河北省高中数学学业水平考试试题+考点分析+答案解析

启用前为机密
2018年12月河北省高中数学学业水平考试
数学试卷
（后附详细考点分析及答案解析）
注意事项：
1.本试卷共4页，包括两道大题，共33小题，总分100分，考试时间120分钟。

2.所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效，答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3.答选择题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选其他答案。

4.考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回。

参考公式：
柱体的体积公式：Sh V =（其中S 为柱体的底面积，h 为高）
椎体的体积公式：Sh V 31=（其中S 为柱体的底面积，h 为高）
台体的体积公式：h S S S S V ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++=''
31（其中'S 、S 分别为台体的上、下底面积，h 为高）球的体积公式：33
4
R V π=（其中R 为球的半径）球的表面积公式：24R S π=（其中R 为球的半径）
一、选择题（本大题共30道小题，1-10题，每小题2分；11-30题，每题3分，共80分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.
1.若{}21<<-=x x A ，{}31<<=x x B ，则A B =
.A {}
11<<-x x .B {}
21<<x x .C {}
31<<x x .D φ
2.=
︒︒30cos 30sin .A 2
1.B 4
1.
C 2
3.
D 4
33.从某班级100名学生中，采用系统抽样的方法抽取5名学生进行学情调查，则分段间隔为
.A 16
.B 8
.C 10
.D 20
4.某正方体的棱长为32，其八个顶点在同一球面上，则该球的表面积为
.A π
4.B π
16.C π
36.D π
645.样本数据1，2，3，4，5的方差是
.A 1
.B 2
.C 2
.D 1
6.在x 轴上截距为3且倾斜角为︒120的直线方程为
.A 0
33=--y x .B 0
33=-+y x .C 0
333=--y x .D 0
333=-+y x 7.已知角α的终边过点()4,3-P ，则=
αsin .A 5
3.B 5
3-
.C 5
4.D 5
4-
8.已知直线01:1=-+y ax l 与直线()031:2=+-+ay x a l 互相垂直，则实数=
a .A -1
.B 0
.C 1
.D 2
9.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为
3231.π+A 3231.π+B 6231.π+C 6
21.π
+
D 10.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为A.8
B.15
C.5
3 D.3
511.四边形ABCD 中，若AB 与DC 共线，且2
2
DC AB =，则四边形ABCD 是
.A 矩形
.B 菱形
.C 正方形
.D 平行四边形
12.已知()⎩⎨⎧>-≤+=0,20
,12x x x x x f 则()()=
1f f .A 1
.B 3
.C 5
.D 7
13.已知向量a 、b 的夹角为︒120，且1=a ，2=b ，则=
+b
a 2.A 1
.B -1.C 2.D -2
14.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，E、F、G 分别是1DD 、
AB 、1CC 的中点，则异面直线E A 1与GF 所成角余弦值是.
A 515
.
B 2
2.C 5
10.D 0
15.若在圆()()161222=++-y x 内任取一点P，则点P 落在单位圆122=+y x 内的概率为A．
2
1B．
3
1C．
4
1D．
16
116.在公比为q 的等比数列{}n a 中，63=a ，前三项183=S ，则=
q .A 1
.B 2
1-
.C 1或2
1-
.D -1或2
1-
17.若直线()011=+++y x m 与圆0222=-+x y x 相切,则m 的值为
.A 1或-1
.B 2或-2
.C 1
.D -1
18.设3.07=a ，73.0=b ，3.0log 7=c ,则a 、b 、c 的大小关系是
.A c
b a <<.B a
b c <<.C b
a c <<.D a
c b <<19.函数()()R x x x x f ∈+=cos 3sin 的图象的一条对称轴是
.A 6π=
x .B 6π-=x .C 3
π
=
x .D 3
π-
=x 20.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为
A.π:3
B.π:2
C.π2:1
D.π
3:121.若圆C 与圆()()11222=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是
.A ()()11222=++-y x .B ()()11222=-+-y x .C ()()1
2122=++-y x .D ()()1
2122=-++y x 22.函数()()ϕω+=x A x f sin （其中πϕω<<>>0,0,0A ）的图象如图所示，为得到()x x g 2sin =的图象，只需将()x f 图象上所有点
.A 向左移3
π
个单位长度.B 向右移
3
π
个单位长度.C 向左移
6
π
个单位长度向右移
6
π
个单位长度23.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状为
.A 锐角三角形.B 直角三角形.C 钝角三角形.D 不能确定24.在等差数列{}n a 中，已知1684=+a a ，则该数列前11项和11S 为
.A 58
.B 88
.C 143
.D 176
25.若x，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则34=-z x y 的最小值为
.
