第三次课二次函数的平移翻折与旋转问题abc符号问题

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二次函数的图象的平移问题

二次函数的图象的平移问题
通过这个演示文稿，我们将深入探讨二次函数图象的平移问题，了解定义、公式、图形表示、实际应用以及平移的影响等重要概念。
什么是二次函数图象的平移？
平移是指在坐标平面上沿水平或垂直方向移动二次函数的图象，而保持其形状和曲线特征不变。
平移的定义和公式
平移可以通过更改二次函数的方程中的常数项来实现。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，平移后的函数为g(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k) 是平移的目标点。
平移的实际应用
平移是数学中的重要概念，在现实世界中有许多实际应用，如物体运动的轨迹描更好地理解平移对二次函数图象的影响，并学习如何在实际问题中应用这一概念。
平移的图形表达
通过改变二次函数的方程中的平移量，我们可以在坐标平面上绘制出平移后的二次函数图象。这将使我们更好地理解函数图象的变化。
如何平移二次函数象？
将二次函数的图象沿水平或垂直方向平移，可以通过调整方程中的水平平移量和垂直平移量来实现。
平移前后函数的关系
平移后的函数与原始函数之间存在一定的变化关系，通过比较两者的方程和图象，我们可以更好地理解这种关系。

专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版

专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2）抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1）抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ）抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2）抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--，新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图，点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。

二次函数中abc的符号问题复习用

3
a,b的作用:
a、b同时决定对称轴位置： a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b＝０时对称轴是y轴
4
c的作用:
决定抛物线与y轴的交点： c＞０时,抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时,抛物线过原点 c＜０时,抛物线交于y轴的负半轴
5
b2-4ac的作用:
决定抛物线与x轴的交点： b2-4ac ＞０时,抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac ＝０时,抛物线与x轴有一个交点
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 a>0 开口向上 a<0 开口向下（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定. c>0 交点在x轴上方交点在x轴下方经过坐标原点 c<0 c=0
8
归纳知识点：
（3）b的符号：由对称轴的位置确定：对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧对称轴是y轴（4）b2-4ac的符号：
（a、b、c、△等符号）
1
二次函数的几种表达式：
①、 y ax (a 0（ ) 最简式）
2
y
ax c(a 0) 2 y a( x h) (a 0) ③、
②、 y
2
2 ④、 y a( x h)
o
x
k (a 0)
2
(顶点式) (一般式)
y ⑤、
b 2 4ac b ⑥、 y a( x ) (a 0) 2a 4a
o
x
21快Leabharlann 回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号： y
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22
练一练：

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=221221x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（202*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（202*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（202*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．6、已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为。

二次函数图像(平移、系数abc专题)

二次函数y=ax2+bx+c的图象一、知识要点整理一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象；y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移；当h<0时,向左平移)，再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的。

因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k 的值有关。

1.总结二次函数y=a(x-h)2＋k的性质顶点坐标与对称轴；位置与开口方向；增减性与最值；抛物线y=a(x-h)2＋k (a>0) y=a(x-h)2＋k (a＜0)顶点坐标〔h，k〕〔h，k〕对称轴直线x＝h 直线x＝h开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.最值当x＝h时，最小值为k 当x＝h时，最大值为k 2.用配方法可将二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕化成顶点式得到：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，其图象与抛物线y=ax 2的开口方向、对称轴、大小、形状完全一样，仅位置不同。

当a>0时，抛物线的开口向上，当a<0时，抛物线的开口向下；对称轴是直线a b x 2-=.顶点是），（ab ac a b 4422--。

注意：（1）关系式y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕通常称为二次函数的一般式；其与顶点式可互化；（2）二次项系数a 决定抛物线的形状，包括开口方向、开口程度，且|a|越大，抛物线的开口越小。

〔3〕b 与c 决定抛物线的位置，当a 、b 同号时，对称轴直线a b x 2-=在y 轴的左侧，当a 、b 异号时，称轴直线ab x 2-=在y 轴的右侧，当b=0时，称轴直线就是y 轴；〔3〕抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点坐标为〔0，c 〕。

二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题

二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题一选择题1.如图所示，抛物线的图象则下列结论正确的是（）A a<0，b<0，c＞0，b2＜4acB a<0，b>0，c<0，b2＜4acC a<0，b>0，c＞0，b2>4acD a>0，b<0，c＞0，b2>4ac2.如图a＜0，c＞0那么y＝ax2＋bx＋c的图象是（）3.已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（）A l个 B 2个 C 3个 D 4个4.二次函数y=mx2+2mx-（3-m）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A m＜3B m＞3C m＞0D 0＜m＜35.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如右图所示，若y<0，则x的取值范围是（）A −1<x<4B -1<x<3C x<-1或x>4D x<-1或x>37.在某次投篮中，球的运动路线是y=-0.2x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离为( )A 3.5mB 4mC 4.5mD 4.6m8.若抛物线y=x2+8x+h2的顶点在x轴上，则（）A h=0 B h=±16 C h=±4 D h=49.如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0，那么必有（）A a＞0，m取任意实数B a＞0，m＞0C a＜0，m＞0D a，m均可取任意实数10.已知a-b+c=0，9a+3b+c=0，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点可能在( )A 第一或二象限B 第三或四象限C 第一或四象限D 第二或四象限11.抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c ＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12.物线y=ax2+bx+c(a≠0)全部图象都在x轴下方，则( )A a>0，b2-4ac≥0B a>0，b2-4ac<0C a>0，b2-4ac≥0D a<0，b2-4ac<0二填空题13.若二次函数y=(a-1)x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a=________14.不论x取什么实数，y=2x2-6x+m的图象都在x轴的上方，那么m的取值范围是________；y=mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝15.二次函数y＝x2-(m-4)x+9的图象的顶点在y轴上，则m＝16.二次函数y＝x2＋2kx＋8的顶点在x轴上，则k＝17.已知抛物线y＝x2－2（k+1）x＋16的顶点在x轴上，则k的值为______18.抛物线y＝x2－(m－4)x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，其顶点坐标为______19.已知抛物线y＝x2+2（m－3）x＋1的顶点在x轴上，则m＝______顶点坐标是_________20.平移抛物线y = x2+2x-8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式21.如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________22.把抛物线y=2(x+1)2向下平移______单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为523.抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____________,若将它旋转180后得新的抛物线,其解析式为____________________24.把y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有b=_____，c=_____三解答题25.如图，抛物线y＝ax2+bx＋c确定a，b，c，b2-4ac，a+b+c，a-b+c的符号26.抛物线y＝ax2+bx＋c的图像如图，对称轴是直线x＝－1确定a,b,c，Δ及a－b＋c 的符号27.已知抛物线y＝ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．28.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大.正确的说法有_____________29.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图所示）．（1）请你直接写出O、A、M三点的坐标；（2）一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面在同一平面）？30.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.（1）求二次函数的关系式；（2）把Rt△ABC 放在坐标系内，其中∠CAB=900，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题答案1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.B8.C9.B 10.C 11.D 12.D11.分析（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；（3）画草图可知c＞0，结合a﹣b+c ＝0，可整理得﹣a+b+c＝2c＞0，从而求得﹣a+b+c＞0；（4）把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c﹣2a＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c＝0 ①，又因为4a+2b+c＞0 ②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y＝ax2+bx+c（a＜0）当x＝2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c＝0，∴﹣a+b﹣c＝0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c＝2c，整理得﹣a+b+c＝2c＞0，即﹣a+b+c＞0；（4）∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0∴b2﹣2ac﹣5a2＝（a+c）2﹣2ac﹣5a2＝c2﹣4a2＝（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞04a+2（a+c）+c＞0，即2a+c＞0①，∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②，由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2,综上可知正确的个数有4个．故选：D．13.2 14.m＞9／2，2 15.4 16.±22 17.3或-5 18.（0，-4） 19.4或2，（1,0）或（-1,0） 20.y=x2+2x 21.k＜-9／8 22. 25／2 23.（-2,0），y=3（x+2）2 24.3，725. a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0，a+b+c＞0，a-b+c＜026.a＜0，b＜0，c＞0，△＞0，a-b+c＞027.解：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，∵对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，∴b＜0，又与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，故a＞0，b＜0，c＜0；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），∴a﹣b+c＝0，c＝﹣1，即a﹣b＝1，a＝b+1，∴a+b+c＝b+1+b﹣1＝2b，∵b＜0，∴2b＜0，∵a＞0，∴b+1＞0，∴b＞﹣1，2b＞﹣2，故，﹣2＜a+b+c＜0．28.①②④29.解：（1）解：如图，O（0，0）．∵OA为6米，∴A（6，0），又∵BM的对称轴，BM为3米，∴M（3，3）．综上所述，O（0，0），A（6，0），M（3，3）．（2）设抛物线的关系式为y＝a（x﹣3）2+3，因为抛物线过点（0，0），所以0＝a（0﹣3）2+3，解得a＝﹣，所以y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x，要使木板堆放最高，依据题意，得B点应是木板宽CD的中点，把x＝2代入y＝﹣x2+2x，得y＝，所以这些木板最高可堆放米．30.解：（1）∵M（1，﹣2），N（﹣1，6）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，∴，解得二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+1．（2）Rt△ABC中，AB＝3，BC，＝5，∴AC＝4，4＝x2﹣4x+1，x2﹣4x﹣3＝0，解得（负值不合题意舍去），∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移（1+）个单位．。

