概率论与数理统计 5.1 数学期望

E( X Y ) ( x y) f ( x, y)dxdy
xf ( x, y)dxdy yf ( x, y)dxdy
E( X ) E(Y )
又若X ,Y相互独立,
E( XY ) xyf ( x, y)dxdy
xyf X ( x) fY ( y)dxdy
这不仅考虑了已赌的局 数， 还包含了对再赌下去的 一种
“期望” (Expectation),它比(1)的分法更为合理。 这就是数学期望这个名 称的由来， 也称为均值。 就上例
而言， 再赌下去的话 ， 甲“平均”可以赢75法朗。
一、d.r.v.的数学期望
概率论
定义5.1 设d.r.v.X的分布率是
P{X=xk}=pk , k=1,2,…
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算X的某个 函数的期望，比如说g(X)的期望. 应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
概率论
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的 .
X1 0 1 2 pk 0.5 0.2 0.3
X2 0 1 2 pk 0.4 0.5 0.1
试问谁的射击水平好?
解：这只能从二人的平均得分来考虑:
E( X1) 0 0.5 1 0.2 2 0.3 0.8 E( X2 ) 0 0.4 1 0.5 2 0.1 0.7
故甲的水平要略好一些。
xf ( x)dx 绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
E( X ) x f (x)dx
请注意 : c.r.v.的数学期望是一个绝对收敛的积分.
概率论
例3 设X ~ U(a,b),求E( X ).
解 X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
a xb
0 其它
记住:均匀分 布的期望
b
E( X ) xf ( x)dx x
(X,Y ) ~
1
f
(
x,
y)
a
2
,
0 x a,0 y a
0,
else
aa
E X Y
x y f ( x, y)dxdy
x y 1 dxdy a
00
x y a
O
a
1
x y
a2
[(
x y
y
x)dxdy
y x
(x
y)dxdy]
1 a2
a
[
0
a
dx
x
(
y
x)dy
a 0
i=1,2，…，n
则 X= X1+X2+…+Xn
因为 P(Xi =1)= p,
P(Xi =0)= 1-p
记住：两点 分布的期望
E(Xi)= 1 p 0 (1 p)= p
n
所以 E(X)= E( Xi ) = np
i 1
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X
的数学期望是 n p.
概率论
5.1 数学期望
d.r.v.的数学期望 c.r.v.的数学期望 r.v.函数的数学期望 数学期望的性质 小结
分赌本问题: 17司机中叶,一位赌徒向法国数学家
Pascal提出一个使他苦恼许久的问题:甲,乙两赌徒赌技 相同,各出50法朗,每局中无平局.他们约定, 谁先赢三局,则
得全部赌本。 当甲赢两局， 乙赢一局时， 赌博被迫中断 。 现问100法朗 如何分配才算公平 ？
(1)甲得100法朗的2 / 3,乙得1/ 3， 这是基于已赌局数； (2)1654年Pascal提出如下分法： 设想再赌下去， 则
甲最终所得X为一个r.v., X 0,100, 注意到再赌两局必可结 束， 结果无非是：
甲甲， 甲乙， 乙甲， 乙乙
X的分布列 :
X0
100
p 0.25 0.75
Pascal认为， 甲的所得应为0 0.25 100 0.75 75法朗
EZ E[g( X ,Y )] g( xi , y j ) pij
ij
(2) 若(X,Y)为c.r.v., ( X ,Y ) ~ f ( x, y),
EZ E[g(X ,Y )]
g( x, y) f ( x, y)dydx
若令g(X,Y)=X, 同样地，
EX
xf ( x, y)dydx
dx
x 0
(x
y)dy]
a 3
四、数学期望的性质
概率论
1. 设C是常数，则E(C)=C;
2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 请注意:
3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
由E(XY)=E(X)E(Y)
特别地， E(X+c) = E(X)+c
n
n
推广 : E[ Xi ] E( Xi )
(k 0,常数),求W的数学期望.