.A -1.B 0.C 1
.D
2
26.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是
.A -1.B 1.C 2
.D 12
27.已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数,当0<x 时,()x f y =是减函数,若21x x <,则
.A ()()021<-x f x f .B ()()021>-x f x f .C ()()0
21<+x f x f .D ()()0
21>+x f x f 28.已知向量()2,1-=a ，()1,-=y x b ，()0,0>>y x 且b a //，则y x 1
2+的最小值为
.A 7
.B 8
.C 9
.D 10
29.设函数()()0ln 3
1
>-=
x x x x f ，则()x f y =.A 在区间⎪⎭⎫
⎝⎛1,1e ，()e ,1内均有零点
.B 在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛1,1e ，()e ,1内均无零点
.C 在区间⎪⎭⎫
⎝⎛1,1e 内有零点，在区间()e ,1内无零点
.D 在区间⎪⎭⎫
⎝⎛1,1e 内无零点，在区间()e ,1内有零点
30.在数列{}n a 中，21=a ，⎪⎭⎫
⎝⎛++=+n a a n n 11ln 1，则n a 等于
.A n
ln 2+.B ()n
n ln 12-+.C n
n ln 2+.D n
n ln 1++二、解答题（本题共3道小题，31题6分，32题7分，共20分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
31.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，
（1）若ABC ∆的面积2
3
=
∆ABC S ，2c =，60o A =，求a 、b 的值；（2）若cos a c B =，且sin b c A =，试判断ABC ∆的形状.
32.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[)
00.1，[)
0.10.2，[)
0.20.3，[)
0.30.4，[)
0.40.5，[)
0.50.6，[)
0.60.7，频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[)
00.1，[)
0.10.2，[)
0.20.3，[)
0.30.4，[)
0.40.5，[)
0.50.6，频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
m的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.353
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
2018年12月河北省高中数学学业水平考试题答案
一、选择题
1.考点：集合间基本运算.答案：B .
解析：两集合的交集是指这两个集合的公共元素组成的集合，画数轴易知B 项正确.2.考点：正弦倍角公式：αααcos sin 22sin =解析：4
360sin 2130cos 30sin 22130cos 30sin ==⨯=︒︒︒︒︒.答案：.
D 3.考点：简单随机抽样的系统抽样.
解析：系统抽样也叫“等距抽样”,其间隔205
100
==
=组数
总n n d .答案：.
D 4.考点：①正方体基本性质.
②球体的表面积.
解析：正方体外接球的直径等于这个正方体的体对角线长，等于正方体棱长的3倍.
设一个正方体的棱长为a ，外接球半径为R ，则有a R 32=，∴a R 2
3=∴外接球表面积为()
πππππ3632332344222
2
=⨯==⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯==a a R S 球
.答案：.
C 5.考点：①方差的计算②平均数的计算.解析：n 个常数n a a a ,,,21 的平均数为()n a a a n
x +++=
211
，方差为()()()
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=
222212
1x x x x x x n s n ∴1，2，3，4，5的平均数为()3543215
1
=++++=x ，
方差为()()()()()[]
235343332315
12
22222=-+-+-+-+-=s .
答案：.
B 6.考点：①斜率定义αtan =k （其中α为直线的倾斜角）.
②直线方程的点斜式：()00x x k y y -=-.
解析：由斜率定义可知直线的斜率为3120tan -==︒k ，由直线在x 轴上截距为3可知直线过点()0,3，∴由直线的点斜式方程可得)330:--=-x y l ，化简得0333:=-+y x l .答案：.
D 7.考点：三角函数值定义式的推广式.
解析：设角α的终边过点()y x P -,，22y x OP r +==，则r y =αsin ，r x =αcos ，x
y =αtan ；∵()54322=-+=r ∴5
4
sin -==
r y α.答案：.
D 8.考点：两直线垂直的充要条件.
解析：直线0:1111=++C y B x A l 与直线0:2222=++C y B x A l ⇔02121=+B B A A ∴由直线01:1=-+y ax l 与直线()031:2=+-+ay x a l 互相垂直得()()011=-⨯++a a a ，解得0=a .答案：.
