高中数学第2章统计2.1抽样方法2.1.3分层抽样教案苏教版必修3

2.1.3 分层抽样

整体设计

教材分析

本课是在学生已经学习了简单随机抽样和系统抽样之后所要学习的又一种抽样方法——分层抽样.由前两节课我们知道简单随机抽样或系统抽样有时获得的样本不具有很好的代表性，比如，当个体间的差异比较大时，如果采用简单随机抽样，不同的人就有可能得到差异很大的结果；同样，如果采用系统抽样也很可能得不到具有代表性的样本.为此，为了更大程度地提高样本的代表性，我们需要事先对总体有一定的了解，然后根据已有的了解，再按照一定的方式抽取，这就是分层抽样.

本教案的着眼点是让学生主体参与，让学生动手、动脑，并通过观察、分析、比较、归纳等进行合情推理，鼓励学生积极活动，勇于探索.

针对本节课概念性强、思维量大、例习题较多的特点，本课的教法是以启发学生观察思考分析讨论为主的启发式教学.

三维目标

1.了解分层抽样的概念，理解科学、合理选用抽样方法的必要性.

2.掌握分层抽样的操作步骤，对实际问题的对比分析.

3.了解各种抽样方法的使用范围，使学生能根据具体情况选择适当的抽样方法.

4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣以及“用数学”的意识，培养学生的科学探索精神.

重点难点

教学重点：通过实例了解分层抽样的方法.

教学难点：分层抽样的步骤.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

设计思路一:（事例引入）

有一条消息“抽查部分考生成绩了解知道，江苏省2005年高考的物理学科平均分约为95分.”请问这个数据是用什么样的抽样方法得到的？

分析：不能单纯地用简单随机抽样或系统抽样，因为江苏省有很多地区，而每个地区的学生成绩不平衡，甚至相差太大.那么，设计抽样方法时，最核心的问题是什么，应该注意什么呢？一定要使抽取的样本具有很好的代表性.为此，在设计抽样方法时，我们应充分利用自己对总体情况已有的了解，选择适合的抽样方法.

师：请同学们一起来探讨一例，你认为应当怎样抽取样本？

设计思路二:（实例引入）

某校高一、高二和高三年级分别有学生1 000，800和700名，为了了解全校学生的视力情况，欲从中抽取容量为100的样本，怎样抽样较为合理？

（让中档生配合教师引入新课，增强他们的赶超意识；优秀生补充，树立他们“我要更强”的竞争意识；后进生主动参与，提高他们课堂上有效的思考活动时间）分析：由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，不能在 2 500名学生中随机抽取100名学生，也不宜在三个年级平均抽取.为准确反映客观实际，不仅要使每个个体被抽到的概率相等，而且要注意总体中个体的层次性，所以，先将全体学生分成高一、高二和高三

年级三层，分别抽样.三部分学生的人数有较大差别，应考虑各层个体数在总体中所占的比例.用各层的个体数与总体的个体数的比乘以样本容量就可得各层所要抽取的个体数.

推进新课

新知探究

学生思考，交流讨论，然后代表发言.

一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫做分层抽样（stratified sampling ）,其中所分成的各个部分称为“层”.

分层抽样的步骤是：

（1）将总体按一定标准分层；

（2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；

（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；

（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.

分层抽样的特点是：分层抽样时，每个个体被抽到的可能性是相等的.由于分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践活动中有着广泛的应用.

应用示例

例1 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表所示：

很喜爱 喜爱 一般 不喜爱

2 435 4 567

3 926 1 072

电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？

分析：因为总体中人数较多，所以不宜采取简单随机抽样，又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样，而以分层抽样为妥.

解：采用分层抽样.具体抽样步骤如下：

①把总体分成四层：“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”；

②因为总人数为12 000人，所以各层个体数与总体个体数之比分别为“很喜爱”占120002435；“喜爱”占 120004567；“一般”占120003926； “不喜爱”占12000

1072； ③因为抽选出60人，所以从每层中抽出的人数为：“很喜爱”有12000

2435×60≈12人，“喜爱”有120004567×60≈23人，“一般”有12000

3926×60≈20人，“不喜爱”有12000

1072×60≈5人. ④在每层中用系统抽样的方法抽取样本，把各层抽得的个体合在一起就得到了所需的样本.

点评：（1）分层抽样的四个步骤中按比例分配各层所要抽取的个体数时，有时计算出的个体数可能是一个近似数，但这并不影响样本的容量.

（2）分层抽样适用于总体由差异比较明显的几个部分组成的情况，是等概率抽样，它是客观的、公平的.

（3）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了调查

者对被调查的对象（总体）事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，从而使抽取的样本具有较好的代表性.并且在各层抽样时可以根据情况采用不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用.

例2 一工厂生产了某种产品16 800件，他们来自甲、乙、丙生产三条线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了________________件产品.

分析：审题是思维的入口，抓住问题透露的信息，进行分检、组合和加工，找出解题思路.非常有价值的信息是从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列.

解法一：因为从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，故设从甲、乙、丙三条生产线抽出的个体数分别为a,a+d,a+2d ，那么各层抽出的个体合在一起就得到了所需的样本的容量3a+3d ，所以从各条生产线抽出的个体数占总体的比为

1680033d a +. 设乙生产线生产了x 件产品，则16800

33d a +×x=a+d,x=5 600. 解法二：设从甲、乙、丙三条生产线抽出的个体数分别为：a －d,a,a+d ，则各层抽得的个体合在一起就得到了所需的样本的容量为3a ，所以从各条生产线抽出的个体数占总体的比为168003a .设乙生产线生产了x 件产品，则16800

3a ×x=a,x=5 600. 解法三：因为从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，由分层抽样的原理知甲、乙、丙3条生产线生产的产品件数也组成一个等差数列.故设甲、乙、丙生产线生产的产品件数分别为y －m,y,y+m 件，则(y －m)+y+(y+m)=16 800，即y=5 600.

点评：解法二妙在设三数时考虑了“三数成等差且已知它们的和”的条件.

解法三思路：由于本题采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，那么甲、乙、丙3条生产线生产的产品件数也组成一个等差数列.因为从各条生产线抽出的人数占总体的比（设为k ）是不变的，那么设从甲、乙、丙三条生产线抽出的个体数分别为：a －d,a,a+d （等差数列），则甲、乙、丙3条生产线生产的产品件数分别为：k

d a k a k d a +-,,（等差数列）. 思考:求出了乙生产线生产了5 600件产品，能否求出甲和丙生产线分别生产了多少件产品.如果不能，能否加一些条件，求出甲和丙生产线分别生产的产品件数.

解：不能，因d,k,a 都不知.可以通过加条件求出甲和丙生产线分别生产的产品件数，

如a=56,d=4，则k=

16800563⨯=1100，所以甲、丙生产线生产的产品件数分别为：k

d a -=5 200,k d a +=6 000.或者d=4,k=1001，则k=3a16 800=1001，所以a=56，以下解法同前. 例 3 为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩.为了全面地反映实际情况，采用以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）：

①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；

②每个班抽取一人，共计20人，考察这20个学生的成绩；

③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察（已知：若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.

根据上面的叙述，试回答下列的问题：