1.3_反证法_课件(北师大选修2-2)

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2018-2019学年北师大版选修2-2 1.3 反证法课件(16张)

这与p，q互素矛盾，这说明 2是无理数。
一
师
一
优
课
比
赛
当堂检测
1、用反证法证明命题“一个三
角形的三个外角中，至多有一
2 、用反证法证明：在三角形的。个锐角”，应假设为内角中，至少有一个角大于或
等于６０°
一师一优课比赛
当堂检测
3、若a，b，c均为实数，且
a x 2y
2

好好学习天天向上
一
师
一
优
课
比
赛
葛优选餐馆问题
葛优会不会选错餐馆呢
一
师
一
优
课
比
赛
葛优的数学头脑
葛优的推理是：
假设那家餐馆不经济实惠，那么这家餐馆就不会有那么多客人，这与“餐馆客人众多”矛盾。所以假设不成立，这家餐馆经济实惠。
一
师
一
优
课
比
赛
一个小问题
耶稣有13门徒，请你证明：其中至少两
一
正难则反
③、至少或至多师一优型问题。
课
比ห้องสมุดไป่ตู้
赛
本节课结束
一
师
一
优
课
比
赛
个人的生日在同一个月。
一
师
一
优
课
比
赛
数学中常见实例
1、求证：垂直同一直线的两直线平行。 2 、证明：一个三角形的三个外角中，至多有一个是锐角。
一师一优课比赛
反证法的概念
在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，
二者必居其一。我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：1.3 反证法

【跟踪训练】如图所示,AB,CD为圆的两条相交弦,且不全为直径,求证:AB,CD不能互相平分.
【证明】连接AC,CB,BD,DA, 假设AB,CD互相平分, 则四边形ACBD为平行四边形, 所以∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD. 因为四边形ACBD为圆的内接四边形, 所以∠ACB+∠ADB=180°, ∠CAD+∠CBD=180°,
【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1.因为ad-bc=1, 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0, 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0. 所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0, 则a=b=c=d=0, 这与已知条件ad-bc=1矛盾,故假设不成立. 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
所以∠ACB=90°,∠CAD=90°, 所以对角线AB,CD均为圆的直径,与已知条件矛盾, 所以AB,CD不能互相平分.
类型二用反证至少有两个钝角”的否定是
______________________________.
2.已知a,b为正实数,请用反证法证明: a 1 与 b 1 中至少有一个不小于2.
2.本例1条件改为“任何三角形的内角至多有一个钝角”,则其否定为 ________. 【解析】“任何三角形的内角至多有一个钝角”的否定为存在一个三角形,其内角有两个或三个钝角. 答案:存在一个三角形,其内角有两个或三个钝角
类型三用反证法证明唯一性命题【典例】已知:一点A和平面α. 求证:经过点A只能有一条直线和平面α垂直. 【思路导引】

高中数学 1.3 反证法同步课件北师大版选修22

2．反证法证题步骤用反证法证明命题的一般步骤
BS·数学选修2-2
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
“肯定”与“否定”型命题
析
教
当
学方
堂
设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整双
案
基
设计
数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
达标
课前
【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很课
课前
3.掌握反证法证题的基本步骤及利用反证法证明课
自
时
主导
相关的数学问题．(重、难点)
作业
学
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学教
反证法
法
分析
【问题导思】
BS·数学选修2-2
易错易误辨析
教
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋当
学
堂
方案
友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一颗树上结满了李
双基
设
达
计子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小标
课前
朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎
课
自
时
主导
么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，
作业
学
早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一
课
教
堂互
定是苦的．”
师备

1.3反证法课件(北师大版选修2-2)

