迭代法求非线性方程的根.

1
下一页
迭代法
• • • • • • • 一、简单迭代法的概念与结论 二、 Newton迭代法的基本思想 三、牛顿法的几何意义 四、牛顿迭代法的步骤 五、例题 六、其他注意的事项
2
一、简单迭代法的概念与结论
• 简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求 得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x), 然后建立迭代格式， •
k L ( Lk p 1 Lk p 2 Lk ) x1 x0 x1 x0 1 L
在上式令 p ，注意到 lim xk p x * 即得式(1.3)。证毕。
p
10
下一页
返回
定理二：对于迭代过程xk 1 ( xk )，如果 ( p) ( x) 在所求根x *
*
x , x a, b
1 2
有Hale Waihona Puke Baidu
(1.2)
0 L 1
则迭代过程 xk 1 ( xk ) 对于任意初值 x0 a, b 均收敛于方程 x ( x) 的根 x ，且有如下的误差估计式：
xk x
*
Lk x1 x0 1 L
(1.3)
8
下一页
返回
证明：设方程 x ( x) 在区间 a, b 内有根 x * ，
下一页
7
返回
实用中(1.2)式常用
| ( x) | L 1 x (a, b)
定理一：假定函数( x) 满足下列条件：
1、对任意 x a, b有
a ( x) b；(1.1)
2、存在正数 L<1，使对任意
( x1 ) ( x2 ) L x1 x2
( p ) ( )
p!
用条件(*)，则有 ( x
k
) (x )
*
( xk x * ) p
*
注意到 ( xk ) xk 1， ( x * )
( p) ( ) * p * x x ( x x ) 由上式得 k 1 k x p!
11
下一页
返回
ek 1 ( p ) ( x*) 因此对迭代误差有: p 。这表明迭代过程 p! ek
下一页
13
返回
证明：由连续函数的性质，存在 x * 的某个邻域 R : x x *
，使对于任意 x R 成立 ( x) L 1 。此外,对于任意 x R 总有( x) R。这是因为 依据定义三，可以断定，迭代过程 值
xk 1 ( xk ) 对于任意初
* ( x) x * ( x) ( x * ) L x x * x x，
的邻近连续，并且 / ( x* ) ( x* ) ( p1) ( x* ) 0 (*) ( p ) ( x * ) 0
则该迭代过程在点 x * 邻近是P阶收敛的。
证明：由于 ( x) 0 。据定理一，立即可以断定迭 代过程
xk 1 ( xk ) 具有局部收敛性。再将( xk ) 在根 x * 处展开，利
f ( x) f ( x) f ( x)2
定义一：如果存在 x * 的某个邻域R : x x *
，使迭代过程
xk 1 ( xk ) 对于任意初值x0 R 均收敛，则称迭代过程 xk 1 ( xk ) 在根 x * 邻近具有局部收敛性。
定理三：设 x *为方程 x ( x) 的根，( x)在 x * 的邻近连续。 且则迭代过程在邻近具有局部收敛性。
xk 1 ( xk )
确实为P阶收敛，证毕。 上述定理告诉我们，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数. 如果选取当 x a, b 时( x) 0,则该迭代过程只能是线性
f ( x) 收敛。对于牛顿迭代公式(1)，其迭代函数为 ( x) x f ( x)
,假定 x * 是f(x)的一个单根， f ( x* ) 0 ( x * ) 0 ， 即 f ( x * ) 0 则由上式知 。 于是依据定理二可以断定，牛顿法在根 的邻近是平方 x* 12 下一页 返回 收敛的。 由于 ( x)
xk 1 ( xk )
• 当给定处值x0 后, 由迭代格式可求得数列{xk}。如果{xk}收敛于x*， 则它就是方程的根。因为： • * *
x lim x k 1 lim ( xk ) (lim xk ) ( x )
k k k
• 但迭代格式有多种，迭代格式如何建立才能保证迭代法的数列收 敛？有如下定理：
迭代法求非线性方程的根
迭代法是求解非线性方程近似根的一 种方法，这种方法的关键是确定迭代函数 (x)，简单迭代法 用直接的方法从原方程 中隐含的求出x，从而确定迭代函数(x)， 这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多， 因此常用于理论中,Newton迭代法采用另一 种迭代格式, 具有较快的收敛速度，由牛顿 迭代法可以得到很多其他迭代格式。
故当 k 时迭代值 xk x * 按(1.2)式 有 xk 1 xk ( xk ) ( xk 1 ) L xk xk 1 (1.4)， 据此反复递推得：xk 1 xk Lk x1 x0 于是对任意正整数p有
x k p x k x k p x k p 1 x k p 1 x k p 2 x k 1 x k
x0 均收敛。证毕。 R
下一页
14
返回
二. Newton迭代法的基本思想
• 设X K 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在 X K 处作泰勒展开
则有 x* ( x* )
由
xk 1 ( xk )
| xk 1 x* || ( xk ) ( x* ) | L | xk x* |
故
x k 1 x * L x k x *
据此反复递推有
x k x * Lk x 0 x *
9
下一页
返回