母函数

母函数

定义对给定序列构造一个函数，称为序列的母函数。其中，序列只作为标志用，称为标志函数。

派生1：普通型母函数

当标志函数为时，即母函数为，称这类母函数为普通型母函数，可记作。

定理1：

设从元集合中取个元素组合，若限定元素出现次数的集合为，则该组合数序列的母函数为:

常用到的普通型母函数有：

例题：求位十进制正数中出现偶数个的数的个数

设表示位十进制正数中出现偶数个的数的个数，表示位十进制正数中出现奇数个的数的个数，不难得出：设序列，的母函数分别为：

由得：

再由得：

由、可得：

更进一步的，

即:

派生2：指数型母函数

当标志函数为时，即母函数为，称此类母函数为指数型母函数，可记作

。

定理2：

从多重集中选区个元素排列，若元素出现的次数集合为，则该排列数序列的母函数为：

所谓多重集（multiset）之于集合（set），英文写出来差不多就懂了。函数中，除以是因为排列中这个相同元素的先后是不考虑的。

常见的指数型母函数（的Tylor展开式）：

例题：求由这个数字组成的位数字的个数（每个数字出现次数可以为，且出现的次数为偶数）。

设满足条件的位数字的数目为（特别地，规定），则序列的母函数为：

故。

附录：

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