二次函数图像平移,对称与旋转课件

简称：“左加右减”
小试牛刀
1.将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，则所得抛物线解析式为（ A ） A．y=-3(x-1)2-2； B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2． 2.将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式? y= -2(x+1)2+4(x+1)+6-2 y= -2x2+6
3．与y=x2-2x-3的图象关于原点O（0，0）对称的函数图象的解析式是（ D ） A．y=（x-1）2-4 B．y=-（x+1）2-4 C．y=（x+1）2+4 D．y=-（x+1）2+4 分析：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”得变化后解析式: - y=（-x）2-2（-x）-3 即： y=-（x+1）2+4 答案：D
2012河南5题3分在平面直角坐标系中将抛物线4先向右平移2个单位再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是向上平移3个单位再向左平移2个单位那么得到的抛物线解析式是2x3的图像关于原点o00对称的图像解析式3
二次函数图像平移,对称与旋转
------ 大路李初级中学：
侯群霞
图像平移
沿Y轴平移
向上平移n个单位： y=a(x-h)2+k+n 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c+n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 ___________ 向下平移n个单位： 2+k-n y=a(x-h) 2 二次函数y=a(x-h) +k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c-n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为 ___________

备战2025年中考数学(全国)秘籍14 二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题(3题型)(解析版)

