高考数学大一轮复习 第四章 第4节 平面向量应用举例课件
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【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件004004-平面向量应用举例

1 → → → → → 解法一 → AE · BD = AD +2 AB · ( AD - AB ) 1 →2 1 → 2 = AD - AB =22- ×22=2. 2 2
用三角形法则,向已 知转化。 注意垂直向量积为零
解法二 以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图).
则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2). → → ∴ AE =(1,2), BD =(-2,2). → 从而→ AE · BD =(1,2)· (-2,2)=1×(-2)+2×2=2.
x1x2+y1y2 a· b 2 2 |a||b| =____________________ cos θ=_______ (θ为 a 与 b 的夹角). x2 x2 1+y1 2+y2
2.向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其 应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向 量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算 公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识.
一 个 手 段
实现平面向量与三角函数、平面向 量与解析几何之间的转化的主要手段是 向量的坐标运算.
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的 直观与形象,向量本身是一个数形结合的产 物,在利用向量解决问题时,要注意数与形 的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻 辑思维的结合. (2)要注意变换思维方式,能从不同角度 看问题,要善于应用向量的有关性质解题.
规律方法 用平面向量解决平面几 何问题时,有两种方法: 基向量法和坐标系法, 建立平面直角坐标系时 一般利用已知的垂直关 系,或使较多的点落在 坐标轴上,这样便于迅 速解题.
2
因为|→ AD |=1,∠BAD=60° , →→ 1 → 所以 AB · AD = | AB |, 2 因此①式可化为 1 → 1 → 1+ | AB |- | AB |2=1, 4 2 1 → 解得| AB |=0(舍去)或 , 2 1 所以 AB 的长为 . 2
用三角形法则,向已 知转化。 注意垂直向量积为零
解法二 以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图).
则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2). → → ∴ AE =(1,2), BD =(-2,2). → 从而→ AE · BD =(1,2)· (-2,2)=1×(-2)+2×2=2.
x1x2+y1y2 a· b 2 2 |a||b| =____________________ cos θ=_______ (θ为 a 与 b 的夹角). x2 x2 1+y1 2+y2
2.向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其 应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向 量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算 公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识.
一 个 手 段
实现平面向量与三角函数、平面向 量与解析几何之间的转化的主要手段是 向量的坐标运算.
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的 直观与形象,向量本身是一个数形结合的产 物,在利用向量解决问题时,要注意数与形 的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻 辑思维的结合. (2)要注意变换思维方式,能从不同角度 看问题,要善于应用向量的有关性质解题.
规律方法 用平面向量解决平面几 何问题时,有两种方法: 基向量法和坐标系法, 建立平面直角坐标系时 一般利用已知的垂直关 系,或使较多的点落在 坐标轴上,这样便于迅 速解题.
2
因为|→ AD |=1,∠BAD=60° , →→ 1 → 所以 AB · AD = | AB |, 2 因此①式可化为 1 → 1 → 1+ | AB |- | AB |2=1, 4 2 1 → 解得| AB |=0(舍去)或 , 2 1 所以 AB 的长为 . 2
高考数学 第四章 第四节平面向量应用举例课件 理
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①若 AB∥AC ,则三点A、B、C共线.
()
②在△ABC中,若 AB BC<0,则△ABC为钝角三角形. ( )
③在△ABC中,若 AB BC =0,则△ABBCD中,边AB与CD为对边,若 AB DC ,则此四边
形为平行四边形.
()
【解析】①因 AB、A共C始点A,且 A,B∥故AC①正确; ②∵ AB BC<0 ∴BA∠B B为C>锐0,角,不能判断△ABC的形 状,故②不正确; ③∵ AB BC 0 ∴A∠BB为B直C,角,故③正确; ④∵ AB ,∴DACB DC,故④正确. 答案:①√ ②× ③√ ④√
【解析】(1)如图所示.
|F1|=|F|cos60°=10×
1=5(N).
2
(2)F1=(2,3),F2=(3,1),
∴合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),
∴合力的大小为 52 42 41 N.
答案:(1)5N (2) (54,1 4)
热点考向 1 向量在平面几何中的应用 【方法点睛】
22
4
而0≤k≤1,故2≤ AM≤ A5N.
答案:[2,5]
【变式训练】已知△ABC的三边长AC=3,BC=4,AB=5,P为AB 边上任意一点,则 CP (BA BC) 的最大值为_________. 【解析】方法一:(坐标法)以C为原点,建立平面直角坐标系 如图,设P点坐标为(x,y)且0≤y≤3,0≤x≤4,则
第四节 平面向量应用举例
1.向量在平面几何中的应用 (1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题.
