高中数学第2章统计2.1抽样方法2.1.3分层抽样教案苏教版必修3

2.1.3 分层抽样
整体设计
教材分析
本课是在学生已经学习了简单随机抽样和系统抽样之后所要学习的又一种抽样方法——分层抽样.由前两节课我们知道简单随机抽样或系统抽样有时获得的样本不具有很好的代表性，比如，当个体间的差异比较大时，如果采用简单随机抽样，不同的人就有可能得到差异很大的结果；同样，如果采用系统抽样也很可能得不到具有代表性的样本.为此，为了更大程度地提高样本的代表性，我们需要事先对总体有一定的了解，然后根据已有的了解，再按照一定的方式抽取，这就是分层抽样.
本教案的着眼点是让学生主体参与，让学生动手、动脑，并通过观察、分析、比较、归纳等进行合情推理，鼓励学生积极活动，勇于探索.
针对本节课概念性强、思维量大、例习题较多的特点，本课的教法是以启发学生观察思考分析讨论为主的启发式教学.
三维目标
1.了解分层抽样的概念，理解科学、合理选用抽样方法的必要性.
2.掌握分层抽样的操作步骤，对实际问题的对比分析.
3.了解各种抽样方法的使用范围，使学生能根据具体情况选择适当的抽样方法.
4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣以及“用数学”的意识，培养学生的科学探索精神.
重点难点
教学重点：通过实例了解分层抽样的方法.
教学难点：分层抽样的步骤.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
设计思路一:（事例引入）
有一条消息“抽查部分考生成绩了解知道，江苏省2005年高考的物理学科平均分约为95分.”请问这个数据是用什么样的抽样方法得到的？
分析：不能单纯地用简单随机抽样或系统抽样，因为江苏省有很多地区，而每个地区的学生成绩不平衡，甚至相差太大.那么，设计抽样方法时，最核心的问题是什么，应该注意什么呢？一定要使抽取的样本具有很好的代表性.为此，在设计抽样方法时，我们应充分利用自己对总体情况已有的了解，选择适合的抽样方法.
师：请同学们一起来探讨一例，你认为应当怎样抽取样本？
设计思路二:（实例引入）
某校高一、高二和高三年级分别有学生1 000，800和700名，为了了解全校学生的视力情况，欲从中抽取容量为100的样本，怎样抽样较为合理？
（让中档生配合教师引入新课，增强他们的赶超意识；优秀生补充，树立他们“我要更强”的竞争意识；后进生主动参与，提高他们课堂上有效的思考活动时间）分析：由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，不能在 2 500名学生中随机抽取100名学生，也不宜在三个年级平均抽取.为准确反映客观实际，不仅要使每个个体被抽到的概率相等，而且要注意总体中个体的层次性，所以，先将全体学生分成高一、高二和高三
年级三层，分别抽样.三部分学生的人数有较大差别，应考虑各层个体数在总体中所占的比例.用各层的个体数与总体的个体数的比乘以样本容量就可得各层所要抽取的个体数.
推进新课
新知探究
学生思考，交流讨论，然后代表发言.
一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫做分层抽样（stratified sampling ）,其中所分成的各个部分称为“层”.
分层抽样的步骤是：
（1）将总体按一定标准分层；
（2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.
分层抽样的特点是：分层抽样时，每个个体被抽到的可能性是相等的.由于分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践活动中有着广泛的应用.
应用示例
例1 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2 435 4 567
3 926 1 072
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
分析：因为总体中人数较多，所以不宜采取简单随机抽样，又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样，而以分层抽样为妥.
解：采用分层抽样.具体抽样步骤如下：
①把总体分成四层：“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”；
②因为总人数为12 000人，所以各层个体数与总体个体数之比分别为“很喜爱”占120002435；“喜爱”占 120004567；“一般”占120003926； “不喜爱”占12000
1072； ③因为抽选出60人，所以从每层中抽出的人数为：“很喜爱”有12000
2435×60≈12人，“喜爱”有120004567×60≈23人，“一般”有12000
3926×60≈20人，“不喜爱”有12000
1072×60≈5人. ④在每层中用系统抽样的方法抽取样本，把各层抽得的个体合在一起就得到了所需的样本.
