子空间的运算
空间解析几何的子空间子空间的定义性质与计算
空间解析几何的子空间子空间的定义性质与计算空间解析几何的子空间空间解析几何是数学中的一门分支，研究空间中的点、线、面等几何元素之间的关系。
在空间解析几何中，子空间是一个重要的概念。
本文将介绍子空间的定义、性质以及如何进行计算。
一、子空间的定义子空间是指一个向量空间中的一个子集，且满足向量加法和数乘运算在该子集内封闭的性质。
通常用线性方程组的解空间来表示一个子空间。
对于n维向量空间V，若存在一组向量v1, v2, ..., vk，满足以下条件：1. 向量v1, v2, ..., vk属于向量空间V；2. 对于任意实数c1, c2, ..., ck，向量c1v1 + c2v2 + ... + ckvk也属于向量空间V。
则称这组向量v1, v2, ..., vk张成的子集为向量空间V的一个子空间。
二、子空间的性质1. 子空间中的零向量：子空间中必然包含零向量，即所有元素之和为零的向量。
2. 子空间的封闭性：子空间中的任意两个向量进行加法运算，其结果仍然在子空间内。
3. 子空间的伸缩性：子空间中的任意一个向量进行数乘运算，其结果仍然在子空间内。
4. 子空间的维度：子空间的维度小于等于父空间。
例如在三维空间中，一个平面是一个二维子空间，而直线是一个一维子空间。
三、子空间的计算在空间解析几何中，计算子空间常常涉及到线性方程组的解空间。
下面通过一个例子来说明如何计算子空间。
例：考虑以下线性方程组：2x + y - z = 0x - y + z = 0要求解该线性方程组的解空间，即求出满足该方程组的所有解向量。
首先将方程组写成增广矩阵的形式：[ 2 1 -1 | 0 ][ 1 -1 1 | 0 ]接着，对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵：[ 1 -1 1 | 0 ][ 0 3 -3 | 0 ]由于阶梯形矩阵的最后一行全为0，所以该线性方程组有一个自由变量，即z可以取任意实数。
令z = t（其中t为任意实数），则该线性方程组的解向量可以表示为：x = 2ty = tz = t因此，该线性方程组的解空间可以表示为向量：[ 2t ][ t ][ t ]其中t为任意实数，这就是该线性方程组的解空间。
高等代数选讲第四讲 线性空间的子空间
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W , k P , 有 k W
则W是V的一个子空间．
推论 V为数域P上的线性空间, W V (W ), 则 W是V的子空间 , W , a , b P , a b W .
3
1. 设 1 , 2 ,, r 是 V 的子空间 W 的基 W L(1, 2 ,, r ) .
2. ( 定理 3 )
1) L(1 , 2 ,, r ) = L(1 , 2 ,, s ) {1,2 ,,r }与{1, 2 ,, s } 等价； 2) dim L(1 , 2 ,, r ) = {1 , 2 ,, r }的秩.
第四讲 线性空间的子空间 一、子空间、子空间的交与和
二、求和空间与交空间的方法
1
1、线性子空间的定义
设V是数域P上的线性空间，集合 W V (W ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间。
2
2、线性子空间的判定
定理
设V为数域P上的线性空间，集合 W V
A( k ) kA k 0 0
V2 , k V2
故 V2 是 P n的子空间.
17
（2）先证 P V1 V2 .
n
n 任取 P , 有 A ( A ),
其中 A V1 , 又
A( A ) A A2 A A 0
（iii） k k ,
, V
k P , V
则称 是V 到V 的一个同构映射（isomorphism mapping）， 并称线性空间 V 与V 同构，记作 V V .
