大学物理 狭义相对论2

相对论粒子动力学方程的形式：
其中
fx
px
f
f f
y z 4
d
d
py pz p4
px
x
p
y
pz p4
m
0
d
d
y
z
ict
由此可得：质量的概念、质能关
系……
10
四、质量概念
p
p4
m0
d d
r ict
的形成 d ＝
0m0
d dt
r ict
dt
当然，建立的动力学方程是 否正确，还要通过实验结果来检 验。 相对论粒子的动力学方程， 应该如何建立呢？
3
§8 四维动量 质量
一、对方程的基本要求
1 、速度 v << c 时返回牛顿方程 方程基本形式 ： 力矢量＝动量矢量的时间变化
2 、满率足爱因斯坦相对性原理
在不同惯性系中方程形式相同。 方程在洛仑兹变换下形式不变，具有 洛仑兹变换协变对称性。
：
P2 (0,0,0, imc)
反应后（粒子系） P1 (0,0,0, imc)
：
P2 (0,0,0, imc)
PB (0,0,0, iMc)
反应前、后不变量相等
： p12 E1 c mc 2 (2m M )2 c2
（反应前）
（反应后）
E12 p12c2 m 2c4
39
靶静止，为产生新粒子加速粒子的最小能
三、三维力与加速度的关
系
F Fn Ft
Ft
Fn m an
m0 1v 2
c2
an
Ft
m0 (1v2 c2)3
2
at
v at m
aF
an Fn
1 、力和加速度不同向；
2 、速率越大，增大速率越困
难3 、。法向关系与牛顿力学类似
。
28
证明
：
F
d mv
dt
m
dv dt
dm dt
v
m
(
an
at
不 变 量 与 参 考 系所无以关对。于 复 杂 的 反 应 过
用不变量要程比用四维动量守恒更简 34
【例】高能粒子碰撞中的资用能：可以用 于粒子转化的能量。对于
A1+ A2 B
设加速粒子的动能为 Ek （ >>mc2 ，粒子的静 能）(1) 求当靶静止时的资用能；
(2) 求对撞时的资用能 ；(3) 哪种碰撞更有效？
8
三、四维动量的形式
v
在 四：
维 矢 量
S 系中定义
四维
px
x
p
y
pz
m
0
d d
y z
p4
不变量
ict
p
p4
m
0
d d
r ict
矢
量
m0
dr
r1(t1)
r2(t2)
S 参考系
mp时0 ：m0静dd质r ：量三d维
低速牛顿动
：原 动量
— 动量的四维矢量量形式
【思考】四维动量还有其它形式吗？ 9
f f
y z
d
d
py pz
f4
p4
其中 d 为原时，[ px , py , pz , p4 ]T 代表动量矢量
[ f x , f y , fz , f4 ]T 代表力矢量。形式，上满足
力矢量＝动量矢量的时间变化率 如何保证具有洛仑兹变换协变对称性？
6
只要[ px , py , pz , p4 ]T 是四维矢量 —四维动
px
px
c
E
py p y
pz pz
E E cpx
1 1 u2/ c2（参考系相对运动
） — 在变换中，动量和能量是相联系的
25
§10 相对论粒子动力学方程
一、 系
四
维
力
f
f4
和三维力的关
d d
p
p4
0
d dt
p
iE c
0
F
i c
vF
0 1
维动量的四个分量的平方和相等。即：反应
前后体系四维动量的不变量相等。
ABC D
pAx pCx
pBx 2 pDx 2
pAy pCy
pBy 2 pDy 2
pAz
pBz
2
iE A C
iEB C
2
pCz pDz
2
iEC C
iE D C
2
四维动量守恒要涉及参考系的变换，而
A1+ A2 A1+ A2+ B 求加速粒子的最小能量。当所有产物粒子相 对静(1)止靶时，A用2 静于止加情速况粒(子2) 的对能撞量情最况小。。
解；复. 杂反应，用反应前后不变量相等计算。
反应前的不变量在实验室系计算，
反应后的不变量在粒子系计算。
38
（ 1 ） 靶 A2 静止情
况 反应前（实验室系） P1 (0,0, p1, iE1 / c)
聚变反应和聚变能：
6 2H 2 4He 2n 2p 43.23Mev 19
二 、 能 量 —动 量 关 系
P
p icm
p iE
c
由不变 量
p2
（
S
E2 c2
系
m02c2 ，得 （ 粒 子 系：）
能
量
—动
