专题一元二次方程根与系数的关系(含答案)-
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数旳关系习题一、单选题:1.有关x 旳方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根旳状况是（ B ）(A ）有两个相等旳实数根 （Ｂ）有两个不相等旳实数根（C ）没有实数根 （Ｄ)不能拟定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2.设21,x x 是方程03622=+-x x 旳两根，则2221x x +旳值是（ C )(Ａ）1５ （B)12 （C)6 （D ）３21x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴ 2332121==+x x x x ， 623232=⨯-= 3.下列方程中，有两个相等旳实数根旳是( B ）（A ） 2y 2+5=6y(B)x ２＋５=2错误!ｘ(Ｃ）错误!x 2-错误!x+2=０（D)3ｘ2-2错误!x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4.以方程x 2＋2ｘ－３=0旳两个根旳和与积为两根旳一元二次方程是( B )（A ） y ２+5y －6=0 (B ）ｙ2+５y ＋６=０ （Ｃ）ｙ2－５y ＋６=０ (D)y 2－５y-6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴５．如果21x x ，是两个不相等实数,且满足12121=-x x ,12222=-x x ,那么21x x •等于( D )(A)２ （B ）－2 （C ） 1 （D)－1 1212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题:１、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等旳实数根,那么k ＝2±。
专题根与系数的关系含答案
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-12的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1=0．21求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根,求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26若存在,求出满足条件的正数m的值；若不存在,请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值．m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+121求证：无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长．8.设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根,当a 为何值时,x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：1∵方程有两个不相等的实数根, 例2. ∴△=b 2-4ac =-2m -12-4mm -2=4m +1＞0, 例3. 解得：m ＞-14,∵二次项系数≠0,∴m ≠0, 例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根； 例5. 2∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2α−1α,x 1x 2=α−2α, 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=x 1+x 22-3x 1x 2=2α−1α2-3(α−2)α=2, 例8.解得：m 1=√2+1,m 2=-√2+1舍去；∴m =√2+1．例9. 解：1∵△=-4m 2-44m 2-9=36＞0,例10. ∴此方程有两个不相等的实数根； 例11. 2∵x =4α±√362=2m ±3,例12. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例13. ∵2x 1=x 2+1,∴22m -3=2m +3+1,例14.∴m =5．例15. 解：1∵△=4-3m 2-4m 2m -8, 例16. =m 2+8m +16=m +42例17. 又∵m ＞0∴m +42＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根； 例19. 2∵方程的两个根分别为x 1、x 2x 1＜x 2,例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα,x 1x 2=2α−8α, 例21. n =x 2-x 1-12m ,且点B m ,n 在x 轴上, 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0, 例23. 解得：m =-2,m =4,例24.∵m ＞0,∴m =4．例25. .解：1∵方程x 2-2m +1x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例26. ∴△=-2m +12-4m 2+5=8m -16＞0,解得：m ＞2． 例27. 2∵原方程的两个实数根为x 1、x 2, 例28. ∴x 1+x 2=2m +1,x 1x 2=m 2+5． 例29. ∵m ＞2,例30. ∴x 1+x 2=2m +1＞0,x 1x 2=m 2+5＞0, 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2, 例33. ∴4m +12-2m 2+5=2m +1+2m 2+5,即6m -18=0,例34.解得：m =3．例35. 证明：1∵△=2k +12-16k -12=2k -32≥0, 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：2∵两实数根互为相反数, 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =； 例39. 3①当b =c 时,则△=0, 例40. 即2k -32=0,∴k =32, 例41. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4,则42-42k +1+4k -12=0, 例43. ∴k =52, 例44. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2, 例45. ∴c =2, C △ABC =10,例46. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例47.综上所述,△ABC 的周长为10．训练1.1证明：∵方程mx 2-m +2x +2=0m ≠0是一元二次方程, ∴△=m +22-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=m -22≥0, ∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α,αβ=2α, ∵1α+1α=1,∴α+2α2α=α+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解．2.解：1∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=-22-4m ≥0,解得m ≤1；2由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1x 2=m ,解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3, 解得{α1=32α2=12,∴m =x 1x 2=32×12=34； 3∵x 12-x 22=0,∴x 1+x 2x 1-x 2=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=-22-4m =0,解得m =1．3. 1证明：∵关于x 的方程x 2+m -3x -m 2m -3=0的判别式△=m -32+4m 2m -3=9m -12≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-m -3,x 1×x 2=-m 2m -3,令x 12+x 22=26,得：x 1+x 22-2x 1x 2=m -32+2m 2m -3=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. 1证明：在方程x 2-6x -k 2=0中,△=-62-4×1×-k 2=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14, 解之得：{α1=8α2=−2, ∴x 1x 2=-k 2=-16,∴k =±4．5. 解：1∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=-2k -32-4k 2+1=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0,解得：k ＜512；2∵k ＜512,∴x 1+x 2=2k -3＜0,又∵x 1x 2=k 2+1＞0,∴x 1＜0,x 2＜0,∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-x 1+x 2=-2k +3,∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3,∴-2k +3=2k 2+2-3,即k 2+k -2=0,∴k 1=1,k 2=-2,又∵k ＜512, ∴k =-2．6. 解：1∵△=m -22-4×12m -3=m -32+3＞0, ∴无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2,2x1+x2=x1+x1+x2=m+1,∴x1=m+1+2-m=3,把x1代入方程有：9-3m-2+12m-3=0解得m=245．7. 解：1将x=3代入方程中,得：9a-1-15+4a-2=0, 解得：a=2,∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0,解得：x1=2,x2=3．∴a的值为2,方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3,∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0,∴α≤12又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4,根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时,x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12,即最小值为12．。
八年级下册数学 一元二次方程根与系数的关系复习专题(附答案)
八年级下册数学 一元二次方程根与系数的关系复习专题（附答案）一、单选题1.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则关于x 的一元二次方程ax 2-bx-c=0的根为（ ）. A. -2,-3 B. -6,1 C. 2,-3 D. -1,62.一元二次方程ax 2+bx+c=0中，若a>0，b<0，c<0，则这个方程根的情况是（ ）A. 有两个正根B. 有两个负根C. 有一正根一负根且正根绝对值大D. 有一正根一负根且负根绝对值大3.已知一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)=0(a≠0，x 1≠x 2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x 1 ， 若一元二次方程a(x-x 1)(x-x 2)+(dx+e)=0有两个相等的实数根，则( )A. a(x 1-x 2)=dB. a(x 2-x 1)=dC. a(x 1-x 2)²=dD. a(x 2-x 1)=d4.已知方程x 2-2x-5=0，有下列判断：①x 1+x 2=-2；②x 1•x 2=-5；③方程有实数根；④方程没有实数根；则下列选项正确的是（ ）A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①②④ 5.若x 1 ， x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根，则x 1x 2的值是（ ）A. -2B. -3C. 2D. 36.已知A ，B 是两个锐角，且满足 sin 2A +cos 2B =54t ， cos 2A +sin 2B =34t 2 ，则实数t 所有可能值的和为（ ） A. - 83 B. - 53 C. 1 D. 113 7.下列各式计算正确的是（ ）A. a 3⋅a 2=a 6B. a 5+a 5=a 10C. (−2a 3)3=−8a 9D. (a −1)2=a 2−1 8.若多项式2x 2+3y+3的值为8，则多项式6x 2+9y+8的值为（ ）A. 1B. 11C. 15D. 239.已知实数a ，b 分别满足a 2−6a +4=0,b 2−6b +4=0 ， 且a≠b ，则b a +a b 的值是( )A. 7B. －7C. 11D. －1110.已知实数 m 、n 满足 x 2−7x +2=0 ，则 n m +m n 的值是（ ）A. 452B. 152C. 152 或2D. 452 或2 二、填空题11.已知关于x 的方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是________12.设m 、n 是方程x 2+x-1001=0的两个实数根，则m 2+2m+n 的值为________。
完整版一元二次方程根与系数的关系的关系含答案
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系-， B重难点解读—————————根据方程中两根的关系确定方程中字母的值☆重难点的取值范围；1）求实数k○随堂例题（2222的kx=16+x满足、2）若xxx+x?，求实数（-1=0）（xx1例已知关于的方程+2k-1x+k有211212．、x两个实数根x值． 21．）则m的值为（自主解答：（1）∵关于x的方程x+（2k-1）x+k-1=0的两个根，且x+x=1-xx，22D21121．-2 D．1或-2 C．A．有两个实数根x，x， -1或2 B21222，+（m+2）x+m=02.已知关于x的一元二次方程x 0，-1∴△=（2k-1）-4（k）=-4k+5≥取何值，原方程总有两个不相m（1）求证：无论55等的实数根；11?，是原方程的两根，x且（=-22）若x，21xx22有两（2）∵关于x的方程x+（2k-1）x+k-1=021.求m的值2．?，∴x+x=1-2k，xx=k-1个实数根x，x22111222取0，∴无论m解：（1）△=（m+2）-4m=m+4＞222，+x）-2x?x=16+x?x=∵x+x（x22211112何值，原方程总有两个不相等的实数根；2222 -4k-12=0，即，k（∴1-2k-1）-2×（k）=16+（k-1），x是原方程的两根，（2）∵x 或解得k=-2k=6（不符合题意，舍去）．21 =m．+x∴x=-（m+2），xx ．∴实数k的值为-22211xxm?112?题目中提到两个实数根，即隐【一中名师点拨】21? =-2，=∵=-xxxxm当根据方程中两根的；含着根的判别式大于等于02211是分式方程的解，且符合，经检验，m=2解得m=2关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式的值为2．题意，∴m +x转化为含x及x.x的形式2211○随堂训练22-m-1=0x-2mx+m是方程，20171.（烟台）若xx21课后达标基础训练22的值x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a呼和浩特）2017关于x的一元二次方程x+（a-2a）1.（ B ）为（0．2或．2 B．0 C．1 DA2） A 已知关于x的方程x+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（2.（2017新疆）6．3 DA．-3 B．-2 C．2 D ）x-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ 3.已知m，n是一元二次方程2D．-6 B．-2 C．0 A．）x，x为根的一元二次方程是（ A =30，4.已知实数xx满足x+x=11，xx，则以2121112222+11x+30=0．Ax-11x+30=0 B．x22-11x-30=0．x+11x-30=0 D．xC3311222x=+ 2 ；+=；x=+ 是方程、5.已知xx2x+3x-4=0的两根，那么xx=；x·x??2212111242xx12237. ；=??xx?21442 -1 .的值为，则a+b+ax+b+1=0的解为x=x=26.已知关于x的方程x21323232x+1=0 .x-7.以-2+和为两根的一元二次方程是2. 的值-5，求方程的另一根及m8.已知方程5x+mx-10=0的一根是，解：设方程的另一个根为km2?k?，得，解得则-5k=-2m=23. ，又k-5=55已知关于x的一元二次方程kx+x-2=0有两个不相等的实数根．29.的取值范围；k）求实数1（．，求k的值．x，x，且满足x+x+3x?x（2）设方程两个实数根分别为212121112-，解得k＞且△22 =30=1-4k?（-2）＞0解：（1且k≠0；（2）根据题意得x+x=-，）根据题意得k≠21k8221122222，k=-）-=3，整理得3k+2k-1=0，解得?+xxx=-，∵x+3x?x=3，∴（x+x）+xx=3，∴，k=-，2m-x+=有两个实数10已知关的一元二次方x21的取值范围；1）求实数m（2-5+3xx的值．=6-xx，求（x-x）（2）若x+x2112112232222≤；，∴m2m-3）-4m=4m-12m+9-4m=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0解：（1）△=（4222，∴-2m-3=03-2m=6-m，∴mx+x=6-xx，∴+x=-（2m-3）=3-2m，xx=m，又∵（2）由题意可得x22111122322+x）-4xxx+3xx-5==1，∴（x-x）+3xx-5=m=3，m=-1，又∵m≤（，，∴m=-1，∴x+x=5xx2111112122221122422（x+x）-xx-5=5-1-5=19．2211能力提升（2017仙桃）若α、β为方程2x-5x-1=0的两个实数根，则2α+3αβ+5β的值为（ B ）2211.A．-13 B．12 C．14 D．1511221. ，则= ≠0）满足a-a-2018=0,b-b-2018=0（12.若非零实数a，ba??ba2018 1522，的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为k+1）x+k+1=013.已知关于x的方程x-（4求k= 2 .已知关于x的一元二次方程x+(2k+1)x+k-2=0的两根为x和x，且(x-2)(x-x)=0，则k的值2214.是 -2211219 .或-422=0. -4x-m已知关于x的一元二次方程x15.（2017黄石））求证：该方程有两个不等的实根；（1 ，求m的值．满足x、xx+2x=9（2）若该方程的两实根211222222，）-m=16+4m ＞0（=0中，△=-4）-4×1×（-4x-m解：（1）∵在方程x ∴该方程有两个不等的实根；，x、x（2）∵该方程的两个实数根分别为212=-m②．=4+x①，x?xx∴2211=5，，③，∴联立①③解得+2x ∵x=9x=-1x211252．±?x∴xm=，解得=-5=-m21．。
一元二次方程根与系数的关系含答案