明:数列{cn}不是等比数列.
【解析】假设数列{cn}是等比数列,则(an+bn) =(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),① 因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q,所以 2 2 �� =an-1an+1,�� =bn-1bn+1, 代入①并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn( + ),即 2= + ,②
问题4 适合用反证法证明的试题类型
(1)直接证明困难, (2)需分成很多类进行讨论, (3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题, (4)结论为“唯一”类命题.
导.学. 固. 思
1
否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是( C ).
A.有一个解 C.至少有三个解 B.有两个解 D.至少有两个解
64
1
又(1-a)a≤(
1-�� +�� 2
�� 1 5 �� 2
导.学. 固. 思
用反证法证明至多、至少等形式的命题
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个负数.
【解析】假设a,b,c,d都是非负数,则
1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd, 这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d至少有一个负数.
�� 1 1 1
2
4

高中数学第一章推理与证明1.3反证法课件北师大选修2_2

∵x>0,y>0,∴1+x≥2y且1+y≥2x.
两式相加得2+x+y≥2x+2y,
∴x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾. 因此1+��<2 和1+��<2 中至少有一个成立.
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定.
(√ ) (2)反证法推出的矛盾不能是与已知矛盾. ( × ) (3)使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时,
论证一种即可. ( × )
探究一
探究二
思维辨析
用反证法证明否定性命题
【例1】已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证: √��, √��, √�� 不成等差数列.
分析:因为结论中含有否定词,因此可以考虑用反证法,解答本题时可从假设√��, √��, √�� 成等差数列入手证明,进而推出矛盾.
证明:假设√��, √��, √��成等差数列,则有 2√�� = √�� + √��, 即 4b=a+c+2√��.
对所有 x 成立
对任意 x不成立
至少有 n个
至多有 n个
p或q p且q
反设词
一个也没有
至少有两个
存在某个 x0 不成立
存在某个 x0 成立
至多有 n-1 个
至少有 n+1 个
��p ��p 且��q 或��q

(北师大版)数学选修2-2：第1章《反证法》ppt复习课件

过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿克斯的球迷为德罗巴发出

北师大版选修1-2--第三章-4-反证法----课件(22张)

§4 反证法
-1-
目标导航
1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.
2.了解反证法的思考过程、特点.
知识梳理
1.反证法的定义
(1)在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者必
居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推
出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛
盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断
定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
(2)反证法是一种间接证明的方法.
【做一做1】在应用反证法推出矛盾的推导过程中,下列可以作
为条件使用的是(
)
①与结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、
定义等;④原结论.
A.①②
B.①②④
至少有 n 个至多有 n-1 个
都是
不都是
至多有 n 个至少有 n+1 个
是
不是
p或q
p 且q
p且q
p 或q
只有一个
反设词
没有或至少
有两个
知识梳理
【做一做2】命题“在△ABC中,若A>B,则a>b”的结论的否定应该
是(
)
A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b
答案:B
【做一做3】用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a,且x≠b”
1
故假设不成立,即函数 f(x)=2x+1除 − 外没有零点.
2
综上所述,函数 f(x)=2x+1 有且只有一个零点.
典例透析
题型一
题型二
题型三

高三数学：1.1.3反证法课件 (北师大选修2-2)

法。
三个步骤：反设—归谬—存真
归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？（1）直接证明有困难（2）否定性命题（3）唯一性命题（4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
∴a2是奇数，与已知矛盾。
∴假设不成立，所以a是偶数。注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从
进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
变式2:
2, 3, 5 不可能成等差数列
解题反思： •证明本题时，你是怎么想到反证法的？ •反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，
.比较困难，
2
我们应采用反证法 , 证明：假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 1 ，则 2
f (1) 2 f (2) f (3) 2.
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
f (1) 2 f (2) f (3) f (1) 2 f (2) f (3) (1 p q) 2(4 2 p q) (9 3 p q) 2
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
证
明
直接证明
证明
综合法分析法
间接证明
反证法
“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……” ， “不等于……”，“不具有某种性质”等) 常用反证法
例 3：设二次函数 f (x) x2 px q ，求证： f (1) , f (2) , f (3) 中

1.3反证法课件(北师大版选修2-2) (2)