量
关
系
）
E 2 p2c2 m02c4
pc
E
m0 c2
20
1 、静质量为零的粒子以光速运动
px
S
系：
f
f f
y z 4
d
d
py pz p4
f x
px 形式不变
1 u2 c2
S' 系 ：
f
y
ff4z
d
d
py
pz p4
方程具有洛仑兹变换协变对称性。
【思 考 】方 程 还 有 其 它 形 式 吗
？下 面 寻 找 四 维 动 量 的 具 体 形 式
p4
iE c
K
选择能量零点 K=0 ，即得p4 icE
。
15
结论：协变性要求粒子的动量表达成四维
动量
px mv x mv x
P
py pz p4
mv y
mv z icm
mv mv iE
y cz
或写成
P
p p4
m ic
v m
m v iE
c
16
一、质能关系 由 p4 icm iE c
4
S 参考系和粒子参考系
：
1v 2
m0
dr
r1(t1)
r2Байду номын сангаасt2)
S 参考系
m0
粒子参考系
原时 ( 同地
时 ) 是不变量
d
d
dt
0
静质量 m0 是不变
量测时 dt = t2 - t1
0 1 1v2 c2
（粒子运动引起
）
5
二、方程的形式
在 S 系中，假定方程为
fx
px
（ S 系）（）2 pp粒2 dd子pt p系422p4 dmdpt024c2 0 14
其 中F
dddpt4pdtp14
p ddpt
1 p4
mv
F
代表三维力，是三维动量
对 测 时 的 微因商E。为 粒 子 总 能 量 ，
v
F
dE
dt
则
d p4 dt
m p4
dE dt
m0 不随时间 变
代入 p4 icm ，得 dp4 idcE ，积分得
质量亏损
m0mX 0 (mY 0m Z 0 )
裂变能
E m0 c2
18
【例】氘核的结合能
+
mnc2 mpc2
mdc2
mn 939.565 63 Mev / c 2
0
mp 938.272 31 Mev / c 2 md 1875.613 39 Mev / c 2
- EB
结合能
EB mn mp md c2 2.23 Mev
1 、实物粒子 (m0 0) 的 速度低于真空中的光速。 m0
v
m
2 、静质量为零粒子的速 度可以等于真空中的光速 。
S 参考系
12
1 1v 2 c 2
实验数据 ：
电子质量随速率的变化
13
§9 质能关系
能 量 —动 量 关 系
p p4
mv icm
下面证明p4 iE c
， E 为粒
子证：总明能p量2考。虑p42不 0变量p42 (icm0 )2 m02c2
)
dm dt
v
m(
an
dv dt
vˆ
)
d dt
m0 vvˆ 1v2 c2
m
an
(
1
v
m0 2c
2
)3
2
at
其中an 和at
度。
分别代表法向和切向加速
29
三维力与加速度的关系还可表示
成
F
ma
vF c2
v
证明：
F
d
mv
m dvdt dm v
dt dt
ma ma
1 dE vcc2F2dvt ,
实验表明：
对于不受外界影响的多粒子体系所经历 的过程 ( 包括不能用力的概念描述的过程 ，例如衰变、裂变、产生新粒子等 ) ，体 系的四维动量守恒。或者说，体系的总动 量 和相总对能论量动守力恒学。的 研 究 对 象 主 要 是 不 受 外 界影响的粒子体系。动力学方程通常表现 为体系的四维动量守恒的形式。
得质能关系 E mc2
一定的能量相当于一定的质量，只差因子
c2称。 m0c2 为粒子的静能量。 粒子的静质量一般用静能量表 示 电子 0.510 999 06 Mev/c2
质子 938.272 31 Mev/c2
中子 939.565 63
氘Me核v/c2 1875.613 39 Mev/c2
17
重核裂变 X Y Z
E2 p2c2 0
E pc mvc mc 2 vc
2 、光子的动量和质量
p
E c
h
c
,
m
h
c2
其中 代表光子的频率
。 【思 考 】带 电 粒 子 的 速 度 能 达 到 光 速 吗
？
21
三、相对论动能
Ek mc 2 m0c2
m0c
2
1 1 1v2 c2
为与实验比较，改写成
v
2
1
1
Ek m0c
2
2
c
2
对于v
c
情况 Ek
1 2
m0v2 .