1 一元二次方程根与系数的关系 一、学习要求： 一元二次方程根与系数的关系作为观察与猜想提供给同学们，同学们还是应认真研究，交流体会，它能更深入地认识和理解一元二次方程．学有余力的同学还可以学习它在其它方面的应用．二、同步训练：(一)填空题： 1．如果x 1，x 2是方程2x 2＋4x －1＝0的两根，那么x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝______．2．若α，β是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则11αβ+=______． 3．若α，β是方程x 2－3x ＝5的两根，则α2＋β2－αβ的值是______4．若x 1，x 2是方程2x 2＋ax －c ＝0的两个根，则x 1＋x 2－2x 1x 2等于______(结果用a ，c 表示)．(二)选择题：5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是零的条件是( )(A)b 2－4ac ＝0 (B)b ＝0 (C)c ＝0(D)c ≠0 6．若α，β是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则＋＋的值是( ) (A)－7 (B)213- (C)21- (D)7 7．已知一元二次方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，则方程的另一个根为( )(A)53(B)53- (C)－3 (D)38．已知一元二次方程2x 2－3x ＋3＝0，下列说法中正确的是( )(A)两个实数根的和为23-(B)两个实数根的和为23 (C)两个实数根的积为23 (D)以上说法都不正确2(三)解答题：9．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系计算下列各式的值：(1);221221x x x x (2)(x 1－x 2)2．10．若关于x 的方程2x 2＋(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的一个根是2，求它的另一个根．11. 已知关于x 的方程x 2－2(m －2)x ＋m 2＝0．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．3参考答案1．－2，21-2．23- 3．244．c a +-25．C6．B7．B8．D9．(1)29 (2)3 10．21- 11. m ＝－2，提示：由,562221=+x x ，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝56，所以有[2(m －2)]2－2m 2＝56 解之m 1＝－2，m ＝10，检验可知m ＝10不合题意。
初中数学专题复习一元二次方程的根与系数的关系(B)及解答
一元二次方程的根与系数的关系(B)一、 填空：1．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0，Δ≥0)有两个实数根x 1和x 2，那么x 1+x 2=______，x 1x 2=_____．2．韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用，因此等式 x 1+x 2 = -a b ，x 1x 2= ac 成立的条件是：a________，Δ________．3．根据乘法公式填空:(1)x 12+x 22=(x 1+x 2)2－______；(2)(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－_______； （3）221212222121222221)(2)(11x x x x x x x x x x -=+=+；(4)． 丨x 1-x 2丨=a∆． 4．设方程3x 2-9x-1=0的两个根是x 1和x 2，则下列各式的值是:(1)x 1+x 2 =_____；(2)x 1x 2 =____； (3)x 1x 22+x 12x 2=_____；(4)(x 1－3)(x 2－3) =_____；（5）x 12+x 22=____；（6）(x 1－x 2)2=____；(7)2111x x +=____; (8) + =_____；(9)丨x 1－x 2丨=_____。
5． 已知方程2x 2-mx+n=0的两个根是－3和4， 那么由韦达定理得：－3+4=____，－3×4=____， 所以m=____，n=____．6．已知方程x 2-13x+m=0的两根满足 x 1-4x 2+2=0，那么由韦达定理得 ⎩⎨⎧=+-=+024___2121x x x x ，所以m=___．7． 方程5x 2+kx －10=0的一根x 1=－5,另一根是x 2,那么⎩⎨⎧=-=+-___5___522x x ，所以另一个根是____，k=___．8． 若方程4x 2-12x+n=0的两个根之比是2∶3，设两根为2k 和3k ，则⎩⎨⎧=⨯=+__32__32k k k k ，所以n=____．9．若方程x 2-ax －2a=0的两个根之和是4a －3，则由韦达定理得4a －3=___，a=___，两个根之积是___． 10．已知方程x 2－6x+m-3=0的两个根互为倒数，则x 1x 2=______=1， 所以m=_______，此时Δ=_____． 11． 以两个数x 1和x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是________________________． 12．若x 1+x 2=7，x 1x 2=5，则以x 1和2为根的一元二次方程是________________________________． 13．以3+2和3-2为根的一元二次方程是___________________________________。
专题2.4一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]
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专题2.4 一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】【北师大版】【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】 【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【题型5 由一元二次方程的两根求值】 【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】 【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【题型10 一元二次方程中的新定义问题】知识点1：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ¹）的两根为1x ，2x ，则12bx x a +=-，12c x x a×=．注意它的使用条件为，0a ¹，Δ0³．【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（23－24九年级·黑龙江绥化·开学考试）1．已知一元二次方程256x x x +=+的两根分别为m 、n ，则11m n+= ．【变式1－1】（23－24九年级·广西来宾·期中）2．若a ，b 是方程2250x x --=的两个实数根，则()()22a b --的值为 ．【变式1－2】（23－24九年级·四川成都·阶段练习）3．设方程22310x x ++=的根为1x 、2x ，则2212x x += ．【变式1－3】（23－24九年级·浙江宁波·期末）4．已知 12x x ， 是方程 22370x x +-= 的两个根，则 331212x x x x + 的值为（ ）A ．214B ．2598-C ．638-D ．1338-【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】【例2】（23－24九年级·全国·单元测试）5．若关于x 的方程()()()31212x x m m x --=-的两根之和与两根之积相等，则方程的根为．【变式2－1】（23－24·山东济南·二模）6．若关于x 的一元二次方程260x mx +-=有一个根为2x =，则该方程的另一个根为x =．【变式2－2】（23－24九年级·河北保定·阶段练习）7．若关于x 的一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是m 与26m -，则m 的值为 ，方程的根为．【变式2－3】（23－24九年级·浙江台州·阶段练习）8．若关于x 的一元二次方程2(0)ax c a =¹的一根为2，则另一根为．【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】【例3】（23－24九年级·山东枣庄·期中）9．已知m 、n 是关于x 的方程2220210x x --=的根，则代数式2422023m m n --+的值为（ ）A ．2022B ．2023C ．4039D ．4040【变式3－1】（23－24·江苏南京·模拟预测）10．设1x 、2x 是方程2320200x x --=的两个根，则21122x x x -+= ．【变式3－2】（23－24九年级·辽宁大连·期中）11．设a ，b 是2180x x ++=的两个实数根，则232a a b ++的值是 ．【变式3－3】（23－24九年级·河南新乡·期末）12．已知a ，b 是方程2570x x -+=的两个根，则243a a b -+-=．【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】【例4】（23－24九年级·湖北武汉·阶段练习）13．已知a 、b 是一元二次方程2310x x -+=的根，则代数式221111a b +++的值是（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【变式4－1】（23－24九年级·云南·期末）14．已知,m n 是方程230x x +-=的两个实数根，则332024m m n -++的值是 ．【变式4－2】（23－24九年级·山东淄博·期中）15．已知12,x x 是方程220240x x --=的两个实数根，则代数式321122024x x x -+的值为（ ）A ．4049B ．4048C ．2024D ．1【变式4－3】（23－24九年级·江苏苏州·阶段练习）16．已知：m 、n 是方程2310x x +-=的两根，则355m m n -+= ．【题型5 由一元二次方程的两根求值】【例5】（23－24九年级·河北保定·阶段练习）17．若关于x 的一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是m 与26m -，则m 的值为 ，方程的根为．【变式5－1】（23－24九年级·四川成都·期末）18．已知关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，则+b c 的值是（ ）A ．-10B ．-7C ．-14D ．-2【变式5－2】（23－24九年级·江苏连云港·阶段练习）19．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小明看错了系数p ，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q ，解得方程的根为4和﹣2，则p ＝ ．【变式5－3】（23－24九年级·四川广安·阶段练习）20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +12k 2﹣2＝0．设x 1，x 2是方程的根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2＝5，则k 的值为 ．【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】【例6】（23－24九年级·江苏无锡·阶段练习）21．已知s 满足22310s s --=，t 满足22310t t --=，且s t ¹，则s t += ．【变式6－1】（23－24·湖南常德·一模）22．若两个不同的实数m 、n 满足21m m =+，21n n -=，则22m n += ．【变式6－2】（23－24九年级·全国·竞赛）23．已知实数a b 、分别满足21163a a =+和21312b b =-，那么b a a b+的值是 ．【变式6－3】（23－24九年级·浙江宁波·期末）24．若4231a a -=，231b b -=，且21a b ¹，则2ba 的值是 ．【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】【例7】（23－24九年级·浙江台州·期末）25．若关于x 的一元二次方程220ax ax c ++= (0)a ¹的一个根为m ，则方程21210a x a x c -+-+=（）（）的两根分别是（ ）．A ．1m +，1m --B ．1m +，1m -+C ．1m +，2m +D ．1m - ，1m -+【变式7－1】（23－24九年级·安徽合肥·期中）26．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，则a b c ++的值是 ．【变式7－2】（23－24九年级·浙江·自主招生）27．设a 、b 、c 、d 是4个两两不同的实数，若a 、b 是方程2890x cx d --=的解，c 、d 是方程2890x ax b --=的解，则++a b c d +的值为 ．【变式7－3】（23－24九年级·安徽合肥·期末）28．关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）A ．p 是正数，q 是负数B ．22(2)(2)8p q -+-＜C ．q 是正数，p 是负数D ．22(2)(2)8p q -->+【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】【例8】（23－24九年级·山东·课后作业）29．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或【变式8－1】（23－24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）30．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是 ．【变式8－2】（23－24九年级·安徽六安·阶段练习）31．已知正方形ABCD 的两邻边AB ，AD 的长度恰为方程210x mx -+=的两个实数根，则正方形ABCD 的周长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式8－3】（23－24九年级·浙江杭州·期中）32．已知关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个实根1x 和2x ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在矩形，1x 和2x k 的值；若不存在，请说明理由．【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】【例9】（23－24·浙江宁波·模拟预测）33．已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有两个根1x ，2x ，且满足1212x x <<<．记=+t a b ，则t 的取值范围是 ．【变式9－1】（23－24九年级·浙江金华·阶段练习）34．若关于x 的方程()24550x x m --+=的解中，仅有一个正数解，则m 的取值范围是 ．【变式9－2】（23－24九年级·山东青岛·阶段练习）35．若关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，其中240p q -³，则（ ）A ．0p >且0q >B ．0p >且0q <C ．0p <且0q >D ．0p <且0q <【变式9－3】（23－24九年级·河南南阳·期中）36．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <【题型10 一元二次方程中的新定义问题】【例10】（23－24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）37．定义：若x ₁、x ₂是方程()²00ax bx c a ++=¹的两个实数根，若满足2121x x x x -=×，则称此类方程为“差积方程”．例如：()1102x x æö--=ç÷èø是差积方程．(1)判断方程26510x x -+=是否为“差积方程”？并验证；(2)若方程()2220x m x m -++=是“差积方程”，直接写出m 的值；(3)当方程(()²00ax bx c a ++=¹为“差积方程”时，求a 、b 、c 满足的数量关系．【变式10－1】（23－24九年级·上海青浦·期中）38．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如 20x x +=是“差1方程”． 已知关于 x 的方程 ()210x m x m ---=（m 是常数）是“差1方程”，则 m 的值为【变式10－2】（23－24九年级·四川·阶段练习）39．已知对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算：@a b ，如6@15===m ，n 是一元二次方程22170x x -+=的两个不相等的实数根，则[()@m n mn +=．【变式10－3】（23－24九年级·江苏盐城·阶段练习）40．定义：已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两个实数根，若120x x <<，且1234x x <<，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程213300x x ++=的两根为110x =-，23x =-，因为1030-<-<，10343-<<-，所以一元二次方程213300x x ++=为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程29140x x ++=是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x 的一元二次方程()22980x k x k ++++=是“限根方程”，且方程的两根1x 、2x 满足12121111121x x x x ++=-，求k 的值．1．23-．【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=¹，若1x ，2x 是该方程的两个实数根，则1212.,b c x x x x a a +=-=直接根据一元二次方程根与系数的关系得到4m n +=，6mn =-，再根据11m nm n mn++=进行求解即可．【详解】解：∵一元二次方程256x x x +=+可化为2460x x --=，这个方程的两根分别为m ，n ，∴4m n +=，6mn =-，114263m n m n mn +\+===--，故答案为：23-．2．5-【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根于系数的关系可得2a b +=，7ab =-，代入即可求解，熟练掌握一元二次方程根于系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵a ，b 是方程2250x x --=的两个实数根，2a b \+=，7ab =-，()()()228457245a b ab a b \--=-++-´+=-=-．故答案为：5-．3．54【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：Q 方程22310x x ++=的根为1x 、2x ，1232x x \+=-，1212x x =，则22221212123195()2()212244x x x x x x +=+-=--´=-=．故答案为：54．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程-因式分解法，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．4．B【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出12x x +和12x x ，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【详解】∵1x ，2x 是方程22370x x +-=的两个根，∴1232x x +=-，1272x x =-，∴331212x x x x +()221212x x x x =+()21212122x x x x x x éù=+-ëû27372222éùæöæö=-´--´-êúç÷ç÷èøèøêúëû2598=-，故选：B ．