解得x＝或x＝﹣（舍去），拼成的长方形的长为5x，宽为x，所以周长为（5x+x）×2＝12x＝12，故答案为：12．确解答的前提．18．（2022秋•萧山区期中）如图所示的是一个数值转换器．（1）当输入的x值为7时，输出的y值为；（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为；（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为．【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值；（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．【解答】解：（1）当x＝7时，则y＝；故答案为：；（2）当y＝时，（）2＝5，52＝25，则x＝25；故答案为：25；（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，∴所有满足要求的x的值为0或1．故答案为：0或1．【点评】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形的周长．【分析】设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据面积是72cm2列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．【解答】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，由题意得：2x⋅x＝72，即x2＝36，∵x＞0，∴x＝6，即这个长方形的宽为6cm，长为12cm，则这个长方形的周长2×（12+6）＝36（cm）．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．20．（2022秋•鄞州区校级月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．【分析】根据算术平方根和平方根的定义求出x、z的值，然后代入代数式求值即可．【解答】解：∵x＝，∴x＝5，∵z是9的平方根，∴z＝±3，∴分两种情况：当z＝+3时，5z﹣2x＝3×5﹣2×5＝5；当z＝﹣3时，5z﹣2x＝﹣3×5﹣2×5＝﹣25．故5z﹣2x的值为：5或﹣25．【点评】此题主要考查了算术平方根和平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．21．（2022秋•鄞州区期中）已知实数a，b，c满足：，求a+b+c的值．【分析】根据非负数的性质，可求出a、b、c的值，然后将代数式化简，再代值计算．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a+b+c＝﹣2+3+1＝2．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．（2021秋•余姚市校级期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义解决此题．（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解决此题．【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．∴a＝12，b＝﹣3．（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．∴a+b＝12﹣3＝9．∴a+b的平方根为＝±3．【点评】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解决本题的关键．23．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，∴2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝121；（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝1+0+5＝6，∴a+b+c的平方根是±．【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．24．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：（1）|a|+3有最（填“大”或“小”）值；（2）5﹣a2有最（填“大”或“小”）值；（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求a b的平方根．【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3；（2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案；（3）根据正整数以及方程的解的定义，得出a、b的值，再代入计算后，求其平方根即可．【解答】解：（1）∵|a|≥0，∴|a|+3有最小值，最小值为3，故答案为：小，3；（2）∵a2≥0，∴﹣a2≤0，∴5﹣a2≤5，即5﹣a2有最大值，最大值为5，故答案为：大，5；（3）∵正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，∴正整数a、b可能为：a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，所以ab的平方根为±＝±3；当a＝4，b＝1时，ab＝41＝4，所以ab的平方根为±＝±2；答：ab的平方根为±2或±3．【点评】本题考查平方根，偶次方，绝对值的非负性，理解平方根的定义以及偶次方、绝对值的非负性是解决问题的前提．25．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案；（2）根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，解得a＝4，∴a+3＝7，∴这个数是49；（2）由题意得：2m+1＝0，3n﹣2＝0，∴m＝﹣，n＝，∴m2+n2＝（﹣）2+（）2＝+＝，∴m2+n2的平方根是±．