高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
子空间的交与和
§6.子空间的交与和类比引入：向量空间V 的子空间12,V V 也是两个集合，集合的运算有交集、并集、差集，那么子空间12,V V 之间有哪些类似的运算？ 定义1 12,V V 是V 子空间，记子空间的“交”：}{1212|V V V V ααα=∈∈ 且； 子空间的“并”：{}2121V V V V ∈∈=ααα或 ；子空间的“和”：}{12121122|,,V V V V αααααα+==+∈∈.思考：12,V V 是V 的非空子集，若对V 中的“加法”“数乘”运算封闭，则它们构成子空间.那么12V V ，21V V ，12V V +显然也是V 的非空子集，它们是子空间吗？ 结论：1. 12V V 是V 的子空间. 分析：i) 120V V ∈≠∅ ii)12112212,,V V V V V V V V αβαβαβαβ∈+∈⎫⎧→→+∈⎬⎨+∈⎩⎭ （）子空间 同理12()a V V α∈ 2. 21V V 不是V 的子空间. 3. 12V V +是V 子空间. 分析：i) 12V V +≠∅1211221212121212()(),()()V V V V a a a V V ααααβαβαβαββββααα=++=+++∈+⎧⎧∈+→→⎨⎨=+=+∈+⎩⎩例：3V 中,1V 表示过原点一条直线，2V 表示过原点且与1V 垂直的平面，那么{}121230,V V V V V =+= 都是V 的子空间，而21V V 不是V 的子空间. 性质：1.⎧⎨⎩加法交换律子空间和运算性质加法结合律12211212212112212112,,,,V V V V V V V V V V V V V V V V αααααα+=+∀=+∈+=+∈++⊆++⊆+则同理2.12,,V V W 是V 子空间1122W V W V V W V ⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭3. 12,,V V W 是V 子空间1122V W V V W V W ⊂⎫⇒+⊂⎬⊂⎭4. 12,V V 是V 子空间12121122V V V V V V V V ⊂⇔=⇔+=5. ￡()12,,S ααα+ ￡()12,,,t βββ= ￡()1212,,,,,,,s t αααβββ 类比集合A,B 元素个数()()card A B cardA cardB card A B +=+-维数公式：121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-Note ：1) 和的维数往往比维数之和小.2) 若n 维线性空间V 中两个子空间12,V V 的维数之和大于n ，则12,V V 必含有非零的公共向量.分析：121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 12,V V 是V 子空间，则12dim()0V V > 则12V V 含非零向量。
子空间的交和和
我们来证明，向量组
1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m , 1 , …, t - m
是 V1 + V2 旳一组基. 这么， V1 + V2 旳维数就等于 s + t - m , 因而维数公式成立.
因为
所以
V1 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m ) , V2 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, t - m ) .
解：1) 任取 L(1 ,2 ) L(1 , 2 )
设 x11 x22 y11 y22 ,
则有 x11 x22 y11 y22 0,
x1 x2 2 y1 y2 0
即
2
x1 x2 y1 x1 x2 3 x1 y1 7
y2 y2
y2
0 0
0
(＊)
1) 互换律 V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
2) 结合律 (V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
推广
多种子空间旳交
V1,V2 , V1 V2
,Vs 为线性空间V旳子空间，则集合
s
Vs Vi | Vi ,i 1,2,3, , s
i 1
也为V旳子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 旳交空间.
证明 设 V1 , V2 旳维数分别是 s , t , V1∩V2
旳维数是 m . 取 V1∩V2 旳一组基
1 , 2 , …, m .
