分数指数幂教案及练习

分数指数幂

活动一：复习引入：

1．整数指数幂的运算性质：

=

==

⋅n n

m n m ab a a a )()( )(),()

,(Z n Z n m Z n m ∈∈∈

2．根式的运算性质：

①当n 为任意正整数时，(n a )n

=.

②当n 为奇数时，n

n

a = ；当n 为偶数时，n

n

a =|a|=⎩

⎨⎧<-≥)0()

0(a a a a .

用语言叙述上面三个公式：

⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.

⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.

3．引例：当a ＞0时

①5

102

55

2510

)(a a a a

=== ②=312a

③3

23

3

3

23

2

)(a a a ==

④=a

上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义. 活动二：建构数学：

1.正数的正分数指数幂的意义

n m n

m a a

= (a ＞0,m ,n ∈N *

,且n ＞1)

要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定：

(1)n

m n

m a

a

1=

-

(a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)；

(2)0的正分数指数幂等于0； (3)0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

3.有理指数幂的运算性质:

)

())....(3(),())....(2(),().....1(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+

说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则p

a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 活动三：应用数学：

例1求值：43

32

132

)81

16(,,,,,,)41(,,,,,100,,,,,,8-

--

.

解：=3

28

===

---

43

32

1)81

16()4

1

(100

例2 用分数指数幂的形式表示下列各式：

a a a a a a ,

,,,,,,,,,,3232∙∙

(式中a ＞0)

解：2

52

122

12

2

a a a a a a ==⋅=⋅+

=

=⋅a a a a 323

例3计算下列各式（式中字母都是正数）：

.

))(2();3()6)(2)(1(8

834

1

6

56131212132n m b a b a b a -÷-

a

ab b

a b a b a b a 44)]3()6(2[)3()6)(2)(1(06

531216

121326

56131212132==-÷-⨯=-÷-++++ 8

8341))(2(n m

例4计算下列各式：

433

2

25

)12525)(2();

0()

1(÷->a a

a a

解：

活动四：理解数学：（课本练习）

1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)： 3

25

34

351,,,-

-

a a a a ．

解：55

1

a a =；

=

===

-

--3

25

3

535

34

31

a

a

a a

a

2.用分数指数幂表示下列各式：

(1)32x ； （２）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０） ；（３）32

)(n m -；

（４）4

)(n m -（ｍ＞ｎ）； (5)

5

6q p ⋅（ｐ＞０）； (6)

m

m 3．

解：(1) 3

2

32x x =； (2) 4

3

43

)()(b a b a +=+；

(3) 3

232

)()(n m n m -=-；

32

2)1(a a a ∙435

)12525)(2(÷-