(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧
高考数学一轮复习 第4章 第4节 平面向量的应用举例课件 理 苏教版
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15
[解] 建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为 1, DP=λ(0<λ< 2),则 A(0,1),P 22λ, 22λ,E1, 22λ,F 22λ,0,
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16
∴P→A=- 22λ,1- 22λ, E→F= 22λ-1,- 22λ,
∴|P→A|= - 22λ2+1- 22λ2 = λ2- 2λ+1,
[答案] 0
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11
4.已知 A,B 是圆心为 C,半径为 5的圆上两点,且|A→B|= 5, 则A→C·C→B=________.
[解析] 由题设条件易知△ABC 为正三角形,A→C与C→B的夹角 为 120°,所以A→C·C→B= 5× 5×-12=-52.
[答案] -52
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12
|E→F|=
22λ-12+-
22λ2
= λ2- 2λ+1,
∴|P→A|=|E→F|,即 PA=EF. ppt精选
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【规律方法】 1.用向量法证明两条线段长相等转化为证两向量的模相等. 2.用向量方法解决平面几何问题可分三步: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几 何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角 等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
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7
(2)在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满 足O→P·O→A=4,则点 P 的轨迹方程是 x+2y-4=0.( )
(3)在△ABC 中,若A→B·B→C<0,则△ABC 为钝角三角形.( ) (4)已知三个力 f1,f2,f3 作用于物体同一点,使物体处于平衡 状态,若 f1=(2,2),f2=(-2,3),则|f3|为 5.( )
2024版新教材高考数学总复习:第四节平面向量的综合应用课件
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AB AC
△ABC的( ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.内心 B.垂心 C.重心 D.外心
答案:A
题型二 向量与三角函数
例 2设向量a=(cos x,sin x),b=( 3sin x,sin x). (1)若a∥b,求cos 2x的值; (2)设函数f(x)=(b-a)·a,x∈[-π,π],求f(x)的零点.
题后师说 向量与三角函数综合问题的解法
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键:准确利用向量的坐标 运算化简已知条件,将其转化为三角函数问题解决.
第四节 平面向量的综合应用
关键能力·题型突破 题型一 向量与平面几何
例 1(1)在平行四边形ABCD中,M、N分别在BC、CD上,且满足BC =3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则△AMN的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
答案:C
(2)[2023·辽 宁 沈 阳 模 拟 ] 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AD∥BC ,
故选A.
微专题4 平面向量与三角形的内心
(1)三角形的内心:三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆
的圆心).
(2)O是△ABC的内心⇔OA·( AB − AC )=OB·( BA − BC )=OC·( CA −
AB AC
BA BC
CA
CB )=0.
CB
例4 O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P 满足:OP=OA+λ( AB + AC ),λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过
专题突破❺ 平面向量与三角形的“四心” 微专题1 平面向量与三角形的重心 (1)三角形的重心:三角形的三条中线的交点.
△ABC的( ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.内心 B.垂心 C.重心 D.外心
答案:A
题型二 向量与三角函数
例 2设向量a=(cos x,sin x),b=( 3sin x,sin x). (1)若a∥b,求cos 2x的值; (2)设函数f(x)=(b-a)·a,x∈[-π,π],求f(x)的零点.
题后师说 向量与三角函数综合问题的解法
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键:准确利用向量的坐标 运算化简已知条件,将其转化为三角函数问题解决.
第四节 平面向量的综合应用
关键能力·题型突破 题型一 向量与平面几何
例 1(1)在平行四边形ABCD中,M、N分别在BC、CD上,且满足BC =3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则△AMN的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
答案:C
(2)[2023·辽 宁 沈 阳 模 拟 ] 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AD∥BC ,
故选A.
微专题4 平面向量与三角形的内心
(1)三角形的内心:三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆
的圆心).
(2)O是△ABC的内心⇔OA·( AB − AC )=OB·( BA − BC )=OC·( CA −
AB AC
BA BC
CA
CB )=0.
CB
例4 O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P 满足:OP=OA+λ( AB + AC ),λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过
专题突破❺ 平面向量与三角形的“四心” 微专题1 平面向量与三角形的重心 (1)三角形的重心:三角形的三条中线的交点.