例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。
（三）、课堂小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明过程中我们不能僵化的使用反证法。对于一个证明来说，可能要交替地使用这两种证法。 1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、 “至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题. 2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。
A O D
P C B
（二）、探究新课 1、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
1.3反证法
一、教学目标：结；了解反证法的思考过程与特点。二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点。教学难点：正确理解、运用反证法。三、教学方法：探析归纳，讲练结合

1.3《反证法》课件(北师大版选修2-2)

但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数.
【解析】在推理过程中我们将(a1-1),(a2-2),„,(a7-7)重新分组，会有a1+a2+„+a7与1+2+„+7，这两个式子相等，从而会得出矛盾.
答案：a1-1,a2-2,„,a7-7;
(a1-1)+(a2-2)+„+(a7-7); (a1+a2+„+a7)-(1+2+„+7).
一个特称命题“存在正整数n,有xn≤xn+1.”
3.（5分）完成反证法证题的全过程.
题目设a1,a2,„,a7是1，2,„，7的一个全排列，
求证：p=(a1-1)(a2-2)„(a7-7)为偶数. 证明：假设p为奇数，则________均为奇数. 因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数= ________ = ________ =0.
4.（15分）已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0, 求证：a>0. 【解题提示】由于本题的证明结果从正面较难分析全面，故应选用反证法，先假设a≤0,然后证明与已知条件矛盾.
【证明】假设a≤0，即a<0或a=0.
（1）若a=0,则abc=0,这与abc>0矛盾；（2）若a<0，则由abc>0，知bc<0,
（A）三角形中至少有一个内角不小于60° （B）四面体的三组对棱都是异面直线
（C）闭区间［a,b］上的单调函数f(x)至多有一个零点
（D）设a,b∈Z，若a+b是奇数，则a,b中至少有一个为奇数【解析】选D.由于a+b是奇数，则a,b必为一奇一偶，而不是 a,b中至少有一个为奇数.

1.3 反证法课件1 (北师大选修2-2)

大家议一议！
通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法？
我来告诉你（经验之谈）
（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（3）关于“唯一性”结论的命题；（4）一些不等量命题的证明；（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如平行线的传递性的证明）
(2)由90°＜∠B＜180°， 90°＜∠C＜180°，则 ∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾 .∴两个底角都是钝角这个假设也不成立．故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角.
说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。
万事开头难，让我们走好第一步！
写出下列各结论的反面：（1）a//b；（2）a≥0；
（3）b是正数；（4）a⊥b
a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
感受反证法:
尝试解决问题
１.求证：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．已知：在△ABC中，AB≠AC。求证：∠B ≠ ∠C 证明：假设∠B = ∠C。所以AB=AC（等角对等边）
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
∴BD∥CE （平行四边形对边平行）
例2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．

北师大选修2-2 1.3 反证法

这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
例3
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
A O P C B D
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、 CD不被P平分.
证法二
假设弦AB、CD被P平分，证明：连结 AD、BD、BC、AC,
自相矛盾
例3
用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
证法一证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
D
C
B 由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有与已有定理 OP⊥AB，OP⊥CD，矛盾即过点P有两条直线与OP都垂直，
1.3
反证法
复习：直接证明
(1)综合法——由因导果
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
(2)分析法—— 执果索因
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显成立的结论
引入：
从前有个聪明的孩子叫王戎。他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.
假设方程ax-b 0(a 0)至少存在两个根
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b
∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2） =0
∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
与已知条件矛盾