5．9x =±【分析】将已知方程化简成一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，列出关于m 的方程，解出方程，求出m 的值，再将m 代入原来方程，解出方程．【详解】解：将已知方程化简可得：3x 2＋（9－7m ）x ＋6m ＝0，根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1＋x 2＝9-7m-3，x 1x 2＝2m ，根据已知条件可得∶9-7m-3＝2m ，解出：m ＝9，将m ＝9代入化简后的方程可得：x 2－18x ＋18＝0，化成完全平方得：（x －9）2＝63，解得x ＝9±故答案为∶ 9x =±【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与一元二次系数的关系，解此题的关键是掌握一元二次方程的根与一元二次系数的关系．6．3-【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程()200ax bx c a ++=¹两根分别是12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=，进行解题即可．【详解】解：设关于x 的一元二次方程260x mx +-=的另一个根为t ，则26t =- ，解得3t =-，故答案为3-7．2122,2x x ==-【分析】若一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=g ．【详解】解：整理方程得：20ax b -=由题意得：260m m +-=∴2m =故两个根为：122,262x m x m ===-=-故答案为：2；122,2x x ==-【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．8．2-【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到20m +=是解题的关键．【详解】解：设方程的另一个根为m ，则20m +=，解得：2m =-，故答案为：2-．9．D【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出222021m m -=，2bm n a+=-=，将原式化简求值即可．【详解】解：∵m 、n 是关于x 的方程2220210x x --=的根，∴222021m m -=，2bm n a+=-=，2422023m m n --+222()2023m m m n =--++2021222023=-´+4040=，故选：D ．【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．10．2023【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．首先根据根与系数关系得到123x x +=，之后将1x 代入方程中得到211320200x x --=，变形为21132020x x -=，两式相加即可得到答案．【详解】解：1x Q 、2x 是方程2320200x x --=的两个根，123x x \+=，211320200x x --=21132020x x -=\()()12211211220203202323x x x x x x x \=++=-+-+=．故答案为：2023．11．20-【分析】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．利用整体代入法是本题的关键．【详解】解：∵a ，b 是2180x x ++=的两个实数根，∴218a a +=-，1a b +=-，∴()()22322182(1)20a a b a a a b ++=+++=-+´-=-，故答案为：20-．12．5-【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握20ax bx c ++=的两根1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a=是解题的关键．【详解】解：∵a ，b 是方程2570x x -+=的两个根，∴257a a -=-，5a b +=，∴()()2537535a a a b -++-=-+-=-，故答案为：5-．13．B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得3a b +=，1ab =，再整体代入求解即可．【详解】解：∵a 、b 是一元二次方程2310x x -+=的根，∴3a b +=，1ab =，∴221111a b +++2211=a ab b ab+++()()11=a a b b a b +++11=33a b+=3a b ab+331=´1=，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．14．2020【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得1m n +=-，23m m -=-，再代入求值即可．【详解】解：∵m n ，是方程230x x +-=的两个实数根，将x m =代入方程230x x +-=，得230m m +-=，即23m m -=-，23m m=-∴332024m m n -++()232024m m n =-++22024m n =-++，∵23m m =-，∴22024m n -++32024m n =-+++2021m n =++，∵1m n +=-，∴2021120212020m n ++=-+=．故答案为：2020．15．A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵1x ，2x 是方程220240x x --=的两个实数根，∴2112024x x -=，122024x x =-，121x x =+321122024x x x -+()()()2222211212121220242122024x x x x x x x x x =-+=+=+-=-´-4049=故选A16．18-【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到2310m m +-=，即231m m =-+，323m m m =-+，再把355m m n -+化简为用m 和n 的一次式表示得到()53m n +-，再根据根与系数的关系得到3m n +=-，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵m 、n 是方程2310x x +-=的两根，∴2310m m +-=，且0m ¹，3m n +=-，∴231m m =-+，∴323m m m =-+，2355m m m n=-+-+()33145m m n=--+-+553m n =+-()53m n =+-，∴原式()53318=´--=-，故答案为：18-．【点睛】本题考查根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根时，则12b x x a+=-，12c x x a =．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想．17． 2 122,2x x ==-【分析】若一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=g ．【详解】解：整理方程得：20ax b -=由题意得：260m m +-=∴2m =故两个根为：122,262x m x m ===-=-故答案为：2；122,2x x ==-【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．18．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b ，c 的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，∴121222b c x x x x +=-=， ∴232322b c -+=--´=，，即b=-2，c=-12∴21214b c +=--=-．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．19．﹣2【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．【详解】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，解得p＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣ba，两根之积等于ca．”是解题的关键．20．【分析】先计算出一元二次方程判别式，即△=2k2+8，从而得到△＞0，于是可判断不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；再利用方程的解的定义得到x12-2kx1=-12k2+2，根据根与系数的关系可得x1x2=12k2-2，则-12k2+2+2·(12k2-2)=5，然后解关于k的方程即可.【详解】（1）证明：△=(-2k)2-4(12k2-2)=2k2+8＞0，所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）∵x1是方程的根，∴x12-2kx1+12k2-2=0，∴x12-2kx1=-12k2+2，∵x12-2kx1+2x1x2=5，x1x2=12k2-2，∴-12k2+2+2·(12k2-2)=5，整理得k2-14=0，∴．故答案为【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.21．32【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到31,22s t st +==-是解题的关键．由题意可知实数s 、t 是关于x 的方程22310x x --=的两个不相等的实数根，由此可得答案．【详解】解：Q 实数s 、t 满足22310s s --=，22310t t --=，且s t ¹，\实数s 、t 是关于x 的方程22310x x --=的两个不相等的实数根，32s t \+=．故答案为：32．22．3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m 、n 是关于x 的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算即可，理解m 、n 是关于x 的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．【详解】解：由题可得：210m m --=，210n n --=，∴m 、n 是关于x 的一元二次方程210x x --=的两个不等实数根，∴1,1m n mn +==-，∴()()222221213m n m n mn +=+-=-´-=，故答案为：3．23．2或16【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，分情况讨论，当a b =时，2b a a b+=；当a b ¹时， a 和b 是方程2620x x -+=的两个根，再由根与系数的关系求出a b +和ab ，再将b a a b +变形为()22a b ab ab+-，即可求解．【详解】解：分两种情况：当a b =时，112b a a b+=+=；当a b ¹时，Q 21312b b =-，\21163b b =+，\2620b b -+=，又Q 21163a a =+，\2620a a -+=，\a 和b 是方程2620x x -+=的两个根，\661a b -+=-=，2ab =，\()22222622162a b ab b a b a a b ab ab +-+-´+====，故答案为：2或16．24【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意可以得到2a 和b 是方程2310x x --=的两根，然后解方程即可．【详解】解：由题意得：42310a a --=()222310a a --=，2310b b --=，∴2a 2x=∴2b a =25．A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程220ax ax c ++= 的另一个根，设1x t -=，根据方程220ax ax c ++= 的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220ax ax c ++= (0)a ¹的一个根为m ，设方程另一根为n ，∴22a n m a+=-=-，解得：2n m =--，设1x t -=，方程21210a x a x c -+-+=（）（）变形为220at at c ++=，由一元二次方程220ax ax c ++= (0)a ¹的根可得，1t m =，22t m =--，∴12x m -=--，1x m -=，∴11x m =--，21x m =+，故答案为：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．26．-3或29【分析】设方程20x ax b ++=的两个根为a b ，，其中a b ，为整数，且a ≤b ，则方程20x cx a ++=的两根为11a b ++，，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．【详解】解：设方程20x ax b ++=的两个根为a b ，，其中a b ，为整数，且a ≤b ，则方程20x cx a ++=的两根为11a b ++，，由题意得,(1)(1)a a a b a b +=-++=，两式相加得2210ab a b +++=，即()()223a b ++=，所以21{23a b +=+=，；或23{2 1.a b +=-+=-，解得1{1a b =-=，；或5{ 3.a b =-=-，又因为(),,[(1)(1)]a b c a b ab a b =-+==-+++所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-或29．故答案为-3或29【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；27．648【分析】由根与系数的关系得a b +，+c d 的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得2890a ac d --=，代入可得272980a a c ac -+-=，同理可得272980c c a ac -+-=，两式相减即可得a c +的值，进而可得+++a b c d 的值．【详解】解：由根与系数的关系得8a b c +=，8c d a +=，两式相加得()8a b c d a c +++=+．因为a 是方程2890x cx d --=的根，所以2890a ac d --=，又8d a c =-，所以272980a a c ac -+-=①同理可得272980c c a ac -+-=②①-②得()()810a c a c -+-=．因为a c ¹，所以81a c +=，所以()8648a b c d a c +++=+=．故答案为648【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．28．D【分析】设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1、x 2，方程y 2+qy +p ＝0的两根为y 1、y 2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x 1•x 2＝q ＞0，y 1•y 2＝p ＞0，即可判断A 与C ；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p 2﹣4q ≥0，q 2﹣4p ≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＞8，即可判断B 与D ．【详解】解：设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1、x 2，方程y 2+qy +p ＝0的两根为y 1、y 2．∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，∴x 1•x 2＝q ＞0，y 1•y 2＝p ＞0，故选项A 与C 说法均错误，不符合题意；∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，∴p 2﹣4q ≥0，q 2﹣4p ≥0，∴（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＝p 2﹣4q +4+q 2﹣4p +4＞8（p 、q 不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B 说法错误，不符合题意；选项D 说法正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．29．A【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则2225AO BO +=，则再根据根与系数的关系可得：2213AO BO m AO BO m +=-+´=+，；代入22AO BO +中，得到关于m 的方程后，求得m 的值．【详解】由直角三角形的三边关系可得：2225AO BO +=，又有根与系数的关系可得：221,3AO BO m AO BO m +=-+´=+，∴()()()222222212325AO BO AO BO AO BO m m +=+-´=-+-+=，整理得：22150m m --=，解得：m =−3或5.又∵0D >,∴22(21)4(3)0,m m --+> 解得114m <-∴3m =-.故选:A.【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.30．111<<m 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，∴x 1−x 2＝1，又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，∴1＜m ＜11．故答案为：1＜m ＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．31．B【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.首先根据正方形的性质得到AB AD =，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到1AB CD ×=，进而求出1AB CD ==，即可得到正方形ABCD 的周长．【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴AB AD=∵正方形ABCD 的两邻边AB ，AD 的长度恰为方程210x mx -+=的两个实数根，∴1AB CD ×=，∴1AB CD ==∴正方形ABCD 的周长为4．故选：B ．32．(1)94k £(2)不存在，理由见解析【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．（1）求出D 的值，根据已知得出不等式，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出123x x +=，12x x k =，根据已知得出22212x x +=，变形后代入求出k 的值，进行判断即可．【详解】（1）解：Q 关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个实根1x 和2x ，()23410k \D =--´´³，解得：94k £；（2）1x 和2x 一元二次方程230x x k -+=的两根，123x x \+=，12x x k =，1x Q 和2x ，22212x x \+=，()2121222x x x x \+-=，922k \-=，解得：72k =，94k £Q ，7924>，72k \=不符合题意，\不存在矩形，1x 和2x ．