B 9.考点：①三视图②球体、椎体体积解析：由三视图可知,上面是半径为
2
2
的半球,体积为622234213
1ππ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯=V ,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积3111312=⨯⨯=V .∴该几何体体积为6
231
21π+=+=V V V .答案：C.10.考点：计数原理.
解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有53种不同的发送方法.答案：C.
11.考点：①向量共线定理.②2
2
a
a =.③平行四边形判定定理.
解析：∵AB 与DC 共线，由向量共线定理可知，AB //DC ，∴四边形ABCD 中，CD AB //.又2
2
DC AB =，∴
CD AB =，∴CD
AB =∴CD AB //，由平行四边形判定定理可知，四边形ABCD 为平行四边形.
答案：.
D 12.考点：①复合函数求值.②分段函数；口诀为“分段函数分段求，分段函数分段画”.
解析:∵()2121-=⨯-=f ，∴()()()()512212=+-=-=f f f .答案:.
C 13.考点：①向量的数量积θcos b a
b a =⋅（其中θ为a 、b 的夹角）.
②2
2
a
a
=.
解析：()2
2
24422b
b a a
b a b a +⋅+=
+=
+2
42121414=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯⨯⨯+⨯=答案：.
C 14.考点：①正方体性质②异面直线所成的角.解析：如图，分别连结G B 1，F B 1.
∵E A G B 11//，∴GF B 1∠或其补角即为异面直线E A 1与GF 所成的角.
在FG B 1∆中，易知3=FG ，21=G B ，51=F B ，∵2
1212F B G B FG =+由勾股定理可知︒
=∠901GF B ∴090cos cos 1==∠︒GF B .答案:.
D 15.考点：几何概型.
解析：所求概率为2
2
4π1π⨯⨯＝161.
答案：D .
16.考点：等比数列前n 项和及等比数列通项公式.
解析：∵⎩⎨⎧==61833a S ∴⎩⎨⎧==++6183321a a a a 即⎪⎩⎪⎨
⎧==++)
2(6)
1(18212111q a q a q a a )2()1(得3122
=++q
q q 分式化为整式并化简得0122=--q q
解得1=q 或2
1
-=q .
答案：.
D 17.考点：①圆的标准方程()()222r b y a x =-+-的圆心坐标为()b a ,，半径为r .
②点到直线距离公式：设点()00,y x P ，直线0:=++C By Ax l ，则()00,y x P 到直线
l 的距离2
2
00B
A C
By Ax d +++=
.
解析:圆0222=-+x y x 可化为()1122=+-y x ，可知此圆圆心为(1,0),半径为1.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，∴
()11
11
012=+++++m m 即()1122++=
+m m 。

平方整理解得1-=m .
答案：.
D 18.考点：指数幂及对数运算.
解析:∵173.0>=a ,13.007<=<b ,0
3.0log 7<=c ∴a b c <<.答案：.
B 19.考点：三角函数图象性质.
解析：正弦函数x y sin =（R x ∈）的对称轴为ππ
k x +=
2
（Z k ∈）()⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 23sin 212cos 3sin πx x x x x x f （R x ∈）令πππk x +=+
23（Z k ∈），解得ππk x +=6（Z k ∈），再令0=k 得6
π
=x ∴()()R x x x x f ∈+=cos 3sin 的图象的一条对称轴可以是6
π
=x .
答案：.
A 20.考点：①正方体性质.②球的表面积.
解析：设正方体的棱长为a ,则球的直径为a R 32=,∴a R 2
3
=
.正方体的表面积为26a .球的表面积为22
23)2
3(44a a R πππ=⋅=,∴它们的表面积之比为ππ:23:622=a a .答案：.
B 21.考点：①圆的标准方程.②对称基本性质.
解析：关于原点对称的两圆圆心也关于原点对称，且对称圆的大小相同，即半径相同.圆()()11222=-++y x 的圆心坐标为()1,2-，半径为1.所以对称圆C 的圆心坐标为()1,2-，半径1=r ，故所求圆方程为()()11222=++-y x .
答案：A .
22.考点：①()()ϕω+=x A x f sin 的图象性质.②正弦函数最值③图象平移变换.解析：由图可知()()ϕω+=x A x f sin 的振幅1=A ，
431274πππ=-=T ，∴π=T ∴22==T
πω，∴()()ϕ+=x x f 2sin 再由1127-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛πf ，可得ππϕπk 221272+-=+⨯，Z k ∈，化简得Z k k ∈+-=,235ππϕ，令0=k 得3πϕ=∴()⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 32sin ππx x x f ∴为由()⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=62sin πx x f 图象得到()x x g 2sin =只需将()x f 图象上所有点向右平移
6π个单位即得()x g x x ==⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2sin 662sin ππ图象.答案：.
