【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练34 数列的综合应用 理 北师大版

计时双基练三十四 数列的综合应用

A 组 基础必做

1．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 2

7＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

解析 因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 2

7＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又数列{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 2

7＝a 2

7＝16。

答案 D

2．(2015·云南省师范大学附属中学高三适应性考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6

a 3＋a 4

的值为( )

A.

1－5

2 B.

5＋1

2 C.3＋5

2

D.

3－5

2

解析 设{a n }的公比为q ，因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 1＋a 2＝2×1

2

a 3＝a 3，即

a 1＋a 1q ＝a 1q 2，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝

1＋52或q ＝1－52<0(舍去)，所以a 5＋a 6

a 3＋a 4

＝ a 3＋a 4 q 2

a 3＋a 4＝q 2

＝3＋52

，故选C 。

答案 C

3．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，

x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析 根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4。∴P 1(2,2)，P 2(3,4)。∴S △OP 1P 2＝1。

答案 A

4．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i ＝1,2，…)，若a 1＝

b 1，a 11＝b 11，则( )

A ．a 6>b 6

B ．a 6＝b 6

C ．a 6

D ．a 6b 6

解析 ∵数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，a 1＝b 1，a 11＝b 11，∴a 1＋a 11＝b 1＋

b 11，又b i >0(i ＝1,2，…)

∴2a 6＝b 1＋b 11≥2b 1b 11＝2b 6，

又q ≠1，且b i >0(i ＝1,2，…)，∴b 1≠b 11，∴a 6>b 6。 答案 A

5．已知数列{a n }满足a 1＝2

3，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若数列{a n }

的前n 项和为S n ，则S n 等于( )

A ．2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫23n －1

B ．2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫23n

C ．2－2

n

3

n ＋1

D ．2－2n ＋1

3

n

解析 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即

a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝2

3

，公比为q ＝23的等比数列，于是S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝23×⎣⎢⎡⎦⎥

⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－2

3

＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－2n ＋1

3n 。 答案 D

6．(2015·河南适应性模拟练习)已知正项等比数列{a n }满足：a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项

a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋4

n

的最小值为( ) A.32 B.53 C.256

D ．不存在

解析 因为a 9＝a 8＋2a 7，所以a 7q 2

＝a 7q ＋2a 7，解得q ＝2或－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 2

1，所以a 2

12

m ＋n －2

＝16a 2

1，m ＋n －2＝4，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16

1＋4＋n m ＋4m n ≥

16⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋4＋2 n m ×4m n ＝3

2

，当且仅当n ＝2m ＝4时，取等号。所以1m ＋4n 的最小值为32，故选A 。

答案 A

7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝

1

n ＋1

，前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，不等式S 2n －S n >m

16

恒成立，则常数m 所能获得的最大整数为________。

解析 要使S 2n －S n >m 16恒成立，只需(S 2n －S n )min >m

16

。

∵(S 2(n ＋1)－S n ＋1)－(S 2n －S n )＝(S 2n ＋2－S 2n )－(S n ＋1－S n )＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2－a n ＋1＝1

2n ＋2

＋12n ＋3－1n ＋2>12n ＋2＋12n ＋4－1n ＋2＝12n ＋2－1

2n ＋4

>0， ∴S 2n －S n ≥S 2－S 1＝1

3

，

∴m 16<13⇒m <16

3

，m 所能取得的最大整数为5。 答案 5

8．(2015·福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2

－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且

a ，

b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值

等于________。

解析 由题意，得⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＋

b ＝p >0，ab ＝q >0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a >0，

b >0。

不妨设a

a ，－2，

b 成等比数列，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

－2＋b ＝2a ，ab ＝4，

解得⎩⎪⎨

⎪

⎧

a ＝1，

b ＝4。

∴⎩⎪⎨

⎪

⎧

p ＝5，q ＝4。

∴p ＋q ＝9。

答案 9

9．(2016·潍坊模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门通过“可持续指数”来进行积累考核。已知该生产线连续生产n 年的产量f (n )＝

n n ＋1 n ＋2

3

吨，每年生产量a n 的倒数记作该年的“可持续指数”，如果累计“可持续指数”不小于80%，则生产必须停止，则该产品可持续生产________年。

解析 第一年的产量a 1＝1×2×33＝2吨，以后第n (n ＝2,3,4，…)年的产量a n ＝f (n )

－f (n －1)＝n n ＋1 n ＋2 3

－

n －1 n n ＋1

3

＝n (n ＋1)，所以a n ＝n (n ＋1)。由于

1

a n

＝1n n ＋1 ，于是n 年的“可持续指数”之和S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝11×2＋12×3＋1

3×4＋…

＋

1n n ＋1 ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1。该产品停产即1－1n ＋1≥4

5

，解

得n ≥4。这说明第4年必须停产，该产品可持续生产3年。