33．10t -<<【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，12x x a +=-，12x x b =，得到()()12111t x x =---，由1212x x <<<可得()()120111x x <--<，即得到()()1211110x x -<---<，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：由根和系数的关系可得，12x x a +=-，12x x b =，∴()12a x x =-+，12b x x =，∴()()()121212111t a b x x x x x x =+=-++=---，∵1212x x <<<，∴1011x <-<，2011x <-<，∴()()120111x x <--<，∴()()1211110x x -<---<，即10t -<<，故答案为：10t -<<．34．5m ³-【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得m 的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到()()2Δ54450504m m ìéù=--´´-+³ëûïí+-£ïî．【详解】解：Q 关于x 的方程245(5)0x x m --+=的解中，仅有一个正数解，\()()2Δ54450504m m ìéù=--´´-+³ëûïí+-£ïî，解得5m ³-．故答案为：5m ³-．35．A【分析】据2p －4q ³0，得出方程有两个实数根，再根据已知条件得出两根之积＞零、两根之和<零时，由此得到关于p ，q 的不等式，然后确定它们的取值范围即可.【详解】2p Q －4q ³0，\方程有两个实数根.设1x ，2x 是该方程的两个负数根，则有1x +2x ＜0，x 1x 2＞0，1x +2x =-p,12x x =q ，\-p<0，,q>0.\p>0，,q>0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式.36．B【分析】利用根的判别式0D >及两根之积为负数，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出实数m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，∴()2Δ241120120m m ì=-´´->í-<î解得：12m >，∴实数m 的取值范围是12m >．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当0D >时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于c a ”是解题的关键．37．(1)是，证明见解析(2)23m =或2-(3)224b ac c -=【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；（3）根据求根公式求得1x ，2x ；根据新定义列出方程即可求解．【详解】（1）方程26510x x -+=是“差积方程”，证明：26510x x -+=，即(21)(31)0x x --=，解得112x =，213x =，11112323-=´Q ，26510x x \-+=是差积方程；（2）解：()2220x m x m -++=，()()20x m x --=解得方程的解为：12x =，2x m =，2(2)20x m x m -++=Q 是差积方程，22m m \-=，即：22m m -=或22m m -=-．解得：23m =或2-，（320 (0)a ¹解得1x =，2x =20ax bx c ++=Q (0)a ¹是差积方程，1212x x x x \-=×，即224b ac c -=．38．2-或0##0或―2【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为()1212,x x x x <，由题意，得：12121,m m x x x x =+-=-，211x x -=，利用完全平方公式的变形式进行计算即可．【详解】解：设方程的两个根为()1212,x x x x <，由题意，得：12121,m m x x x x =+-=-，211x x -=，∴()()()2222112124141x x x x x x m m -=+-=-+=，解得：2m =-或0m =，故答案为：2-或0．39．25【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由m ，n 是22170x x -+=的两个不相等的实数根可得：21m n +=，7mn =故[()@(21@m n mn +=======25=【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．40．(1)此方程为“限根方程”，理由见解析(2)5【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．（1）因式分解法解一元二次方程得1272x x =-=-，，根据定义，求解作答即可；（2）由()22980x k x k ++++=，可得129x x k +=--，1228x k x =+，代入12121111121x x x x ++=-，整理得，211300k k -+=，解得，5k =或6k =，分当5k =时，当6k =时，两种情况求解，然后判断作答即可．【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：∵29140x x ++=，∴()()720x x ++=，解得，1272x x =-=-，，∵7342-<<-，∴方程为“限根方程”；（2）解：∵()22980x k x k ++++=，∴129x x k +=--，1228x k x =+，∵12121111121x x x x ++=-，∴()121211112x x x x ++=-，即()29812111k k --++=-，整理得，211300k k -+=，∴()()560k k --=，解得，5k =或6k =，①当5k =时，214330x x ++=，解得，12113x x =-=-，，∵11343-<<-，∴5k =符合题意；②当6k =时，215440x x ++=，解得，12114x x =-=-，，∵1134-<-，∴6k =不符合题意，舍去；∴k 的值为5．。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本一元二次方程根与系数的关系题一、单项选择题：1.关于方程 $ax-2x+1=0$，如果 $a<0$，那么根的情况是（）A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根C) 没有实数根 (D) 不能确定2.设 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-6x+3=0$ 的两根，则$x_1+x_2$ 的值是（）A) 15 (B) 12 (C) 6 (D) 33.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A) $2y+5=6y$ (B) $x+5=25x$ (C) $3x^2-2x+2=0$ (D)$3x^2-26x+1=0$本题为找出 $\Delta$ 的方程即可)4.以方程 $x^2+2x-3=0$ 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A) $y^2+5y-6=0$ (B) $y^2+5y+6=0$ (C) $y^2-5y+6=0$ (D) $y^2-5y-6=0$5.如果 $x_1,x_2$ 是两个不相等实数，且满足 $x_1-2x_1=1$，$x_2-2x_2=1$，那么 $x_1\cdot x_2$ 等于（）A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1二、填空题：1、如果一元二次方程 $x^2+4x+k=0$ 有两个相等的实数根，那么 $k=$ _____。
2、如果关于 $x$ 的方程 $2x^2-(4k+1)x+2k-1=0$ 有两个不相等的实数根，那么 $k$ 的取值范围是______。
3、已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-7x+4=0$ 的两根，则$x_1+x_2=$ _______。
4、若关于 $x$ 的方程 $(m-2)x^2-(m-2)x+1=0$ 的两个根互为倒数，则 $m=$ _____。
5、当 $m=$ _______ 时，方程 $x^2+mx+4=0$ 有两个相等的实数根；6、已知关于 $x$ 的方程 $10x^2-(m+3)x+m-7=0$，若有一个根为 $1$，则 $m=7$，这时方程的另一个根是 $7/5$；若两根之和为 $-5/3$，则 $m=-9$，这时方程的两个根为 $1/2,-7/5$。
专题21.10 一元二次方程的根与系数的关系(拓展提高)(解析版)
专题21.10 一元二次方程的根与系数的关系（拓展提高）一、单选题1．已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=两个根，则1212x x x x --的值为（ ）A ．1-B ．7-．C ．1D ．7 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a =，在原方程中找到一元二次方程的系数 a 、b 、c 就可以求出1212x x x x --的值即可．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=两个根，∴由根与系数的关系得，12441b x x a -+=-=-=，12331c a x x ===， ∴()12121212341x x x x x x x x --=-+=-=-，故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．2．已知关于x 的方程x 2+kx +2＝0的两个根为x 1，x 2，且1212110x x x x ++=，则k 的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】C 【分析】根据根与系数关系列出方程求解即可．【详解】解：由题意知，x 1+x 2＝﹣k ，x 1•x 2＝2． 则由1212110x x x x ++=得， 2112120x x x x x x ++=⋅，即202k -+=． 解得k ＝4．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．3．如果m 、n 是一元二次方程x 2+x ＝4的两个实数根，那么多项式2n 2﹣mn ﹣2m 的值是（ ） A ．16 B ．14 C ．10 D ．6【答案】B【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到24n n +=，即24n n =-，依此可得()()22224282n mn m n mn m m n mn --=---=-+-，然后根据根与系数的关系得到1m n +=-，4mn =-，再利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵n 是一元二次方程x 2+x ＝4的根，∴n 2+n ＝4，即n 2＝﹣n +4，∵m 、n 是一元二次方程x 2+x ＝4的两个实数根， ∴b m n a+=-，c mn a = ∴1m n +=-，4mn =-∴()()22224282n mn m n mn m m n mn --=---=-+-＝2+4+8＝14． 故选B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=，同时也考查了一元二次方程的解． 4．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x 的方程2100x x k -+=的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．14B ．14或15C ．4或6D ．24或25【答案】A【分析】分为腰长为4和底边长为4两种情况讨论，再根据韦达定理即可得解．【详解】解：设底边为a ，分为两种情况：①当腰长是4时，根据韦达定理：a +4＝10，解得：a ＝6，即此时底边为6，②底边为4，根据韦达定理：2a ＝10，解得a ＝5，所以该等腰三角形的周长是14．故选：A ．【点睛】本题考查了有关等腰三角形的分类讨论，韦达定理；能够正确的分类讨论是本题的关键. 5．关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（ ）A ．﹣27＜a ＜25B ．a ＞25C ．a ＜﹣27D ．﹣211＜a ＜0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1-1）（x 2-1）＜0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a 2+4a+4＞0， 解得2275a -<<， 又∵x 1＜1＜x 2，∴x 1-1＜0，x 2-1＞0，那么（x 1-1）（x 2-1）＜0，∴x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，122a x x a ++=-，x 1x 2=9， 即2910a a+++<， 解得2011a -<<， 综上所述，a 的取值范围为：2011a -<<. 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．根与系数的关系为：1212,b c x x x x a a+=-=. 6．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（ ）个．①方程x 2+5x +6＝0是倍根方程：②若pq ＝2，则关于x 的方程px 2+4x +q ＝0是倍根方程；③若（x ﹣3）（mx +n ）＝0是倍根方程，则18m 2+15mn +2n 2＝0；④若方程ax 2+bx +c ＝0是倍根方程，且3a +b ＝0，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个根为1A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；②已知条件2pq =，然后解方程240px x q ++=即可得到正确的结论．③根据(3)()0x mx n -+=是倍根方程，且且13x =，2n x m =-，得到32n m =-，或6n m=-，从而得到320m n +=，60m n +=，进而得到2218152(32)(6)0m mn n m n m n ++=++=正确；④利用“倍根方程”的定义进行解答．【详解】解：①解方程2560x x ++=得：12x =-，23x =-，∴方程2560x x ++=不是倍根方程，故①错误；②2pq =，解方程240px x q ++=得：1x ，2x = 122x x ∴≠，故②错误；③(3)()0x mx n -+=是倍根方程，且13x =，2n x m=-， ∴32n m =-，或6n m=-， 320m n ∴+=，60m n +=，2218152(32)(6)0m mn n m n m n ∴++=++=，故③正确； ④方程20ax bx c ++=是倍根方程，∴设122x x =，∵3a+b=0，123x x ∴+=，2223x x ∴+=，21x ∴=，故④正确．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．二、填空题7．若关于x 的一元二次方程2(1)20x m x +++=的一个根是1-，则另一个根是_________．【答案】-2【分析】把-1代入方程求m ，再把m 代回方程，解方程即可；或用根与系数关系可求．【详解】解：方法一，把-1代入方程2(1)20x m x +++=，得，1(1)20m -++=，解得，m=2，代入原方程得，2320x x ++=，解得，121,2x x =-=-，故答案为：-2；方法二，设另一个根是a ，根据根与系数关系，a ×（-1）=2，a =-2，故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数关系，选择不同方法解题，体现思维的灵活性，准确把握知识是解题关键．8．若实数a 、b 满足a 2﹣8a +5＝0，b 2﹣8b +5＝0，则a +b 的值_____．【答案】8或8±【分析】分类讨论：当a ＝b ，解方程易得原式＝8±；当a ≠b ，可把a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：当a ＝b 时，由a 2﹣8a +5＝0解得a ＝∴a +b ＝8±；a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，∴a +b ＝8．故答案为8或8±． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a 、b 进行分类讨论是解题关键． 9．若实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，则代数式33m n mn +的值为______．【答案】98【分析】由题意得：m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，利用跟与系数的关系，得出10m n +=，1⋅=m n ，进而即可求解．【详解】解：∵实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，∴m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，∴10m n +=，1⋅=m n ，∴33m n mn +=222()()2mn m n mn m n mn ⎡⎤+=+-⎣⎦=21102198⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦，故答案是：98．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，把实数m 、n 看作是方程21010x x -=+的两个根，是解题的关键． 10．已知α、β是方程x 2－2x －1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．【答案】5【分析】先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可【详解】解：由题意可得：+=2=-1αβαβ，∴2+24=αβ∴2=42αβ-∵α、β是方程x 2－2x －1＝0的两个根∴2210αα--=∴()24210αβ---=故答案是：5【点睛】本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键11．已知方程2410x x --=的两根为12,x x ，则()()1211x x --=________．【答案】4-【分析】根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可．【详解】解：方程2410x x --=的两根为12,x x ，所以，124x x +=，121x x ⋅=-，()()121212111()x x x x x x --+-+=，把124x x +=，121x x ⋅=-代入得，原式=1414--=-，故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程根与系数关系，求出两根之和、两根之积，把所求式子变形，整体代入求值．12．若1x ，2x 是关于x 的方程()22230x k x k --+=的两个实数根，且12:1:4x x =，则k 的值是___________． 【答案】23k =或6k =- 【分析】设方程的两根分别为x 1，x 2，根据根与系数的关系得到1223x x k +=-，212x x k =，根据题意有12:1:4x x =，可得2316120k k +-=，解得23k =或6k =-，而△≥0，即（2k ﹣3）2﹣4k 2≥0，解得34k ≤；最后得到满足条件的k 值； 【详解】解：根据题意1223x x k +=-，212x x k =，∵12:1:4x x =，∴214x x =，∴12215234x k x k =-⎧⎨=⎩，∴222345-⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭k k ， 整理得2316120k k +-=， 解得23k =或6k =-． ∵方程有两个实数根∴△≥0，即（2k ﹣3）2﹣4k 2≥0， 解得34k ≤， ∴23k =或6k =-． 