点评：（1）分层抽样的四个步骤中按比例分配各层所要抽取的个体数时，有时计算出的个体数可能是一个近似数，但这并不影响样本的容量.
（2）分层抽样适用于总体由差异比较明显的几个部分组成的情况，是等概率抽样，它是客观的、公平的.
（3）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了调查
者对被调查的对象（总体）事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，从而使抽取的样本具有较好的代表性.并且在各层抽样时可以根据情况采用不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用.
例2 一工厂生产了某种产品16 800件，他们来自甲、乙、丙生产三条线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了________________件产品.
分析：审题是思维的入口，抓住问题透露的信息，进行分检、组合和加工，找出解题思路.非常有价值的信息是从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列.
解法一：因为从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，故设从甲、乙、丙三条生产线抽出的个体数分别为a,a+d,a+2d ，那么各层抽出的个体合在一起就得到了所需的样本的容量3a+3d ，所以从各条生产线抽出的个体数占总体的比为
1680033d a +. 设乙生产线生产了x 件产品，则16800
33d a +×x=a+d,x=5 600. 解法二：设从甲、乙、丙三条生产线抽出的个体数分别为：a －d,a,a+d ，则各层抽得的个体合在一起就得到了所需的样本的容量为3a ，所以从各条生产线抽出的个体数占总体的比为168003a .设乙生产线生产了x 件产品，则16800
3a ×x=a,x=5 600. 解法三：因为从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，由分层抽样的原理知甲、乙、丙3条生产线生产的产品件数也组成一个等差数列.故设甲、乙、丙生产线生产的产品件数分别为y －m,y,y+m 件，则(y －m)+y+(y+m)=16 800，即y=5 600.
点评：解法二妙在设三数时考虑了“三数成等差且已知它们的和”的条件.
解法三思路：由于本题采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，那么甲、乙、丙3条生产线生产的产品件数也组成一个等差数列.因为从各条生产线抽出的人数占总体的比（设为k ）是不变的，那么设从甲、乙、丙三条生产线抽出的个体数分别为：a －d,a,a+d （等差数列），则甲、乙、丙3条生产线生产的产品件数分别为：k
d a k a k d a +-,,（等差数列）. 思考:求出了乙生产线生产了5 600件产品，能否求出甲和丙生产线分别生产了多少件产品.如果不能，能否加一些条件，求出甲和丙生产线分别生产的产品件数.
解：不能，因d,k,a 都不知.可以通过加条件求出甲和丙生产线分别生产的产品件数，
如a=56,d=4，则k=
16800563⨯=1100，所以甲、丙生产线生产的产品件数分别为：k
d a -=5 200,k d a +=6 000.或者d=4,k=1001，则k=3a16 800=1001，所以a=56，以下解法同前. 例 3 为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩.为了全面地反映实际情况，采用以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）：
①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
②每个班抽取一人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察（已知：若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.
根据上面的叙述，试回答下列的问题：
（1）上面三种抽取方式中，其中总体、个体、样本分别指的是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
（2）上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法？
（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.
分析：本题主要考查数理统计中的一些基本概念和基本方法.做这种题目时，应该注意叙述的完整性和条理性.
解：（1）这三种抽样方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
（2）上面三种抽样方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法.
（3）第一种方式抽样的步骤如下：
第一步：在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；
第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下：
第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一个学生，记其学号为a ； 第二步：在其余的19个班中，选取学号为a 的学生，共计19人.
第三种方式抽样的步骤如下：
第一步：分层.
因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次.
第二步：确定各个层次抽取的人数.
因为样本容量与总体的个体数比为：100∶1 000=1∶10，所以在每个层次抽取的个体数依次为10
250,10600,10150，即15，60，25. 第三步：按层次分别抽取.
在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；
在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；
在普通生中用简单随机抽样法抽取20人.
点评：1.弄清考察对象是明确总体、个体、样本的关键，这里考察的对象指的是数据.样本中有多少个个体，样本容量就是多少.总体、个体、样本的考察对象是同一的，所不同的是范围的大小.