假如 m = 0 ，这个基是空集，下面旳讨论中
1 , 2 , …, m 不出现，但讨论一样能进行. 由
定理
设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间， 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 , 那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就说
生成子空间的运算
生成子空间的运算生成子空间是线性代数中一个非常重要的概念，它是指在一个向量空间中，通过对向量进行线性组合所得到的所有向量所组成的子集合。
在本文中，我们将探讨生成子空间的运算及其相关概念。
我们需要了解什么是向量空间。
向量空间是指一个集合，其中包含了一些向量，这些向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些特定的性质。
例如，向量空间必须满足加法交换律、结合律和存在零向量等基本性质。
在向量空间中，我们可以通过对向量进行线性组合来得到新的向量。
线性组合是指将向量乘以一个标量后再相加的运算。
例如，对于向量空间V中的两个向量u和v，它们的线性组合可以表示为au+bv，其中a和b是标量。
接下来，我们来介绍生成子空间的概念。
生成子空间是指在一个向量空间中，通过对向量进行线性组合所得到的所有向量所组成的子集合。
具体来说，如果V是一个向量空间，S是V中的一个子集合，那么S的生成子空间就是由S中所有向量的线性组合所组成的子集合。
我们用<span style="font-size: 1.2em;">span(S)</span>来表示S的生成子空间。
例如，假设V是一个二维向量空间，S是V中的两个向量{(1,0),(0,1)}，那么S的生成子空间就是V本身，因为任何一个二维向量都可以表示为(1,0)和(0,1)的线性组合。
生成子空间的运算包括加法和数乘运算。
对于生成子空间<span style="font-size: 1.2em;">span(S)</span>和<span style="font-size: 1.2em;">span(T)</span>，它们的加法运算定义为<span style="font-size: 1.2em;">span(S+T)</span>，即由S和T中所有向量的线性组合所组成的子集合。
krylov子空间算法
Krylov 子空间的定义:定义:令N R υ∈,由1m A υυυ-L ，，，A 所生成的子空间称之为由υ与A 所生成的m 维Krylov 子空间,并记(),m K A v 。
主要思想就是为各迭代步递归地造残差向量,即第n 步的残差向量()n r 通过系数矩阵A 的某个多项式与第一个残差向量()0r 相乘得到。
即()()()0n r p A r =。
但要注意,迭代多项式的选取应该使所构造的残差向量在某种内积意义下相互正交,从而保证某种极小性(极小残差性),达到快速收敛的目的。
Krylov 子空间方法具有两个特征:1、极小残差性,以保证收敛速度快。
2、每一迭代的计算量与存储量较少,以保证计算的高效性。
投影方法线性方程组的投影方法方程组Ax b =,A 就是n n ⨯的矩阵。
给定初始()0x ,在m 维空间K(右子空间)中寻找x 的近似解()1x 满足残向量()1r b Ax =-与m 维空间L(左子空间)正交,即()1b Ax L -⊥,此条件称为Petrov-Galerkin 条件。
当空间K=L 时,称相应的投影法为正交投影法,否则称为斜交投影法、投影方法的最优性:１、 (误差投影)设A 为对称正定矩阵,()0x 为初始近似解,且K=L,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件就是()()()()01min z x Kx z ϕϕ∈+=其中,()()()12,z A x z x z ϕ=--2.(残量投影)设A 为任意方阵,()0x 为初始近似解,且L AK =,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件就是()()()()01min z x Kx z ψψ∈+=其中()()122,z b Az b Az b Az ψ=-=--矩阵特征值的投影方法对于特征值问题Ax x λ=,其中A 就是n ×n 的矩阵,斜交投影法就是在m 维右子空间K 中寻找i x 与复数i λ满足i i i Ax x L λ-⊥,其中L 为m 维左子空间、当L=K 时,称此投影方法为正交投影法、 误差投影型方法: 取L=K 的正交投影法非对称矩阵的FOM 方法(完全正交法) 对称矩阵的IOM 方法与DIOM 方法 对称矩阵的Lanczos 方法 对称正定矩阵的CG 方法 残量投影型方法: 取L=AK 时的斜交投影法 GMERS 方法(广义最小残量法)重启型GMERS 方法、QGMERS 、DGMERSArnoldi 方法标准正交基方法:Arnoldi 方法就是求解非对称矩阵的一种正交投影方法。
第六节 子空间的交与和
可以定义多个子空间的交：
s
V1 V 2 V s
V
i 1
i
,
它也是子空间.