2015年高考数学一轮总复习精品课件:第四章+平面向量 4.4 平面向量应用举例(共33张PPT)
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4.4
平面向量应用举例
第一页,编辑于星期五:十一点 十二分。
考纲要求
考纲要求
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
第二页,编辑于星期五:十一点 十二分。
3
梳理自测
1.向量在平面几何中的应用
(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决
探究突破
举一反三 2 如图所示,已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上),F
的大小为 50 N,F 拉着一个重 80 N 的木块在摩擦因数 μ=0.02 的水平平面
上运动了 20 m,问 F、摩擦力 f 所做的功分别为多少?
关闭
3
设木块的位移为 s,则 F·s=|F||s|cos 30°=50×20× =500 3 J,
(1)求角 A 的大小;
(2)若| |+||= 3| |,试判断△ABC 的形状.
考点一
考点二
考点三
思想方法
第二十三页,编辑于星期五:十一点 十二分。
探究突破
(1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m·n=3,即 1+1+2 cos
sin
3
2
sin
2
3
2
cos +
2
=3,
1 02ຫໍສະໝຸດ 设 P(x0,y0),则有
16
+
02
402
2
=1,即0 =16- .
12
3
又 N(0,1),
1
1
所以2 = 02 +(y0-1)2=- 02 -2y0+17=- (y0+3)2+20.
平面向量应用举例
第一页,编辑于星期五:十一点 十二分。
考纲要求
考纲要求
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
第二页,编辑于星期五:十一点 十二分。
3
梳理自测
1.向量在平面几何中的应用
(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决
探究突破
举一反三 2 如图所示,已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上),F
的大小为 50 N,F 拉着一个重 80 N 的木块在摩擦因数 μ=0.02 的水平平面
上运动了 20 m,问 F、摩擦力 f 所做的功分别为多少?
关闭
3
设木块的位移为 s,则 F·s=|F||s|cos 30°=50×20× =500 3 J,
(1)求角 A 的大小;
(2)若| |+||= 3| |,试判断△ABC 的形状.
考点一
考点二
考点三
思想方法
第二十三页,编辑于星期五:十一点 十二分。
探究突破
(1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m·n=3,即 1+1+2 cos
sin
3
2
sin
2
3
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cos +
2
=3,
1 02ຫໍສະໝຸດ 设 P(x0,y0),则有
16
+
02
402
2
=1,即0 =16- .
12
3
又 N(0,1),
1
1
所以2 = 02 +(y0-1)2=- 02 -2y0+17=- (y0+3)2+20.
2021版新高考数学一轮复习讲义:第四章第四讲平面向量的综合应用(含解析)
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垂直问题
数量积的运算性质
a⊥ b? __a·b= 0__? __x1x2+ y1y2=0__, 其中 a= (x1 ,y1 ), b= (x2,y2),且 a, b 为 非零向量
夹角问题
数量积的定义
a·b cos θ= __|a||b|__(θ为向量 a, b 的夹角 ), 其中 a, b 为非零向量
双基自测
题组一 走出误区
1.(多选题 )下列命题正确的是 ( ACD )
A
.若
→ AB
∥
A→C,则
A, B, C 三点共线
→→ B.在△ ABC 中,若 AB ·BC<0 ,则△ ABC 为钝角三角形
C.向量 P→A,P→B, P→C中三终点 A、 B、C 共线,则存在实数 α, β,使得 P→A= αP→B+βP→C,
2x- y+ 5= 0, 由
x2+ y2= 50,
x=- 5,
x=1,
解得
或
y=- 5
y= 7.
︵ 令 M (- 5,- 5),N(1,7) ,由 2x- y+ 5≤ 0 得 P 点在圆左边弧 MN 上, 结合限制条件- 5 2
≤ x≤ 5 2,可得点 P 横坐标的取值范围为 [- 5 2, 1].
A . ±1
B.± 2
C. ± 3
D . ±2
[解析 ] 因为 A,B, C 均为圆 x2+ y2=2 上的点,
故|O→A|= |O→B|= |O→C|= 2,
因为
→ OA
+
→ OB
=
O→C,所以
→ (OA
+
→ OB)
2=
→ OC
2,
即
→ OA
2+
高考数学(理科)一轮复习课件:第四章 第4讲 平面向量的应用举例

第4讲 平面向量的应用举例
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题. 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ为实数.