D 23.考点：①正弦定理②余弦定理（或其推论）.
解析：由正弦定理
R C c B b A a 2sin sin sin ===，可得R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin =代入C B A 222sin sin sin <+中得222222⎪⎭
⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛R c R b R a ，化简得222c b a <+.再由余弦定理推论得02cos 222<-+=ab
c b a C ，∴C 为钝角，∴ABC ∆为钝角三角形.
答案：.
C 24.考点：①等差数列基本性质：l k n m +=+则l k n m a a a a +=+.
②等差数列前n 项和：()2
1n n a a n S +=.解析：根据等差数列前n 项和公式有()2
1111111a a S +=，∵1684111=+=+a a a a ∴()()882
16112112118411111=⨯=+=+=a a a a S .
答案：.
B 25.考点：线性规划.
解析：由题意，画出不等式组0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
表示的可行域如图所示：
目标函数为34z x y =-，则直线344z y x =-纵截距越大，z 值越小．由图可知目标函数z 在两直线0x y -=和20x y +
-=
的交点()1,1A 处取最小值，
故min 31411z =⨯-⨯=-．
答案：-1.
26.考点：算法初步程序框图.
解析：本题以框图为载体，对周期数列进行考查．数列
以3项为周期，2010除以3余数为0，所以它与序号3对
应相同的数．
答案：.
A 27.考点：①偶函数基本性质②函数的单调性.
解析:∵()x f 是定义在R 上的偶函数,∴()x f 的图象关于y 轴对称.
又当0<x 时,()x f y =是减函数,∴当0>x 时,()x f y =是增函数.
∴当21x x <时()()21x f x f
<,即()()21x f x f <,即()()021<-x f x f .答案：.
A 28.考点：①向量共线定理：()11,y x a =，()22,y x b =则0//1221=-⇔y x y x b a .
②基本不等式：0>a ，0>b 则ab b a 2≥+（仅当b a =时等号成立）.解析：∵b
a //∴()()0211=---⨯x y 化简得012=-+y x ∴12=+y x ∴()52221212++=+⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+y x x y y x y x y x 序号1
234567…a (输出)
221
－1221
－12…
∵0,0>>y x ∴02>x
y ，02>y x ∴()9522252221212=+⋅≥++=+⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+y x x y y x x y y x y x y x 仅当⎪⎩
⎪⎨⎧=+=1222y x y x x y ，即31==y x 时等号成立，此时y x 12+取最小值9.答案：.
D 29.考点：函数的零点定理.
解析：显然()()0ln 3
1>-=x x x x f 在定义域上连续，且()01313111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛e f e f ，∴()x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,1e 内无零点，又()()093ln 311ln 311<-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅e e e e f f ∴()x f 在()e ,1内有零点.答案：.
D 30.考点：数列叠加（累加）求和.
解析：方法(一)：
分别令1,,2,1-=n n ，有
2ln 12+=a a ，
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=211ln 23a a ，…
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++=-111ln 1n a a n n 以上各式相加得
1
ln 23ln 2ln 1-++++=n n a a n n ln 2+=.
方法(二)：由题意可得n
n a a n n 1ln
1++=+，即()n n a a n n ln 1ln 1-+=-+，于是()()()1
12211a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
()()()2
1ln 2ln 2ln 1ln 1ln ln +-++---+--= n n n n n ln 2+=.
答案：.
A 二、解答题。

31.考点：①ABC ∆的面积公式
A bc
B ac
C ab S ABC sin 21
sin 21
sin 21===∆.
②余弦定理.
解析：（1）∵23sin 21==∆A bc S ABC ，∴1sin 6022o b = ，解得1b =.
由余弦定理得22222cos 12212cos603o a b c bc A =+-=+-⨯⨯= ，∴a =.（2）因为2
222a c b a c ac +-= ，∴222a b c +=，∴90o
C ∠=.
在Rt ABC ∆中，sin a A c =，∴a
b c a c == ，∴ABC ∆是等腰直角三角形.
32.考点：①频率分布表.②频率分布直方图.
解析：（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=.。