§6.6 子空间的交与和
二、子空间的和
1. 定义
定义 2 间, 称 V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 } 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
的解空间.
§6.6 子空间的交与和
例4
在一个线性空间 V 中，有 L(1 , 2 , …, s ) + L(1 , 2 , …, t )
=L(1 , …, s , 1 , …, t )
§6.6 子空间的交与和
五、子空间的交与和的维数
定理 3 (维数公式) 如果 V1 , V2 是线性空间
+ V1 ， + V2 ， 因此 + V1 ∩V2 .
对数量乘积可以同样地证明. 子空间.
§6.6 子空间的交与和
所以V1 ∩V2 是 V 的
证毕
3. 子空间的交的运算规律
1) 交换律
2) 结合律
V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
(V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
为V1 ，V2 的和.
§6.6 子空间的交与和
2. 性质 定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间. 证明 首先，由 0 V1 ，0 V2 ，可知 0 V1
+ V2 ，因而 V1 + V2 是非空的. 其次 , 如果 ,
W V1 与 W V2 可推出 W V1 ∩ V2 ； 而由 W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 . 性质 2 等价的： 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是
子空间的交并和关系证明题
子空间的交并和关系证明题1. 引言子空间是线性代数中的重要概念，它可以理解为一个向量空间中的子集，并且保持向量加法和标量乘法的性质。
子空间的交并和关系证明题是线性代数中常见的问题，通过证明子空间的性质，可以进一步深入理解向量空间的结构和性质。
本文将介绍子空间的定义、交并运算的性质以及如何进行关系证明题的推导。
2. 子空间的定义向量空间V的一个非空子集W，如果满足以下三个条件，则称W为向量空间V的子空间：•零向量0属于W；•对于任意的向量u、v属于W，其和u+v也属于W；•对于任意的向量u属于W和任意的标量c，其乘积cu也属于W。
满足这些条件的子空间可以理解为向量空间中的闭集，即经过加法和标量乘法运算后，结果仍然在子空间中。
3. 子空间的交运算给定两个子空间W1和W2，它们的交集W1∩W2定义为同时属于W1和W2的向量的集合。
根据子空间的定义，交集W1∩W2也是一个子空间。
为了证明交集W1∩W2是子空间，我们需要验证以下三个条件：•零向量0属于W1∩W2；•对于任意的向量u、v属于W1∩W2，其和u+v也属于W1∩W2；•对于任意的向量u属于W1∩W2和任意的标量c，其乘积cu也属于W1∩W2。
证明：•零向量0属于W1和W2，因此0属于W1∩W2，满足条件1；•对于任意的向量u、v属于W1∩W2，由于u属于W1且v属于W2，根据子空间的定义，u+v也属于W1和W2，因此u+v属于W1∩W2，满足条件2；•对于任意的向量u属于W1∩W2和任意的标量c，由于u属于W1和W2，根据子空间的定义，cu也属于W1和W2，因此cu属于W1∩W2，满足条件3。
综上所述，交集W1∩W2是向量空间V的子空间。
4. 子空间的并运算给定两个子空间W1和W2，它们的并集W1∪W2定义为属于W1或W2的向量的集合。
根据子空间的定义，对于并集W1∪W2，我们需要验证以下三个条件：•零向量0属于W1∪W2；•对于任意的向量u、v属于W1∪W2，其和u+v也属于W1∪W2；•对于任意的向量u属于W1∪W2和任意的标量c，其乘积cu也属于W1∪W2。
子空间的运算
3)1)任取α∈W1+W2，假设α有两种表法：
α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2
α=β1+β2，β1∈W1，β2∈W2
则α1－β1=β2－α2∈W1∩W2．因为W1∩W2=0，所以α1=β1，α2=β2．因此，和W1+W2是直和．
