【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练34 数列的综合应用理北师大版

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2017届高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练30等比数列及其前n项和文北师大版

计时双基练三十等比数列及其前n 项和A 组基础必做1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析根据等比数列的性质，若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)，则a m ，a k ，a n 成等比数列。

答案 D2．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18解析 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2。

又a 4＝a 1q 3，且a 1＝14，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12。

答案 C3．已知数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz ＝( ) A ．－4 B ．±4 C ．－2 2D ．±2 2解析根据等比数列的性质，xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2，又y－1＝q 2(q 为公比)，故y <0，所以y ＝－2，所以xyz ＝－22。

答案 C4．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n(n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n，从而得a n ＝2n。

解法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)。

【10份】2017高考数学文(北师大版)一轮复习计时双基练及答案31-40

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝1－关于n单调递增，
∴≤Sn<1。
B组培优演练
1．(2015·河北保定重点中学联考)已知数列{an}满足a1＝15，＝2，则的最小值为()
A．7B．2－1
C．9D.
【详细分析】∵an＋1－an＝2n，∴a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，将以上n－1个式子相加，得an－a1＝2(1＋2＋3＋…＋n－1)＝＝n2－n，∴an＝n2－n＋15，∴＝n＋－1，令g(x)＝x＋－1，g′(x)＝1－＝，当x∈[0,3]时，g′(x)<0，当x∈[4，＋∞)时，g′(x)>0，g(3)＝3＋5－1＝7，g(4)＝4＋－1＝，故最小值为，故选D。
又
①－②，得an＋1＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)。
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列。
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
故是首项为，公差为的等差数列。
∴＝＋(n－1)·＝，
得an＝(3n－1)·2n－2。
∴前2 015项乘积为a1a2a3＝3。
答案3
10．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2。
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式。
解(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝S2＝4a1＋2。
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3。
－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝。

2017届高考数学大一轮复习第五章数列 5.5 数列的综合应用课时规范训练理北师大版

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第五章数列 5.5 数列的综合应用课时规范训练理北师大版[A 级基础演练]1．(2016·孝感模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N ＋)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20解析：由题意，知S n ＋1－S nn ＋－n＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2.∴a n ＝3n －5. 因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10. ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40. 答案：B2．(2016·重庆模拟)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n2，则a n ＝( )A.13·2n －1 B.12·3n －1 C.12n D.n3n 解析：令n ＝1，得a 1＝12，排除A 、D ；再令n ＝2，得a 2＝16，排除C ，故选B.答案：B3．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．①和⑳B ．⑨和⑩C ．⑨和⑪D ．⑩和⑪解析：法一：设树苗放在第n 个坑，且不妨设相邻两坑相距1米，则前n 个坑到第n 个坑的距离分别为|n －1|，|n －2|，…，2,1,0.其和为S 1＝|n －1|＋|n －2|＋…＋2＋1＋0 ＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋0＝n －n2.后面各坑到第n 个坑的距离分别为1,2，…，20－n ，其和为S 2＝1＋2＋3＋…＋20－n ＝＋20－n－n2，∴各坑到第n 个坑的距离和为S ＝S 1＋S 2＝12(n 2－n ＋n 2－41n ＋420)＝n 2－21n ＋210.当n ＝212时，S 最小．又∵n ∈N ＋，∴n ＝10或n ＝11时，S 最小．法二：(估算法)分别计算树苗放在第1,9,10,11个坑时，各坑到其距离之和．当树苗放在第一个坑时，各坑到其距离和为S 1＝1＋2＋3＋…＋19＝190；当树苗放在第九个坑时，各坑到其距离和为S 2＝8＋7＋6＋…＋1＋0＋1＋2＋3＋…＋11＝36＋66＝102；当树苗放在第十个坑时，各坑到其距离和为S 3＝9＋8＋7＋…＋1＋0＋1＋2＋…＋10＝100.易知树苗放在第十一个坑时，各坑到其距离和S 4＝S 3＝100.故D. 答案：D4．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1且n ∈N ＋)满足y ＝2x －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.解析：a n ＝2a n －1－1⇒a n －1＝2(a n －1－1)， ∴{a n －1}是等比数列，则a n ＝2n －1＋1.∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝10＋(20＋21＋22＋…＋29) ＝10＋1－2101－2＝1 033.答案：1 0335．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N ＋)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N ＋)，得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝＋2＝10 100.答案：10 1006．(2015·南宁模拟)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励．解析：设第十名到第一名得到的资金分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，∴a 1＝2，又a n －1＝12S n －1＋1(n ≥2)，故a n －a n －1＝12a n .∴a n ＝2a n －1则每人所得资金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S 10＝－2101－2＝2 046.答案：2 0467．(2015·高考四川卷)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .8．(2014·高考湖北卷)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋n －2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.[B 级能力突破]1．(2016·淮安模拟)已知a n ＝sinn π6＋162＋sinn π6(n ∈N ＋)，则数列{a n }的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D.193解析：令t ＝2＋sinn π6(1≤t ≤3)，则a n ＝f (t )＝t ＋16t －2，f ′(t )＝1－16t2<0，∴f (t )在其定义域上单调递减，∴当t ＝3，即sinn π6＝1时，a n 取得最小值193，故选D. 答案：D2．(2016·赣州模拟)已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200解析：∵a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)]＋[f (2)＋f (3)]＋[f (3)＋f (4)]＋…＋[f (100)＋f (101)]＝[(32－22)＋(52－42)＋(72－62)＋…＋(1012－1002)]＋[(12－22)＋(32－42)＋(52－62)＋…＋(992－1002)]＝(5＋9＋13＋…＋201)－(3＋7＋11＋…＋199)＝100.答案：B3．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间为( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析：设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n n －d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n＝15.答案：C4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 0005．(2016·泉州模拟)设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N ＋.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.解析：根据等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1－q n1－q，则T n ＝17×a 1－q n1－q－a 1－q 2n1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16－q q n ＝11－q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17，令q n＝(2)n＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4.答案：46．(2016·黄冈模拟)某企业2014年初贷款a 万元，年利率为r ，按复利计算，从2014年末开始，每年偿还一定金额，计划第5年还清，则每年应偿还的金额为________万元．解析：假设每年还x 万元，则有x (1＋r )4＋x (1＋r )3＋x (1＋r )2＋x (1＋r )＋x ＝a (1＋r )5， ∴x ＋r5－1]r＝a (1＋r )5，即x [(1＋r )5－1]＝ar (1＋r )5，∴x ＝ar ＋r 5＋r5－1. 答案：ar＋r5＋r 5－17．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 1≤n ≤25125n ， 26≤n ≤60(单位：万元，n ∈N ＋)，记第n 天的利润率b n ＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 338＋a 1＋a 2.(1)求b 1，b 2的值； (2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．解：(1)当n ＝1时，b 1＝138；当n ＝2时，b 2＝139.(2)当1≤n ≤25时，a 1＝a 2＝…＝a n －1＝a n ＝1. ∴b n ＝a n 38＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝138＋n －1＝137＋n.当26≤n ≤60时，b n ＝a n38＋a 1＋…＋a 25＋a 26＋…＋a n －1＝n2563＋n －n ＋50＝2nn 2－n ＋2 500，∴第n 天的利润率b n＝⎩⎪⎨⎪⎧137＋n ， 1≤n ≤252nn 2－n ＋2 500， 26≤n ≤60(n ∈N ＋)．(3)当1≤n ≤25时，b n ＝137＋n 是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝138；当26≤n ≤60时， b n ＝2n n 2－n ＋2 500＝2n ＋2 500n－1≤22 2 500－1＝299⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当n ＝2 500n ，即n ＝50时，“＝”成立.又∵138>299，∴n ＝1时，(b n )max ＝138.∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为138.。

《名师一号》2016届高三数学一轮总复习基础练习第五章数列5-1

第一节数列的概念与简单表示法时间：45分钟分值：100分基础必做一、选择题1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)解析将0写成01，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n －1)，n ∈N *；分母为奇数列，可表示为2n －1，n ∈N *，故选C.答案 C2．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )A.56 B.65 C.130D ．30解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.答案 D3．(2015·福建安溪月考)数列{a n }满足：a 1＝1，且当n ≥2时，a n＝n －1n a n －1，则a 5＝( )A.15B.16 C ．5D ．6解析因为a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1n a n －1，则a n a n －1＝n －1n .所以a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝45×34×23×12×1＝15.故选A.答案 A4．数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对所有正整数n 都成立，则a 10等于( )A ．34B ．55C ．89D ．100解析 a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 3＋a 2＝3，a 5＝a 4＋a 3＝5，a 6＝a 5＋a 4＝8，a 7＝a 6＋a 5＝13，a 8＝a 7＋a 6＝21，a 9＝a 8＋a 7＝34，a 10＝a 9＋a 8＝55.答案 B5．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *都有a m ＋n＝a m ·a n ，若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *都有a m＋n＝a m ·a n ，所以a 12＝a 6·a 6＝642，又a 6＝a 3·a 3，所以a 3＝8，所以a 12＝a 9·a 3，解得a 9＝6428＝512.故选C.答案 C6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}解析因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.而a nn ≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ＝1,2,3,4. 答案 B 二、填空题7．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是此数列中的第________项．解析将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n 组n 个，⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝ ⎛ 1n ，⎭⎪⎫2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.答案 508．数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．解析易知a 1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令a n ≥0，则－n 2＋10n ＋11≥0，∴－1≤n ≤11，可见，当n ＝11时，a 11＝0，故a 10是最后一个正项，a 11＝0，故前10或11项和最大．答案 10或119．(2015·广州模拟)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则数列{a n }的通项公式为________．解析 ∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式左右两边分别相减得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n (n ≥2)．由题意知，a 1＝13，符合上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)．答案 a n ＝13n (n ∈N *) 三、解答题10．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)记b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，∴数列{b n }是首项b 1＝a －3，公比为2的等比数列．因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)×2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知，S n ＝3n ＋(a －3)×2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)×2n －1－3n －1－(a －3)×2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)×2n －2 ＝2n －2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， ∵a n ＋1≥a n ，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0，∴a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1，综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．培优演练1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n ，则满足a n ＋1<a n 的n的取值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析由a n ＋1<a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n ＝8(9－2n )(11－2n )<0，解得92<n <112，又n ∈N *，∴n ＝5.答案 C2．(2014·广东三校期末联考)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝( )A ．－27 B.27 C ．－37D.37解析 a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，….归纳可知当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n＝37.故a 1 413－a 1 314＝37.答案 D3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图所示．他们研究过图中的1,5,12,22，…，由于这些数能够表示成五角形，将其称为五角形数，若按此规律继续下去，第n 个五角形数a n ＝________.解析观察图形，发现a 1＝1，a 2＝a 1＋4，a 3＝a 2＋7，a 4＝a 3＋10，猜测当n ≥2时，a n ＝a n －1＋3n －2，所以a n －a n －1＝3n －2，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(3n －2)＋[3(n －1)－2]＋…＋(3×2－2)＋1＝32n 2－12n .答案 32n 2－12n4．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9. 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a2<6，∴－10<a <－8.。