22
测时间 t
Ek eV v 8.4 t 作 v2 ~ Ek 曲线
贝托齐电子极限速率实验
（ 1962 ）
23
v
2
11
＋Ek m0c
2
2
－c 2
实验结果 电子极限速度等于真空中的光速
：
24
四、动量和能量的相对论变 换由四维动量的洛仑兹变换，得
量，方程就一定协变。
四维矢量
fx
f f
y z
d
d
px py pz
四
维
矢
量
f4 原时 p4
“ 力等于四维动量对原时微
因为d商 ” 为不变量，四维动量的微分仍
为四维矢量，所以方程右侧是四维矢量。
保证方程在洛仑兹变换下形式不变，具 有洛仑兹变换协变对称性。
7
SS u
1
fx
/ 0m0
v ic
mv icm
p 0m0 v m v（ S 参考系
）
m 0 m0
应该理解为在 S 系中测量的粒子质量
。
当粒
子质低量速取运成动m时=，0m 0的1形，式m是相m对0 .
性
原
理
的
11
要
粒子的质量与粒子相对测量质量的参
考
系
的
运
动
速率
m
v 有m0关
1v2 c
（
2
质
速
关
系
）
其 中 ，m 0代 表 粒 子 的 静 质 量 。
量为
E1
(2m 2
4mM 2m
M2)
c2
M 2c2 2m
(2) 对撞情况
反应前（实验室系） ：
P1 P2
( p, iE / c) ( p, iE / c)
反应后（粒子系） P1 (0,0,0, imc )
1v2 / c2（粒子运动 ）
四维力用三维力表示为
四
维
力
f f4
0
F
i c
vF
三
维
力
26
二、相对论粒子动力学方
程 力用三维力表示，动力学方程为
或
FFivcFddpt
d dt
p iE c
v
F
dE dt
dEk dt
第二式为动能定理（
【）思。考
】
这
里 的F
d
p
d
t
m0
保持不变的情况 ， 与 牛 顿 方 程 的27 区
解 . 简单反应，应用动量、能量守恒计
算
35
1 、靶静止情况 m Ek m
复合粒子
M Ek
Eav M c2 — 资用能，Ek — 浪费掉了
碰撞前 ：
E Ek 2mc2 。 p2c2 (Ek mc2)2 m2c4 Ek(Ek 2mc2)
碰撞后 E p2c2 M 2c4 应：用动量、能量守恒：p p , E E
v,
E mc 2
dE dt
vF
30
§11 四维动量守恒和不变量的应用
一、四维动量守恒
F ivF c
d dt
p p4
d dt
p iE c
若粒子受合外力F 0 ，则四维
随时
间
变 化— ：动
四 量
维p 和动能量不量守E恒
守
动
量
p p4
恒 【思 考 】对 于 多 粒 子 体 系 上 述 守 恒 定 律 成 立31
32
以下述过程为例
ABC D
粒子的四维动量为
P
p
x
p y
p z
iE c
T
,
A, B,C, D
体 系 的 四 维 动 量 守 恒 是 指在：同 一 参 考 系 中
PA PB PC PD
或者表示成总p动A 量 p和B 总p能C 量pD守恒
EA EB EC ED
33
二、不变量的应
如用果 体 系 四 维 动 量 守 恒 ， 则 反 应 前 后 四
资用能（ Ek>>mc2 ）： M c2 2mc 2(Ek 2mc 2) 2mc 2Ek 36
2 、对撞情况
m Ek Ek m
M
资用能：M c2 2Ek 2mc 2 2Ek
3 、对撞比靶静止更有
效
2Ek 2Ek 1
2mc 2 Ek
mc 2
37
【例】两个静质量为 m 的粒子 A1 和 A2 碰撞 产生静质量为 M （ >>m ）的新粒子 B 的 反应为
狭义相对论 （二）
相对论动力学
陈信义 编 2006.1
目录
§8 四维动量 质量 §9 质能关系 能量—动量关系 §10 相对论粒子动力学方程 §11 四维动量守恒和不变量的应用 §12 力的相对论变换 §13 广义相对论简介
2
任何物理体系的动力学方程都 是基本假定，只能通过实验事实 和更普遍的假定来建立或猜想。