定理6.5.3设W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则下列陈述彼此等价：
由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则：
1)交换律W1∩W2=W2∩W1；
2)结合律(W1∩W2)∩W3=W1∩(W2∩W3)．
由结合律，我们得到多个子空间的交：
，
且由归纳法易见， 也是V的子空间．
注类似命题6.5.1的证明可得，设I是任一指标集，若i∈I，Wi是V的子空间，则 也是V的子空间．
dim(W1∩W2)=2+2－3=1．
所以α1－4α2=(5，－2，－3，－4)是W1∩W2的一个基．
5.2直和
考察推论6.5.1成立的情形，下面引入
定义1设W1，W2是数域F上向量空间V的子空间．若和W1+W2中每个向量α都能唯一地表示为
α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2，(10)
则称W1+W2为直和，记作W1W2．
W1+W2=L( ， )+L( ， )
=L( ， ， ) (6)
于是W1+W2是有限维的．若能证明 ， ， 线性无关，则它就是W1+W2的一个基，从而有dim(W1+W2) =m+(n1－m)+(n2－m)=n1+n2－m=dimW1+dimW2－dim(W1∩W2)，即维数公式成立．于是，设
6.6 子空间的交与和
a11x1 a12 x2
ba1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
bt1x1 bt2 x2
a1n xn 0
asn xn 0 b1n xn 0
btn xn 0
的解空间.
例3 在线性空间V中，有以下公式成立：
例3V1 V2 L(1, 2, , m, 1, , , n1m 1, , n2 m )
V1 β1,···,βn1-m
V1∩V2
V2
α1 ,α2,···,αm γ1, ···, γn2-m
V1 + V2
下面证明： 1, 2 , , m , 1, , n1m , 1, , n2 m 线性无关
设 k11 k 22 k mm p11 p n1m n1m q11 qn2 m n2 m 0
m
n1 m
n2 m
→ kii pjj qt t V1, V2 V1 V2 ，即 可由基
qn2 m n2 m 0 →
qn2m 0 →
m
n1 m
kii pjj 0 由1, 2 ,
i=1
j=1
, m , 1,
, n1m是V1的基可知
k1 k m p1 pn1m 0 ，即 1, 2 , , m , 1, , n1m , 1, , n2 m
证明： 0 0 0 V1 V2 V1 V2 V .
, V1 V2 , 1 2, 1 2, 1, 1 V1, 2, 2 V2 →
(1 2 ) (1 2 ) (1 1) (2 2 ), 1 1 V1, 2 2 V2
线性空间与子空间的性质与运算
线性空间与子空间的性质与运算线性空间（也称为向量空间）是数学中重要的概念之一，它是一种满足特定性质的集合。
任何一个线性空间都有一些性质和运算规则，而子空间则是线性空间的一个重要概念。
一、线性空间的性质1. 加法封闭性：对于线性空间V中的任意两个向量x和y，它们的和x+y也属于V。
2. 数乘封闭性：对于线性空间V中的任意向量x和数k，它们的乘积kx也属于V。
3. 加法交换律：对于线性空间V中的任意两个向量x和y，它们的和x+y与y+x相等。
4. 加法结合律：对于线性空间V中的任意三个向量x、y和z，它们的和满足(x+y)+z = x+(y+z)。
5. 零元素存在性：线性空间V中存在一个特殊的元素0，称为零向量，它满足对于任意向量x，x+0 = x。
6. 负元素存在性：对于线性空间V中的任意向量x，存在一个特殊的元素-x，使得x+(-x) = 0。
7. 乘法结合律：对于线性空间V中的任意数k1和k2以及任意向量x，满足(k1k2)x = k1(k2x)。
8. 分配律：对于线性空间V中的任意数k以及向量x和y，满足k(x+y) = kx+ky。
二、子空间的性质与运算子空间是线性空间的一个重要概念，它是指一个非空集合H，若H也是线性空间，且包含于另一线性空间V中，则称H为V的子空间。
1. 零子空间：零向量所在的所有子空间都称为零子空间，也记作{0}。