故答案为：23k =或6k =-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）根与系数的关系：若方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2b a =-，x 1•x 2c a=． 13．已知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）．下列说法：①若a +c ＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a +b +c ＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b 2﹣6ac ＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根为2和3，则1211,23x x ==是方cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，其中正确的是_____（填序号）．【答案】①②④【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解．【详解】解：①因为a +c ＝0，a ≠0，所以a 、c 异号，所以△＝b 2﹣4ac ＞0，所以方程有两个不等的实数根故①正确；②∵x=1时，ax 2+bx +c ＝a+b+c ，∴a +b +c ＝0时，一定有一个根是1，故②正确；③根据b 2﹣6ac ＞0，不能得到b 2﹣4ac ＞0，从而不能证得方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个不相等的实数根，故③错误；④∵2和3是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根， ∴235,236b c a a-=+==⨯=， ∴51,66b a c c -==，而115111,236236b a c c+==-⨯==， ∴121123x x ==，是方和cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，故④正确， ∴正确的结论是①②④，故答案为：①②④，【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题关键．14．已知对于两个不相等的实数a 、b，定义一种新的运算：@a b a b=+，如6@15615217===+，已知m ，n 是一元二次程22170x x -+=的两个不相等的实数根，则[()@m n mn +=_______． 【答案】25【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由m ，n 是22170x x -+=的两个不相等的实数根可得：21m n +=，7mn =故[()@(21@m n mn +=217⎛= +⎝⎭28⎛= ⎝⎭28===2=25= 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．三、解答题15．若关于x 的方程()21410k x x ---=有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若方程的两根1x ，2x ，满足()()12114x x ++=，求k 的值．【答案】（1）k ≥-3且k ≠1；（2）74【分析】（1）根据方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2＝41k -，x 1x 2＝11k --，再将它们代入()()12114x x ++=，即可求出k 的值．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程()21410k x x ---=有两个实数根，∴△＝42+4（k ﹣1）＝4k +12≥0，且k -1≠0，解得：k ≥-3且k ≠1．∴k 的取值范围为：k ≥-3且k ≠1．（2）由根与系数关系得：x 1+x 2＝41k - ，x 1x 2＝11k --， ∴()()1211x x ++＝x 1x 2+（x 1+x 2）+1＝41k -+11k --＝4． 解得k ＝74． 经检验，k ＝74是分式方程的解． 故k 的值是74． 【点睛】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟练运用根的判别式及根与系数的关系是解决问题的关键．16．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值．【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为0，m 的值为1-【分析】（1）由△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝（m +1）2+4＞0可得答案；（2）设方程的另外一根为a ，根据一元二次方程根与系数的关系得出2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解之即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝m 2+6m +9﹣4m ﹣4＝m 2+2m +1+4＝（m +1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另外一根为a ，根据题意，得：2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩， 解得：01a m =⎧⎨=-⎩， 所以方程的另一根为0，m 的值为1-．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识解决一元二次方程根的问题是解题的关键．17．非零实数a ，b （a ≠b ）满足a 2﹣a ﹣2013＝0，b 2﹣b ﹣2013＝0，求11a b+的值． 【答案】12013- 【分析】根据题意，可把a 和b 看作方程x x --=220130的两根，根据根与系数的关系得到a +b ＝1，ab =-2013，再变形11a b+得到a b ab +，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵非零实数a ，b （a ≠b ）满足220130a a --=，220130b b --=，∴实数a 、b 是方程x x --=220130的两根．由根与系数的关系可知a +b ＝1，ab =-2013． ∴111120132013a b a b ab ++===--． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．若12x x ，是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根，那么12b x x a +=-，12c x x a=． 18．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，是否存在实数a 使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，a ＝-6【分析】根据方程的解的定义得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，再整体代入即可得出a 的值．【详解】解：存在，理由如下：∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，∴m 2﹣2m ＝1，n 2﹣2n ＝1，m +n ＝2，∴﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）＝﹣（m +n ）[7（m 2﹣2m ）+a ][3（n 2﹣2n ）﹣7]＝﹣2×（7+a ）（3﹣7）＝8（7+a ），由8（7+a ）＝8得a ＝﹣6，∴存在实数a ＝﹣6，使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，注意解题中的整体代入思想．19．已知关于x 的一元二次方程2(4)240x m x m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若12,x x 为方程的两个根，且22124n x x =+-，判断动点(,)P m n 所形成的数图象是否经过点(5,9)A -，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）经过，理由见解析【分析】（1）根据判别式公式得△=m 2≥0，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x 1+x 2和x 1x 2关于m 的表达式，整理n =x 12+x 22-4，得n =（m +2）2，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵△=[-（m +4）]2-4（2m +4）=m 2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）根据题意得：x 1+x 2=m +4，x 1x 2=2m +4，n =x 12+x 22-4=(x 1+x 2)2-2x 1x 2-4，=（m +4）2-2（2m +4）-4=m 2+4m +4=（m +2）2即n =（m +2）2，经过（-5，9）．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质．20．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程210x x --=的两个实数根，设1s αβ=+，222s αβ=+， …，n n n s αβ=+．根据根的定义，有210αα--=，210ββ--=，将两式相加，得22()()20αβαβ+-+-=，于是，得2120s s --=．根据以上信息，解答下列问题： ①利用配方法求α，β的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出1s ，2s 的值．②猜想：当n ≥3时，n s ，1n s -，2n s -之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性．(注：关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=若有两根12,x x ，则有1212;b c x x x x a a +=-=)【答案】①12α+=，12β=；11s =，23s =；②12n n n s s s --=+，证明见解析 【分析】①按照配方法的步骤对原方程进行求解即可得出α，β的值，然后结合根与系数的关系求出1s ，2s 的值即可；②根据材料定义得120n n n ααα----=和120n n n βββ----=，然后联立求和即可推出结论．【详解】①移项，得21x x -=，配方，得22211121222x x ⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，开平方，得122x -=±，即x =，∴α=，β=． 于是，11s =，23s =．②猜想：12n n n s s s --=+．证明：根据根的定义，210αα--=，两边都乘以2n α-，得120n n n ααα----=，①同理，120n n n βββ----=，②①＋②，得1122()()()0n n n n n n αβαβαβ----+-+-+=，∵n n n s αβ=+，111n n n s αβ---=+，222n n n s αβ---=+，∴120n n n s s s ----=，即12n n n s s s --=+．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及新定义问题，理解材料给出的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．。
一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。
八年级数学下册-专题. 一元二次方程根与系数的关系【十大题型】(举一反三)(沪科版)(解析版)
专题17.4一元二次方程根与系数的关系【十大题型】【沪科版】【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (4)【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (6)【题型4由方程两根满足关系求字母的值】 (10)【题型5不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (13)【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (15)【题型7构造一元二次方程求代数式的值】 (19)【题型8已知方程根的情况判断另一个方程】 (21)【题型9根与系数关系中的新定义问题】 (25)【题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用】......................................................错误！未定义书签。
【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−b a，x1⋅x2=c a．注意它的使用条件为，a≠0，Δ≥0.【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·八年级统考期末）若1，2是一元二次方程2−2−3=0的两个根，则12+22+12的值是（）A．−7B．−1C．1D．7【答案】D【分析】利用两根之和为1+2=−，两根之积为12=，计算即可．【详解】解：∵1、2是一元二次方程2−2−3=0的两个根，∴1+2=2，12=−3，∴12+22+12=1+22−12=4−−3=7，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程2+3−2=0的两根，则2K−r32−2的值是（）A．−3B．−2C．−13D．−12【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=−3，然后将分式化简，代入+=−3即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程2+3−2=0的两根，∴+=−3，∴2r322===+=1+=−13，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·八年级假期作业）已知a，b是方程2+6+4=0的两个根，则+的值．【答案】−14【分析】由根与系数关系知+=−6，B=4，即知a＜0，b＜0，化简原式+=−B((rp2−2B B)，所以原式=−14故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程2+6+4=0的两个根，∴+=−6，B=4，∴a＜0，b＜0，∴=−B =−B(+) =−B(2+2B) =−B((rp2−2B B)∴原式=−4×(−6)2−2×44=−2×7=−14故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）已知1、2是方程2−7+8=0的两根，且1>2，则21+32的值为．【分析】由题意可得1+2=7，2=.【详解】解：∵1、2是方程2−7+8=0的两根，∴1+2=7，==∵1>，∴2=∴21+32=2===【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·八年级专题练习）设α、β是方程2++2012=0的两个实数根，则2+2+的值为（）A．－2014B．2014C．2013D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程2+3−1=0的两个实数根，则+22+的值为()A．32B．5C．2D．−2【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得2+3=1，根据一元二次方程根与系数的关系可得B=−1，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程2+3−1=0的两个实数根，∴2+3=1，+=−3∴+22+=2+4+4+=2+3+++4=1−3+4=2，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出2+3=1，+=−3是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程2−3−9=0的两个根，则2−4−的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得+=3，由根的定义可得2−3=9，代入即可得答案．【详解】∵2−3=9，+=3，∴2−4−=2−3−−=2−3−+=6．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知和是方程2+2023+1=0的两个根，则2+2024+22+2024+2的值为（）A．−2021B．2021C．−2023D．2023【答案】A【分析】由和是方程2+2023+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，⋅=1，+=−2023，由一元二次方程根的定义可得2+2023+1=0，2+2023+1=0，即可求解；【详解】∵和是方程2+2023+1=0的两个根，∴2+2023+1=0，2+2023+1=0，⋅=1，+=−2023，∴2+2024+22+2024+2=2+2023+1++12+2023+1++1=+1+1=⋅+++1=1−2023+1=−2021故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·八年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程2−3−1=0的两个不相等的实数根，则代数式3−42−2+5的值为．【答案】−2【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2−3−1=0，再根据根与系数的关系得到+=3，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程2−3−1=0的两个不相等的实数根，∴2−3−1=0，+=3，∴2=3+1，∴3−42−2+5=2−3−1−2+−2+5=−2+−2+5=−3−1+−2+5=−2−2+4=−2++4=−2×3+4=−2，故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程B2+B+=0的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·八年级统考期末）已知，是方程2−−3=0的两个根，则代数2+22+ +B的值为．【答案】8【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得+=1，B=−3，2−−3=0，2−−3=0，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得+=1，B=−3，2−−3=0，2−−3=0，2=+3，2=+3，原式=+3+2+6+−3，=2(+p+6，=2×1+6，=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知、是方程2+−1=0的两根，则4−3+5【变式3-2】的值是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出+=−1，B=−1，2=1−，2=1−，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程2+−1=0的两根，∴+=−1，B=−1，2=1−，2=1−，∴4−3+5=3×−1−3+5=−1−−1−+5=−+2−+2+5=−+1−−+1−+5=−2++7=−2×−1+7=9，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程B2+B+=0（a、b、c 为常数，≠0）的两根为1，2，则1+2=−，1⋅2=．