【10份】2017高考数学理(北师大版)一轮复习计时双基练及答案1-10

【10份】2017高考数学理（北师大版）一轮复习计时双基练1-10目录计时双基练一集合 (1)计时双基练二命题及其关系、充分条件与必要条件 (6)计时双基练三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (12)计时双基练四函数及其表示 (18)计时双基练五函数的单调性与最值 (23)计时双基练六函数的奇偶性与周期性 (30)计时双基练七二次函数与幂函数 (36)计时双基练八指数与指数函数 (42)计时双基练九对数与对数函数 (48)计时双基练十函数的图像 (55)计时双基练一集合A组基础必做1．下列集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}【详细分析】选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合，选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合，选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合，对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合。

答案 B2．(2015·重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A【详细分析】因为A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B A。

答案 D3．(2015·陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝() A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]【详细分析】解x2＝x，得x＝0或x＝1，故M＝{0,1}。

解lg x≤0，得0<x≤1，故N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，选A。

2017届高考数学大一轮复习第五章数列理北师大版

第1课时数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．` 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项．2．数列的分类3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为N ＋或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式． [基础自测]1．(教材改编题)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝29－9n ，则在下列各数中，不是{a n }的项的是( ) A ．20 B ．11 C ．－2D ．－7解析：由29－9n ＝－2得n ＝319∉N ＋，故选C.答案：C2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32D ．33解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a n ＝2a n －1＋1得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，a 5＝2a 4＋1＝31，故选B.答案：B3．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．不确定解析：∵a n ＋1－a n ＝3>0，∴a n ＋1>a n ，故数列{a n }为递增数列．答案：A4．已知数列{a n }的前n 项的和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1 ＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1，n ≥25．下列有四种对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是惟一的．其中说法正确的所有序号是________．解析：由数列与函数的关系可知①③正确，由数列的分类可知②错误，显然④错．答案：①③考点一由数列的前几项求数列的通项公式第五章数列[例1] 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；23456(4)3,33,333,3333，….审题视点先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3 ，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n－1)．根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n2n ＋1 B.n 2n －1 C.n 2n －3D.n 2n ＋3解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.答案：B2．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；248163264(4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…； (6)9,99,999,999 9，….解析：(1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{}n 2，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－n2或a n ＝1＋cos n π2.(6)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n－1.考点二由递推公式求数列的通项公式[例2] 根据下列条件，求数列的通项公式a n . (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2na n ； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (4)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3； (5)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1.审题视点 (1)由a n ＋1＝a n ＋2n 得a n ＋1－a n ＝2n，可采用累加求和的方法； (2)由a n ＋1＝n ＋2n a n 得a n ＋1a n ＝n ＋2n，可采用累乘的方法； (3)可构造等比数列求解；(4)由条件可知a n >0，可采用两边取对数的方法求解； (5)利用a n ＝S n －S n －1求解．解 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以a n －a 1＝－2n －11－2，即a n －a 1＝2n－2，所以a n ＝2n －2＋a 1＝2n－1.当n ＝1时，a 1＝1也符合，所以a n ＝2n－1(n ∈N ＋)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋2.所以当n ≥2时，a n ＝n n ＋2a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N ＋)．(3)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列．所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N ＋)．(4)由已知，a n >0，在递推关系式两边取对数，有lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 3.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 3. 所以b n ＋1＋lg3＝2(b n ＋lg 3)，所以{b n ＋lg 3}是等比数列．所以b n ＋lg 3＝2n －1·2lg 3＝2nlg 3.所以b n ＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg a n . 所以a n ＝32n－1.(5)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5；又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2.(1)数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中{f (n )}的前有限项可求和．此种类型的数列求通项公式时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项公式的一种重要方法．(2)数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中{g (n )}的前n 项的乘积容易化简．此数列求通项公式一般采用累乘法． (3)数列递推关系形如a n ＋1＝c ·a n ＋d (c 、d 为常数)求通项公式常用构造新数列法．(4)数列的递推关系形如a n ＋1＝pa rn (p 、r 为常数，且p >0，a n >0)，求a n 时一般采用递推关系式两边取对数的方法．(5)数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．1．(2016·菏泽高三检测)已知数列{}a n 中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{}a n 的通项公式a n ＝__________. 解析：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n. ∴当n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2. 将以上各式累乘求得a na 1＝n ， ∴a n ＝n ，而n ＝1也适合． ∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n2．(2016·山东临沂模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.答案：a n ＝2·3n －1－1考点三数列的函数特性[例3] 已知函数f (x )＝x 2x 2＋1，设f (n )＝a n (n ∈N ＋)．(1)求证：a n <1；(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？审题视点 (1)分式分解；(2)作差：a n ＋1－a n 后判断．解析 (1)证明：a n ＝f (n )＝n 2n 2＋1＝n 2＋1－1n 2＋1＝1－1n 2＋1.∵n 2＋1>0，∴1n 2＋1>0，∴1－1n 2＋1<1. 即a n <1.(2)法一：a n ＋1－a n ＝n ＋2n ＋2＋1－n 2n 2＋1＝n ＋2n 2＋－n2n ＋2＋1]n 2＋n ＋2＋1]＝2n ＋1n 2＋n ＋2＋1]. ∵n ∈N ＋，∴上式>0，即a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . 故数列{a n }是递增数列．法二：由(1)知a n ＝1－1n 2＋1，易判断该函数是增函数， ∴{a n }是递增数列．(1)数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，以及转化思想也是解题的常用方法．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图像等方法．(3)若求最大项a n ，则a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1；若求最小项a n ，则a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.1．(2016·福州八中质检)已知数列{a 2n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2016＝________. 解析：∵a 1＝1， ∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1， a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，∴a 2016＝a 2＝0. 答案：02．(2016·大连市高三检测)已知数列{}a n 是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a na n，若对任意的n ∈N ＋，都有b n ≥b 8成立，则实数a的取值范围为__________．解析：依题意得b n ＝1＋1a n ，对任意的n ∈N ＋，都有b n ≥b 8，即数列{}b n 的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{}a n 是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0a ＋8>0，由此解得－8<a <－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．答案：(－8，－7)由递推关系求通项公式[典例] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解题指南 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1S n ＝n ＋23a n 赋值求解．(2)利用累乘法求解．【解】 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.2分由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.4分(2)由题设知a 1＝1. 当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.8分于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.10分将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2.12分【思维流程】逐步赋值，求a 2，a 3.作差、整理．累乘求a n .阅卷点评本题主要考查了利用赋值法求数列中的项，以及利用a n 与S n 的关系及累乘法求a n 等，要求考生有一定的分析问题和解决问题的能力，难度适中．失分警示 (1)做题不得法，没有掌握正确的推理方法，惊慌失措，欲速则不达． (2)思路不明，想不到用累乘法，致使无从下手．备考建议 (1)在复习备考中，应该掌握求通项公式最基本、最常用的规律和方法，如观察法、累加法、累乘法、构造新数列的方法等，并能在解题时熟练应用；(2)对有些求通项公式的题目，可能无法直接看出选择哪种方法求解，此时一方面要看题目中的提示信息(解答题中)，另一方面，也可以采用归纳—猜想—证明的方法．◆一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．◆三种思路已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列； (3)逐项累加或累乘法．课时规范训练 [A 级基础演练]1．(2016·三亚模拟)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的第________项．( ) A ．16 B ．24 C ．26D ．28解析：因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C. 答案：C2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C ，故选C. 答案：C3．(2016·保定高三调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( ) A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2n －2解析：由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1. 答案：A4．(2016·江南十校联考)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{}a n 的通项公式为__________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥25．(2016·云南文山检测)设S n 是数列{a n }的前n 项和，如果S n ＝3a n －2，那么数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3a 1－2，解得a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝3a n －2，S n －1＝3a n －1－2，两式相减得a n ＝3a n －3a n －1，故a n a n －1＝32，数列{a n }为首项为1，公比为32的等比数列，其通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －16．(2016·山东日照模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 解析：因为(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0，所以(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又a n ＋1＋a n >0，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a na n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，所以a n ＝1n.答案：1n7．(2016·汉中调研)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)，a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性．可知1>a 1>a 2>a 3>a 4；a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N ＋)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n n ，23n ＝(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，即c n ＋1<c n ，∴{c n }是递减数列．[B 级能力突破]1．(2016·长春质量检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1B.2n n ＋C.6n ＋n ＋D.5－2n 3解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n n ＋，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n n ＋，故选B.答案：B2．(2016·东北三校联考)已知数列{a n }满足：a n ＝13n 3－54n 2＋3＋m ，若数列的最小项为1，则m 的值为( )A.14 B.13 C ．－14D ．－13解析：令f (x )＝13x 3－54x 2＋3＋m ，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－52x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞时，f ′(x )>0，故x ＝52为函数f (x )的极小值点，也是最小值点．由于n ∈N ＋，且a 2＝23＋m ，a 3＝34＋m ，故a 2<a 3，即a 2为数列{a n }的最小项，故23＋m ＝1，解得m＝13，故选B.答案：B3．(2016·南昌一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n －a n －1|＝13n (n ∈N ，n ≥2)，且{a 2n －1}是递减数列，{a 2n }是递增数列，则12a 10＝( )A ．6－1310 B ．6－139C ．11－1310D ．11－139解析：由于{a 2n －1}是递减数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1<0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)<0 ①.因为132n ＋1<132n ，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1| ②.由①②知a 2n －a 2n －1<0.因为{a 2n }是递增数列，所以a 2n ＋2－a 2n >0，a 2n ＋2－a 2n ＋1＋a 2n ＋1－a 2n >0，|a 2n ＋2－a 2n ＋1|<|a 2n ＋1－a 2n |，所以a 2n ＋1－a 2n >0，所以a 10＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 10－a 9)＝1－132＋133－…－1310＝1＋－132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1391＋13＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－139，故12a 10＝11－139，∴选D.答案：D4．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N ＋.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________ 解析：函数y ＝x 2(x >0)在点(a 1，a 21)处(a 1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0，得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(a 2，a 22)处(a 2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)．令y ＝0，得a 3＝4，依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：215．(2016·大连模拟)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)，又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n＝n ＋33n－1.令f (x )＝x ＋33x －1(x ＞0)，则f ′(x )＝1－33x2，令f ′(x )＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0，当x ＞33时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增．