2.判断采用何种抽样方法时，应充分理解三种抽样方法的定义.
三种抽样方法的共同点、各自的特点、三者之间的联系以及适用的范围：
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 从总体中逐个抽取 总体中的个数较
少
系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个数较
多
分层抽样 将总体分成几
层，分层进行抽
取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
例4 下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理?
（1）从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；
（2）某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，需留下32名听众进行座谈；
（3）某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.
此题考察统计中的抽样方法的有关知识，要求学生会区别几种抽样方法.
分析：此题特征是：已知总体情况来分析选择抽样方法.
解：（1）总体容量比较小，用抽签法或随机数表法都很方便.
（2）总体容量比较大，用抽签法或随机数表法比较麻烦.由于人员没有明显差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样.具体做法是：将每排的40人组成一组，共32组，从第1排至第32排分别为1～32组，先在第1排用简单随机抽样抽取一名听众，再将其他各排与此听众座位号相同的听众全部取出.
（3）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故应采用分层抽样方法.具体做法是：总体容量为160，故样本中教师人数应为20×
160120=15名，行政人员人数应为20×16016=2名，后勤人员应为20×160
24=3名. 点评：此题考察统计中的抽样方法的有关知识，要求学生会区别几种抽样方法.
知能训练
1.在10 000个有机会中奖参加港澳七日游的号码（编号为0000～9999）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后三位数为369的号码为中奖号码.请你分析这里运用了哪种抽样方法来确定中奖号码的？依次写出这10个中奖号码.
2.某校共有118名教师，为了支援西部的教育事业，现要从中抽出16名教师组成暑期西部讲师团.请用系统抽样法选出讲师团成员.
3.某大学共有全日制学生15 000人，其中专科生3 788人、本科生9 874人、研究生1 338人，现为了调查学生上网查找资料的情况，欲从中抽取225人，为了使样本具有代表性，应该怎样抽取样本？
（充分给予学生思考的时间，由学生分析思路，写出详细解题过程，培养学生规范化书写解题过程的意识，老师点拨和指导.出示投影片上准备好的解题过程，让学生对照自己的书写过程，扬长避短）
4.某市的3个区共有高中学生2 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本，这3个区分别应抽取多少人？写出抽样过程.
解答：
1.因为中奖号码的后三位数相同，因此10个中奖号码依次为：0369,1369,2369,3369,4369,5369,6369,7369,8369,9369.它们的间隔相同，因此采用的是系统抽样方法.
2.(1)对这118名教师进行编号1，2， (118)
(2)计算间隔k=16
118=7.375.由于k 不是一个整数，我们从总体中随机剔除6个样本，再来进行系统抽样.例如我们随机剔除了3、46、59、57、112、93这6名教师，然后再对剩余的112名教师编号，计算间隔k=7.
(3)在1～7之间随机选取一个数字，例如选5，将5加上间隔7得到第二个个体编号12，再加上7得到第三个个体编号19，依次进行下去，直到获取整个样本.
3.采用分层抽样.具体抽样步骤如下：
①将总体分成三层：“专科生”“本科生”“研究生”；
②因为总人数为15 000人，所以各层个体数与总体个体数之比分别为:“专科生”占150003788；“本科生”占150009874；“研究生”占15000
1338； ③因为抽选出225人，所以从各层中抽出的人数为：“专科生”有
150003788×225≈57人；“本科生”有150009874×225≈148人；“研究生”有15000
1338×225≈20人； ④在每层中用系统抽样的方法抽取样本，把各层抽得的个体合在一起就得到了所需的样本.
4.由分层抽样原理知从各层中抽取的样本个数之比等于各层的个体数之比，所以从各层中抽出的人数为：“第一区”有
102×200=40人；“第二区”有103×200=60 人；“第三区”有10
5×200=100人；然后在每层中用系统抽样的方法抽取样本，把各层抽得的个体合在一起就得到了所需的样本.
点评：有针对性的与例题配套，加强学生对上课例题的理解.