【点评】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，算术平方根与平方的和为0，算术平方根与平方同时为0，开平方的被开方数互为相反数，被开方数为0．26．（2020秋•诸暨市期中）先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x ＝1．解答问题：已知y＝++2，求x y的值．【分析】根据被开方数互为相反数，可得方程，根据解方程，可得x的值，再根据乘方运算，可得答案．【解答】解：已知y＝++2，1﹣2x＝0，2x﹣1＝0，解得x＝，则y＝2，则xy＝（）2＝．【点评】本题考查了算术平方根，注意算术平方的被开方数互为相反数时，被开方数相等等于零．。
数学七年级下册平方根的知识点
数学七年级下册平方根的知识点平方根是数学中一个非常重要的概念，它在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用。
在数学七年级下册中，我们将学习关于平方根的知识，包括平方根的定义、性质、计算等方面的内容。
通过学习平方根，我们可以更加深入地了解数学知识，并且在解决实际问题时有更强的能力。
本文将对数学七年级下册平方根的知识点进行详细的介绍和解析，帮助同学们更好地掌握这一部分知识。
一、平方根的定义1.1平方根的概念平方根是指一个数的平方等于另一个数的数值，通常用符号√来表示。
如果一个数a的平方等于b，那么我们就说b的平方根是a，记作√b = a。
其中，a称为平方根，b称为被开方数。
1.2平方根的性质平方根有以下几个重要的性质：（1）非负性：任何非负数的平方根都是一个非负数。
（2）唯一性：一个非负数的平方根是唯一的。
（3）零的平方根是0。
（4）负数没有实数平方根。
1.3平方根的表示方法平方根可以以分数、小数、甚至无理数的形式表示。
一些特殊的平方根可以用根式来表示，如√2、√3等。
二、平方根的计算2.1常见平方数的平方根在数学中，一些常见的平方数的平方根是容易计算的，如1、4、9、16、25等。
我们可以通过列举平方数表来记住这些平方数的平方根。
2.2用因数分解方法求平方根对于那些不是常见平方数的数字，我们可以通过因数分解的方法来求它的平方根。
以简化为最简分数的形式，例如√20 = √(2*2*5)= 2√5。
2.3用近似算法求平方根对于那些不能很容易求出精确值的平方根，可以使用近似算法来计算。
例如，通过不断迭代计算可以得到一个数字的近似平方根值。
三、平方根的应用3.1在几何中的应用平方根在几何中有着广泛的应用，例如在计算直角三角形的斜边长、正方形的对角线长度等方面。
3.2在物理中的应用物理学中常常涉及到平方根的运算，例如在速度、加速度、力等方面的计算中，都需要用到平方根。
3.3在工程中的应用在工程领域中，平方根也有着重要的应用，比如在计算机图形学、建筑设计、材料力学等方面都需要用到平方根。
七年级数学算术平方根知识点
七年级数学算术平方根知识点一、算术平方根的定义。
1. 正数的情况。
- 如果一个正数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
记作√(a)，读作“根号a”，a叫做被开方数。
例如，因为3^2 = 9，所以3是9的算术平方根，记作√(9)=3。
2. 特殊规定。
- 0的算术平方根是0，因为0^2=0，即√(0) = 0。
二、算术平方根的性质。
1. 双重非负性。
- 被开方数a≥slant0，因为任何数的平方都是非负数，所以在x^2=a中，a必须是非负的。
- 算术平方根√(a)≥slant0，算术平方根表示的是一个正数或者0。
例如，√(4)=2，√(0)=0，不存在√(- 4)（在实数范围内）。
2. 唯一性。
- 正数a的算术平方根是唯一的。
例如，9的算术平方根只有3，不会有其他正数满足其算术平方根的定义。
三、算术平方根的计算。
1. 完全平方数的算术平方根。
- 对于一些完全平方数，我们可以直接得出其算术平方根。
例如，16是完全平方数，因为4^2=16，所以√(16)=4；25是完全平方数，√(25) = 5（因为5^2=25）。
2. 非完全平方数的算术平方根。
- 对于非完全平方数，我们可以通过估算或者使用计算器来求其近似值。
例如，√(7)，因为4<7<9，所以√(4)<√(7)<√(9)，即2 <√(7)<3。
如果使用计算器，√(7)≈2.646（保留三位小数）。
四、算术平方根与平方根的关系。
1. 联系。
- 平方根包含算术平方根。
正数a有两个平方根，记作±√(a)，其中正的平方根就是它的算术平方根√(a)。
例如，9的平方根是±3，其中3是9的算术平方根。
2. 区别。
- 算术平方根是一个非负的数，而平方根有两个，一正一负（0的平方根是0）。
例如，16的算术平方根是4，而16的平方根是±4。
七年级下平方根知识点
七年级下平方根知识点平方根作为数学中的一种基础知识，其在日常生活中的运用广泛。
本文将重点介绍七年级下册中关于平方根的知识点，包括定义、求解方法、实数性质等内容，以帮助学生更好地理解和掌握平方根的相关知识。
一、定义平方根是指一个非负实数的非负根。
一个数的平方根可以表示为两个相同的实数或一个实数和一个虚数，但在本文中我们只关注实数的平方根。
举个例子，数x的平方根为y，即x的平方等于y。
符号表示为√x=y。
这里的√符号叫做根号，它表示的是对数进行开方的运算。
二、求解方法1.分解质因数法对于一个正整数，我们可以用分解质因数的方法求它的平方根。
具体过程如下：（1）将整数x进行分解质因数，即x=a1^b1×a2^b2×…×an^bn。
（2）对于每个因子ai^bi，将ai拆开成其中的平方数与剩余部分，即ai=c^2×d，其中c是ai的一个平方因子，d是ai中除以c^2后得到的余数。
（3）将所有因子ai拆开后，将平方因子和非平方部分分别提到根号外，并合并同类项，得到最终解。
2.近似法对于一些无法通过分解质因数等方法求解的数，我们可以使用近似方法得到其平方根的近似值。
最常见的方法是牛顿迭代法，其迭代公式为：xn+1=(xn+a/xn)/2其中xn是第n次迭代的近似值，a是待求解数。