又5＜33＜6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋336－1＝212，∴f (5)＞f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.答案：2126．(2015·高考课标卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n7．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a >0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N ＋)，定义所有满足c m ·c m ＋1<0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝0或a ＝4. 又由a >0得a ＝4， ∴f (x )＝x 2－4x ＋4. ∴S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝，2n －n(2)由题设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 n ＝，1－42n －5 n由1－42n －5＝2n －92n －5可知，当n ≥5时，恒有a n >0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，即c 1·c 2<0，c 2·c 3<0，c 4·c 5<0， ∴数列{c n }的变号数为3.第2课时等差数列及其前n 项和1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)．2．等差数列的有关公式数列{a n }是等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n n －2d ＝n a 1＋a n2.3.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)已知等差数列中任意两项a m 、a n ，则d ＝a m －a nm －n. (3)等差数列的单调性设d 为等差数列{a n }的公差，则当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列． (4)①若数列{a n }成等差数列，则{pa n ＋q }(p ，q 为常数)也成等差数列； ②若数列{a n }成等差数列，则{a pn ＋q }(p ，q ∈N ＋)也成等差数列； ③若数列{a n }和{b n }成等差数列，则{a n ±b n }也成等差数列；④等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列． [基础自测]1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：∵d ＝a 3－a 2＝2，∴a 10＝a 2＋(10－2)d ＝2＋8×2＝18. 答案：D2．(教材改编题)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：∵2a 5＝a 2＋a 8＝12，∴a 5＝6. 答案：C3．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33D ．34解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝2S 5＝5a 1＋5×42d ＝30解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263d ＝－43∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×263－28×43＝32.答案：B4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.解析：由题意知6⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －5⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d )＝15a 4＝5，故a 4＝13. 答案：135．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项的和S 10＝________.解析：根据⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故a 10＝a 1＋9d ＝1＋9×2＝19. ∴S 10＝a 1＋a 102＝＋2＝100.答案：100考点一等差数列的判定或证明[例1] 若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＞52成立的最小的正整数n .审题视点由题设条件构造(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)的值，并累加求和．解 (1)证明：由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得：a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝3⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＞52， ∴n ＞5，n 的最小值为6.等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N ＋)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．1．(2016·河南内黄月考)已知函数y ＝f (x )对任意的实数x 都有1fx ＋＝1f x ＋＋1，且f (1)＝1，则f (2 016)＝( )A.12 015 B.12 016C ．2 014D ．2 015解析：由已知可得1fx ＋－1fx ＋＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fx为等差数列，又1f ＝1，d ＝1，则1f x＝x ，即1f＝2 016，故f (2 016)＝12 016. 答案：B2．设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d ，若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1. 在上式两端同乘以a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )．即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n }是等差数列．考点二等差数列基本量的计算[例2] (1)等差数列{a n }的前7项和等于前2项和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. (2)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11审题视点在等差数列{a n }的a n ，S n ，a 1，d ，n 的五个量中，知其三，求其二．解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得7×1＋7×62d ＝2＋d ，解得d ＝－14，则a k ＋a 4＝2＋(k ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝0，由此解得k ＝6. (2)由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10，选择C. 答案 (1)6 (2)C①此类问题的通法是把条件转化为a 1与d 的方程(组)，进而可求其它问题． ②结合性质求解，可简化计算．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192 C ．10D ．12解析：∵等差数列的公差为1， ∴S 8＝8a 1＋－2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：5考点三等差数列的性质及应用[例3] (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 015(a 4－1)＝1，(a 2 012－1)3＋2 015(a 2 012－1)＝－1，则下列结论中正确的是( )A ．S 2 015＝2 015，a 2 012＜a 4B ．S 2 015＝2 015，a 2 012＞a 4C ．S 2 015＝2 014，a 2 012≤a 4D ．S 2 015＝2 014，a 2 012≥a 4(2)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( ) A ．18 B ．19 C ．20 D.21审题视点 (1)S 2 015＝a 1＋a 2 0152＝a 4＋a 2 0122.(2)求S n 为n 的二次函数，求最值．解析 (1)设f (x )＝x 3＋2 015x ，显然f (x )为奇函数和增函数，由已知得f (a 4－1)＝－f (a 2 012－1)，所以f (a 4－1)＝f (－a 2 012＋1)，a 4－1＝－a 2 012＋1，a 4＋a 2 012＝2，S 2 015＝a 1＋a 2 0152＝2 015，显然1＞－1，即f (a 4－1)＞f (a 2 012－1)，又f (x )为增函数，故a 4－1＞a 2 012－1，即a 4＞a 2 012.(2)a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.答案 (1)A (2)C(1)本题的解题关键是将性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 与前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．(2)等差数列的最值的处理方法：①利用S n ＝an 2＋bn 转化为二次函数最值时要注意n 的取值． ②若{a n }是等差数列，求其前n 项和的最值时，(ⅰ)若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1＜0，前n 项和S n 最大．(ⅱ)若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1＞0，前n 项和S n 最小．1．(2015·高考课标卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：法一：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝5，故选A.法二：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， ∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3， ∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.答案：A2．(2015·高考广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案：10整体思想在数列解题中的应用[典例] 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176解题指南在等差数列中若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 进而得到a 1＋a 11＝a 4＋a 8，再用等差数列的前n 项和公式计算即可．解析由于{a n }为等差数列，所以a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，∴S 11＝a 1＋a 112＝a 4＋a 82＝16×112＝88.故选B.答案 B阅卷点评本题应用了等差数列的性质，实质是把a 4＋a 8看作了一个整体进行应用，避免了复杂的求a 1和d 的过程，解起来很方便，整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这要求学生要熟练掌握公式，理解其结构特征．失分警示本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误．备考建议 (1)熟练掌握等差数列各项性质，悉心研究每条性质的使用条件及其应用方法； (2)要认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．◆两种方法等差数列的证明方法：(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. ◆两个整体设S 奇、S 偶分别是等差数列{a n }中所有奇数项的和与所有偶数项的和．则 (1)当数列项数为偶数2n 时，有S 偶－S 奇＝nd ； (2)当数列项数为奇数2n ＋1时，有S 偶＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，S 奇＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 奇－S 偶＝a n ＋1，S 奇S 偶＝n ＋1n.课时规范训练 [A 级基础演练]1．(2014·高考福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.答案：C2．(2016·石家庄质检)已知等差数列{}a n 满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：C3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析：把2a 1a n 看成一个整体b n ，利用递减数列的关系式b n >b n ＋1求解．设b n ＝2a 1a n ，即b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.答案：C4．(2016·保定调研)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 7＝__________. 解析：设数列{}a n 的公差为d ，则由已知得(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝13 ①，S 7＝a 1＋a 1＋6d2＝35 ②.联立①②，解方程组得a 1＝2，d ＝1， ∴a 7＝a 1＋6d ＝8. 答案：85．(2016·日照模拟)等差数列{a n }的前m 项和为30，前3m 项和为90，则它的前2m 项和为________．解析：法一：由S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，可得2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，即S 2m ＝3S m ＋S 3m 3＝3×30＋903＝60.法二：由S n ＝na 1＋n n －2d ，得S n n ＝a 1＋(n －1)×d2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，d2为公差的等差数列，从而S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列，所以S m m ＋S 3m 3m ＝2×S 2m 2m ，所以S 2m ＝S 3m3＋S m ＝30＋30＝60. 答案：606．(2014·高考北京卷)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列的前8项和最大，即n ＝8. 答案：87．设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2. (2)证明：法一：对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k ) ＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2)＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．法二：对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 1－q k1－q ， S k ＋2＋S k ＋1＝a 1－q k ＋21－q＋a 1－q k ＋11－q＝a 1－q k ＋2－q k ＋11－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 1－q k1－q－a 1－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q[2(1－q k)－(2－qk ＋2－q k ＋1)]＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0，因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．8．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.[B 级能力突破]1．(2016·济南一模)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 016，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 016的值等于( )A ．－2 014B ．－2 015C ．－2 013D ．－2 016解析：∵S 1212－S 1010＝2，∴a 1＋a 12212－a 1＋a 10210＝2，故a 12－a 10＝4，∴2d ＝4，d ＝2.∴S 2 016＝2 016a 1＋－2＝－2 016.答案：D2．(2016·山西四校联考)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 8>0且S 9<0，则当S n 最大时n 的值是( ) A ．8 B ．4 C ．5 D ．3解析：a 1＋a 82＝a 4＋a 52>0，a 1＋a 92＝2a 52<0，所以a 4>0，a 5<0，即数列的前4项都是正数，所以选B.答案：B3．(2016·佳木斯模拟)若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24D ．23解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，由a n ＝－23n ＋473>0得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23.答案：D4．(2016·广州模拟)已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________. 解析：∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7，∴a 7＝173，∵a 4＋…＋a 14＝11a 9，∴a 9＝7，d ＝23，a k －a 9＝(k －9)d,13－7＝(k －9)×23，k ＝18.答案：185．(2016·河南郑州模拟)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 6b 6＝1941.答案：19416．(2016·江苏无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：2117．(2014·高考大纲全国卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1－3n－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n－3n.第3课时等比数列及其前n 项和1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的相关概念及公式(1)等比数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1时，{a n }是递增数列；满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1时，{a n }是递减数列．(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． (3)对任意正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a 2p ＝a m ·a n . [基础自测]1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：∵q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.答案：D2．在等比数列{a n }中，a 5＝3，则a 3·a 7等于( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．18解析：a 3·a 7＝a 25＝9. 答案：C3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11解析：由8a 2＋a 5＝0得a 1q (8＋q 3)＝0即q 3＝－8，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝1－q 51－q 2＝－11.答案：A4．(教材改编题)设{a n }是等比数列，a 1＝2，a 8＝256，则a 2＋a 3等于________．解析：∵a 8＝a 1q 7，∴q 7＝128，∴q ＝2，∴a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2＝4＋8＝12. 答案：125．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则S n 等于________．解析：∵a n ＋1＝2a n 即a n ＋1a n ＝2(n ∈N ＋)，∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴S n ＝1－2n1－2＝2n－1.答案：2n－1考点一等比数列的判定及证明[例1] 已知数列{a n }中，a 1＝23，a 2＝89.当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N ＋)．(1)证明：{a n ＋1－a n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项．审题视点构造a n ＋1－a n 与a n －a n －1的关系用累加法求a n . 解 (1)证明：数列{a n }中a 1＝23，a 2＝89，当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N ＋)． ∴当n ≥2时，3a n ＋1－3a n ＝a n －a n －1，即a n ＋1－a n ＝13(a n －a n －1)．∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝29为首项，以13为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，。