抢分秘籍14二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数图象的平移、翻折、旋转综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，二次函数图象的平移、翻折、旋转问题是几何综合，综合性比较强，同时也是高频考点、必考点，所以必须对几何和函数图象的性质定理很熟练和贯通。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一二次函数图象的平移综合问题【例1】（2024·浙江温州·一模）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．(1)求点B 的坐标和抛物线的函数表达式；(2)若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【答案】(1)点B 的坐标为()0,2，24y x x =-+；本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【例2】（2024·江西赣州·模拟预测）如图，已知抛物线1L ：2y x =-与直线1y =-相交于A ，B ．(1)AB =______；(2)抛物线1L 随其顶点沿直线12y x =向上平移，得到抛物线2L ，抛物线2L 与直线1y =-相交于C ，D （点C 在点D 左边），已知抛物线2L 顶点M 的横坐标为m ．①当6m =时，抛物线2L 的解析式是______，CD =______；②连接,MC MD ，当MCD △为等边三角形时，求点M 的坐标．∵MCD △是等边三角形，∴60MCE ∠=︒，∴12tan 2m ME MCE m CE +∠=+=1．（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2:4C y ax bx =+-的对称轴为2x =，且过点()1,2A ．(1)求抛物线C 的表达式及顶点坐标；(2)对称轴直线2x =与x 轴的交于点D ，与抛物线C 交于点N ．平移抛物线C 得到抛物线C '，使得抛物线C '的顶点M 在直线2x =的右侧．若等腰三角形DNM 面积为8，请叙述平移过程．∵等腰三角形DNM面积为∴h为该等腰三角形的高，∴148 2h⨯=，∴()24,2M +，即()6,2M ，∴将抛物线C 向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线C '．当4DM DN ==时，如图，可得()6,0M ，∴将抛物线C 向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线C '．当NM ND =时，如图，可得()6,4M ∴将抛物线C 向右平移4个单位长度，得到抛物线C '．2．（2024·贵州安顺·一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．(1)求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；(2)将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =__________；2y 与y 轴的交点坐标为(3)在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2L y ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．(1)①写出a 与b 的数量关系______；②证明：抛物线与直线22y x =-+有两个交点；(2)如图2，抛物线经过点()1,1--，将此抛物线记为1F ，把抛物线1F 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线2F ．①求抛物线2F 与x 轴的交点坐标；②点P 为抛物线1F 上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线2F 于点Q ，连接PQ ，以点P 为圆心、PQ 的长为半径作P ．当P 与x 轴相切时，求点P 的坐标．特例感知（1）如图1，对于抛物线()()111332y x x =---+，()21432y x x =--+，()()311532y x x =-+-+，()()412632y x x =-+-+，下列结论正确的序号是________．①抛物线1y ，2y ，3y ，4y 的对称轴是直线2x =；②抛物线1y ，2y ，3y ，4y 由抛物线212y x =-依次向上平移2个单位长度得到；③抛物线1y ，2y ，3y ，4y 与直线3y =的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等．概念形成把满足()()12232n y x n x n =-+---+的抛物线称为“族抛物线”．知识应用如图2，“族抛物线”n y 的顶点依次为1M ，2M ，3M ，4M ，…，n M ．（2）试求线段1n n M M +的长．（用含n 的代数式表示）（3）“族抛物线”1y ，2y ，3y ，…，n y 上分别有点1P ，2P ，3P ，…，n P ，它们的横坐标分别是2，3，4，…，1n +.试判断点1P ，2P，3P ，…，n P 是否在同一条直线上，如果在，求出此直线的解析式；如果不在，请说明理由．【详解】解：（1）()()111332y x x =---+213222x x =-++()217222x =--+，∴抛物线的对称轴为直线2x =，顶点坐标为72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；()21432y x x =--+21232x x =-++()21252x =--+，∴抛物线的对称轴为直线2x =，顶点坐标为()2,5；()()311532y x x =-+-+2111222x x =-++()2115222x =--+，∴抛物线的对称轴为直线2x =，顶点坐标为152,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；()()412632y x x =-+-+21292x x =-++()212112x =--+，∴抛物线的对称轴为直线2x =，顶点坐标为()2,11；①抛物线1y ，2y ，3y ，4y 的对称轴是直线2x =，故①正确；②抛物线1y ，2y ，3y ，4y 由抛物线()2122y x =--向上平移得到，但不是2个单位，故②错误；③抛物线()()111332y x x =---+与直线3y =的交点坐标为()11,3B ，()13,3A ；抛物线()21432y x x =--+与直线3y =的交点坐标为()20,3B ，()24,3A ；抛物线()()311532y x x =-+-+与直线3y =的交点坐标为()31,3B -，()35,3A ；抛物线()()412632y x x =-+-+与直线3y =的交点坐标为()42,3B -，()46,3A ；∴抛物线1y ，2y ，3y ，4y 与直线3y =的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等，故③正确．综上分析可知，正确的是①③；（2）∵()()12232n y x n x n =-+---+()2214432x x n =---++()2212322n x =--+，∴“族抛物线”n y 的顶点坐标为22,32n n M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则()2112,32n n M +⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴()22112133222n n n n n M M ++⎛⎫+=+-+= ⎪⎝⎭；（3）把2x =代入()2117222y x =--+得：172y =，则172,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；把3x =代入()221252y x =--+得：292y =，则293,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；把4x =代入()23115222y x =--+得：3112y =，则3114,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；把5x =代入()2412112y x =--+得：4132y =，则4135,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；把1x n =+代入()2212322n n y x =--++得：52n y n =+，则51,2n P n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；∴点3、4、n 在直线12上，∴点1P ，2P ，3P ，…，n P 在同一条直线上．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，求一次函数解析，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．题型二二次函数图象的翻折综合问题【例1】（2024·湖北孝感·一模）如图1，抛物线254y ax bx =++与x 轴相交于1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、5,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线顶点为点M ．(1)直接写出a ，b 的值及点M 的坐标；(2)点N 为抛物线对称轴上一点，当AN CN +最小时，求点N 的坐标；(3)平移直线BC 得直线y mx n =+．①如图2，若直线y mx n =+过点M ，交x 轴于点D ，在x 轴上取点7,06E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EM ，求∠DME 的度数．②把抛物线254y ax bx =++在x 轴下方图象沿x 轴翻折得到新图象（如图3）．当直线y mx n =+与新图象有两个公共点时，请直接写出n 的取值范围．则3,02H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1MH =，3122DH ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭在Rt DMH △中，=DM DH ∵7,06E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴715DE ⎛⎫=--=，则翻折后的图象的解析式为y=-∵直线BC解析式为1524 y x=-+，直线BC平移后的解析式为1 y=-本题考查用待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程及解二元一次方程组，熟练利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．【例2】（2024·四川德阳·模拟预测）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线()2440y ax ax a =-->．(1)如图1，将抛物线244y ax ax =--在直线4y =-下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W ”．翻折后，抛物线顶点A 的对应点A '恰好在x 轴上，求抛物线244y ax ax =--的对称轴及a 的值；(2)如图2，抛物线()2440y ax ax a =-->的图象记为“G ”，与y 轴交于点B ；过点B 的直线与（1）中的图象“W ”(2)x >交于P ，C 两点，与图象“G ”交于点D ．①当13a =时，求证：PC CD ＝；②当1a ≠时，请用合适的式子表示PC PD（直接写结果）．【答案】(1)2x =，1a =；作CN x ∥轴，过点D 作DN 由各点横坐标可得：4PM =∴PM CN =．∵PM x ∥轴，CN x ∥轴，∴∥PM CN ，∴DCN CPM ∠=∠．∵DN CN CM PM ⊥⊥，，由各点的横坐标可知4PQ k =+∵CQ PQ DT PT ⊥⊥，，∴CQ DT ．∴CPQ DPT ∽．则()2211PC PQ k a PD PT k a a===++．当1a >时，如图3，作PQ x ∥轴，过点C 作CQ x ⊥轴，交PQ 于点Q ，过点D 作DT x ⊥轴交PQ 于点T ．由各点的横坐标可知4(4)2PQ k k k =+--=，()()144k a a k PT k a a++=--=，∵CQ PQ DT PT ⊥⊥，，∴CQ DT ，∴CPQ DPT ∽．则()2211PC PQ k a PD PT k a a===++．综上所述，用含a 的式子表示PC PD为21a a +1.（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线2y x x 2=--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．(1)写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；(3)P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN 与OBC △相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型三二次函数图象的旋转综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西南昌·一模）如图、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23C y x x =-++与x 轴交于点A ，点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 为抛物线1C 的顶点，连接PB ，将抛物线1C 绕点O 旋转180︒得到抛物线2C ．(1)求抛物线2C 的解析式．(2)连接AC ，BC ，求sin ACB ∠的值．(3)连接CP ，Q 是抛物线2C 上的点，若满足QCO PBC ∠=∠，求点Q 的坐标．1解得，121,3x x =-=，∴()()()0,3,1,0,3,0C A B -，又()221:2314C y x x x =-++=--+，，则111022ABC S AC BE =⨯=⨯ ∴1212610510BE AC ===，∴61025sin 532BE ACB BC ∠===∵QCO PBC ∠=∠，∴tan tan QCO PBC ∠=∠=设点Q 的坐标为(2,2m m m +∴213233m m m -=--+，解得，122,3m m =-=，∵点A 关于原点对称的点∴1OA '=，连接CA '，则有：tan A CO '∠∴tan tan ,A CO PBC '∠=∠∴点Q 与点A '重合，∴()1,0Q ，本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算.【例2】（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线21:22L y ax x =--与x 轴相交于A 、B 两点（点B 在点A 的左侧），点A 的坐标是(4,0)，与y 轴相交于点C ，将抛物线L 绕点(2,0)旋转180︒得到抛物线1L ．(1)求抛物线1L 的函数表达式．(2)将抛物线1L 向左或向右平移，得到抛物线2L ，2L 与x 轴相交于A '、B '两点（点B '在点A '的左侧），与y 轴相交于点C '，要使2A B C ABC S S '''=△△，求所有满足条件的抛物线2L 的函数表达式．（2）当0x =时，1(4y =∴抛物线219(1)44y x =--由题可知AB A B ''=，要使2A B C ABC S S '''=△△，则19【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移和旋转、待定系数法等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质及平移规律是解题的关键．1．（2023·河南周口·二模）如图1，抛物线21y ax bx c =++分别交x 轴于()1,0A -，()3,0B 两点，且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的表达式及顶点P 的坐标．(2)如图2，将该抛物线绕点()4,0旋转180︒．①求旋转后的抛物线的表达式．②旋转后的抛物线顶点坐标为Q ，且与x 轴的右侧交于点D ，顺次连接A ，P ，D ，Q ，求四边形APDQ 的面积．【答案】(1)223y x x =--，()1,4-(2)①()247y x =-+-；②40【分析】（1）根据函数的交点式设二次函数的表达式为()()13y a x x =+-，将点()0,3C -代入即可求解，再把二次函数变换成顶点式即可求出点P 的坐标；（2）①根据旋转的特点，设旋转后抛物线的顶点坐标为(),m n ，可知()4,0为顶点()1,4P -和(),Q m n 的中点，根据中点坐标公式可求旋转后函数的顶点坐标，由此即可求解；②根据题意求出点D 的坐标，由,,,A P D Q 的坐标，图形结合得AQD APD APDQ S S S =+△△四边形，由此即可求解．2．（2023河北廊坊二模）如图，抛物线1，其顶点B 的纵坐标为2-，点M 的坐标为(),0(m 0m >)，将抛物线1L 绕点M 旋转180︒得到抛物线2L ，点A 对应点为点C ，点B 对应点为点D ．(1)求抛物线1L 的表达式；(2)试用含m 的代数式表示出点D 的坐标，并直接写出抛物线2L 的表达式；(3)若直线y t =(t 为常数)与抛物线1L 、2L 均有交点，请直接写出t 的取值范围．【答案】(1)2221224()y x x x=+-=+(2)()21,2D m +，22212()y x m =---+(3)22t -≤≤【分析】（1）根据题意求得顶点坐标，设抛物线的解析式为2(1)2y a x =+-，将原点坐标代入求得a 的值，即可求得抛物线的解析式，（2）过点B 作BE x ⊥轴于E ，过点D 作DF x ⊥轴于F ，证明(AA )S BEM DFM ≌ ，进而求得()21,2D m +，根据旋转的性质即可求得抛物线2L 的解析式，（3）根据当直线(y t t =为常数)在点B 与点D 之间运动时，与抛物线1L 、2L 均有交点，B 点的纵坐标为2-，D 点的纵坐标为2，即可求得t 的范围，【详解】（1）抛物线1L 经过坐标原点和点()2,0A -，∴抛物线1L 的对称轴为直线1x =-．顶点B 的纵坐标为2-，∴抛物线1L 的顶点B 的坐标为()1,2--．∴设抛物线的解析式为2(1)2y a x =+-．抛物线1L 经过坐标原点，120a ∴⨯-=．2a ∴=．∴抛物线1L 的表达式为：2221224()y x x x =+-=+．（2）点M 为旋转中心，MA MC ∴=，MB MD =．∴四边形ABCD 为平行四边形．过点B 作BE x ⊥轴于E ，过点D 作DF x ⊥轴于F ，如图，90BEM DFM ∠=∠=︒ ，BME DMF ∠=∠，∴(AA )S BEM DFM ≌ ．ME MF ∴=，BE DF =．()1,2B -- ，1OE ∴=，2BE =．2DF ∴=．点M 的坐标为(),0(0)m m >，OM m ∴=．1ME OM OE m ∴=+=+．1MF ME m ∴==+．21OF OM MF m ∴=+=+．∴()21,2D m +．将抛物线1L 绕点M 旋转180︒得到抛物线2L ，∴抛物线2L 的解析式为：22212()y x m =---+．（3）直线(y t t =为常数)是与x 轴平行的直线，∴当直线(y t t =为常数)在点B 与点D 之间运动时，与抛物线1L 、2L 均有交点．B 点的纵坐标为2-，D 点的纵坐标为2，t ∴的取值范围为22t -≤≤．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法求函数的解析式，二次函数的顶点坐标，对称轴，平行四边形的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．3．（2023·河北邯郸·二模）如图1，抛物线2:28L y ax ax a =++-与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在，点B 的左侧），已知点B 的横坐标是1，抛物线L 的顶点为D ，点P 从原点开始沿x 轴正半轴运动，将抛物线L 绕点P 旋转180︒后得到抛物线1L ，顶点E 的横坐标为h ．(1)求a 的值及顶点D 的坐标；(2)当点P 与点B 重合时，求抛物线1L 的解析式：(3)如图2，明明设计小游戏：有一等边三角形MNK （MN 与x 轴平行），边长为5，顶点M 的坐标为1,6（），当抛物线1L 与MNK △有公共点时（含边界），MNK △会变色，此时抛物线1L 被称为“美好曲线”，请直接写出抛物线1L 为“美好曲线”时，点E 横坐标h 的取值范围．【答案】(1)2a =；(1,8)--(2)22(3)8y x =--+(3)17h ≤≤【分析】(1)将(1,0)B 代入228y ax ax a =++-中，求出a 值后即可得解；(2)连接DE ，作DH x ⊥轴于点H ，作EM x ⊥轴于点M ，证出()DBH EBM AAS ≅ ，抛物线1L 的顶点E 的坐标，然后根旋转的性质即可得解；(3)设(),0P m ，利用D ，E 关于点P 成中心对称，利用中点坐标公式得出()21,8E m +，()()21,023,0G m F m -+，，用含m 的式子表示出1L 的解析式，根据旋转的性质和新定义讨论出m 的范围，进而可得出h 的取值范围．【详解】（1）由题意可知，点B 坐标为(1,0)，将(1,0)B 代入228y ax ax a =++-中，得2a =∴抛物线L 的解析式为222462(1)8y x x x =+-=+-∴顶点D 的坐标为(1,8)--；（2）如图，连接DE ，作DH x ⊥轴于点H ，作EM x ⊥轴于点M ，根据题意，点D ，E 关于点(1,0)B 成中心对称，DE ∴过点B ，且DB EB =，在DBH △和EBM △中，90,,,DHB EMB DBH EBM DB EB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DBH EBM AAS ∴≅ ，8EM DH ∴==，2BM BH ==，∴抛物线1L 的顶点E 的坐标为(3,8)，抛物线1L 由L 绕点P 旋转180︒后得到，∴抛物线1L 的函数表达式为22(3)8y x =--+；（3）设(),0P m ∵D ，E 关于点P 成中心对称，()1,8D --∴根据中心对称的性质，得出P 为DE 的中点∴()21,8E m +同理可得()()21,023,0G m F m -+，【点睛】本题考查二次函数的综合应用，图形的旋转，新定义二次项系数a确定函数的形状，形状相同．开口方向相同则二次项系数相等，若形状相同，开口方向相反，则二次项系数互为相反数，根据二次项系数和顶点坐标直接写出二次函数的解析式是关键．。