(2)(2017 年新课标Ⅲ)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2, 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若A→P=λA→B+μA→D, 则 λ+μ 的最大值为( )
A.3
B.2 2
C. 5
D.2
解析:如图 D32,建立平面直角坐标系,则 A(0,1),B(0, 0),C(2,0),D(2,1).设 P(x,y),根据等面积公式可得圆的半径
考点 1 平面向量在平面几何中的应用 例 1:(1)(2017 年天津)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3, AC=2.若B→D=2D→C,A→E=λA→C-A→B(λ∈R),且A→D·A→E=-4,则 λ 的值为__________.
解析:A→B·A→C=3×2×cos 60°=3,A→D=13A→B+23A→C,则 A→D·A→E=13A→B+23A→C·λA→C-A→B=3λ×3+23λ×4-13×9-23×3= -4.解得 λ=131.
(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线 向量定理:
a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b⇔a·b=0⇔___x_1_x_2+__y_1_y_2_=__0__. (3)求夹角问题,利用夹角公式: cos θ=|aa|·|bb|= x21x+1xy212+y1xy222+y22(θ 为 a 与 b 的夹角).
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题. 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ为实数.
(2)(2017 年新课标Ⅲ)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2, 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若A→P=λA→B+μA→D, 则 λ+μ 的最大值为( )
A.3
B.2 2
C. 5
D.2
解析:如图 D32,建立平面直角坐标系,则 A(0,1),B(0, 0),C(2,0),D(2,1).设 P(x,y),根据等面积公式可得圆的半径
考点 1 平面向量在平面几何中的应用 例 1:(1)(2017 年天津)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3, AC=2.若B→D=2D→C,A→E=λA→C-A→B(λ∈R),且A→D·A→E=-4,则 λ 的值为__________.
解析:A→B·A→C=3×2×cos 60°=3,A→D=13A→B+23A→C,则 A→D·A→E=13A→B+23A→C·λA→C-A→B=3λ×3+23λ×4-13×9-23×3= -4.解得 λ=131.
(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线 向量定理:
a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b⇔a·b=0⇔___x_1_x_2+__y_1_y_2_=__0__. (3)求夹角问题,利用夹角公式: cos θ=|aa|·|bb|= x21x+1xy212+y1xy222+y22(θ 为 a 与 b 的夹角).
高三数学大一轮复习5.4平面向量应用举例课件.ppt

5.某人先位移向量a:“向东走3 km”,接着再位移向量
b:“向北走3 km”,则a+b表示
(B )
A.向东南走3 2 km B.向东北走3 2 km C.向东南走3 3 km D.向东北走3 3 km 解析 要求a+b,可利用向量和的三角形法则来求解,
如图所示,适当选取比例尺作O→A=a=“向东走3 km”, A→B=b=“向东走3 km”, 则O→B=O→A+A→B=a+b. |O→B|= 32+32=3 2 (km), 又O→A与O→B的夹角是45°, 所以a+b表示向东北走3 2 km.
由A→M=-32M→Q,
得(x-a,y)=-32(-x,b-y)=32x,32(y-b),
∴xy- =a32= y-3232xb
,∴ab==-3y x2
.
把a=-2x代入①,得-2xx+2x+3y=0, 整理得y=14x2 (x≠0).
探究提高 (1)向量法解决平面解析几何问题的关键是 把点的坐标转换成向量的坐标,然后进行向量的运算. (2)相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用 到,必须熟练掌握.
(2)若x∈-38π,π4,求函数f(x)=a·b的最值;
(3)函数f(x)的图象可以由函数y=
2 2 sin
2x
(x 求向量的夹角,即通过数量积与模的积的比
值求得夹角的余弦值,而数量积通过坐标转化可得出,
图象的变换则可根据平移公式得出.
解 (1)∵x=π3,∴|a|= sin2π3+cos2π3=1. 又|c|=1,a·c=-sin π3+0=- 23, 设a、c的夹角为α, ∴cos α=|aa|··c|c|=- 23,α∈[0,π],∴α=56π. 即向量a与c的夹角为56π.
探究提高 用向量知识研究物理问题的基本思路和 方法是:(1)认真分析物理现象,深刻把握物理量 之间的相互关系;(2)通过抽象、概括,把物理现 象转化为与之相关的向量问题;(3)利用向量知识 解决这个向量问题,并获得这个向量的解;(4)利 用这个结果,对原物理现象作出合理解释.即用向 量知识圆满解决物理问题. 本题易错原因是不能按物理意义进行力的合成,错 误得出F3的大小为6.