【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习第五章数列热点专题突破三数列的综合问题课件理

即 �� · �� +2 <Sn+1.
4 (2)bn= �� 15
��
4 + 3 + �� 5
��
2 + 1 + �� 5 4 5
=
4 4 ��3 + �� 15 5
1 an
1
【解题思路】(1)首先在 Sn=2an-a1 中令 n=2,3,通过建立方程可求得 a1,然后根据 an 与 Sn 的关系可求得{an}的通项公式;(2)根据合不等式可求得 n 的最小值. 的通项公式特点利用裂项相消法求得 Tn,进而结
【参考答案】(1)由已知 Sn=2an-a1, 有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), 即 an=2an-1(n≥2), 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列, 即 a1+a3=2(a2+1), 所以 a1+4a1=2(2a1+1), 解得 a1=2. 所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an=2n.
2 + an. 5
Tn= ∑ �� = ∑
�� =1
4 �� 3 �� =1 15
+ �� + �� = + 6) =
2 5
4 3 4 2 �� n+ ��n+ Sn, 15 5 5

2017理科全品一轮复习第5单元-数列-数学(理科)-新课标-全国卷地区

——2015 年其他省份类似高考真题 1． [2015· 江苏卷] 设数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1－an＝n＋1(n∈N*)， 1 则数列a 前 10 项的和为________． n
20 [答案] 11
[解析] 因为 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ n（n＋1） 1 2 n ＋ (n － 1) ＋ … ＋ 2 ＋ 1 ＝，所以＝ 2 an n（n＋1）＝
新课标（RJA) · 全国卷地区专用
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第五单元数列
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解：(1)由 an2＋2an＝4Sn＋3，可知 an＋12＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，可得 an＋12－an2＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即 2(an＋1＋an)＝an＋12－an2＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．又 an>0，所以 an＋1－an＝2. 又由 a12＋2a1＝4a1＋3，解得 a1＝－1(舍去)或 a1＝3，所以{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an＝2n＋ 1. (2)由 an＝2n＋1 可知 1 1 1 1 1 bn＝＝＝22n＋1－2n＋3 . anan＋1 （2n＋1）（2n＋3）设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 11 1 1 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝23－5＋5－
2 1 2 1 [解析] 因为 Sn＝3an＋3①，所以 Sn－1＝3an－1＋3②，①－②得 2 2 2 1 an＝3an－3an－1，即 an＝－2an－1，又因为 S1＝a1＝3a1＋3⇒a1＝1，所以数列{an}是以 1 为首项，－2 为公比的等比数列，所以 an ＝(－2)n－1.