二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总

二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。

y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±my=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。

（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是。

2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。

（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。

（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。

练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是（2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换：关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为（2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。

2024年九年级数学中考专题：二次函数平移对称旋转课件

(x,y +b)
(x,y -b)
口诀：上加下减，左减右加
坐
标
旋
转
变
换
一、坐标平移旋转对称
点(x,y) 绕着（m,n）旋转180° ，求旋转后的
点的坐标？
中点坐标公式：
A(1 , 1 ), B(2 , 2 ),
1 +2 1 +2
AB中点 (
,
)
2
2
旋转后的点的坐标( − ,2n-y)
中考专题：
二次函数平移旋转对称
目录
一
二
三
坐标平移旋
转对称
二次函数
表达式
例题讲解
四
方法归纳
五
学以致用
一、坐标平移
旋转对称
坐
标
平
移
变
换
一、坐标平移旋转对称
x轴向左平移a个单位(x,y)
向右平移a个单位(x,y)
(x-a,y)
(x+a,y)
y轴向上平移b个单位(x,y)
向下平移b个单位(x,y)
坐
标
对
称
变
换
一、坐标平移旋转对称
关于x轴对称 (x,y)
关于y轴对称 (x,y)
(x, -y)
(- x, y)
口诀:关于谁对称，谁不变，另一个互为相反数
关于原点O对称 (x,y部互为相反数
二、二次函数
表达式
二、二次函数表达式
一般式：y = 2 + + ( ≠ 0, , 均为常数)
变式2
(3)抛物线2 与抛物线1 关于原点O对称，求抛物线 2 的表达
式
三、例题讲解