通过多次迭代，我们可以得到a的平方根的近似值，当迭代次数越多时，结果越接近真实值。
三、实数性质1.非负性：任何正实数n的平方根是非负实数，即√n ≥ 0。
2.单调性：当x≥y时，有√x ≥ √y。
3.加法性：两个正实数的平方根的和，小于或等于它们平方根的和的平方根，即√(a+b) ≤ √a+√b。
4.乘法性：正实数的平方根的积等于这些实数的平方根的积，即√(ab) = √a ×√b。
四、应用实例1.计算面积在计算某一图形的面积时，平方根经常被用作求出某些边长或者斜边的长度。
比如，在计算直角三角形的面积时，需要求出斜边长度，而斜边长度就可以使用勾股定理计算得到：c²=a²+b²其中c为斜边长度，a和b为直角边长度。
七年级数学根号知识点
七年级数学根号知识点数学中的根号在初中阶段是一个非常重要的知识点。
在七年级的数学学习中，根号是必修的一个内容。
正确掌握根号的知识，可以帮助学生更深入地理解数学，提高数学成绩。
本文将为大家详细讲解七年级数学根号的知识点。
一、根号的概念根号是一种数学符号，通常表示对一个数进行平方根运算，如√16=4。
这里，根号符号“√”代表平方根运算符，后面的数“16”代表需要进行平方根运算的数。
二、根式的性质1. 根式的基本性质：如果a≥0，则√a≥0。
这个性质表明，如果一个数是正数，则它的平方根也是正数。
反之，如果一个数是负数，则它的平方根是虚数。
2. 根式的乘法性质：（√a）（√b）=√（ab）。
这个性质表明，两个数的平方根乘积等于这两个数的积的平方根。
3. 根式的除法性质：√（a/b）=√a/√b（其中b≠0）。
这个性质表明，一个数的平方根可以表示为分子的平方根除以分母的平方根。
三、根式的化简与求值在解决根式问题时，有时需要将根式化简成简单的形式，或者求出根式的准确值。
下面分别进行讲解。
1. 根式的化简①同底数相加减如果两个根式中的底数相同，就可以对它们进行加减运算。
例如：√2+√8=√2+2√2=3√2②合并同类项对于根式，像项可以合并成一项。
例如：3√2+2√3-2√2=√2+2√3。
③分解因数对于根式，可以先把里面的数分解因数后化简。
例如：√32=√16√2=4√2。
2. 根式的求值对于根式的求值，可以使用算术方法或几何方法。
①算术方法算术方法是采用数学运算的方法来求得根式的近似值。
例如：√5≈2.236。
这里的“≈”表示“近似于”。
②几何方法几何方法是通过几何意义来求得根式的精确值。
例如：可以用纸张、尺和圆规来制作一个正五边形，然后求出正五边形的对角线长度，这个长度就是√5的精确值。
四、根式方程的解法在解根式方程时，通常需要将方程中的根式分离出来，使用平方的逆运算求解。
常用的方法有两种：消去根式和两侧同乘。
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七年级数学平方根知识点复习 1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-，2x -等都不是二次根式。
2、取值范围 （1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。
3、二次根式a （a ≥0）的非负性
a （a ≥0）表示a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，即a 0（a ≥0）。
注意：a （a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，
所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2)a （a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若0a b =，则a=0,b=0；若20a b =，则a=0,b=020a b =，则a=0,b=0。
4、二次根式2)a 的性质：2()a a =（a ≥0）
描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式2)a a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过
来应用：若a ≥0，则2)a a =，如：22(2)=，211()22
=。
5、二次根式的性质
2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：（1）2a a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本2
(0)a a a a ==≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,
即2 1.4143 1.7325 2.236 7 2.646≈≈≈≈； ； ；
； 2、2a 中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义； 3、化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简。
6、2()a 与2a 的异同点
1、不同点：2()a 与2a 表示的意义是不同的，2()a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a 表
示一个实数a 的平方的算术平方根；在2()a 中2a a 可以是正实数，0，负实数。
但2)
a 2a 2)0a ≥20a ≥。
因而它的运算的结果是有差别的，2)a a =（a ≥0） ，2(0)(0)
a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
2、相同点：当被开方数都是非负数，即a ≥0时，2)a 2a a ＜0时，2)a 2a a =-。
7、二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab a b =；b b a a
=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．。