2017届高考数学大一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和课时规范训练理北师大版

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n 项和课时规范训练理北师大版[A 级基础演练]1.（2014 •高考福建卷）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S ，若a i = 2,S 3= 12,则a 6等于（）A. 8B . 10C. 12D. 14=12，故选C.答案：C2. (2016 •石家庄质检)已知等差数列｛a n ｝满足a 2= 3, $—3= 51( n >3) , S= 100,则n 的值为()A. 8 B . 9 C. 10D. 11解析：由 S — Si -3= 51 得，a n - 2+ a n - 1 + a n = 51 ,n a 2 + a n -1所以 a n -1= 17,又 a 2 = 3, Si = = 100,解得n = 10. 答案：C3.（2014 •高考辽宁卷）设等差数列｛a n ｝的公差为d .若数列｛2 a 1a n ｝为递减数列，则（）A. d <0B . d >0 C. a 1d <0D. a 1d >0解析：把2a 1a n 看成一个整体b n ，利用递减数列的关系式 b n >b n +1求解.设 b n = 2aa n ,即卩 b n +1= 2aa n +1,由于｛2 a 1a n ｝是递减数列，则 b n >b n + 1,即卩 2aa n >2a 1a n +1. y = 2 是单调增函数，二 a 1a n >a 1a n +1,「• a 1 a n — a 1 (a n + d )>0 , .°. a* a n — a n — d )>0 ,即 a 1 ( — d )>0 , ••• a 1d<0.答案：C4. (2016 •保定调研)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为 S,且a 3 + a s = 13, S= 35,则解析：设数列｛ an ｝的公差为 d ，则由已知得佝+ 2d ） + （a 1 + 7d ） = 13 ①，S ?= a 1+ a 1+ 6d_-2= 35 ②.联立①②，解方程组得 a 1 = 2, d = 1,解析：由题意知a 1= 2,由S= 3a 1 +3X2""2 X d = 12,解得 d = 2,所以 a 6 = a 1+ 5d = 2+ 5X2•- a7 = a1 + 6d= 8.答案：85. (2016 •日照模拟)等差数列｛刘的前m 项和为30,前3m 项和为90,则它的前2m 项和为 __________ .解析：法一：由 Sn , S am - S m , S m — S 2m 成等差数列，可得 2( S am - S ) = S m + S m — S 2m ,即卩 Smd得n = a i + (n — 1) X -,所以睿暹以a i 为首项，2为公差的等差数列,S° Sm S ^m从而m 2m 乔成等差数列，Sn Sm S 2mS 3m所以 + = 2X ，所以 Sm = + S m = 30 + 30= 60.m 3m 2m 3答案：606. _________________________________________________________________________ (2014 •咼考北京卷)若等差数列｛ a n ｝满足a 7 + a s + a 9>0, a 7 + a io <0,则当n = ______________________时，｛a n ｝的前n 项和最大.解析：T a ?+ a s + a 9= 3a s >0,- a s >0.a 7 + a i0 = a s + a 9<0,.°. a 9<— a s <0.•••数列的前8项和最大，即n = 8. 答案：87. 设｛a n ｝是公比不为i 的等比数列，其前 n 项和为S,且a 5, a s , a 4成等差数列.(1) 求数列｛a n ｝的公比；(2) 证明：对任意k € N+, S+ 2, S k , S k +1成等差数列.解：(1)设数列｛a n ｝的公比为q (q ^0, 1),由a 5, a a , a 4成等差数列，得 2a a = a 5+ a 4,243即 2a i q = aq + a i q ,2由 a i 工 0, q 工0 得 q + q — 2=0, 解得q i = — 2, q 2= 1(舍去)，所以q =— 2.(2)证明：法一：对任意k € N +,S k + 2 + S k + 1 — 2S k3X30+ 90 3=60.nS n = n a i + -n-12d ,3S m + S 3m=(S k+ 2—S k) + ( S k+ 1 —S) =a k+i + a k+2+ a k+1=2a k+1+ a k+1 • ( —2) = 0,所以，对任意k € N+, S +2, S , S +i 成等差数列.k + 2k + ia i 「q — qi -qa 1kk +2k +1==2(1 - q ) - (2 - q + - q + )]1―qka 1q 2=口(q + q -2)= 0,因此，对任意k € N+, S +2, s , S +1成等差数列.&在公差为d 的等差数列｛a n ｝中，已知a 1= 10,且a 1,2a 2+ 2,5 a 3成等比数列. (1) 求 d , a n ；(2) 若 d <0，求 | a 11 + | a 2| + | &| +…+ | a n |.解：(1)由题意得，a 「5a 3= (2a 2+ 2)2，由a 1= 10, ｛a n ｝为公差为d 的等差数列得，d 2 —3d — 4= 0, 解得d =- 1或d = 4.所以 a n =- n + 11( n € N)或 a n =4n + 6( n € N).(2)设数列｛a n ｝的前n 项和为S n .因为 d <0，由(1)得 d = — 1, a n = — n + 11, 所以当 n W 11 时，| a* + | a 2| + | a 3| +…+ | a n | = S =1 2 21-2n +7n；1 2 21| a 11 + | a 2| + | a 3| +…+ | a n | = — S+ 2Sn = q n — ? n + 110.综上所述，I af + | a 2| + | a 3| +…+ | a n |1 2 21-刃 + yn , n W 11, ! 1 2 21尹-刁+ 110, n 》12.法二：对任意 k € N+, 2S k =2a i1-q ka i S+ 2 + S k + 1 =—Tk + 21-q1-qa i 卜一□k +11-q2S k - ( S< +2+ S + i )2ai 1- q k1 - qk + 2 k + 1a - q - q1 - q当n > 12时,[B级能力突破]1. （2016 •济南一模）在等差数列｛a n｝中，a1=- 2 016，其前n项和为S,若詈—誥答案：D所以选B.答案:值为（解析：因为3a n +1= 3a n — 2,所以a n +1 — a n = — 3所以数列｛a n ｝是首项为15,公差为—2 、2 2 47 2 47的等差数列，所以a n = 15 — 3 •（ n — 1）=—尹+三，由a n = — -n + —>0得n <23.5，所以使a k • a k +1<0 的 k 值为 23.答案：D4. (2016 •广州模拟)已知数列｛ai ｝是等差数列，右a 4 + a ? + ai o = 17, a 4 + a 5 + a 6+…+a 12 + ai 3 + a 14= 77,且 a k = 13,贝V k = ____________ .解析： 17 .. . 2a 4 + a 7 + a 10= 3a 7，…a 7= 3 , * a 4+…+ an = 11 a 9，…a 9= 7, d = 3, & — a 9= (k 3 32—9) d, 13 — 7 = (k — 9) x 3, k = 18.3答案：185. （2016 •河南郑州模拟）设等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为S, T n ,若对任意正2,则S 2 016的值等于（）A.— 2 014B .—2 015 C.— 2 013D .—2 016 12 a 1 + a 12a 1 + ai 0$2 S02 2 解析：-12 10= 2,…1210= 2，故 a 12 — a 10= 4,. 2d = 4, d=2.S 2 016 = 2 016 a i +2 016.2. （2016 •山西四校联考）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,若S 8>0且S 9<0,则当S 最大时n 的值是（A. 8B.C. 5D.解析:a 1 + a 8 a 4 + a 5~2~ =>0,a 1+ a o 2a 52 = T<0,所以a 4>0, a s <0,即数列的前4项都是正数,3.（2016 •佳木斯模拟）若数列｛a n ｝满足 a 1= 15,且 3a n +1 = 3a n — 2，则使 a — a k +1<0 的 kA. 22 B.21C. 24D. 236. ________________________ (20i6 •江苏无锡一模)已知数列｛a n ｝中，a i = i , G = 2,当整数 n >i时，S+1 + S-1 =2( S+ S )都成立，则 S 5= _ .解析：由 S +i + S n — i = 2( S n + S i )得(S +1 — S n ) — (S — S — i ) = 2S i = 2,即 a n +1 — E n = 2( n 》2), 所以数列｛a n ｝从第二项起构成等差数列，则S e = i + 2 + 4+ 6+ 8 +…+ 28 = 2ii.答案：2ii7. (20i4 •高考大纲全国卷)等差数列｛a n ｝的前n 项和为$,已知a i = i0,a 2为整数，且 S < S.(1) 求｛a n ｝的通项公式；i(2) 设b n =，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .a “a n +1解：⑴ 由a i = 10, a 2为整数，知等差数列｛a n ｝的公差d 为整数. 又 Sw S,故 a 4>0, a 5< 0, 于是 10+ 3d 》0,10 + 4d < 0.105解得一—w d w —-.因此 d = — 3.3 2数列｛a n ｝的通项公式为a n = 13— 3n .1 ________ 1( 1 1 \⑵ bn =IU — 3n = 3 10— 3n — 13— 3n .13 — 3n整数n 都有S n = T n2n — 3 4n — 3a 9b 5+ b 7 a 3 8 + 4 的值为解析：因为｛a n ｝ , ｛b n ｝为等差数列,所以 a 9 a 3 a 9 a 3+ = ------------- 1 ---b e + b 7 b 8+ b 4 2b 6 2b 6 a 9 + a 3 a 6 2b 6 b 6S li a i + a ii T i b i + b ii2a 6 2X ii — 3 i9 2b^= 4X ii — 3 = 4i ，所以E 6=i94i答案:i94i。

【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习第五章数列第一节数列的概念与简单表示法课件理

3 5 7 1 1 1
(4) ,1, , ,„
2 10 17
3
7
9
【解题思路】观察数列各项与对应项号的关系,可从符号、分子、分母、平方关系等方面考查.(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1 表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5).(2)将数列变形为
Sn n 1 1 1
1
S1 1
=2+2 =
1
1
是以 1 为首 n, 当 n = 1, a1 = S1 =
1 2 1 2
1, 当 n ≥ 2 时, SS��−1 = (n − 1)2 + (n-1),两式相减得 an=n,从而得 a2016=2016. 【参考答案】 A
1.已知数列的通项公式 an =n2 -3n-1,n ∈N*,则: (1)这个数列的首项是 ; (1)-3 (2)17 是这个数列的第项; (2)6 (3)这个数列的第项最小; (3)1 或 2 (4)这个数列是不是一个等差数列 (填“是”或“否”). (4)否
2.数列 3,-2, 5,- 6,„的第 10 项为 A.-2 3 B.2 3 C. 11 D.- 13 2.A 【解析】观察得数列的通项公式为a�� =(−1)�� +1 n + 2, 当 n = 10 时, a10 =
【变式训练】
(2016· 山东枣庄八中月考) 已知等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn =3n +a,n ∈N* ,则实数 a 的值是 ( ) A.-3 B.3 C.-1 D. 1 C 【解析】由题可知当 n=1 时,a 1 =S1 =3+a,当 n ≥2 时,S n-1=3n-1 +a,所以 a n =S n -S n-1 =(3n +a )-(3n-1 +a)=2×3n-1 .由于{a n}为等比数列,所以 a 1=3+a 适合上式,即有 a 1 =3+a=2×31 -1 ⇒a=-1.

高考数学(理)大一轮复习顶层设计教师用书：第五章数列第一节数列的概念与简单表示法 Word版含答案

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数叫做这个数列的项。

(2)数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。

2．数列的通项公式 (1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2。

微点提醒1．数列是按一定顺序排列的一列数，数列{a n }为a 1，a 2，a 3，…，a n 。

而集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的元素没有顺序。

2．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。

求数列的通项公式就是找出数列的项a n 与项数n 的函数关系式。

根据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一。

3．数列不仅有递增数列、递减数列，还有常数列、摆动数列。

4．已知S n 求a n ，要对n ＝1和n ≥2两种情况进行讨论。

小|题|快|练一、走进教材1．(必修5P 31例3改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23【解析】由已知得，a 2＝1＋1a 1＝1＋11＝2，a 3＝1－1a 2＝1－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝1＋112＝3，a 5＝1－1a 4＝1－13＝23。

故选D 。

【答案】 D2．(必修5P 33A 组T 5改编)观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交所得的交点最多有________个。

【解析】依题意，设{a n }为n 条直线相交最多的交点个数，则a 2＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)，n ≥3，而a n －a n －1＝n －1，由累加法求得a n ＝1＋2＋…＋(n －1)＝n n －2，所以a 10＝10×92＝45。