解：由上面的公式
E(W )
g(v) f
(v)dv
a
g(v)
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1
dv
a
kv 2
1
dv
1
ka 2
0
a
0
a
3
概率论
上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数 的情况。
定理： 设Z=g(X,Y) 是随机向量(X,Y)的二元函数，EZ存在，
(1) 若(X,Y)为d.r.v., P( X xi ,Y y j ) pij ,
记住:指数分 布的期望
EXk
xf ( x)dx
x e xdx 1
0
N min( X1, X2 ) 的分布函数为
Fmin (
x)
1
[1
F(
x)]2
1
e2
x
x0
0
x0
于是N的概率密度为
fmin
(
x)
2e
2
x
x0
0 x 0
E(N) 1
2
概率论
概率论
三、r.v.函数的数学期望
EY 0.5,
E( XY ) (1) (1) 0.25 (1) 1 0 1 (1) 0.5 11 0.25 0
E[min( X ,Y )] (1) 0.25 (1) 0
(1) 0.5 1 0.25 0.5
例8:在长为a的线段上任取两点,求此两点间的平均长度.
X
Y
O
a
解: X ~ U[0,a] Y ~ U[0,a] X ,Y相互独立
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
概率论
E
(Y
)
E[
g(
X
)]
g( xk ) pk ,
k 1
X离散型
g(x)
f
( x)dx,
X连续型
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
xf X ( x)dx
EY
yf ( x, y)dxdy
yfY ( y)dy
可以由联合密度直接求出X, Y的期望
例7： 设X ,Y的联合分布为
Y X
1
1
1 0.25 0 0.25
1
0.5 0.25 0.75
0.75 0.25
求EX , EY , E( XY ), E[min( X ,Y )]. 解 EX (1) 0.25 1 0.75 0.5,
概率论
例5 设随机变量 X 的概率分布为
X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求 E(X-1), E(X2+1).
概率论
例6 设风速V在(0,a)上服从均匀分布,即具有概率
密度
f (v) a1 0 v a 0 其它
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 :W kV 2
那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？
下面的定理指出，答案是肯定的.
概率论
定理 设Y是r.v.X的函数,Y=g (X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布率为P(X= xk)=pk ;
(k 1,2, ),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
因此X与以概率 f ( xi )xi 取值xi的离散型r.v
近似, 该离散型r.v 的数学
期望是
阴影面积近似为
xi f ( xi )xi
f ( xi )xi
i
这正是
x f (x)dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
概率论
定义5.2 设X是c.r.v.，其密度函数为 f (x),如果积分
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数的和为
k 1
d.r.v.X的数学期望，记为 E( X ) ,
即
E( X ) xk pk
k 1
请注意 : d.r.v.X数学期望是一个绝对收敛的级 数的和. 数学期望简称期望，又称为均值。
概率论
例1 甲、乙二人进行打靶，所得分数分别记为X1, X2, 它们的分布率分别为
数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区 间[xi, xi+1)的概率是
xi1 f ( x)dx xi
阴影面积近似为
f ( xi )xi
f ( xi )( xi1 xi )
f ( xi )xi
小区间[xi, xi+1)
概率论
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值 可以用xi来近似代替.
xf X ( x)dx yfY ( y)dy
EXEY
概率论
例9: 求二项分布的数学期望
概率论
若 X~B(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.
现在我们来求X的数学期望 .
概率论
X~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.
若设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i 1
i 1
不一定能推出X,Y 独立
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
n
n
推广 : E[ Xi ] E( Xi ) （诸Xi相互独立时）
i1
i 1
概率论
性质1，2请同学自己证明，我们来证性质3和4。
证 设二维随机变量（X ,Y）的概率密度f ( x, y).其边缘
概率密度为fX ( x), fY ( y),于是有
1
dx a b
ba
2
a
即数学期望位于区间(a , b)的中点.
概率论
例4 有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命Xk
(k 1,2)服从同一指数分布,其概率密度为
f
(
x)
e
x
x 0,
0
0 x 0,
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望. 解：先计算 Xk 的期望
例2 设 X ~ P(),求E( X ).
概率论
解 : X的分布率为
P{ X k} k e , k 0,1,2, , 0
k!
EX
k
k0
P(X
k)
k 1
k e
(k 1)!
e
k1
k10 (k 1)!
记住：泊松 分布的期望
概率论
二、c.r.v.的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在