灵活运用数学知识选取较优方案

灵活运用数学知识选取较优方案

数学作为一门实用科学,学习它不仅是为了获得知识,也是为了解决实际生活中的问题。在解决一个实际问题时,我们在保证符合客观事实的同时,还需要借助数学知识进行严密的推理,对于一个问题常常有多种方案,在这些方案中,我们最终选取的是较优方案。下面就通过一些实际问题的解决方案对如何灵活运用数学知识选取较优方案加以简单的说明。

一、“消费”中的较优方案

在“消费”问题中,较优方案往往指在同等的前提下,最后支付的费用最少的那个方案。如:在浙教版数学八年级上的教材的一个课题学习《如何选择较优方案》中,出现了这样一个问题:某家电信公司提供了两种方案的移动通讯服务的收费标准:

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如果请你选择其中一种方案,应如何选择?

从生活的实际出发,在选择的时候人们往往会考虑服务质量等各方面的因素,但如果排除了这些因素之外,人们考虑的就是如何选择使自己每月支付的费用最少。在这个问题中,每个月的费用就与实际的通话时间有关系。如果设每月通话时间为x分,a,b两种方案每月话费分别为y1元,y2元,则

y1=30(0≤x≤120)30+0.4(x-120)=0.4x-18(x>120)

y2=50(0≤x≤200)50+0.4(x-200)=0.4x-30(x>200)

从节省费用的角度考虑,通过这样的两个函数关系式,比较他们

的取值就可得出,当每个月通话时间少于170分时,应选择方案a;

大于170分时,应选择方案b;等于170分时,a,b两方案可任选一种。这类较优方案在生活中经常遇到,如外出旅游,去商场购物等。遇到这类问题,往往要根据自己的实际情况去考虑,在其他问题都一

样的时候,我们选择付费最少的那个方案,也就是较优方案。

二、“路程和最短”中的较优方案

从一点经过某一直线上的一点再至该直线同一侧的另一点,求其线段和最短。这类问题在学习了轴对称之后我们习惯性的作法是作出某一点关于直线的对称点,再将对称点与另一点连结之后所得线段的长度即所要求的最短路程和。在《科学》中学过光通过镜面反射所走的路程的做法运用的也是这个知识。在实际问题中,每个问题都能按照这样的思路去解决吗?

安徽省宿松二中祝世清教师有一篇文章《可以提出更合理的方案》,其中有这样一道题:a、b两个村在河岸cd的同侧,他们到河边的距离分别为ac=3公里,bd=5公里,cd=6公里,如图所示。现要在河岸cd边建一水厂,向a、b两村送水,铺设水管的工程费用为每公里20000元,请选择水厂的位置,使铺设费用最省。他阐述了两种方案:

方案1:如图1,作点a关于cd的对称点a′,连结a′b交cd于点o。

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则点o就是所选水厂的位置。

所以水管总长ao+ob=a′o+ob=a′b=■=■=10(公里),

铺设费用=10×2万=20万(元)

显然此方案的给出受课本例题的影响。

方案2:水厂的位置就选在c处。

铺设水管的线路为c—a—b。水管总长=ca+ab=■=■≈9.325(公里)。铺设费用=9.325×2万=18.65万(元)。方案2比方案1节约1.35万元,因此方案2比方案1合理。方案2是如何提出来的呢? 设ac=a,bd=b,cd=c。不妨设b≥a。

则ao+ob=a′b=■,

所以(ao+ob)2=c2+a2+b2+2ab

因为ca+ab=a+■,

所以(ca+ab)2=2a2+c2+b2-2ab+2aab,

又因为(ao+ob)2-(ca+ab)2=4ab-a2-2aab,

所以当abca+ab;

当ab=■时,ao+ob=ca+ab;

当ab>■时,ao+oba′b,也就是说,牧童所走a—o—b这样的路线是最短的。

通过上述两个问题的辨析,在解决此类问题时就可以更加清晰和明确地找到解决问题的最优方案了。如:小河的南岸有甲、乙两个村庄,甲村离河岸的距离为1千米,乙村位于甲村东南方向■千米处。若以河的南岸为x轴,甲村在y轴的负半轴上,建立直角坐标系,如图3(单位:千米)。

(1)在直角坐标系中标出甲、乙两个村庄的位置,并写出其坐标。

(2)如果在小河南岸修一个抽水机埠,分别向甲、乙两个村庄挖一条水渠,要使所挖水渠最短,抽水机埠应修在什么地方?在直角坐标系中标出其位置,并求出所挖水渠的长度(结果中如果有开不尽方的数,用根号表示)。

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此时我们就很清楚地知道,从a村到b村的水渠是可以“公用”的,且ab<(4b-a)/2,所以在求解第(2)小题时,就不用去做点a关于河岸的对称点了,直接从o点建抽水机埠,然后从o点建水渠至a,再由a点建水渠至b点,路线o—a—b即所求的最短路线,此时求出的最短水渠为1+■。

参考文献:

[1]《数学》.八年级上册教科书.浙江教育出版社.

[2]《数学》.八年级上册作业本.浙江教育出版社.

[3]祝世清.《可以提出更合理的方案》. 《中学生数学》.2007年1月下.

作者单位:浙江省衢州市柯城区沟溪初中