【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）已知，是方程2−−1=0的两根，则代数式23+5+33+ 3+1的值是（）A．19B．20C．14D．15【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程2−−1=0的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵3=2·=(+1)=2+=+1+=2+1，同理：3=2+1∴23+5+33+3+1=2(2+1)+5+3(2+1)+3+1=9+9+6=9(+p+6=9×1+6=15故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4由方程两根满足关系求字母的值】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程2−8+=0两根为1、2，且1=32，【例4】则m的值为（）A．4B．8C．12D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出1+2=8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程2−8+=0两根为1、2，∴1+2=8，∵1=32，∴2=2,1=6，∴=12=12，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·八年级校考期中）已知关于x的方程2+(2−1)+2−1=0的两根为1,2满足：12+22=16+12，求实数k的值【答案】=−2【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出1+2=1−2，12=2−1，代入12+22=16+12，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程2+2−1+2−1=0的两根为1,2∴=2−4B=(2−1)2−4×1×(2−1)≥0解得：≤541+2=1−2，12=2−1∵12+22=16+12∴12+22−12=16(1+2)2−312=16代入1+2=1−2，12=2−1得：(1−2p2−3(2−1)=16解得：1=6,2=−2∵≤54∴=−2【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）方程2−2−4++1=0的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】−2【分析】设方程的两根分别为1，2，根据根与系数的关系得到1+2=2−4=0，解得=±2，然后分别计算Δ，最后确定=−2．【详解】解：设方程的两根分别为1，2，∵方程2−2−4++1=0的两个实数根互为相反数，，∴1+2=2−4=0，解得=±2，当=2，方程变为：2+3=0，Δ=−12＜0，方程没有实数根，所以=2舍去；当=−2，方程变为：2−1=0，Δ=4＞0，方程有两个不相等的实数根；∴=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程B2+B+=0（≠0，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为1，2，则1+2=−；1⋅2=．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=2−4B：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程2+ 2+3+2=0的两个不相等的实数根，且1+1=−1，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到+=−2−3，B=2，再根据1+1=−1得到2−2−3=0，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程2+2+3+2=0的两个不相等的实数根，∴+=−2−3，B=2，∵1+1=−1，∴r B=−1，即+=−B，∴−−2−3=2，∴2−2−3=0，解得=3或=−1，又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=2+32−42>0，∴>−34，∴=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·八年级专题练习）关于的方程−2+1=2（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为2−−2−2=0，∴Δ=−12−4−2−2=1+8+42=42+9>0，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为1,2，则根据根与系数的关系可知：1⋅2=−2−2<0，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）方程22−3+1=0根的符号是（）A．两根一正一负B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：22−3+1=0的两根分别为1，2，则1+2=32>0，1⋅2=12>0，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程B2+B+=0≠0的两根1，2满足1+2=−，1⋅2=是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△A的三条边的长，那么方程B2+++4=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式Δ=2−4B，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程B2+++4=0中，可得：Δ=+2−4⋅4=+2−2，∵a、b、c是△A的三条边的长，∴>0，>0，>0．+>，即+2>2，∴+2−2>0，∴Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是−r<0，两根的积是4=14>0，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·八年级统考课时练习）已知<0，>0，<0，则方程B2−B−=0的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由12=−<0得到方程有异号两实数根，再由1+2=<0得到负根的绝对值大．【详解】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵12=−<0，∴方程有异号两实数根．∵1+2=<0，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝(﹣4)2﹣−＞0，整理得：2−4+3>0，即(−3)(−1)>0，根据乘法法则得：−3>0−1>0或−3<0−1<0，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝−＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝=134−<214，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程2−4+−1=0的实数根1,2，满足312−1−2>5，则m的取值范围是．【答案】4<≤5【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：1+2=4,12=−1，所以312−1−2=3×(−1)−4，依题意得：(−4)2−4(−1)≥03×(−1)−4>5，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程42−+5−−【变式6-2】9=0有两个不相等的实数根1，2，且1=−1，0<2<1，则k的取值范围是（）A．−18<<−10B．0<<8C．−9<<−5D．−18<<−10且≠−13【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据12=−K94，1=−1，可得2=r94，结合0<2<1，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程42−+5−−9=0有两个不相等的实数根，∴Δ=−+52−4×4×−−9=+132>0，解得：≠−13，∵12=−K94，1=−1，∴2=r94又∵0<2<1，∴0<r94<1，解得：−9<<−5，综上，的取值范围为：−9<<−5．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到2=r94．【变式6-3】（2023春·八年级单元测试）设关于的方程B2+(+2)+9=0有两个不相等的实数根1，2，且1<−1<2，那么实数的取值范围是．【答案】0<<29【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出1+2=−r2，12=9，由1<−1<2可得出(1+1)(2+1)<0，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=(+2)2−4×9=−352+4+4>0，解得：−27<<25，∵1+2=−r2，12=9，1<−1<2，∴1+1<0，2+1>0，∴(1+1)(2+1)<0，∴12+(1+2)+1<0，即9−r2+1<0，当I0时，解得>29（舍去）；当>0时，解得0<<29，又∵−27<<25，∴的取值范围为0<<29．故答案为：0<<29．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合(1+1)(2+1)<0，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402B．59C．95D．6703【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（1）2+2010×1+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与1为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•1==95．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知≥2,2−2B+2=0,2−2B+2=0，则(−1)2+(−1)2的最小值是（）．A．6B．3C．-3D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－12)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－12)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足=−−3，=−−3，求2+2−9的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴2+2﹣9=2+2−9=(rp2−2B−9=9−2K9=−2=﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且(2−2)(2−2)=1，(2−2)(2−2)=1，则22−22的值为（）A．-1B．1C．0D．0.5【答案】A【分析】把2,2看作以上方程的两个不同的根，可得4−2+22−22−1=0，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：∵(2−2)(2−2)=1，(2−2)(2−2)=1，∴2,2看作以上方程的两个不同的根，即2,2是方程4−2+22−22−1=0的两根，故22=−22−1，即22−22=−1故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·八年级期中）若关于x的一元二次方程B2+2B+=0(≠0)的一个根为m，则方程（−1）2+2（−1）+=0的两根分别是（）．A．+1，−−1B．+1，−+1C．+1，+2D．−1，−+1【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程B2+2B+=0的另一个根，设−1=，根据方程B2+2B+=0的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程B2+2B+=0(≠0)的一个根为m，设方程另一根为n，∴+=−2=−2，解得：=−2−，设−1=，方程（−1）2+2（−1）+=0变形为B2+2B+=0，由一元二次方程B2+2B+=0(≠0)的根可得，1=，2=−2−，∴−1=−2−，−1=，∴1=−−1，2=1+，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）有两个一元二次方程：：B2+B+=0；：B2+B+ =0，其中−≠0，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是=1【答案】D【分析】求出方程：B2+B+=0的判别式△=2−4B，方程：B2+B+=0的判别式△=2−4B，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可．【详解】解：A、∵M有两个不相等的实数根，∴△>0即2−4B>0，∴此时N的判别式△=2−4B>0，∴N也有两个不相等的实数根，故此选项正确，不符合题意；B、∵M的两根符号相同：即1⋅2=>0，∴N的两根之积也大于0，∴N的两个根也是同号的，故此选项正确，不符合题意；C、如果5是M的一个根，则：25+5+=0①，我们只需要考虑将15代入N方程看是否成立，代入得：125+15+=0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项正确，不符合题意；D、比较方程M与N可得：B2+B+−B2−B−=0，∴−2=−，∵−≠0，∴2=1，∴=±1，∴它们如果有根相同的根可能是1或−1，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系以及一元二次方程的解的意义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，根的判别式△=2−4B，根与系数的关系1+2=−，1⋅2=．【变式8-2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）关于x的一元二次方程2+B+=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程2+B+=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．(−2)2+(−2)2＜8C．q是正数，p是负数D．(−2)2+(−2)2>8【答案】D【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B 与D．【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．【变式8-3】（2023春·八年级单元测试）一元二次方程G B2+B+=0；G B2+B+=0，其中B≠0，≠，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则1是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是=1，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．【详解】∵G B2+B+=0有两个不相等的实数根，∴Δ=2−4B＞0，∵G B2+B+=0的判别式为Δ=2−4B=2−4B＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故①正确；∵G B2+B+=0两根符号相同，∴Δ=2−4B≥0,＞0，∴Δ=2−4B≥0,＞0，∴方程N的两根符号也相同，故②正确；∵m是方程G B2+B+=0的一个根，∴B2+B+=0，∵2+×1+=rB+B22=0∴1是方程N的一个根；故③正确；设方程M和方程N相同的根为0，根据题意，得B02+B0+=0,B02+B0+=0，∴−02=−，∵B≠0，≠，∴02=1，解得0=±1，故这个根是=±1，故④错误；故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【题型9根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·八年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②2-r2=0；③132+14r15=0；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【答案】(1)①②④；(2)22-(rp2=1；【分析】（1）运用“勾股”方程的定义，即可得出答案；（2）利用根与系数关系可得：m+n=-，mn=，再结合2+2=2，即可得出答案；另解：根据题意可得：B2+B+J0①，B2+B+J0②，再结合2+2=2，即可得出答案；【详解】（1）根据“勾股”方程的定义，在方程2-1=0中，J1，J0，J-1，∵2+2=1，2=1，∴2+2=2，∴一元二次方程2-1=0为“勾股”方程；在方程2-r2=0中，J1，J-1，J2，∵2+2=12+(-1)2=2，2=(2)2=2，∴2+2=2，∴一元二次方程2-r2=0为“勾股”方程；在方程132+14r15=0中，J13，J14，J15，∵2+2=(13)2+(14)2=25144，2=(15)2=125，∴2+2≠2，∴一元二次方程132+14r15=0不是“勾股”方程；在方程42+3J5中，J4，J3，J-5，∵2+2=42+32=25，2=(-5)2=25，∴2+2=2，∴一元二次方程42+3J5为“勾股”方程；故答案为：①②④；（2）22-(rp2=1；理由如下：∵、是“勾股”方程B2+B+J0的两个实数根，。
初三数学《一元二次方程根与系数之间的关系》练习题(含答案)
一元二次方程根与系数之间的关系一 、选择题（本大题共2小题）1.已知方程260x kx ++=的两个实数根是1x 、2x ，同时方程260x kx -+=的两实数根是15x +，25x +，则k 的值等于（ ）A.5B.5-C.7D.7-2.若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是（）A.2316b ac =B.2316b ac =-C.2163b ac =D.2163b ac =-二 、填空题（本大题共8小题）3.若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=4.以3-和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为____________5.已知m 、n 是一元二次方程2310x x -+=的两根，那么代数式222461999m n n +-+的值为6.若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于 ，p 等于7.关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是 ，______b =8.方程2380x x m -+=的两个根之比为3:1，则_______m =9.已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=10.如果方程22430x x k ++=的两个根的平方和等于7，那么_______k =三 、解答题（本大题共12小题）11.不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积12.已知2240x x k -+=的一个根，求另一个根和k 的值13.设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -14.已知实数1x 和2x 满足211620x x -+=和222620x x -+=，求2112x x x x +的值15.已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x⑴求k 的取值范围。