二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题

二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题目录题型01二次函数平移问题题型02二次函数翻折问题题型03二次函数对称问题题型04二次函数旋转问题题型05二次函数折叠问题题型01二次函数平移问题1. 二次函数的平移变换平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.1(2023·上海杨浦·统考一模)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a≠0与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BC 上一点，如果∠PAC =45°，求点P 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果tan ∠PEF =12，求平移后抛物线的表达式．【答案】(1)y =x 2-2x -3(2)P 53,-43(3)y =x +1792-4【分析】(1)设点A 的横坐标为x A ，点B 的横坐标为x B ，根据对称轴，AB =4，列式x A +x B2=1,x B -x A =4，利用根与系数关系计算确定a 值即可．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，交AC 左侧的AP 的延长线于点N ，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．(3)设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，证明Rt △FGE ∽Rt △PHF ，根据相似三角形的性质得出GEHF=GF HP =EF FP =1tan ∠PEF =2即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-2ax -3a ≠0 与x 轴交于点A 、点B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且AB =4，∴x A +x B 2=1,x B -x A =4，解得x B =3,x A =-1，∴-3a=3×-1 ，解得a=1，故抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，∵∠PAC =45°，∴AC =CM ，过点M 作MT ⊥y 轴于点T ，∴∠ACO =90°-∠ECM =∠CMT ∵∠ACO =∠CMT ∠AOC =∠CTM AC =CM，∴△AOC ≌△CTM AAS ，∴AO =CT ,OC =EM ，∵抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，x B =3,x A =-1，∴AO =CT =1,OC =TM =3，A -1,0 ,C 0,-3 ,B 3,0 ，∴OE =2,TM =3∴M 3,-2 ，设AM 的解析式为y =kx +b ，BC 的解析式为y =px +q ∴-k +b =03k +b =-2 ,3p +q =0q =-3 ，解得k =-12b =-12,p =1q =-3 ∴AM 的解析式为y =-12x -12，BC 的解析式为y =x -3，∴y =x -3y =-12x -12 ，解得x =53y =-43，故P 53,-43；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4，点D 1,-4 ,设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，由(2)知，直线AP 的表达式为：y =-12x -12，P 53,-43设F m ,-12m -12 ∵∠EFP =90°，∴∠GFE +∠HFP =90°，∵∠GFE +∠GEF =90°，∴∠GEF =∠HFP ，∴Rt △FGE ∽Rt △PHF ，∴GE HF =GF HP =EF FP =1tan ∠PEF=2，∵GE =y F -y E =-12m -12+4，HF =x P -x F =53-m ，GF =x F -x G =m -1-t ，HP=y F -y P =-12m-12+43，∴-12m -12+453-m =m -1-t -12m -12+43=2，解得：t =269，∴y =x -1+269 2-4=x +179 2-4．【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键．2(2023·广东湛江·校考一模)如图1，抛物线y =36x 2+433x +23与x 轴交于点A ，B (A 在B 左边)，与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE ∥AC 交抛物线于点E ，交y 轴于点P．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当△EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN ⊥AC ，连GM ，NO ，求GM +MN +NO 的最小值；(2)如图2，在(1)的条件下，过点F 作FH ⊥x 轴于点H 交AC 于点L ，将△AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到△A H L (点A ，H ，L 分别对应点A ，H ，L )，再将△A H L 绕点H 逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A L 所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当△PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．【答案】(1)4+23975(2)1733-3或833【分析】(1)作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ，求出直线DE 的解析式，联立方程得到x =-3时，FH 的值最大，求出答案；作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小，求出答案即可；(2)当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，得到直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，进而求出答案，当△QPR 是等腰三角形，同理求出答案．【详解】(1)如图1中，作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ．由题意可知A (-6,0)，B (-2,0)，C (0,23)，∵抛物线的对称轴x =-4，C ，D 关于直线x =-4对称，∴D (-8,23)，∴直线AC 的解析式为y =33x +23，∵DE ∥AC ，∴直线DE 的解析式为y =33x +1433，由y =33x +23y =33x +1433，解得x =8y=23 或x =2y =1633，∴E 2,1633 ，H m ,33m +1433，∵S △DEF =S △DEG +S △EFG ，△DEG 的面积为定值，∴△DEG 的面积最大时，△EFG 的面积最大，∵FH 的值最大时，△DEF 的面积最大，∵FH 的值最大时，△EFG 的面积最大，∵FH =-36m 2-3m +833，∵a <0．开口向下，∴x =-3时，FH 的值最大，此时F -3,-32．如图2中，作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小．∵直线DF 的解析式为：y =-32x -23，由y =-32x -23y =33x +23，解得x =-245y =235，∴G -245,232 ，∵TG ⊥AC ，∴直线GR 的解析式为y =-3x -2235，由y =33x +1433y =-3x -2235 ，解得x =-345y =1235，∴R -345,1235，∴RG =4,OR =23975，∵GM =TM =RN ，∴GM +MN +ON =RN +ON +RG =RG +ON =4+23975．∴GM +MN +NO 的最小值为4+23975．(2)如图3中，如图当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，PQ =PR易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，L 3-32,23+32，直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，∴R (0,3-3)，∴PR =1433-(3-3)=1733-3．如图4中，当△QPR 是等腰三角形，∵∠QPR =60°，∴△QPR 是等边三角形，同法可得R (0,23)，∴PR =OP -OC =1433-23=833综上所述，满足条件的PR 的值为1733-3或833．【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．3(2023·广东潮州·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ的最大值；(3)把抛物线y =-12x 2+bx +c 沿射线AC 方向平移5个单位得新抛物线y ，M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N 点的坐标，并把求其中一个N 点坐标的过程写出来．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4(2)当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)(3)N 点的坐标为N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.其中一个N 点坐标的解答过程见解析【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)运用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，证明△PDQ ∽△OCQ ，得出：PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12，运用求二次函数最值方法即可得出答案；(3)设M t -12t 2+2t +92,N (2,s )，分三种情况：当BC 为▱BCN 1M 1的边时；当BC 为▱BCM 2N 2的边时；当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．【详解】(1)∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，∴-12×(-2)2-2b +c =0-12×42+4b +c =0,解得：b =1c =4 ，∴抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4；(2)∵抛物线y =-12x 2+x +4与y 轴交于点C ，∴C (0,4)，∴OC =4，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，把B (4,0),C (0,4)代入，得：4k +d =0,d =4 解得：k =-1d =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，∴PD =-12m 2+2m ，∵PD ∥OC ，∴△PDQ ∽△OCQ ，∴PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12,∴当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)．(3)如图2，沿射线AC 方向平移5个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，∴新的物线解析式为y =-12(x -2)2+132=-12x 2+2x +92，对称轴为直线x =2，设M t ,-12t 2+2t +92,N (2,s )，当BC 为▱BCN 1M 1的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=4s =-12t 2+2t +92+4解得：t =6s =52，∴N 12,52;当BC 为▱BCM 2N 2的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=-4s =-12t 2+2t +92-4 ,解得：t =-2s =-112，∴N 22,-112;当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，则t +2=4-12t 2+2t +92+s =4，解得：t =2s =-52，∴N 32,-52;综上所述，N 点的坐标为：N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．4(2023·湖北襄阳·校联考模拟预测)坐标综合：(1)平面直角坐标系中，抛物线C 1：y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，且经过点6,3 ，求抛物线C 1的解析式，并写出其顶点坐标；(2)将抛物线C 1在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C 2：y 2=x 2-2mx +m 2-1，①如图1，设自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1．此时，若y 2的最大值比最小值大12m ，求m 的值；②如图2，直线l ：y =-12x +n n >0 与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点.过点A 、点C 分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点B ．设抛物线C 2与x 轴交于E 、F 两点(点E 在左边)．现将图中的△CBA 沿直线l 折叠，折叠后的BC 边与x 轴交于点M ．当8≤n ≤12时，若要使点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，请通过计算加以说明：抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？