2017届高考数学大一轮复习第五章数列 5.4 数列求和课时规范训练理北师大版

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第五章数列 5.4 数列求和课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2016·河北承德模拟)等差数列{a n}的前n项和为S n(n＝1,2,3，…)，当首项a1和公差d变化时，若a5＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中为定值的是( ) A．S17B．S18C．S15D．S16解析：由等差数列的性质得a5＋a11＝2a8，所以a5＋a8＋a11为定值，即a8为定值．又因为S 15＝a1＋a15 2＝15×2a82＝15a8，所以S15为定值．故选C.答案：C2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( )A．66 B．65C．61 D．56解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋＋2＝2＋64＝66.答案：A3．(2016·云南曲靖模拟)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n＋2－1的值为( ) A.n＋1n＋B.34－n＋1n＋C.34－12⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2 D.32－1n＋1＋1n＋2解析：∵1n ＋2－1＝1n2＋2n＝1n n＋＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n＋2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫32－1n＋1－1n＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.答案：C4．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845D ．1 830解析：当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3， ∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝＋2＝30×61＝1 830.答案：D5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________.解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1，所以S 2 017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007.答案：－1 0076．(2016·江西八所中学联考)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________.解析：∵a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k∈N ＋，∴S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.答案：－1 0077．(2015·高考天津卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N ＋，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，解得q 2＝4.又因为q >0，所以q ＝2，所以d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N ＋；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N ＋.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n－3，所以，S n ＝(2n －3)·2n＋3，n ∈N ＋8．(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1－qn1－q＝2n－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.[B 级能力突破]1．(2016·广东肇庆二模)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( )A ．130B ．325C ．676D ．1 300解析：设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252×13＝676.答案：C2．(2016·宜昌模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2bx 的图像在点A (0，f (0))处的切线l 与直线x －y ＋3＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn的前n 项和为S n ，则S 2 016的值为( ) A.2 0142 015B.2 0172 016C.2 0162 017D.2 0152 016解析：f ′(x )＝2x ＋2b ，由题意可知，f ′(0)＝2b ＝1， ∴b ＝12，即f (x )＝x 2＋x ，∴1f n＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1， ∴S 2 016＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016－12 017＝1－12 017＝2 0162 017.答案：C3．(2016·山东菏泽模拟)数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：∵a n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，由nn ＋1＝910得n ＝9， ∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0，其在y 轴上的截距为－9. 答案：B4．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：因为a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2，所以S 6＝1－261－2＝63.答案：635．在数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)na n ＝1，记S n 是数列{}a n 的前n 项和，则S 60＝__________.解析：依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{}a n 中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{}a n 中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.答案：4806．(2016·成都模拟)把公差d ＝2的等差数列{a n }的各项依次插入等比数列{b n }中，将{b n }按原顺序分成1项，2项，4项，…，2n －1项的各组，得到数列{c n }：b 1，a 1，b 2，b 3，a 2，b 4，b 5，b 6，b 7，a 3，…，数列{c n }的前n 项和为S n .若c 1＝1，c 2＝2，S 3＝134.则数列{c n }的前100项之和S 100＝________.解析：由已知得b 1＝1，a 1＝2，b 2＝14，令T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1，则T 6＝63，T 7＝127，∴数列{c n }的前100项中含有数列{a n }的前6项，含有数列{b n }的前94项，故S 100＝(b 1＋b 2＋…＋b 94)＋(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14941－14＋6×2＋6×52×2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤130－⎝ ⎛⎭⎪⎫12186.答案：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤130－⎝ ⎛⎭⎪⎫12186 7．(2016·山西四校联考)已知数列{}a n 、{}b n 满足a 1＝b 1＝1，a 2＝3，且S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)(n ≥2，n ∈N ＋)，其中S n 为数列{}a n 的前n 项和，又b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n 对任意n ∈N ＋都成立．(1)求数列{}a n 、{}b n 的通项公式； (2)求数列{}a n ·b n 的前n 项和T n .解：(1)∵S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，∴S n ＋2＋S n ＝2(S n ＋1＋1)，两式作差得：a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1， ∴当n ≥2时，数列{}a n 是等差数列，首项a 2为3，公差为2，∴a n ＝3＋2(n －2)＝2n－1(n ≥2)，又a 1＝1符合，∴a n ＝2n －1(n ≥1)． ∵b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n ， ∴b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －3b n －2＋2n －2b n －1＝a n －1，两式相减得：2n －1b n ＝a n －a n －1＝2，∴b n ＝22－n (n ≥2)，∵b 1＝1不满足，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，22－n，n ≥2.(2)设c n ＝a n ·b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －2－n，n ≥2，则T n ＝1＋3＋5×2－1＋7×2－2＋…＋(2n －1)×22－n，12T n ＝12＋3×2－1＋5×2－2＋7×2－3＋…＋(2n －1)×21－n ，两式作差得：12T n ＝72＋2×(2－1＋2－2＋…＋22－n )－(2n －1)×21－n＝72＋2×2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －21－12－(2n －1)×21－n＝112－(2n ＋3)×21－n， ∴T n ＝11－(2n ＋3)×22－n.。

高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练数列求和理北师大创新

计时双基练三十三数列求和A 组基础必做1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9 1－q 31－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116。

答案 C2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5d ＝5×3＝15。

答案 A3．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( )A.nn ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5n n ＋1解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1。

答案 B4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于( )A ．1 509B ．3 018C ．1 512D ．2 016解析因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1 k ∈N * ，1，n ＝2k k ∈N * ，故数列的前2016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝1 512。

2017届高考数学大一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课时规范训练文北师大版

第五章数列 5.1 数列的概念与简单表示法课时规范训练文北师大版[A 级基础演练]1．(2016·三亚模拟)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的第________项．( )A ．16B ．24C ．26D ．28解析：因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.答案：C2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C ，故选C.答案：C3．(2016·保定高三调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2n －2解析：由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1.答案：A4．(2016·江南十校联考)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{}a n 的通项公式为__________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥25．(2016·云南文山检测)设S n 是数列{a n }的前n 项和，如果S n ＝3a n －2，那么数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3a 1－2，解得a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝3a n －2，S n －1＝3a n －1－2，两式相减得a n ＝3a n －3a n －1，故a n a n －1＝32，数列{a n }为首项为1，公比为32的等比数列，其通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －16．(2016·山东日照模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.解析：因为(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0，所以(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又a n ＋1＋a n >0，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a na n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，所以a n ＝1n.答案：1n7．(2016·汉中调研)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)，a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性．可知1>a 1>a 2>a 3>a 4；a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N ＋)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n n ≥2，23n ＝1.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，即c n ＋1<c n ， ∴{c n }是递减数列．[B 级能力突破]1．(2016·长春质量检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( )A.13n －1B.2nn ＋1C.6n ＋1n ＋2D.5－2n3解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n－1从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n n ＋1，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2nn ＋1，故选B. 答案：B2．(2016·东北三校联考)已知数列{a n }满足：a n ＝13n 3－54n 2＋3＋m ，若数列的最小项为1，则m 的值为( )A.14 B.13 C ．－14D ．－13解析：令f (x )＝13x 3－54x 2＋3＋m ，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－52x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞时，f ′(x )>0，故x ＝52为函数f (x )的极小值点，也是最小值点．由于n ∈N ＋，且a 2＝23＋m ，a 3＝34＋m ，故a 2<a 3，即a 2为数列{a n }的最小项，故23＋m ＝1，解得m ＝13，故选B. 答案：B3．(2016·南昌一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n －a n －1|＝13n (n ∈N ，n ≥2)，且{a 2n －1}是递减数列，{a 2n }是递增数列，则12a 10＝( )A ．6－1310 B ．6－139C ．11－1310D ．11－139解析：由于{a 2n －1}是递减数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1<0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)<0 ①.因为132n ＋1<132n ，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1| ②.由①②知a 2n －a 2n －1<0.因为{a 2n }是递增数列，所以a 2n ＋2－a 2n >0，a 2n ＋2－a 2n ＋1＋a 2n ＋1－a 2n >0，|a 2n ＋2－a 2n ＋1|<|a 2n ＋1－a 2n |，所以a 2n ＋1－a 2n >0，所以a 10＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 10－a 9)＝1－132＋133－…－1310＝1＋－132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1391＋13＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－139，故12a 10＝11－139，∴选D.答案：D4．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N ＋.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________解析：函数y ＝x 2(x >0)在点(a 1，a 21)处(a 1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0，得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(a 2，a 22)处(a 2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)．令y ＝0，得a 3＝4，依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：215．(2016·大连模拟)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ， ∴a n －a n －1＝2(n －1)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)，又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n＝n ＋33n－1.令f (x )＝x ＋33x－1(x ＞0)，则f ′(x )＝1－33x2，令f ′(x )＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0，当x ＞33时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增．又5＜33＜6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋336－1＝212，∴f (5)＞f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.答案：2126．(2015·高考课标卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝__________.解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n7．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a >0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N ＋)，定义所有满足c m ·c m ＋1<0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝0或a ＝4. 又由a >0得a ＝4， ∴f (x )＝x 2－4x ＋4. ∴S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，2n －5 n ≥2.(2)由题设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 n ＝1，1－42n －5 n ≥2.由1－42n －5＝2n －92n －5可知，当n ≥5时，恒有a n >0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，即c 1·c 2<0，c 2·c 3<0，c 4·c 5<0， ∴数列{c n }的变号数为3.。