一元二次方程的根与系数的关系(基础)(含答案)
一元二次方程的根与系数的关系（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.一元二次方程的两实数根的和与积分别是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，对于一元二次方程，a=3，b=-4，c=-5试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系2.若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根，且，则m等于( )A.-2B.-3C.2D.3答案：B解题思路：由题意，，∵α，β是一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根∴，∴∴m=-3试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系3.若关于一元二次方程有一个解为，则另一个解为( )A.1B.-3C.3D.4答案：C解题思路：∵一元二次方程的两根分别为x1=-1，x2∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系4.已知x1，x2是关于x的方程的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为( )A.4B.-4C.3D.-3答案：A解题思路：由题意，∵x1，x2是一元二次方程的两根∴∴∴b=4试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系5.设x1，x2是一元二次方程的两实数根，则的值是( )A.2B.4C.5D.6答案：C解题思路：由题意，∵x1，x2是一元二次方程的两实数根∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系6.一元二次方程的两个根为x1，x2，则的值是( )A.10B.9C.8D.7答案：D解题思路：由题意，∵一元二次方程的两个根为x1，x2∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系7.关于x的一元二次方程的两实数根分别为x1，x2，且，则m 的值为( )A. B.C. D.0答案：A解题思路：由题意，，∵一元二次方程的两实数根分别为x1，x2∴∵∴，∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系8.关于x的方程的两根互为相反数，则k值是( )A.-1B.±2C.2D.-2答案：D解题思路：∵关于x的方程的两根互为相反数∴∴k=±2当k=2时，原方程为，无解当k=-2时，原方程为，符合题意试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系9.定义运算：a*b=2ab，若a，b是方程（m＞0）的两个根，则(a+1)*a-(b+1)*b 的值为( )A.0B.2C.4mD.-4m答案：A解题思路：∵a，b是方程（m＞0）的两个根∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系10.若关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有两个实数根为x1，x2，且|x1-x2|=4，则m的值为( )A. B.-1C.1或-1D.1答案：D解题思路：由题意，，∵一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1，x2∴∵|x1-x2|=4∴x1-x2=4或x2-x1=4∴x1=5，x2=1或x1=1，x2=5即关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为1，5∴∴m=1试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系。
专题21.8 一元二次方程的根与系数关系-重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)
专题21.8 一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型【人教版】【题型1 利用根与系数的关系求代数式的值】【例1】（2020秋•普宁市期末）若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝ ． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣2， ∴原式＝1+x 1+x 2﹣x 1x 2＝1+1﹣（﹣2）＝4， 故答案为：4【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 【变式1-1】（2021•龙马潭区模拟）设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x 1x 2的值为 ．【分析】欲求x 2x 1+x 1x 2的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣3，x 1•x 2＝﹣3， ∴x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1⋅x 2=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2x 1⋅x 2=(−3)2−2×(−3)−3=−5．故答案为﹣5．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式1-2】（2020秋•解放区校级月考）一元二次方程x 2+4x +1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 2x 1−x 1x 2的值为 ．（其中x 2＞x 1）【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝1，再通过通分和完全平方公式变形得到x 2x 1−x 1x 2=(x 1+x 2)√(x 2+x 1)2−4x 1x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝1， 所以x 2x 1−x 1x 2=x 22−x 12x 1x 2=(x 1+x 2)(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1+x 2)√(x 2+x 1)2−4x 1x 2x 1x 2=−4×√(−4)2−4×11＝﹣8√3． 故答案为﹣8√3【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=c a．【变式1-3】（2020秋•淇滨区校级月考）已知a 、b 是方程2x 2+5x +1＝0的两实数根，则式子a√a b +b √ba 的值为 ．【分析】利用根与系数的关系可得出a +b =−52，a •b =12，进而可得出a ＜0，b ＜0，再将a +b =−52，a •b =12代入a√ab +b √b a =2√ab中即可求出结论． 【解答】解：∵a 、b 是方程2x 2+5x +1＝0的两实数根， ∴a +b =−52，a •b =12， ∴a ＜0，b ＜0，∴a√a b +b √b a =√a⋅a √a⋅b +√b⋅b √a⋅b =22√ab =2√ab =−(−52)2+2×12√12=−21√24．故答案为：−21√2 4．【点评】本题考查了根与系数的关系以及实数的运算，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．【题型2 利用根与系数的关系求系数字母的值】【例2】（2021•成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值．【分析】根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤1 4，由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．∴k＝﹣3，故答案为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a，x1x2=ca．也考查了根的判别式．【变式2-1】（2019秋•萍乡期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝．【分析】根据根与系数的关系求得x1+x2＝2，x1•x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，然后将其代入已知等式列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的二根为x 1、x 2， ∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝m ，且x 12﹣2x 1+m ＝0， ∴x 12﹣x 1＝﹣m +x 1， ∵x 12﹣x 1+x 2＝3x 1x 2， ∴﹣m +x 1+x 2＝3x 1x 2， 即﹣m +2＝3m ， 解得：m =12， 故答案为：12．【点评】本题考查了根与系数的关系．解题时，借用了“一元二次方程的解的定义”这一知识点． 【变式2-2】（2020春•文登区期中）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0的两根x 1和x 2，且x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2，则k 的值是 ．【分析】先由x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2，得出x 1﹣2＝0或x 1﹣x 2＝0，再分两种情况进行讨论：①如果x 1﹣2＝0，将x ＝2代入x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0，得4+2（2k +1）+k 2﹣2＝0，解方程求出k ＝﹣2；②如果x 1﹣x 2＝0，那么△＝0，解方程即可求解． 【解答】解：∵x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2， x 12﹣2x 1+2x 2﹣x 1x 2＝0， x 1（x 1﹣2）﹣x 2（x 1﹣2）＝0， （x 1﹣2）（x 1﹣x 2）＝0， ∴x 1﹣2＝0或x 1﹣x 2＝0． ①如果x 1﹣2＝0，那么x 1＝2， 将x ＝2代入x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0， 得4+2（2k +1）+k 2﹣2＝0， 整理，得k 2+4k +4＝0， 解得k ＝﹣2； ②如果x 1﹣x 2＝0，则△＝（2k +1）2﹣4（k 2﹣2）＝0． 解得：k =−94．所以k 的值为﹣2或−94．故答案为：﹣2或−9 4．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．【变式2-3】（2020秋•武侯区校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值．【分析】先由根与系数的关系得到2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|＝4，分α+β＝﹣4或α+β＝4进行讨论即可．【解答】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+3 2，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m+1＝4，解得m=3 2；当α+β＝4时，2m+1＝﹣4，解得m=−5 2．∵△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m+3 2）＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6＝12m﹣5≥0，∴m≥5 12；∴m=−52不合题意，舍去，则m=3 2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．【题型3 利用根与系数的关系及代根法综合求值】【例3】（2021•九龙坡区校级期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A．7B．6C．﹣2D．0【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，故选：A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式3-1】（2020秋•抚州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（）A．10B．9C．8D．7【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1，将x12+3x2+x1x2+1变形为3（x1+x2）+x1x2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，∴x12﹣3x1+1＝0，x1+x2＝3，x1•x2＝1，∴x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2+1＝3x1﹣1+3x2+x1x2+1＝3（x1+x2）+x1x2＝3×3+1＝10，故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1是解题的关键．【变式3-2】（2020秋•宜宾期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（）A．4B．4√2C．5D．5√2【分析】根据方程根的定义得到α2＝a+1，即可得到α4＝α2+2α+1，然后根据根与系数的关系即可求得α4+3β的值．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，∴α2＝a+1，∴α4＝α2+2α+1，则α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．【变式3-3】（2020秋•雅安期末）设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，x12=4x1﹣1，∴x13=4x12−x1，∴原式＝4x12−x1+4x22+x1﹣1＝4（x12+x22）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，故答案为：55【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】【例4】（2021春•柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝．【分析】由题意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，则2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032． 故答案为：2032．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．【变式4-1】（2021春•崇川区月考）实数x ，y 分别满足99x 2+2021x ＝﹣1．y 2+2021y ＝﹣99，且xy ≠1．则xy+10x+1y= ．【分析】把y 2+2021y ＝﹣99变形为99（1y）2+2021•1y+1＝0，加上99x 2+2021x +1＝0，则实数x 、1y可看作方程99t 2+2021t +1＝0，利用根与系数的关系得到x +1y =−202199，x •1y =199，再把原式变形为x +10•x y+1y，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵y 2+2021y ＝﹣99， ∴99（1y）2+2021•1y+1＝0，∵99x 2+2021x ＝﹣1， 即99x 2+2021x +1＝0，∴实数x 、1y可看作方程99t 2+2021t +1＝0的两实数解，∴x +1y =−202199，x •1y =199，∴原式＝x +10•x y+1y=−202199+10×199 =−201199． 故答案为−201199． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba ，x 1x 2=ca ．【变式4-2】（2021•郫都区校级模拟）已知a 2﹣2a ﹣1＝0，b 2+2b ﹣1＝0，且ab ≠1，则ab+b+1b的值为 ．【分析】先变形b 2+2b ﹣1＝0得到（1b）2﹣2•1b−1＝0，则a 和1b可看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵b 2+2b ﹣1＝0， ∴b ≠0，方程两边同时除以b 2，再乘﹣1变形为（1b）2﹣2•1b−1＝0，∵ab ≠1，∴a 和1b 可看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根，∴a +1b =2， ∴ab+b+1b=a +1+1b=2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−ba ，x 1•x 2=c a．【变式4-3】（2020秋•蕲春县期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则1α2+3β的值为 ． 【分析】原方程变为（1α2）﹣3（1α）﹣1＝0，得到1α、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．【解答】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴1α、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根，∴1α+β＝3，βα=−1，1α2=1+3α，∴原式＝1+3α+3β＝1+3（1α+β）＝1+3×3＝10， 故答案为10．【点评】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键．【题型5 根与系数的关系与三角形综合】【例5】（2020秋•西工区期中）已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0． （1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【分析】（1）先计算出△＝4（k﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x1＝﹣k+6，x2＝k+2，然后分类讨论：当AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．【解答】（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，综合上述，k的值为2或1或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【变式5-1】（2020秋•吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【分析】（1）先计算出△＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解；（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，x 1=m+1m−1，x 2＝1， ∵此方程的两个根都是正整数，∴m+1m−1＞0，当m +1＞0，m ﹣1＞0时，解得m ＞1，当m +1＜0，m ﹣1＜0时，解得m ＜﹣1，∴m ＝2或m ＝3；（3）∵一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1＝0的解为x 1=m+1m−1，x 2＝1， ∵△ABC 是等腰三角形，第三边BC 的长为5，∴m+1m−1=5，解得m ＝1.5，经检验，m ＝1.5是原方程的解．故m 的值是1.5．