2. 平面子空间：当子空间H包含线性空间V中两个或多个线性无关的向量时，它们所张成的平面子空间称为V的平面子空间。
3. 线子空间：当子空间H中的向量都可以用一个非零向量来表示时，该子空间称为线子空间。
子空间的运算包括加法和数乘运算。
对于一个子空间H，对于任意两个向量x和y，以及任意数k，都有以下性质：1. 加法封闭性：如果向量x和y属于子空间H，则它们的和x+y也属于H。
2. 数乘封闭性：如果向量x属于子空间H，数k属于实数域R或复数域C，则kx也属于H。
注意，几个子空间的交集仍然是子空间，而子空间的并集不一定是子空间。
子空间的交与和
子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的 运算。由于两个子空间的并一般未必仍是 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空 间集合的运算。因此引入子空间的和。我 们切不可把子空间的和与集合的并混为一 谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ 都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。
• 关于子空间的交与和有以下结论:
1.设V1,V2 ,W都是子空间, 那么由W V1 与W V2可推出 W V1 V2 ; 而由W V1,W V2 可推出W V1 V2 . 2.对于子空间V1与V2 ,下列命题是等价的: (1) V1 V2 ; (2) V1 V2 V1 (3) V1 V2 V2
• 证明维数定理
设维(V1 ) s ,维(V2 ) r,维(V1 V2 ) m
1, 2 , , m是V1 V2的一组基, 分别扩充成 V1的一组基 1, 2 , , m , m1, , s 与 V2的一组基 1, 2 , , m , m1, , r 有 V1 L(1, , m , m1, , s ) V2 L(1, , r , m1, , r )
s
V1 V2 Vs Vi 也是V的子空间. i 1
因为任意一个ｎ阶矩阵都可表为ｎ阶对称矩 阵与ｎ阶反对称阵的和,所以有
Ｍn(Ｆ)＝Ｓ＋Ｔ,
其中Ｓ,Ｔ分别为全体ｎ阶对称和全体ｎ阶反 对称矩阵的集合,它们都是子空间.
前面所说Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2也是一个子空间和的具 体例子,我们应当善于利用这些具体例子去 理解一般子空间的和的概念
V1 V2 V2 V1(交换率）
(V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 ) (结合律）
子空间的交与和
的解空间.
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13
例4 在一个线性空间V中, 有 L(1 , 2 , , s ) L( 1 , 2 , L(1 , 2 , , s , 1 , 2 , , t ).
证 L(1 ,2 ,
, t )
, t )
lt t ) lt t
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10
V1∩V2 是这两个平面的交线， V1 + V2是整 的平面， 个 3 维空间.
z
2 1 3
x o V1 y
V2
V1∩V2
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11
例3 设 V1 , V2 分别是 P 3 中齐次方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2 a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
下证
1 , 2， , m , 1 , 2 ,
, n1 m , 1 , 2 ,
, n2 m
线性无关.设 k11 km m p1 1
q1 1
pn1 m n1 m
qn2 m n2 m 0
令
k11
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4
定理6 如果V1 ,V2是V的两个子空间, 则它们的 和V1 V2也是V的子空间.
证 首先因0 0 0 V1 V2 , 所以V1 V .