【答案】(1)抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，抛物线C 1的顶点坐标为3,-6(2)①m 的值为2或9-154；②抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位【分析】(1)根据对称轴为直线x =3，可得b =-6，再把把6,3 代入，即可求解；(2)①根据配方可得当x =m 时，函数有最小值-1，再由自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，可得1≤m ≤2，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A ，C 的坐标，可得点B 的坐标，再根据图形折叠的性质可得CM =AM ，在Rt △COM 中，根据勾股定理可得CM =54n ，从而得到点M 的坐标，继而得到n 的取值范围，然后根据点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，可得m 取值范围，即可求解．【详解】(1)解：∵y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，∴-b2=3，解得：b =-6，把6,3 代入y 1=x 2-6x +c ，得3=62-6×6+c ，解得：c =3，∴抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，当x =3时，y 1=32-6×3+3=-6，∴抛物线C 1的顶点坐标为3,-6 ；(2)解：①∵y 2=x 2-2mx +m 2-1=x -m 2-1，∴抛物线C 2的对称轴为直线x =m ，当x =m 时，函数有最小值-1，∵在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，∴1≤m ≤2，当1≤m ≤32时，x =2时y 2有最大值为m 2-4m +3，∴m 2-4m +3+1=12m ，解得m =9±154，∴m =9-154；当32≤m ≤2时，x =1时y 2有最大值为m 2-2m ，∴m 2-2m +1=12m ，解得m =2或m =12(舍)，综上所述：m 的值为2或9-154；②直线l ：y =-12x +n 与x 轴的交点A 2n ,0 ，与y 轴的交点C 0,n ，∴B 2n ,n ，∵△CBA 沿直线l 折叠，∴∠BCA =∠ACM ，∵∠BCA =∠CAM ，∴∠ACM =∠MAC ，∴CM =AM ，在Rt △COM 中，CM 2=CO 2+OM 2，即CM 2=n 2+2n -CM 2，解得CM =54n ，∴OM =34n ，∴M 34n ,0 ，∵8≤n ≤12，∴6≤34n ≤9，当x 2-2mx +m 2-1=0时，解得：x =m +1或x =m -1，∴E m -1,0 ，F m +1,0 ，∵点M 始终能够落在线段EF 上，∴m +1≥6，m -1≤9，∴5≤m ≤10，∵y 1=x 2-6x +3=x -3 2-6，y 2=x -m 2-1，当m =5时，抛物线C 1沿x 轴向右平移2个单位，向上平移5个单位，当m =10时，抛物线C 1沿x 轴向右平移7个单位，向上平移5个单位，∴抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．5(2023·浙江湖州·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，图象的顶点为M ．矩形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 的坐标为1,5 ．(1)求c 的值及顶点M 的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位0<t <3 得到对应的矩形A B C D ．已知边C D ，A B 分别与函数y =x 2-4x +c 的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG ⊥A B 于点G ．①当t =2时，求QG 的长；②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t ，使得△PGQ 的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)c =5，顶点M 的坐标是2,1(2)①1；②存在，t =12或52【分析】(1)把0,5 代入抛物线的解析式即可求出c ，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；(2)①先判断当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ，再求出x =3，x =2时点Q 的纵坐标与点P 的纵坐标，进而求解；②先求出QG =2，易得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ，然后分点G 在点Q 的上方与点G 在点Q 的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【详解】(1)∵二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，∴c =5， ∴y =x 2-4x +5=x -2 2+1，∴顶点M 的坐标是2,1 ．(2)①∵A 在x 轴上，B 的坐标为1,5 ，∴点A 的坐标是1,0 ．当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ．当x =3时，y =3-2 2+1=2，即点Q 的纵坐标是2，当x =2时，y =2-2 2+1=1，即点P 的纵坐标是1．∵PG ⊥A B ，∴点G 的纵坐标是1， ∴QG =2-1=1． ②存在．理由如下：∵△PGQ 的面积为1，PG =1，∴QG =2．根据题意，得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ．如图1，当点G 在点Q 的上方时，QG =t 2-4t +5-t 2-2t +2 =3-2t =2，此时t =12(在0<t <3的范围内)，如图2，当点G 在点Q 的下方时，QG =t 2-2t +2-t 2-4t +5 =2t -3=2，此时t =52(在0<t <3的范围内)．∴t =12或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．6(2023·江苏·统考中考真题)如图，二次函数y =12x 2+bx -4的图像与x 轴相交于点A (-2,0)、B ，其顶点是C ．(1)b =；(2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知△PCQ 是直角三角形，求点P 的坐标．【答案】(1)-1；(2)k ≤-3；(3)3,-52 或-1,-52 ．【分析】(1)把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4即可求解；(2)过点D 作DM ⊥OA 于点M ，设D m ,12m 2-m -4 ，由tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得D -1,-52，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为y =12x +3 2-92，根据二次函数得性质即可得解；(3)先设出平移后顶点为P p ,12p 2-p -4 ，根据原抛物线y =12x -1 2-92，求得原抛物线的顶点C 1,-92 ，对称轴为x =1，进而得Q 1,p 2-2p -72，再根据勾股定理构造方程即可得解．【详解】(1)解：把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4得，0=12×-2 2+b ×-2 -4，解得b =-1，故答案为-1；(2)解：过点D 作DM ⊥OA 于点M ，∵b =-1，∴二次函数的解析式为y =12x 2-x -4设D m ,12m 2-m -4 ，∵D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52，∴tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得m =-1或m =8(舍去)，当m =-1时，12m 2-m -4=12+1-4=-52，∴D -1,-52，∵y =12x 2-x -4=12x -1 2-92，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为y =12x +a 2-92，把D -1,-52 代入y =12x +a 2-92得-52=12-1+a 2-92，解得a =3或a =-1(舍去)，∴平移后得抛物线为y =12x +3 2-92∵过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在y =12x +3 2-92的对称轴x =-3的左侧，y 随x 的增大而减小，此时原抛物线也是y 随x 的增大而减小，∴k ≤-3；(3)解：由y =12x -1 2-92，设平移后的抛物线为y =12x -p 2+q ，则顶点为P p ,q ，∵顶点为P p ,q 在y =12x -1 2-92上，∴q =12p -1 2-92=12p 2-p -4，∴平移后的抛物线为y =12x -p 2+12p 2-p -4，顶点为P p ,12p 2-p -4 ，∵原抛物线y =12x -1 2-92，∴原抛物线的顶点C 1,-92，对称轴为x =1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，∴Q 1,p 2-2p -72，∵点Q 、C 在直线x =1上，平移后的抛物线顶点P 在原抛物线顶点C 的上方，两抛物线的交点Q 在顶点P 的上方，∴∠PCQ 与∠CQP 都是锐角，∵△PCQ 是直角三角形，∴∠CPQ =90°，∴QC 2=PC 2+PQ 2，∴p 2-2p -72+92 2=p -1 2+12p 2-p -4+922+p -1 2+12p 2-p -4-p 2+2p +722化简得p -1 2p -3 p +1 =0，∴p =1(舍去)，或p =3或p =-1，当p =3时，12p 2-p -4=12×32-3-4=-52，当p =-1时，12×-1 2+1-4=-52，∴点P 坐标为3,-52 或-1,-52．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．7(2023·湖北宜昌·统考模拟预测)如图，过原点的抛物线y 1=ax (x -2n )(a ≠0,a ,n 为常数)与x 轴交于另一点A ，B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，点M (-3,3)在抛物线y 1上．(1)点A 的坐标为；(2)C 为x 轴正半轴上一点，且CM =CB ．①求线段BC 的长；②线段CM 与抛物线y 1相交于另一点D ，求点D 的坐标；(3)将抛物线y 1向右平移(4-t )个单位长度，再向下平移165个单位长度得到抛物线y 2，P ，Q 是抛物线y 2上两点，T 是抛物线y 2的顶点．对于每一个确定的t 值，求证：矩形TPNQ 的对角线PQ 必过一定点R ，并求出此时线段TR 的长．【答案】(1)-8,0(2)①BC =5；②D -54,2716 (3)证明见解析，RT =5【分析】(1)根据中点公式求C 点坐标即可；(2)①设C x ,0 ，根据CM =CB ，建立方程(x +3)2+9=x +4，求出C 点坐标即可求BC ；②求出直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，求出n =-4，将M 点代入y 1=ax (x +8)，求出a =-15，从而求出抛物线y 1=-15x (x +8)，直线CM 与抛物线的交点即为点D -54,2716；(3)根据平移的性质可求y 2=-15(x +t )2，则T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，由根与系数的关系可得m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，证明△FPT ∽△ETQ ，则PF TE =FT EQ ，即15(m +t )2n +t =-t -m 15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，求出b =kt -5，所以直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，RT =5．【详解】(1)∵B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，∴OA =8，∴A -8,0 ，故答案为：-8,0 ；(2)①设C x ,0 ，∵CM =CB ，∴(x +3)2+9=x +4，解得x =1，∴BC =5；②设直线CM 的解析式为y =k 'x +b '，∴k '+b '=0-3k '+b '=3 ，解得k '=-34b '=34，∴直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，∴-8a (-8-2n )=0，∵a ≠0，∴-8-2n =0，解得n =-4，∴y 1=ax (x +8)，将M 点代入y 1=ax (x +8)，∴-3a (-3+8)=3，解得a =-15，∴抛物线y 1=-15x (x +8)，当-34x +34=-15x (x +8)时，解得x =-3或x =-54，∴D -54,2716；(3)证明：∵y 1=-15x (x +8)=-15(x +4)2+165，∴y 2=-15(x +t )2，∴T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 ，当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，∴m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，∵四边形TPNQ 是矩形，∴∠PTQ =90°，∴∠FTP +∠ETQ =90°，∵∠FTP +∠TPF =90°，∴∠ETQ =∠TPF ，∴△FPT ∽△ETQ ，∴PF TE =FTEQ，即15(m +t )2n +t=-t -m15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，∴mn +t (m +n )+t 2=-25，∴b -kt =-5，即b =kt -5，∴直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，∴对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，∴RT =5．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，题型02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