课堂小结
（先让一位同学总结，其他同学补充，教师完善，并用多媒体展示出来）
（1）分层抽样的定义；
（2）分层抽样的实施方法及步骤；
（3）简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的区别与联系.
作业
课本习题2.1 2、8.
设计感想
由于课程标准对分层抽样的要求层次为“了解”，因此没有在如何合理分层这个层面上花过多时间，而是以例题、习题的形式补充了一些与学习、生活、生产相关的背景材料，让学生感受分层抽样应用的广泛性和必要性.
习题详解
习题2.1
1.解：采用分层抽样的方法.具体为：
①将全市的800家企业分成四个层：“中外合资企业”“私营企业”“国有企业”“其他性质的企业”；
②“中外合资企业”与全市企业总数之比为160∶800=1∶5；“私营企业”与全市企业总数之比为320∶800=2∶5；“国有企业”与全市企业总数之比为240∶800=3∶10；“其他性质的企业”与全市企业总数之比为80∶800=1∶10；
③应抽取“中外合资企业”40×
51=8家 ；“私营企业”40×5
2=16家；“国有企业” 40×103=12家；“其他性质的企业”40×101=4家； ④将抽出的40家企业合在一起就组成所要的样本.
2.解：由题意知：抽取高二年级学生15人.故抽取的高二年级学生与高二年级学生总数之比为15∶300=1∶20，所以高一年级学生总数为20×20=400人，高三年级学生总数为10×20=200人，全校学生总数为400+300+200=900人.
3.解：因为4个区的学生人数之比为3∶2.8∶2.2∶2，因此各个区的学生数分别占总数的3∶(3+2.8+2.2+2)=3∶10， 2.8∶(3+2.8+2.2+2)=7∶25，
2.2∶(3+2.8+2.2+2)=11∶50，2∶(3+2.8+2.2+2)=2∶10，所以应分别从各个区抽取学生200×103=60人,200×257=56人,200×5011=44人,200×10
2=40人. 4.解：可先将高一年级的学生按年龄分为15岁、16岁、17岁，然后再将每一个年龄段内的学生分为男、女调查他们的身高，这样整个年级的学生就可分为9个层，最后采用分层抽样的方法抽取一些学生调查他们作为样本.
5.解：可对全校学生分为三个层：“高一学生”“高二学生”“高三学生”，然后在每一层中采用系统抽样的方法抽取出各层的学生，最后调查这些学生的身高和心率，获得数据，制成表格.
6.解：先将学生按年级分为几个部分，然后对每一部分的学生采用随机抽样的方法抽取一些学生组成样本，调查他们的父母的年龄，收集数据以制成表格.
7.可对班级的学生按男、女分为两个部分，然后按男、女生在班级所占的比例在每一部分采用随机抽样的方法抽取一些学生，以调查他们对这一问题的看法.
8.解：（1）采用分层抽样的方法，具体步骤如下：
①将500名学生分为4个层：“血型为O 型的学生”“血型为A 型的学生”“血型为B 型的学生”“血型为AB 型的学生”；
②“血型为O 型的学生”占总人数的比为
5
2500200=，“血型为A 型的学生”占总人数的比为41500125=，“血型为B 型的学生”占总人数的比为4
1500125=，“血型为AB 型的学生”占总人数的比为10
150050=； ③应抽取血型为O 型的学生40×52=16人；血型为A 型的学生40×4
1=10人；血型为B 型的学生40×41=10人；血型为AB 型的学生40×101=4人； ④从各层用随机抽样的方法抽出学生组成样本.
（2）AB 血型的样本的抽样过程（抽签法）步骤：
①将血型为AB 型的学生进行随机编号为1，2， (50)
②用白纸做成形状、大小完全相同的1至50号的签;
③把1至50号的签集中在一起放在一个大容器中充分搅拌均匀;
④从容器中随机地抽出4个签;
⑤最后把编号与抽中的号码相一致的学生抽出即可.
9.解：抽签法或随机数表法：如检查某个班级同学对英语单词掌握情况；系统抽样：检
查高一年级同学对英语单词掌握情况；分层抽样：检查全校同学对英语单词掌握情况.
10.略.。