高考数学一轮复习 5-4 平面向量的应用课件 新人教A版

线向量定理:a∥b(b≠0)⇔_a_=__λ_b___⇔__x_1_y_2-__x_2_y_1=__0__.
(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b⇔_a_·_b_=__0_⇔_x_1_x_2_+__y1_y_2_=__0_(a,b均为非零向量).
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2
课堂总结
(3)求夹角问题,利用夹角公式
比为35,则△ABM 与△ABC 的面积比为35.
答案
3 5
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9
课堂总结
ห้องสมุดไป่ตู้
5.(人教 A 必修 4 P120B8 改编)在△ABC 中,若O→A·O→B=
O→B·O→C=O→C·O→A,则点 O 是△ABC 的________(填“重
心”、“垂心”、“内心”、“外心”).
解析 ∵O→A·O→B=O→B·O→C,
E 为 CD 的中点.若A→C·B→E=1,则 AB 的长为________.
(2)(2014·天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD= 120°,点 E,F 分别在 边 BC,DC 上,BE=λBC,
DF=μDC.若A→E·A→F=1,C→E·C→F =-23,则 λ+μ=
()
A.12
∴O→B·(O→A-O→C)=0,
∴O→B·C→A=0,
∴OB⊥CA,即 OB 为△ABC 底边 CA 上的高所在直线.
同理O→A·B→C=0,O→C·A→B=0,故 O 为△ABC 的垂心.
答案 垂心
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10
课堂总结
考点一 平面向量在平面几何中的应用
【例 1】 (1)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,
一点,且满足 5A→M=A→B+3A→C,则△ABM 与△ABC 的面
(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b⇔_a_·_b_=__0_⇔_x_1_x_2_+__y1_y_2_=__0_(a,b均为非零向量).
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2
课堂总结
(3)求夹角问题,利用夹角公式
比为35,则△ABM 与△ABC 的面积比为35.
答案
3 5
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9
课堂总结
ห้องสมุดไป่ตู้
5.(人教 A 必修 4 P120B8 改编)在△ABC 中,若O→A·O→B=
O→B·O→C=O→C·O→A,则点 O 是△ABC 的________(填“重
心”、“垂心”、“内心”、“外心”).
解析 ∵O→A·O→B=O→B·O→C,
E 为 CD 的中点.若A→C·B→E=1,则 AB 的长为________.
(2)(2014·天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD= 120°,点 E,F 分别在 边 BC,DC 上,BE=λBC,
DF=μDC.若A→E·A→F=1,C→E·C→F =-23,则 λ+μ=
()
A.12
∴O→B·(O→A-O→C)=0,
∴O→B·C→A=0,
∴OB⊥CA,即 OB 为△ABC 底边 CA 上的高所在直线.
同理O→A·B→C=0,O→C·A→B=0,故 O 为△ABC 的垂心.
答案 垂心
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10
课堂总结
考点一 平面向量在平面几何中的应用
【例 1】 (1)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,
一点,且满足 5A→M=A→B+3A→C,则△ABM 与△ABC 的面
(vip免费)高考数学复习课件 第4章 第4节 平面向量应用举例
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解决几何问题
二、向量在三角函数中的应用 1.以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、周期等 三角函数性质问题. 2.通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形 状的判断、边角的大小与关系.
三、向量在解析几何中的应用 1.以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度 等问题. 2.以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问 题. 四、向量在物理学中的应用 由于力、速度是向量,它们的分解与合成与向量的__加__法__ 相类似,可以用向量方法来解决,力做的功就是向量中的数量 积的一种体现.
答案:(0,-2)
5.平面上有三个点 A(-2,y),B0,2y,C(x,y),若A→B⊥ B→C,则动点 C 的轨迹方程为________________.
解析:由题意得A→B=2,-2y,B→C=x,2y, 又A→B⊥B→C,∴A→B·B→C=0,
即2,-2y·x,2y=0. 化简得 y2=8x. 又由题意知 x≠0,故所求轨迹方程为 y2=8x(x≠0). 答案:y2=8x(x≠0)
实数 λ 的取值范围是
A.λ> 2或 λ<- 2
B.λ>2 或 λ<-2
C.- 2<λ< 2
D.-2<λ<2
(1)(文)(2012·陕西高考)设向量 a=(1,cos θ)与 b=(-1,2cos
θ)垂直,则 cos 2θ 等于
2 A. 2 C.0
B.12 D.-1
(2)(12
分)已知向量
a=sin
解析:(1)如图所示,设|PF1|=m,|PF2|=n,由已知条件可 得
|m-n|=2 3,
1 2mnsin
P=2,
又 m2+n2-2mncos P=(m-n)2+2mn(1-cos P)=4a2+
高考数学总复习 第4章 第4节 平面向量应用举例课件 新人教A版
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【思路点拨】
3 【规范解答】(1)∵a∥b,∴4cos x+sin x=0, 由向量共线的充要条件,得 sin x 与 cos x 关系式. 3 ∴tan x=-4, 2 分.