二次函数中abc的符号问题

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快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、-
＞0
2a
o
x
3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
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6
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 M（ b ，a）在（ D ）
c A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
y
根据图像可得：
1、a＜0
b
2、-
＞0
2a
o
x
3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
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练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；
－a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的个数有（
）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
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数学因规律而不再枯燥，数学因思维而耐人寻味。
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（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在x轴上方
c>0

二次函数图像与abc符号关系

o
x （A） y y （B）
o
x
o
x （C）
o （D）
x
知识点二：
确定代数式a+b+c； a-b+c； 4a+2b+c； 4a-2b+c；的符号
1.二次函数y=ax2+bx+c中，当x=1时， y= a+b+c ；当x=-1时，y= a-b+c .
2.二次函数y=ax2+bx+c中，当x=2时， y= 4a+2b+c；当x=-2时，y= 4a-2b+c

y ax2 bx c(a 0)与x轴有交点，则交 4.若抛物线 y 点的横坐标就是一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
根，因此抛物线 y ax bx c(a 0) 与x轴的交点个数由 b2 4ac 决定. y
2
b 4ac 0
2
0
x
抛物线与x轴有两个交点；
x 0 抛物线与x轴有一个交点； y
b 4ac 0
2
b 4ac 0
2
抛物线与x轴没有交点.
x
0
知识点一：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
a>0 a<0 由抛物线与y轴的交点位置确定（2）C的符号： c>0 与y轴的正半轴相交与y轴的负半轴相交经过坐标原点 c<0 c=0
c›0 c=0 c‹0
0
与y轴的交点在正半轴 x 抛物线过原点与y轴的交点在
0
0
； 0

二次函数的性质a,b,c符号问题

二次函数的图像与性质知识点：二次函数抛物线，图像对称是关键，开口、顶点和交点，它们确定图像现。

a 的正负开口判（开口大小由a 断），c 与y 轴来相见，b 的符号较特别，符号与a 相关联，顶点位置先找见，y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱。

△的符号最简便，x 轴上数交点，顶点坐标最重要，一般配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值现，若求对称轴位置，括中符号正相反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

二次函数a ，b ，c 及相关问题的解决：1、 a 正负性：由开口方向决定，开口向上，a ＞0；开口向下，a ＜02、 b 的正负性：由于抛物线对称轴为ab x 2-=，所以b 的正负性与对称轴的位置和a 的正负性相关联。

