高中数学解析几何椭圆性质与定义

椭圆的性质及应用

一、圆锥曲线

圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线，其中的椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线，其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线，双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线，圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线，其他平面截取的则为椭圆。

圆锥曲线有一个共同的定义：即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。

二、椭圆的定义

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1常值的点之轨迹。

椭圆的第一定义：平面内与两定点F 、F'的距离的和等于常数2a (2a>|FF'|)的动点P 的轨迹叫做椭圆。即：│PF │+│PF'│=2a ，其中两定点F 、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。若2a=|FF'|，为线段，若2a<|FF'|，不存在。 下面确定椭圆的方程 现设P 的坐标为（x,y ），F 的坐标为（C,0）

2a =

2a =整理可得：

22222222()()a c x a y a a c -+=-

定义：222a c b -=

则椭圆的方程可表示为： 椭圆在方程上可以写为标准式

2

22

21y x a b +=，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在x 轴上，焦点在X

轴时，若2

2

221y x

b a

+=，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在y 轴上。焦点在y 轴时。 有两条线段，a 、b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长，当a>b 时，焦点在x 轴

上，焦距为: 222a c b -= 椭圆的第二定义

由椭圆的第一定义：可到椭圆方程为：22222

22221b x a b y b y a x =+⇒=+

将2

22c a b -=代入，可得：22222222222222x a c a c x y c a x a c a y +=++⇒-=-+

所以：()

()2

2

22422

2

⎪⎭

⎫ ⎝⎛±=±+⇒+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+a x a c c x y c a x a c c x y

由此可得：()

()a

c c

a x c x y c a x a c c x y

=

-

-+⇒

+⎪⎭

⎫

⎝⎛=-+2

2

2242

2

2 所以可得椭圆的第二个定义：

平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F 不在定直线上，

该常数为小于1的正数）,其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的

方程是

2

a

x

c

=）。常数e是椭圆的离心率。(01)

c

e e

a

=<<

注意：准线和焦点对应，左准线对应左焦点，右准线对应右焦点

下面我们介绍第二定义的几何说明：

可以找到两个球，它们均满足：和圆锥相切于一个圆，与截面相切于一个点。一个在截面和圆锥顶角之间（即截得的圆锥体的内切球，小球），另一个在截面与圆锥顶角异侧（即圆锥体外切球，大球）。两个球与截面相切的两个点即是两个焦点，两个球与圆锥相切的两个圆，那两个圆所在的两个平面（它们是平行的）分别与原来的截面的交线即是两条准线。通过三角函数的知识应该可以证明截得的图形上的点到焦点和到相应准线的比值为定值设P为截面β与圆锥交线上的动点，两个球与截面β的交点为固定点，即为椭圆的焦点，平面β与平面α的交线为固定直线，即为椭圆的准线。E为大球和截面β的交点，显然PP1为动点到定直线的距离，

设大的球心为O，PE和PP2为大球外一点P到大球的两个切线，所以有PE=PP2

思考为什么PE一定为切线，（PE为截面β内的直线，而截面β与球仅仅一个交点）

椭圆的第三定义：

椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的

斜率之积是定值（

2

2

a

b

-）可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨

迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况。

三、.圆锥曲线的几何性质：

1.椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ，y=bsinθ

举例：若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：5,2） 2. 标准形式为

2

22

21y x a b +=的椭圆在（x 0，y 0）点的切线为 ：

002

2

1xx yy a

b +

=

3.椭圆焦半径公式 ｜PF 1｜=a+ex 0 ｜PF 2｜=a-ex 0

4.直线与椭圆位置关系

（1）弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x

分别为A 、B 的横坐标，则AB

＝

212

1k x x +-，若

12

,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则

AB

＝

2

121

1y y k -+，

（2）直线l ：y=x+1与椭圆交于A ，B 两点，P 为椭圆上一点，求△PAB 面积的最大值.

（3）相切、相交、相离的条件

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

5．范围

即|x|≤a ，|y|≤b ，这说明椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

6．对称性

x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心． 7．顶点