2 cos x-2sin xcos x 1-2tan x 8 2 cos x-sin 2x= = 2 2 2 = . sin x+cos x 1+tan x 5
点),但并不影响向量在物理学中的应用. 2.合力与分力、合速度与分速度的大小关系与合力和分 力、合速度和分速度的夹角大小有关,具体关系一般通过解 三角形获得.利用函数、不等式等知识就可求得其数量变化,
据此,可回答相应的物理问题.
如图,一条河的两岸平行,河的宽度为 d =500 m, 一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.船的航行速度为|v1| =10 km/h,水流速度为|v2|=4 km/h.
化弦为切,代入b=
π 3 2sin2x+4+2.
平面向量的坐标运算.
6分
2 π a b 由正弦定理得sin A=sin B可得 sin A= 2 ,所以 A=4, 利用正弦定理求角.
π f(x)+4cos2A+6=
8分
π 1 2sin2x+4-2,
2 2 2 2 m2 n2 2 =3(x- 3 ) +3(y-3) +2a +3m +3n . 1 1 要使上式取最小值,只需 x=3m,y=3n, x=-a+a+m 3 即 0+0+n y= 3
答案:重
所以点 P 为三角形 ABC 的重心.
y → 5.平面上有三个点 A(-2,y),B(0,2),C(x,y),若AB → ⊥BC,则动点 C 的轨迹方程为________________.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
高考数学(文)一轮复习课件:4-4平面向量的应用(人教A版)

高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1. 向量在平面几何中的应用 (1)平面几何图形中的许多性质,如长度、夹角、平 行、垂直等都可以由平面向量的数量积与共线向量条件 来解决. (2)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原解决几何问题
2. 向量在三角函数中的应用 (1)以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、 周期等三角函数性质问题. (2)通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角 形中形状的判断、边角的大小与关系. 3. 向量在解析几何中的应用 (1)以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性 质、长度等问题.
=
3 4
b
时,| P→A +
3P→B|min=5.
[答案] 5
[规律总结] 用向量法解决平面几何问题,先用向量 表示相应的线段、夹角等几何元素(或者建立平面直角坐 标系),然后通过向量的运算获得向量之间的关系,最后 把运算结果“翻译”成几何关系,从而得到几何问题的 结论.
[变式探究1] [2011·全国]设向量a,b,c满足|a|=
D. 不确定
答案:C 解析:设a1为椭圆的长半轴长,a2为双曲线的实半轴 长,椭圆与双曲线的半焦距均为c,当P点在双曲线的右支 上时,由题意得,||PPFF11||-+||PPFF22||==22aa21, ∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,由P→F1·P→F2=0得P→F1 ⊥P→F2,即PF1⊥PF2, ∴(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2, ∴2a21+2a22=4c2,
f(x)=(a+b)·b=(sinx+cosx)cosx+43
=12(sin2x+cos2x)+54= 22sin(2x+π4 )+54,最小正周 期为π,由2kπ-π2 ≤2x+π4 ≤2kπ+π2 得
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第四节 平面向量应用举例
精品
1
[考情展望] 1.用向量的方法解决某些简单的平面几何 证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题,体现向 量运算的工具性.
精品
2
一、向量在平面几何中的应用 1.平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运 算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相 似、长度、夹角等问题.
精品
20
(2)因P→E·P→F=(N→E-N→P)·(N→F-N→P) =(-N→F-N→P)·(N→F-N→P) =(-N→P)2-N→F2=N→P2-1, P 是椭圆1x62 +1y22 =1 上的任一点,设 P(x0,y0), 则有1x620 +1y220 =1,即 x20=16-43y02,又 N(0,1),
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂
心)
(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E
为 CD 的中点,则A→E·B→D=
.