对称轴在y 轴的左边时，a 、b 符号相同，对称轴在y 轴的右边时，a 、b 符号相反，对称轴为y 轴时，b=0（左同右异中为0）3、 c 的正负性：c 表示抛物线与y 轴交点的纵坐标，即当x=0时，y=c ，所以当抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方时，c ＞0，当抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方时，c ＜0。

（c 与y 轴来相见）4、 abc 的正负性：a ，b ，c 确定，则随之确定5、 ac b 42-=∆的正负性：△是根的判别式，由于一元二次方程是二次函数y=0的特殊情况，所以可以从抛物线与x 轴的交点个数来判断△的正负性，与x 轴有两个交点时，042>-ac b ，与x 轴的交点有一个时，042=-ac b ，与x 轴没有交点时，042<-ac b6、利用x 的特殊值判断一些代数式的正负性：当x=1时，y=a+b+c ，当x=-1时，y=a-b+c ，当x=2时，y=4a+2b+c ，当x=-2时，y=4a-2b+c ，当x=3时，y=9a+3b+c ，当x=-3时，y=9a-3b+c ，对于取x 的特殊值得到代数式的正负性，重点看此时图像在x 轴的上方还是下方。

中考数学二次函数a,b,c符号问题讲解例题

二次函数a ，b ，c 符号问题1、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是（1）a>0 ；（2）b>•0；（3）c<0；（4）0ab < ；（5）0ab <；（6）0bc <；；（7）2a+b>0 ；（8）4a+b<0 ；（9）abc ＜0；（10）0a b c ++>；（11）；a-b ＋c ＜0 ；（12）a ＋c ＞b ；（13）9a-3b ＋c ＜0；(14）4a-2b ＋c ＜0 ；（15）240b ac -> ； (16） 0＜a b 2；（17），（的实数）；（18）3a+c<0 ；（19）；（20）（a+c ）2<b 22、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个4、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +> ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（）A . 1 B . 2 C . 3 D . 45、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤ 111- O xy。

中考数学复习探索二次函数综合题解题技巧(三)二次函数中旋转、对称的探究问题

勾文六州方火为市信马学校探索二次函数综合题解题技巧三二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。

学生往往因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。

事实上,只要理清思路,方法得当问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。

第2—3小问通常要结合三角形、四边形、圆、对称、解方程〔组〕与不等式〔组〕等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

类型三二次函数中旋转、对称的探究问题例1在平面直角坐标系中，矩形OABC如下列图放置，点A在x轴上，点B的坐标为〔m，1〕〔m＞0〕，将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′。

〔1〕写出点A、A′、C′的坐标；〔2〕设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；〔a、b、c可用含m的式子表示〕〔3〕试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在〔2〕中的抛物线上？假设能，求出此时m的值。

解：〔1〕∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为〔m，1〕〔m＞0〕，∴A〔m，0〕，C〔0，1〕，∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成，∴A′〔0，m〕，C′〔-1，0〕；〔2〕设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵A〔m，0〕，A′〔0，m〕，C′〔-1，0〕，∴此抛物线的解析式为：y=-x2+〔m-1〕x+m；〔3〕存在。

∵点B与点D关于原点对称，B〔 m ， 1〕，∴点D的坐标为：〔-m，-1〕，∵抛物线的解析式为：y=-x2+〔m-1〕x+m；假设点D〔-m，-1〕在〔2〕中的抛物线上，那么y=-〔-m〕2+〔m-1〕×〔-m〕+m=-1，即-2m2+2m+1=0，∵△=22-4×〔-2〕×1=12＞0，∴此点在抛物线上，解得m= 或m= 〔舍去〕.方法提炼：★〔a，b〕关于x轴对称的点的坐标为〔a，－b〕；关于y轴对称的点的坐标为〔－a，b〕；关于原点对称的点的坐标为〔－a，－b〕；关于直线x=m的对称点为〔2m－a，b〕；关于直线y=n的对称点为〔a，2n－b〕；关于点〔m，n〕的对称点为〔2m－a，2n－b〕；绕原点逆时针旋转90°的坐标为〔－b，a〕；绕原点顺时针旋转90°的坐标为〔b，－a〕；任意两点〔x1，y1〕和〔x2，y2 〕的中点为〔，〕。

二次函数中的图形的变换问题

二次函数中的图形的变换问题当题目中出现旋转或平移时，根据题意，找出其中的不动点及定线段，再依据题意，画出图形，分析是否需要分类讨论，进而，再依据题意寻找等量关系，列出关系式，得到最后答案。

当遇到运动问题时，要善于发现题目中的“变”与“不变”的量，简化图形，化繁为简。

【技巧点拨】一、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a 不变。

抛物线k ax y +=2的对称轴是________,顶点坐标是_______.一般地,二次函数()2h x a y -=的图象是由二次函数__________的图象沿________轴向_______（0<h ）或向_____（0>h ）平移h 个单位长度得到的.抛物线()2h x a y -=的对称轴是直线__________,顶点坐标是__________. 一般地,二次函数()k h x a y +-=2的图象是由二次函数___________的图象先沿x 轴向_____（0<h ）或向______-（0>h ）平移h 个单位长度,再向_____（0>k ）或向_______（0<k ）平移k 个单位长度得到的.抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线_______,顶点坐标是______如图所示.二、二次函数图象的对称变换1、当两个二次函数的图象关于x 轴对称，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？如果两个二次函数的图象关于x 轴对称,那么它们的开口方向_____,开口大小_____,对称轴_____,顶点坐标关于______对称,与y 轴的交点关于_____对称.故两个二次函数的解析式a 的值_________.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ---=2; ②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y ---=2.2、当两个二次函数的图象关于y 轴对称，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？如果两个二次函数的图象关于y 轴对称,那么它们的开口方向_____,开口大小______,与y 轴的交点_____,对称轴关于______对称,顶点坐标关于______对称.故两个二次函数的解析式a 的值_______.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ++=2②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y +-=2.x 2 )2 1 x 2 )2 + 1图（3）图（4）)2 + 13.当两个二次函数图像关于特殊点对称，如何求解析式呢？如二次函数y＝x２－２x－３关于点(２,１)对称，求它的对称二次函数解析式。

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二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题
1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b
2a)2＋
4ac－b2
4a
2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动；
例题：
1、（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式
是．
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．
解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，
抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得
y=﹣2x2﹣4x﹣3，
故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．
2、（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是
和．
考点：二次函数图象与几何变换．
专题：新定义．
分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，
根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．
解答：解：连接AB，
根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，
设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，
根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，
∵OA=MA，
∴△AOM是等边三角形，
设OM=2，则点A的坐标是（1，），
则，
解得：
则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，
抛物线C2的解析式为y=x2+2x，
故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x．
w W w .x K b 1.c o M
点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．
3、（2015•绥化）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
解答：解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为：y=2（x+1）2﹣2．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4、（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）
①b＞0
②a﹣b+c＜0
③阴影部分的面积为4
④若c=﹣1，则b2=4a．
考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．
分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可
得b＜0，据此判断即可．
②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．
④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．
解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴为x=﹣＞0，
∴b＜0，
∴结论①不正确；
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，
∴结论③正确；
∵，c=﹣1，
∴b2=4a，
∴结论④正确．
综上，结论正确的是：③④．
故答案为：③④．
点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
答案：。