高考数学大一轮复习 第二章 第4节 二次函数与幂函数课件

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(3)当 a＝－1 时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3 ＝xx22＋ －22xx＋ ＋33＝ ＝xx＋ －1122＋ ＋22， ，xx≤ ＞00， ， 其图象如图所示：
又∵x∈[ －4,6] ，∴f(|x|)在区间[ －4，－1)和[ 0,1)上为减
函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．
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2．二次函数的性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域
R
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值域 单调性 对称性
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在－∞，－2ba减__
在－∞，－2ba增__
在－2ba，＋∞增__
在－2ba，＋∞减__
函数的图象关于 x＝－2ba对称
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规律方法 1 1.研究二次函数在闭区间上的最值问题，先 “定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．
2. 求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区 间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关 键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与 区间的关系进行分类讨论；(2)常画出图象结合二次函数在该 区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.
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对点训练 (1)已知函数 y＝ax2＋bx＋c，如果 a＞b＞c， 且 a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
【答案】 D
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(2)设 f(x)＝x2－2ax(0≤x≤1)的最大值为 M(a)，最小值为 m(a)．试求 M(a)及 m(a)的表达式．
【解】 f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，x∈[0,1]． 当 a≤0 时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝f(0)＝0； 当 0＜a≤12时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝－a2； 当12＜a≤1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝－a2； 当 a＞1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝f(1)＝1－2a.
第四节 二次函数与幂函数
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[考情展望] 1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小 比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象 特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等 式之间的关系去分析和解决问题．
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一、二次函数 1．二次函数的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为 (h，k) ； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点．
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奇偶性 奇
偶
奇/
奇
在 (0，＋∞) 上增
在(0，＋∞) 上减
单调性 增 在(－∞，0)上减
增
增 在(－∞，0)上减
定点
(1,1)
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1．当 α≠0,1 时，幂函数 y＝xα 在第
一象限的图象特征(如图所示)：
(1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸
递增，如 y＝x2；
(2)0＜α＜1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如 y＝x12；
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二、幂函数
1．定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数叫幂函数，其中 x 是 自变量 ，α 是常数．
2．幂函数的性质
函数特 y＝x
征性质
y＝x2
y＝x3 y＝x12
y＝x－1
定义域 R
R
值域 R [0，＋∞)
R
[0，ห้องสมุดไป่ตู้∞)
(－∞，0) ∪(0，＋∞)
R
[0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞)
(3)α＜0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐
近线，如 y＝x－1，y＝x－12.
2．幂函数的图象一定不会经过第四象限．
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1．已知点 M 33，3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的表
达式为( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x－2
C．f(x)＝x12
D．f(x)＝x－12
【答案】 B
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2．图 2－4－1 中 C1，C2，C3 为三个幂函数 y＝xk 在第一 象限内的图象，则解析式中指数 k 的值依次可以是( )
图 2－4－1
A．－1，12，3
B．－1,3，12
C.12，－1,3 【答案】 A
D.12，3，－1
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3．函数 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，则 f(x)在区
【答案】 － 22，0
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考向一 [019] 二次函数的图象与性质 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当 a＝－2 时，求 f(x)的最值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4,6]上是单 调函数； (3)当 a＝－1 时，求 f(|x|)的单调区间．
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函数 y＝f(x)对称轴的判断方法 (1)对于函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(x1)＝f(x2)， 那么函数 y＝f(x)的图象关于 x＝x1＋2 x2对称． (2)对于函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a －x)成立的充要条件是函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称 (a 为常数)．
bx＋c.若 f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0
B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0
D．a<0,2a＋b＝0
【答案】 A
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6．(2014·江苏高考)已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任 意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0 成立，则实数 m 的取值范围是 ________．
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【尝试解答】 (1)当 a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－ 2)2－1，
则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35. (2)函数 f(x)＝x2＋2ax＋3 的对称轴为 x＝－22a＝－a， ∴要使 f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4 或－ a≥6，解得 a≥4 或 a≤－6.
间(－5，－3)上( )
A．先减后增
B．先增后减
C．单调递减
D．单调递增
【答案】 D
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4．函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 在区间(－∞，3]上是减函 数，则实数 a 的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－2]
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5．(2013·浙江高考)已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