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【变式5-2】（2021春•西湖区校级期中）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ＝0．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2；①求代数式x 12+x 22−4x 1x 2的最大值；②若方程的一个根是6，x 1和x 2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．【分析】（1）通过判别式△求解．（2）①通过两根之积与两根之和的关系将x 12+x 22−4x 1x 2配方求解．②把x ＝6代入方程求出m ，再将m 代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x 的值．【解答】解：（1）△＝（2m +4）2﹣4（m 2+4m ）＝16，16＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）①x 12+x 22−4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣6x 1x 2，∵x1+x2=−−(2m+4)1=2m+4，x1x2＝m2+4m，∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，∴当m＝﹣2时x12+x22−4x1x2的最大值为24．②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在．当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．∴等腰三角形周长为14或22或26．【点评】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系．【变式5-3】（2021•永州模拟）已知关于x的方程x2−2mx+14n2=0，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝4m2﹣n2＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系求出√m2−14n2=4，根据三角形的面积可求出m，n的值，则可求出答案．【解答】解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，∴2m＞n，又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×14n2=4m2−n2，∴4m2＞n2，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）由题意得|x 1﹣x 2|＝8，∴（x 1﹣x 2）2＝64，∴（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝64，由韦达定理得：x 1+x 2＝2m ，x 1x 2=14n 2，∴（2m ）2﹣4×14n 2=64，即√m 2−14n 2=4， ∵等腰三角形的面积是16，如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴BD ＝CD =n 2．∴AD =√AB 2−BD 2=√m 2−14n 2，∴12×n ×√m 2−14n 2=16，∴n ＝8，代入√m 2−14n 2=4，解得m ＝4√2，∴m ＝4√2，n ＝8．【点评】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系，得出m ，n 的关系式．【题型6 根与系数关系中的新定义问题】【例6】（2020秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）①方程x 2﹣4x ＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+34=0是关于2的等距方程．【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即−ba=4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22=34（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，则|x2﹣2＝|x2﹣2|，①正确；②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2=n−m，∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，满足2的等距方程；当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2=−b a，∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即−ba=4，∴b ＝﹣4a ，故ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）是2的等距方程时，b 不一定等于﹣4a ，故③错误；④对于方程px 2﹣x +34=0有两根满足x 1＝3x 2，由韦达定理得：x 1x 2=34p ，x 1+x 2=1p ， ∴x 1x 2=34×1p =34（x 1+x 2），∴3x 22=34（3x 2+x 2）＝3x 2，∴x 2＝1或x 2＝0（舍去），∴x 1＝3x 2＝3，∴|x 1﹣2|＝|x 2﹣2|，即px 2﹣x +34=0是关于2的等距方程，故④正确，故正确的有①④，故答案为①④．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键．【变式6-1】（2021春•崇川区校级月考）x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根，若满足|x 1﹣x 2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x 2﹣4x ﹣5＝0；②2x 2﹣2√3x +1＝0；（2）已知关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，求a 的值；（3）若关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，请探索a 与b 之间的数量关系式．【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；（2）根据x 2+2ax ＝0是“差根方程”，且x 1＝0，x 2＝﹣2a 得到2a ＝±1，从而得到a ＝±12； （3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到√(−b a )2−4⋅1a =1，整理即可得到b 2＝a 2+4a ．【解答】解：（1）①设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣5＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝﹣5，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√42−4×(−5)=6，∴方程x 2﹣4x ﹣5＝0不是差根方程；②设x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣2√3x +1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2=√3，x 1•x 2=12，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(√3)2−4×12=1，∴方程2x 2﹣2√3x +1＝0是差根方程；（2）x 2+2ax ＝0，因式分解得：x （x +2a ）＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣2a ，∵关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，∴2a ＝±1，即a ＝±12；（3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，∴x 1+x 2=−b a ，x 1•x 2=1a ，∵关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，∴|x 1﹣x 2|＝1，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即√(−b a )2−4⋅1a =1，∴b 2＝a 2+4a ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•石狮市期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一根为2t ，因此ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，所以有b 2−92ac ＝0；我们记“K ＝b 2−92ac ”，即K ＝0时，方程ax 2+bx +c ＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2−√mx+23n＝0是倍根方程，求此倍根方程．【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；(2)根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2=−nm得到m＝﹣n或m=−14n，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0；(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2−92ac＝0，据此求解可得．【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x1＝﹣1，x2＝2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x1＝2，x2＝4，∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案为②；（2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x1＝2，x2=−n m，∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，∴2=−2nm或4=−nm，即m＝﹣n或m=−14n，∴m+n＝0或4m+n＝0；∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；（3）设其中一根为t ，则另一个根为2t ，则ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，∴b 2−92ac ＝0，∵x 2−√mx +23n ＝0是倍根方程，∴（−√m ）2−92×2×23n ＝0，整理，得：m ＝3n ，∵A （m ，n ）在一次函数y ＝3x ﹣8的图象上，∴n ＝3m ﹣8，∴n ＝1，m ＝3，∴此倍根方程为x 2−√3x +23=0．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．【变式6-3】（2020秋•台儿庄区期中）阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ，y ，z 构成“和谐三数组”．材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根分别为x 1，x 2，则有x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ． 问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 均不为0）的两根，x 3是关于x 的方程bx +c ＝0（b ，c 均不为0）的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”.【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；（2）先根据材料2，得出1x 1+1x 2=−b c ，再求出一元一次方程的解，进而得出1x 3=−b c ，即可得出结论．【解答】解：（1）∵12+13=56， ∴65，2，3是“和谐三数组”；故答案为：65，2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0 （a ，b ，c 均不为0）的两根，∴x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ，∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=−b a c a =−b c ， ∵x 3是关于x 的方程bx +c ＝0（b ，c 均不为0）的解，∴x 3=−c b ，∴1x 3=−b c ， ∴1x 1+1x 2=1x 3，∴x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”．【点评】此题主要考查了新定义的理解和运用，一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．。
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一元二次方程根与系数的关系(一) 姓名
◆课前预习
1．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=____，x 1x 2=____． 2．如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=_____，x 1x 2=________；以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是__________． ◆互动课堂
【例1】写出下列方程的两根和与积
(1)2
x 3x-5=0- (2)2
2x +3x 8=0- (3)52
x 7x 10-+=
【例2】设方程4x 2－7x －3=0的两根为x 1，x 2，不解方程，求下列各式的值： （1）x 12+x 22； （2）（x 1－3）（x 2－3）；（3）21121x x x x x +++； （4）│x 1－x 2│．
【例3】已知方程2
5x +kx 6=0-的一个根为2，求k 的值及另一个根 【例4】已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k+1）x+4k －3=0。
（1）求证：无论x 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt △ABC 的斜边长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．
【例5】已知关于x 的一元二次方程2
2x +3x m+1=0-的两实根的倒数和为3, 求m 的值. ◆跟进课堂
1．如果方程x 2+px+q=01
，那么p=_____，q=_____． 2．已知一元二次方程x 2－5x －6=0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12+x 22=_______．
3．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程a 2x 2－（2a －3）x+1=0的两个实数根，如果1
2
11x x +=－2，
那么a 的值是_______．
4．已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为______． 5．已知方程x 2+3x －1=0的两个根为α、β，那么a βαβ
+
=_______．
6．设方程x 2+x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则1
2
11x x +
的值为（ ）．
A ．1
B ．－1 C
D 7．对于方程x 2+bx －2=0，以下观点正确的是（ ）．
A ．方程有无实数根，要根据b 的取值而定
B ．无论b 取何值，方程必有一正根，一负根
C ．当b>0时，方程两根为正；b<0时，方程两根为负
D ．∵－2<0，∴方程两根肯定为负 8．已知一个直角三角形两条直角边的长恰好是方程x 2－8x+7=0的两个根，•则这个直角三角形的斜边长是（ ）． A ．5 B ．3 C ．
D ．9
9．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）． A ．x 2+5x+6=0 B ．x 2－5x+6=0 C ．x 2－5x －6=0 D ．x 2+5x －6=0 10．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两异号实数根的条件是（ ）． A ．b a
>0 B ．b a <0 C ．c a >0 D ．c a <0
◆课外作业
1．设x 1，x 2是方程x 2－4x+2=0的两实数根，则x 1+x 2=____，x 1·x 2=_____．
2．关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=2，则x 2+bx+c•分解因式的结果为_______． 3．如果一个矩形的长和宽是一元二次方程x 2－10x+20=0的两个根，•那么这个矩形的周长是______．
4.已知x 1，x 2是方程x 2－x －3=0的两个根，那么x 12+x 22的值是（ ） A ．1 B ．5 C ．7 D ．494
5．已知关于x 的一元二次方程x 2
－mx+2m －1=0的两个实数根的平方和为7，那么m•的值是（ ） A ．5 B ．－1 C ．5或－1 D ．－5或1
6．下列说法中正确的是（ ）
A ．方程x 2+2x －7=0的两实数根之和是2
B ．方程2x 2－3x －5=0的两实数根之积为52
C ．方程x 2－2x －7=0的两实数根的平方和为18
D ．方程2x 2+3x －5=0的两实数根的倒数和为
35
7．若ab≠1，且有5a 2+2002a+9=0及9b 2+2002b+5=0，则
a
b
的值是（ ） A ．95
B ．59
C ．－20025
D ．－20029
8．设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x 1+1）（x 2+1）； （2）x 12x 2+x 1x 22； （3）211
2
x x x x +； （4）（x 1－x 2）2．
9．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m －3）x+m 2=0的两个不相等的实数根α，β，满足11α
β
+=1，
求m 的值．
10．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+mx+n=0的两根，x 1+1，x 2+1是关于x 的方程x 2+nx+m=0的两根，求m ，n 的值．
11．已知关于x 的方程x 2－2kx+k －14
=0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k•的取值范围．
12．已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2－2x+m+1=0的两个实数根． （1）求实数m 的取值范围．（2）如果x 1，x 2满足不等式7+4x 1x 2>x 12+x 22，且m 为整数，求m 的值．
13.已知关于x 的一元二次方程x 2－（m+2）x+14
m 2－2=0．
（1）当m 为何值时，这个方程有两个相等的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=18，求m 的值．
答案:
1．－，1 2．37 3．1
2
4．2 5．－11
6．A 7．B 8．C 9．B 10．D
11．（1）－5
2
（2）3 （3）－
14
3
（4）10 12．m=－3
13．m=－1，n=－3 14．k>3 4
15．（1）m≤－1
2
（2）m=－2或m=•－1。