【名师金典】(教师用书)版高考数学大一轮复习第五章数列

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法[考情展望] 1.以数列的前n 项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n 项和S n 求通项a n.一、数列的有关概念判断数列递增(减)的方法 (1)作差比较法：①若a n ＋1－a n ＞0，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1－a n ＝0，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1－a n ＜0，则数列{a n }为递减数列．(2)作商比较法：不妨设a n ＞0. ①若a n ＋1a n＞1，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1a n＝1，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1a n＜1，则数列{a n }为递减数列．三、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法．四、a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝，S n －S n －1， n已知S n 求a n 的注意点利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n ≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n ≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的形式表示．1．已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数0，n 为偶数【答案】 B2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 【答案】 B3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【答案】 A4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝2n －n5．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝ . 【答案】 46．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝ .【答案】 (－2)n －1考向一 [083] 由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 【尝试解答】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .规律方法1 1.求数列的通项时，要抓住以下几个特征．(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．考向二 [084] 由递推关系求通项公式根据下列条件，求数列的通项公式a n .(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a n ＋1＝n ＋2na n ，a 1＝4； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.【尝试解答】 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以a n －a 1＝－2n －11－2，即a n －a 1＝2n－2，所以a n ＝2n－2＋a 1＝2n－1. 当n ＝1时，a 1＝1也符合，所以a n ＝2n－1(n ∈N *)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋2.所以当n ≥2时，a n ＝n n ＋2a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(3)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列．所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N *)．规律方法2 递推式的类型对点训练 (2015·银川模拟)已知f (x )＝1＋x.各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n＋2＝f (a n )．若a 2 014＝a 2 016，则a 20＋a 11的值是．【答案】135＋326考向三 [085] 由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .(b 为常数)【尝试解答】 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.规律方法3 已知S n 求a n 时的三个注意点(1)重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写” . (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.对点训练 (1)(2015·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1【答案】 B(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，求下面数列{a n }的通项公式a n . ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 【解】 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ，2·3n －1，n ＝1，n ≥2.易错易误之十明确数列中项的特征，慎用函数思想解题 —————————— [1个示范例] ——————已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]【解析】 ∵a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，∴a n ＋1－a n ＞0对∀n ∈N *都成立，此处在求解时，常犯“a n 是关于n 的二次函数，若{a n }单调递增，则必有k2≤1，k ≤2”的错误．出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数．又a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，所以由2n ＋1－k ＞0，即k ＜2n ＋1恒成立可知k ＜(2n ＋1)min ＝3.,【防范措施】 1.明确函数单调性与数列单调性的关系 (1)若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调．(2)若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在n ∈N *上的特殊函数． 2．数列单调性的判断一般通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断：若a n ＋1＞a n ，则该数列为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则该数列为递减数列．———————— [1个防错练] ———————已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是．【解析】法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，故对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)(*)．因为n ≥1，故－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其对称轴为n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需满足n ＝－λ2＜32即可，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞)课时限时检测(二十九) 数列的概念与简单表示法(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图5－1－1，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )图5－1－1A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －2 C ．a n ＝n n ＋2D ．a n ＝n n ＋2【答案】 C2．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.8658C.8258D ．108 【答案】 D3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，则a 10＝( ) A ．1 024 B ．1 023 C ．2 048 D ．2 047【答案】 B4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n【答案】 D5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1【答案】 A6．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝ .【答案】 128．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ .【答案】61169．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9(k ∈N *)，则a 1的值为，k 的值为．【答案】－1 4三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)∵S n ＝n ＋23a n ，且a 1＝1，∴S 2＝43a 2，即a 1＋a 2＝43a 2，得a 2＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，得a 3＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1，于是a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上n －1个式子的两端分别相乘，得a n a 1＝n n ＋2，∴a n ＝n n ＋2，n ≥2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝n n ＋2，n ∈N *.11．(12分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．【解】 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝，1n ，n(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0， ∴{c n }是递减数列．12.(13分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2，点(a nn，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上，{b n }的最小项为b 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求m 的取值范围．【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋2 ＝n －＋n －2＋2＝3n 2－3n ＋2n －2＋2 ＝3n 2－n ，显然a 1也满足a n ＝3n 2－n ，∴a n ＝3n 2－n . (2)∵点(a nn，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上， ∴b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)．∴b 1＝8＋2m ，b 2＝125＋5m ，b 3＝512＋8m ，b 4＝1 331＋11m . ∵{b n }的最小项是b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m ≥512＋8m ，125＋5m ≥512＋8m ，1 331＋11m ≥512＋8m ，∴－273≤m ≤－129.∵b n ＋1＝(3n ＋2)3＋m (3n ＋2)，b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)， ∴b n ＋1－b n ＝3[(3n ＋2)2＋(3n －1)2＋(3n ＋2)(3n －1)]＋3m ＝3(27n 2＋9n ＋3＋m )，当n ≥4时，27n 2＋9n ＋3＞273，∴27n 2＋9n ＋3＋m ＞0， ∴b n ＋1－b n ＞0，∴n ≥4时，b n ＋1＞b n . 综上可知－273≤m ≤－129， ∴m 的取值范围为[－273，－129]．第二节等差数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数的性质解决相应问题．一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . 3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －d 2＝n a 1＋a n2.4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2.证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)． ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 【答案】 D2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】 B3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 【答案】 B4．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 【答案】 2n －15．(2013·重庆高考)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝ . 【答案】 726．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝ . 【答案】 20考向一 [086] 等差数列的判定与证明在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．【尝试解答】 (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2)． ∴a 2＝2a 1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1.a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．规律方法1 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．对点训练 (2014·大纲全国卷)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．【证明】 ①由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.考向二 [087] 等差数列的基本运算(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】 C(2)(2013·四川高考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【尝试解答】设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得． 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.规律方法2 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．对点训练 (2014·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.①求d 及S n ；②求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 【解】 ①由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)．②由①得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.考向三 [088] 等差数列的性质及应用(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176 【答案】 B(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.【尝试解答】由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 由a 1＋a n ＝36，n ＝18.∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.规律方法3 1.在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质．2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．对点训练 (1)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 【答案】 (1)A (2)60考向四 [089] 等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．【尝试解答】法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 令a n ≥0得n ≤13，即当n ≤12时，a n ＞0；n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 法二同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.规律方法4 求等差数列前n 项和的最值常用的方法(1)先求a n ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．对点训练已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n n －2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2，所以n ＝2时，S n 取到最大值4.规范解答之八等差数列的通项与求和问题 ————————— [1个示范例] ———————(12分)(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【规范解答】 (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，2分解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *). 5分(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，6分所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.12分【名师寄语】 1.涉及求数列{|a n |}前n 项和的题目，其解题的关键是找到数列{a n }的正负界点，因此借助绝对值的性质，去掉绝对值符号是解题的着眼点．2．要正确区分“|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |”与“a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ”的差异，明确两者间的转换关系，切忌逻辑混乱．————————— [1个规范练] ———————已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，易求a 2＝－1，则a 3＝a 2＋d ，a 1＝a 2－d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1－d ，－1＋d －1－d －＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不合题设条件．当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5. 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －＋n －2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.课时限时检测(三十) 等差数列 (时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }中的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】 D3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27 【答案】 B5．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 【答案】 D6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝ . 【答案】 108．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝ . 【答案】 139．已知等差数列{a n }中，a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则12a 50＋a 20＋a 80＝ .【答案】252三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．(12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的根，且a 4＞a 3， ∴a 3＝9且a 4＝13，从而a 1＝1，公差d ＝4，故通项a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. (2)由(1)知S n ＝n＋4n －2＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c .法一所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)．令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二当n ≥2时， b n －b n －1＝2n 2－nn ＋c－n －2－n－n －1＋c＝2n 2＋c －n －3c n 2＋c －n ＋c c －，欲使{b n }为等差数列，只需4c －2＝2(2c －1)且－3c ＝2c (c －1)(c ≠0)，解得c ＝－12.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．12．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项； (3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．【解】 (1)证明由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)得， 1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得，1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.∴a n ＝13n －2. (3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2(n ∈N *)恒成立．整理得λ≤n ＋n －n －(n ≥2，n ∈N *)，令C n ＝n ＋n －n －，Cn ＋1－C n ＝n ＋n ＋3n－n ＋n －n －＝n ＋n －3n n －因为n ≥2，所以C n ＋1－C n ＞0，∴{C n }为单调递增数列，C 2最小，且C 2＝283，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，283.第三节等比数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用．一、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．二、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m qn －m(m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍是等比数列．等比数列的单调性1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12【答案】 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11【答案】 A3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7 【答案】 B4．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是．【答案】 45．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【答案】 C6．(2013·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24【答案】 A考向一 [090] 等比数列的基本运算(1)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝；前n 项和S n ＝ .(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n . 【尝试解答】 (1)2,2n ＋1－2(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .规律方法1 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．对点训练 (1)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ .【答案】 2n(2)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列． ①求数列{a n }的通项公式； ②求数列{3a n }的前n 项和．【解】 ①设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )．又a 1＝2，所以d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝2n .②由①可知3a n ＝32n＝9n. 故数列{3a n }的前n 项和为－9n1－9＝98(9n－1)．考向二 [091] 等比数列的判定与证明成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【尝试解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100，解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54.故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．规律方法2 1.本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d )的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算．2．要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可．对点训练 (2015·武汉模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【解】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2，由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．考向三[092] 等比数列的性质及应用(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3(2)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝ .【答案】 (1)C (2)－53规律方法3 在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．对点训练 (1)(2015·兰州模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16(2)(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ .【答案】 (1)B (2)50思想方法之十三分类讨论思想在等比数列求和中的应用分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行．在数列的学习中，也有多处知识涉及分类讨论思想，具体如下所示： (1)前n 项和S n 与其通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2；(2)等比数列的公比q 是否为1；(3)在利用公式S n 求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等．求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解．————————— [1个示范例] ———————(理)(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.————————— [1个对点练] ———————已知数列{d n }满足d n ＝n ，等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n ；(2)令c n ＝1－(－1)na n ，不等式c k ≥2014(1≤k ≤100，k ∈N *)的解集为M ，求所有d k ＋a k (k ∈M )的和．【解】 (1)设{a n }的首项为a 1，公比为q ，所以(a 1q 4)2＝a 1q 9，解得a 1＝q ，又因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2(a n ＋a n q 2)＝5a n q ，则2(1＋q 2)＝5q,2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12(舍)或q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n.(2)则c n ＝1－(－1)n a n ＝1－(－2)n，d n ＝n ，当n 为偶数，c n ＝1－2n ≥2014，即2n≤－2013，不成立；当n 为奇数，c n ＝1＋2n ≥2014，即2n≥2013，因为210＝1024,211＝2048，所以n ＝2m ＋1,5≤m ≤49 则{d k }组成首项为11，公差为2的等差数列 {a k }(k ∈M )组成首项为211，公比为4的等比数列则所有d k ＋a k (k ∈M )的和为＋2＋211－4451－4＝2475＋2101－20483＝2101＋53773.课时限时检测(三十一) 等比数列(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( ) A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 【答案】 B2．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】 B3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n【答案】 D4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且54为a 4与2a 7的等差中项，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 【答案】 C6．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝ .【答案】 148．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ .【答案】1529．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝ .【答案】 32三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 【解】 (1)由题意知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.11．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2.故1b n ＝－2nn ＋＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.12．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)． (1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．【解】 (1)证明由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2. 由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋qn －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q(1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．第四节数列求和[考情展望] 1.考查等差、等比数列的求和.2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧．一、公式法与分组求和法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常用的拆项方法 (1)1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k。