精品
17
【答案】 (1)C (2)2
精品
18
考向二 [081] 平面向量在解析几何中的应用 (2015·苏州模拟)已知平面上一定点 C(2,0)和直线
精品
6
1.已知三个力 f1,f2,f3 作用于物体同一点,使物体处
于平衡状态,若 f1=(2,2),f2=(-2,3),则|f3|为( )
A.2.5
B.4 2
C.2 2
D.5
【答案】 D
精品
7
2.已知 O 是△ABC 所在平面上一点,若O→A·O→B=O→B·O→C
=O→C·O→A,则 O 是△ABC 的( )
精品
21
所以N→P2=x20+(y0-1)2=-13y20-2y0+17 =-13(y0+3)2+20. 因为 y0∈[-2 3,2 3], 所以当 y0=-3 时,N→P2 取得最大值 20,故P→E·P→F的最大 值为 19.
精品
22
规律方法 2 1.平面向量与解析几何交汇的题目,向量多 用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运 算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从 而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
A.内心
B.重心
C.外心 D.垂心
【答案】 D
精品
8
3.若A→B·B→C+A→B2=0,则△ABC 为( )
A.钝角角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
【答案】 D
精品
9
4.已知两个力 F1、F2 的夹角为 90°,它们的合力 F 的大
小 为 10 N , 合 力 与 F1 的 夹 角 为 60°, 那 么 F1 的 大 小
l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且 P→C+12P→Q·P→C-12P→Q=0.
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求P→E·P→F 的最大值.
精品
19
【尝试解答】 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). 由P→C+12P→Q·P→C-12P→Q=0, 得|P→C|2-14|P→Q|2=0,即(x-2)2+y2-14(x-8)2=0,化简得 1x62 +1y22 =1. 所以点 P 在椭圆上,其方程为1x62 +1y22 =1.
零向量,且 a 与 b 不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等
于( )
A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积
B.以 b,c 为两边的三角形面积
C.以 a,b 为两边的三角形面积
D.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积
(3)已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为
AB 边上任意一点,则C→P·(B→A-B→C)的最大值为
.
精品
13
【答案】 (1)A (2)D (3)9
精品
14
规律方法 1 1.向量在平面几何中的三大应用:一是借助 运算判断图形的形状;二是借助模、数量积等分析几何图形 的面积;三是借助向量探寻函数的最值表达式,进而求最值.
2.平面几何问题的向量解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向 量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算, 从而使问题得到解决.
精品
3
2.用向量解决常见平面几何问题的技巧
问题类型
所用知 识
公式表示
a∥b⇔a=λb
线平行、点共线、 共线向 ⇔__x1_y_2_-__x_2y_1_=__0_(b_≠__0_)_
相似等问题
量定理 其中 a=(x1,y1), b=(x2,y2)
精品
4
数量积 a⊥b⇔_a_·b_=__0__⇔__x_1x_2_+__y_1y_2_=__0___
为
.
【答案】 5 N
精品
10
5.在△ABC 中,AB=2,AC=3,A→B·B→C=1,则 BC=( ) A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23
【答案】 A 6.(2014·山东高考)在△ABC 中,已知A→B·A→C=tan A,当
A=π6时,△ABC 的面积为
.
【答案】
1 6
精品
11
考向一 [080] 向量在平面几何中的应用
(1) 在 △ ABC 中 , 已 知 向 量 A→B 与 A→C 满 足
|AA→ →BB|+|AA→→CC|·B→C=0,且|AA→ →BB|·|AA→ →CC|=12,则△ABC 为(
)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
精品
12
(2)设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非
垂直问题 的运算 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b
性质 为非零向量
数量积
a·b
夹角问题
cos θ=_|_a_||_b_| (θ 为向量 a,b 的夹角)
的定义
精品
5
二、向量在物理中的应用 1.向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用. 2.向量在速度的分解与合成中的应用. 3.向量的数量积在合力做功问题中的应用:W=f·s.
精品
15
(2)基向量法 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量共 线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
精品
16
对点训练 (1)已知点 O,N,P 在△ABC 所在平面内,
且|O→A|=|O→B|=|O→C|,N→A+N→B+N→C=0,P→A·P→B=P→B·P→C=
P→C·P→A,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( )
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1
[考情展望] 1.用向量的方法解决某些简单的平面几何 证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题,体现向 量运算的工具性.
精品
2
一、向量在平面几何中的应用 1.平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运 算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相 似、长度、夹角等问题.