其次 , V1 V2 , 有1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 , 使得
线性代数课件6-3线性子空间
目录
• 线性子空间的定义与性质 • 线性子空间的维数与基 • 线性子空间的表示与投影 • 线性子空间的性质与关系 • 线性子空间的运算与变换 • 线性子空间的应用与实例
线性子空间的定义与
01
性质
线性子空间的定义
01
线性子空间是向量空间的一个非 空子集，对于向量空间中的加法 和标量乘法运算封闭。
线性变换与矩阵表示
线性变换
一个从线性子空间$W_1$到线性子空间$W_2$的映射，如果对于任意向量$w in W_1$， 满足$varphi(k cdot w) = k' cdot varphi(w)$的标量$k'$，则称$varphi$为线性变换。
矩阵表示
如果存在基底${e_1, e_2, ..., e_n}$，使得对于任意向量$w = a_1 e_1 + a_2 e_2 + ... + a_n e_n in W$，有$varphi(w) = A(w) = A(a_1, a_2, ..., a_n)$，则称矩阵A为线性
于0。
投影的性质
投影具有非负性、齐次性和平移 不变性。
投影的几何意义
投影的长度
01
向量$x$在子空间$W$上的投影长度等于向量$x$与垂直于子空
间$W$的平面上任意向量的点积的绝对值。
投影的方向
02
投影的方向与子空间$W$正交，且与向量$x$在子空间$W$上
的方向一致。
投影的意义
03
投影表示向量$x$在子空间$W$上的分量，即向量$x$在子空间
线性子空间在信号处理中的应用
在信号处理中，线性子空间可以用来描述信号的频率、时 间和幅度等特征。例如，在频域分析中，信号可以表示为 一组正弦波的线性组合，而这些正弦波的频率、幅度和相 位可以构成一个线性子空间。
§6 子空间的交与和
子空间的交的运算规律 交换律 结合律
V1 ∩ V2 = V2 ∩ V1 (V1 ∩ V2 ) ∩ V3 = V1 ∩ (V2 ∩ V3 )
s
由结合律，可以定义有限多个子空间的交：
V1 ∩ V2 ∩⋯ ∩ Vs = ∩Vi ,
它也是子空间.
i =1
自然要问： 思考 自然要问：两个子空间的并是否一定是 子空间？ 如果不一定， 子空间？ 如果不一定，则考虑两个子空间的并是子 空间的充分必要条件. 空间的充分必要条件
§6 子空间的交与和
定理5 定理5
如果V1, V2是线性空间V 的两个子空间，则它们 的交V1∩V2也是V 的子空间. 证明： 证明： 首先，0∈V1，0∈V2，可知0∈V1∩V2， 因而V1∩V2是非空的. 其次，如果 α , β ∈ V1 ∩ V2 , 即 α , β ∈ V1 , 且 α , β ∈ V2 , 则 α + β ∈ V1 , 且 α + β ∈ V2 , 因此 α + β ∈ V1 ∩ V2 . 对数量乘积可以同理证明. 所以V1∩V2是子空间.
s
i
= {α1 + α 2 + ⋯ + α s | α i ∈ Vi , i = 1,2,⋯, s}.
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命题1 命题1
设V1,, V2, W都是子空间，则
1) W ⊂ V1 ,W ⊂ V2 ⇒ W ⊂ V1 ∩ V2 ;
2) V1 ⊂ W ,V2 ⊂ W ⇒ V1 + V2 ⊂ W .
dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 ).