【赢在课堂】2016高考数学 1.3反证法课件北师大版选修2-2

1
2
练一练
用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时, 假设正确的是( ) A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度解析:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,即“三内角都大于 60 度”,故选 B. 答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一用反证法证明否定性命题
若待证命题是否定形式,如“不是”,“都不是”等形式的命题时,用直接法证明将困难重重,此时应考虑用反证法证明.
典例提升 1
求证:当 x2+bx+c2=0 有两个不相等的非零实数根时,bc≠0. 思路分析:因为结论中含有否定词,因此,可考虑用反证法.
点评
若结论的反面有多种情况,应逐个否定,这种方法称为“穷举法”.运用反证法证明命题的一般步骤:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
1 1 1 �� 变式训练 1�� 证明:无论 x,y 取任何非零实数,等式 + = 总不 �� +��
∴ 假设不成立,原命题成立.即 b 唯一.
探究一
探究二
探究三
探究四
�� 变式训练 3�� 求证:方程 2 =3 有唯一的实根,并求出此根.
x
证明:假设方程 2x=3 有两个根 x1,x2(x1≠x2). 则2�� 1 =3,2�� 2 =3. 两式相除得2 �� 1 -�� 2 =1. 则 x1-x2=0,这与 x1≠x2 矛盾. 故方程 2x=3 有唯一实根. 由 2x=3,得 x=log23,故方程的实根为 x=log23.

(教师用书)高中数学 1.3 反证法同步课件北师大版选修22

已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2 ＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
【思路探究】
假设三条抛物线都不与 x轴有两个不同的交点
→
演绎推理，利用 Δ≤0得出矛盾
→ 原命题得证
【自主解答】
假设题设中的函数确定的三条抛物线
与教材公理抵触；与此前定理不相容； (2)而C不合理与本题题设冲突；与临时假定违背；自相矛盾； (3)因此结论C不成立，原命题正确.
1．如果两个数之和为正数，则这两个数( A．一个是正数，一个是负数 C．至少有一个是正数【解析】
)
B．两个都是正数 D．两个都是负数
§ 3
反证法
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生发现间接证明的方法——反证法，探索反证法原理； (2)掌握反证法证题的基本步骤及利用反证法证明相关的数学问题．
2．过程与方法通过对具体命题的证明及探究，培养学生逆向思维能力；培养学生揭示反证法本质特征的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对具体数学命题的证明方法的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会“正难则反”这一解决问题的策略． (2)通过本节学习和运用实践，体会反证法的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方法解决问题、认识世界．
“两个数之和为正数”可能为“一个是正
数，一个是负数”，“两个都是正数”“一个是正数，一个是零”即“至少有一个是正数”．故选C.
【答案】 C
2．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y” 的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外” 的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”，其中，正确的叙述有( A．0个

高中数学课件-1.3 反证法课件(北师大版选修2-2)

(2)假设存在 x0<0(x0≠－1)满足 f(x0)＝0，则 ax0＝－ xx00－＋21.
又 0<ax0<1，所以 0<－xx00－＋21<1，即12<x0<2，与假设矛盾．
故 x0<0 不成立，故方程 f(x)＝0 没有负实数根．
• [点评] 本题第(2)问如果不用反证法证明也可以利用第(1)问函数单调性证明，即x< －1时，f(x)>0，－1<x≤0时，f(x)≤f(0)＝－1，故当x<0时，f(x)≠0，所以无负实数根．
• “至少”“至多”型命题
已知 f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，求证：|f(1)|， |f(2)|中至少有一个不小于12.
[分析] “|f(1)|，|f(2)|中至少有一个小于12”包括三种情况，由条件不易分别证明这三种情况，考虑从反面 “|f(1)|，|f(2)|全部小于12”证明．
[解析] 假设|f(1)|，|f(2)|中没有一个大于或等于12，即
• 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．
• 常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；
• (2)与假设矛盾； • (3)与公认的简单事实矛盾．
• 2．适宜用反证法证明的数学命题 • (1)结论本身是以否定形式出现的一类命题； • (2)关于唯一性、存在性的命题； • (3)结论是以“至多”“至少”等形式出现
• 用反证法证明问题，一般由证明p⇒q，转向证明¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾或与某个真命题矛盾，从而到判断¬q为假，得出q为
真．反证法，不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从证：当 x2＋bx＋c2＝0 有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.

1.3_反证法_课件(北师大选修2-2)

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