【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习第5章第1节数列的概念及简单表示法课时作业理

课时作业(三十) 数列的概念及简单表示法一、选择题 1．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序实数对(a ，b )可以是( ) A ．(21，－5)B ．(16，－1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－412，112D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112答案：D解析：由数列中的项可观察规律，得5－3＝10－8＝17－(a ＋b )＝(a －b )－24＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝412，b ＝－112.故应选D.2．(2015·山西长治4月)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a nn 为正奇数，a n ＋1 n 为正偶数，则其前6项之和为( )A ．16B ．20C ．33D ．120答案：C解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故应C.3．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝25，则a 2 015等于( )A.15 B ．25 C ．35 D ．45答案：B解析：∵ a 1＝25<12，∴ a 2＝45>12，∴ a 3＝35，a 4＝15，a 5＝25，∴ 数列具有周期性，且周期为4， ∴ a 2 015＝a 3＝35，故应选C.4．(2015·北京东城一模)已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 200答案：B解析：f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2n 为奇数，n 2n 为偶数＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故应B.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2n ＋12B ．2nn ＋1C.22n－1D ．22n －1答案：B解析：∵S 2＝22·a 2，∴1＋a 2＝4a 2， ∴a 2＝13.∵S 3＝32·a 3， ∴1＋13＋a 3＝9a 3，∴a 3＝12×3. ∵S 4＝42·a 4，∴1＋13＋12×3＋a 4＝16a 4，∴a 4＝12×5＝24×5. 可见a 1＝21×2，a 2＝22×3，a 3＝23×4，a 4＝24×5，由此猜想a n ＝2nn ＋1.实际上，此题用a 1＝1代入各选项验证最简单．故应选B.6．数列{a n }的通项公式为a n ＝an 2＋n ，若满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，且a n >a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，－117B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－19，－117C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－19，－117D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，－117答案：D解析：可以把a n 看成是关于n 的二次函数，根据其对称轴为n ＝－12a ，易知对称轴应满足92<－12a <172，解得－19<a <－117. 故应选D. 二、填空题7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝________.答案：12解析：由题意知，a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，则a 2 013＝________. 答案：2解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2，得 a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期数列，周期为6，故a 2 013＝a 335×6＋3＝a 3＝2.9．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2解析：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1.则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n，n ＝1时不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.10．对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案：a n ＝2n ＋12n ，n ∈N *解析：由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n，可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n n ＋22，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n －1n ＋12，② ①－②，得na n ＝n n ＋22－n －1n ＋12＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n.又n ＝1时，由①可得a 1＝32，也适合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋12n ，n ∈N *.三、解答题11．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)∵S n ＝n ＋23a n ，且a 1＝1，∴S 2＝43a 2，即a 1＋a 2＝43a 2，得a 2＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，得a 3＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1，于是a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上n －1个式子的两端分别相乘，得a n a 1＝n n ＋2，∴a n ＝n n ＋12，n ≥2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝n n ＋2，n ∈N *.12．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴ b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ，n ≥2，n ∈N *，23，n ＝1.(2)∵ c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴ c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝－n －1n ＋n ＋n ＋<0，∴ {c n }是递减数列．13．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n，b n 在y ＝x 3＋mx 的图象上，{b n }的最小项为b 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求m 的取值范围．解：(1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋2 ＝n －＋n －2＋2＝3n 2－3n ＋2n －2＋2 ＝3n 2－n ，显然a 1也满足a n ＝3n 2－n ， ∴a n ＝3n 2－n .(2)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫a nn，b n 在y ＝x 3＋mx 的图象上，∴b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)．∴b 1＝8＋2m ，b 2＝125＋5m ，b 3＝512＋8m ，b 4＝1 331＋11m . ∵{b n }的最小项是b 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m ≥512＋8m ，125＋5m ≥512＋8m ，1 331＋11m ≥512＋8m ，∴－273≤m ≤－129.∵b n ＋1＝(3n ＋2)3＋m (3n ＋2)，b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)，∴b n ＋1－b n ＝3[(3n ＋2)2＋(3n －1)2＋(3n ＋2)(3n －1)]＋3m ＝3(27n 2＋9n ＋3＋m )，当n ≥4时，27n 2＋9n ＋3＞273， ∴27n 2＋9n ＋3＋m ＞0，∴b n ＋1－b n ＞0，∴n ≥4时，b n ＋1＞b n . 综上可知，－273≤m ≤－129， ∴m 的取值范围为[－273，－129]．。

高考数学大一轮复习第五章数列第三节等比数列教师用书理5.doc

第三节等比数列☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆1．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。

②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)。

(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab 。

2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1。

(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1。

3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)。

(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 。

特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p 。

(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m－S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)。

(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列。

(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k。

微点提醒1．等比数列的概念的理解(1)等比数列中各项及公比都不能为零。

(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0。

(3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同。

2．等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列。

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计时双基练三十四数列的综合应用A 组基础必做1．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又数列{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16。

答案 D2．(2015·云南省师范大学附属中学高三适应性考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为( )A.1－52 B.5＋12 C.3＋52D.3－52解析设{a n }的公比为q ，因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 1＋a 2＝2×12a 3＝a 3，即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52<0(舍去)，所以a 5＋a 6a 3＋a 4＝ a 3＋a 4 q 2a 3＋a 4＝q 2＝3＋52，故选C 。

答案 C3．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4。

∴P 1(2,2)，P 2(3,4)。

∴S △OP 1P 2＝1。

答案 A4．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i ＝1,2，…)，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6>b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6<b 6D ．a 6<b 6或a 6>b 6解析 ∵数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，a 1＝b 1，a 11＝b 11，∴a 1＋a 11＝b 1＋b 11，又b i >0(i ＝1,2，…)∴2a 6＝b 1＋b 11≥2b 1b 11＝2b 6，又q ≠1，且b i >0(i ＝1,2，…)，∴b 1≠b 11，∴a 6>b 6。

答案 A5．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( )A ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1B ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．2－2n3n ＋1D ．2－2n ＋13n解析令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝23的等比数列，于是S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝23×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－2n ＋13n 。

答案 D6．(2015·河南适应性模拟练习)已知正项等比数列{a n }满足：a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D ．不存在解析因为a 9＝a 8＋2a 7，所以a 7q 2＝a 7q ＋2a 7，解得q ＝2或－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 21，所以a 212m ＋n －2＝16a 21，m ＋n －2＝4，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝161＋4＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋2 n m ×4m n ＝32，当且仅当n ＝2m ＝4时，取等号。

所以1m ＋4n 的最小值为32，故选A 。

答案 A7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，不等式S 2n －S n >m16恒成立，则常数m 所能获得的最大整数为________。

解析要使S 2n －S n >m 16恒成立，只需(S 2n －S n )min >m16。

∵(S 2(n ＋1)－S n ＋1)－(S 2n －S n )＝(S 2n ＋2－S 2n )－(S n ＋1－S n )＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2－a n ＋1＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2>12n ＋2＋12n ＋4－1n ＋2＝12n ＋2－12n ＋4>0， ∴S 2n －S n ≥S 2－S 1＝13，∴m 16<13⇒m <163，m 所能取得的最大整数为5。

答案 58．(2015·福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________。

解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0。

不妨设a <b ，则－2，a ，b 成等差数列，a ，－2，b 成等比数列，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b ＝2a ，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4。

∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝4。

∴p ＋q ＝9。

答案 99．(2016·潍坊模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门通过“可持续指数”来进行积累考核。

已知该生产线连续生产n 年的产量f (n )＝n n ＋1 n ＋23吨，每年生产量a n 的倒数记作该年的“可持续指数”，如果累计“可持续指数”不小于80%，则生产必须停止，则该产品可持续生产________年。

解析第一年的产量a 1＝1×2×33＝2吨，以后第n (n ＝2,3,4，…)年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝n n ＋1 n ＋2 3－n －1 n n ＋13＝n (n ＋1)，所以a n ＝n (n ＋1)。

由于1a n＝1n n ＋1 ，于是n 年的“可持续指数”之和S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1 ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1。

该产品停产即1－1n ＋1≥45，解得n ≥4。

这说明第4年必须停产，该产品可持续生产3年。

答案 310．(2015·温州十校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1an ，且a 1＝4。

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n 。

解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n,16n 2a －4nb ＝0， ∴a ＝12，b ＝2n ，则f (x )＝12x 2＋2nx ，x ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，又f ′(x )＝x ＋2n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n ，由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝42n －1 2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝4也符合，∴a n ＝4 2n －12(n ∈N *)。

(2)b n ＝a n a n ＋1＝4 2n －1 2n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝4n2n ＋1。

11．(2015—2016学年度上学期衡水中学高三年级四调)已知等差数列{a n }的公差为－1，前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝－6。

(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ成立，求实数λ的取值范围。

解 (1)∵{a n }为等差数列，且a 2＋a 7＋a 12＝－6， ∴3a 7＝－6，即a 7＝－2，又∵公差d ＝－1，∴a n ＝a 7＋(n －7)d ＝－2－n ＋7＝5－n ，n ∈N *，S n ＝n a 1＋a n 2＝n 4＋5－n 2＝9n 2－n 22，n ∈N *. (2)由(1)知数列{a n }的前4项为4,3,2,1， ∴等比数列{b n }的前3项为4,2,1，∴b n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴a n b n ＝4(5－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴T n ＝44×⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋…＋(6－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(5－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，①∴12T n ＝44×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(6－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(5－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，② ①－②得12T n ＝44－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－4(5－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝16－21－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－4(5－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝12＋(2n －6)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1。

∴T n ＝24＋(4n －12)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，n ∈N *。

∴T n －T n －1＝4n －122n －1－4 n －1 －122n －2＝20－4n2n －1， ∴T 1<T 2<T 3<T 4＝T 5，且T 5>T 6>…>T n ， ∴n ∈N *时，(T n )max ＝T 4＝T 5＝492。

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