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(2)因P→E·P→F=(N→E-N→P)·(N→F-N→P) =(-N→F-N→P)·(N→F-N→P) =(-N→P)2-N→F2=N→P2-1, P 是椭圆1x62 +1y22 =1 上的任一点,设 P(x0,y0), 则有1x620 +1y220 =1,即 x20=16-43y02,又 N(0,1),
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂
心)
(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E
为 CD 的中点,则A→E·B→D=
.
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【答案】 (1)C (2)2
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考向二 [081] 平面向量在解析几何中的应用 (2015·苏州模拟)已知平面上一定点 C(2,0)和直线
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1.已知三个力 f1,f2,f3 作用于物体同一点,使物体处
于平衡状态,若 f1=(2,2),f2=(-2,3),则|f3|为( )
A.2.5
B.4 2
C.2 2
D.5
【答案】 D
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2.已知 O 是△ABC 所在平面上一点,若O→A·O→B=O→B·O→C
=O→C·O→A,则 O 是△ABC 的( )
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所以N→P2=x20+(y0-1)2=-13y20-2y0+17 =-13(y0+3)2+20. 因为 y0∈[-2 3,2 3], 所以当 y0=-3 时,N→P2 取得最大值 20,故P→E·P→F的最大 值为 19.
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规律方法 2 1.平面向量与解析几何交汇的题目,向量多 用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运 算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从 而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
A.内心
B.重心
C.外心 D.垂心
【答案】 D
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3.若A→B·B→C+A→B2=0,则△ABC 为( )
A.钝角角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
【答案】 D
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4.已知两个力 F1、F2 的夹角为 90°,它们的合力 F 的大
小 为 10 N , 合 力 与 F1 的 夹 角 为 60°, 那 么 F1 的 大 小
l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且 P→C+12P→Q·P→C-12P→Q=0.
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求P→E·P→F 的最大值.
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【尝试解答】 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). 由P→C+12P→Q·P→C-12P→Q=0, 得|P→C|2-14|P→Q|2=0,即(x-2)2+y2-14(x-8)2=0,化简得 1x62 +1y22 =1. 所以点 P 在椭圆上,其方程为1x62 +1y22 =1.
零向量,且 a 与 b 不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等
于( )
A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积
B.以 b,c 为两边的三角形面积
C.以 a,b 为两边的三角形面积
D.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积
(3)已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为
AB 边上任意一点,则C→P·(B→A-B→C)的最大值为
.
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【答案】 (1)A (2)D (3)9
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规律方法 1 1.向量在平面几何中的三大应用:一是借助 运算判断图形的形状;二是借助模、数量积等分析几何图形 的面积;三是借助向量探寻函数的最值表达式,进而求最值.
2.平面几何问题的向量解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向 量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算, 从而使问题得到解决.
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2.用向量解决常见平面几何问题的技巧
问题类型
所用知 识
公式表示
a∥b⇔a=λb
线平行、点共线、 共线向 ⇔__x1_y_2_-__x_2y_1_=__0_(b_≠__0_)_
相似等问题
量定理 其中 a=(x1,y1), b=(x2,y2)
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4
数量积 a⊥b⇔_a_·b_=__0__⇔__x_1x_2_+__y_1y_2_=__0___
为
.
【答案】 5 N
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5.在△ABC 中,AB=2,AC=3,A→B·B→C=1,则 BC=( ) A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23
【答案】 A 6.(2014·山东高考)在△ABC 中,已知A→B·A→C=tan A,当
A=π6时,△ABC 的面积为
.
【答案】
1 6
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考向一 [080] 向量在平面几何中的应用
(1) 在 △ ABC 中 , 已 知 向 量 A→B 与 A→C 满 足
|AA→ →BB|+|AA→→CC|·B→C=0,且|AA→ →BB|·|AA→ →CC|=12,则△ABC 为(
)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
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(2)设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非
垂直问题 的运算 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b
性质 为非零向量
数量积
a·b
夹角问题
cos θ=_|_a_||_b_| (θ 为向量 a,b 的夹角)
的定义
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5
二、向量在物理中的应用 1.向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用. 2.向量在速度的分解与合成中的应用. 3.向量的数量积在合力做功问题中的应用:W=f·s.
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15
(2)基向量法 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量共 线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
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16
对点训练 (1)已知点 O,N,P 在△ABC 所在平面内,
且|O→A|=|O→B|=|O→C|,N→A+N→B+N→C=0,P→A·P→B=P→B·P→C=
P→C·P→A,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( )