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§5 子空间的运算教学目的 通过2学时的讲授，使学生理解子空间交、和的定义与性质，基本掌握子空间直和的刻画定理及初步应用．教学内容为了进一步把握向量空间的结构，本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算，以及子空间和的重要特况：直和．5.1 交与和命题6.5.1 设W 1，W 2都是数域F 上向量空间V 的子空间，则W 1∩W 2也是V 的子空间，叫做W 1与W 2的交．证 因为θ∈W 1∩W 2，所以W 1∩W 2≠∅．设α，β∈W 1∩W 2，则α，β∈W i ，i =1，2．因为W i 是子空间，所以α+β∈W i ；k α∈W i ，∀k ∈F ；i =1,2．于是α+β∈W 1∩W 2，k α∈W 1∩W 2，∀k ∈F ．因此，W 1∩W 2是V 的子空间．由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则：1)交换律 W 1∩W 2= W 2∩W 1；2)结合律 (W 1∩W 2)∩W 3= W 1∩(W 2∩W 3)． 由结合律，我们得到多个子空间的交：ti i t W W W W 121==，且由归纳法易见， ti i W 1=也是V 的子空间．注 类似命题 6.5.1的证明可得，设I 是任一指标集，若∀i ∈I ，W i 是V 的子空间，则{}I i W W i Ii i ∈∀∈=∈,αα 也是V 的子空间．向量空间V 的两个子空间W 1与W 2的并集一般不是V 的子空间．例如，在V 3中，取W 1，W 2是通过原点的两个不同的平面，它们都是V 3的子空间．W 1∪W 2对加法一般不封闭，因此W 1∪W 2不是V 3的子空间．若我们想构造一个包含W 1∪W 2的子空间，则这个子空间应当包含W 1中的任一向量α1与W 2中的任一向量α2的和α1+α2 ．由此受到启发．我们来证明命题6.5.2 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个子空间，则集合},{221121W W ∈∈+αααα (1) 是V 的一个子空间，叫做W 1和W 2的和，记作W 1+W 2．证 把集合(1)记作W ．显然θ∈W (因为θ =θ +θ )．在W 中任取两个向量α，β，可设21ααα+=， 21βββ+=，其中α1，β1∈W 1，α2，β2∈W 2，则)()(2211βαβαβα+++=+．由于W 1，W 2是V 的子空间，所以α1+β1∈W 1，α2+β2∈W 2，从而α+β∈W ．类似可证任取k ∈F ，，，，221121W W W ∈∈∈+=ααααα则W k ∈α．因此W 是V 的一个子空间．对于W 1中任一向量α1，有α1=α1+θ．因此W 1⊆W 1+W 2．同理，W 2⊆W 1+W 2．从而W 1∪W 2⊆W 1+W 2．所以W 1+W 2是包含W 1∪W 2的子空间．设U 是V 的子空间，且W 1∪W 2⊆U ，则对于任意αi ∈W i ，i =1，2，有αi ∈U ．从而α1+α2∈U ．由此看出W 1+W 2⊆U ．这表明W 1+W 2是V 中含W 1∪W 2的最小的子空间．由命题6.5.2知道W 1+W 2=},{221121V V ∈∈+αααα． (2)从(2)式容易看出，子空间的和适合下列运算规则：1)交换律 W 1+W 2= W 2+W 12)结合律 (W 1+W 2)+W 3=W 1+(W 2+W 3)．由结合律，我们可以定义t (t ≥2)个子空间的和：∑==+++ti i t W W W W 121 ，用归纳法易证，∑=ti i W 1仍是V 的子空间，并且t W W W ++21=},,1{21t i W i i t =∈+++，αααα． (3)命题6.5.3 设r αα,,1 与s ββ,,1 是数域F 上向量空间V 的两个向量组，则()()()t r t r L L L ββααββαα ，，1111,,,,,,=+． (4)证 从(2)式得出()()t r L L ββαα,,11 +，=()(){}Fl k l l k k j i t r r r ∈+++++,1111ββαα=()t r L ββαα ,,,,11．在V 3中，设W 1是过原点O 的一个平面，W 2是过O 的另一个平面，它们相交于一条直线L ．则W 1，W 2，L 都是V 3的子空间，并且W 1∩W 2=L ．由于V 3中每个向量α可以表示成W 1中一个向量与W 2中一个向量的和(注意表法不唯一)，所以W 1+W 2=V 3．由于dim W 1=dim W 2=2，dim L =1,dim V 3=3，因此在本例中，有()()212121dim dim dim dim W W W W W W ++=+．这个公式对于任一向量空间的任意两个有限维子空间都成立，即有定理6.5.1(维数公式) 若W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个有限维子空间，则W 1∩W 2与W 1+W 2也都是有限维的，并且()()212121dim dim dim dim W W W W W W ++=+． (5)证 因为W 1是有限维的，而W 1∩W 2是W 1的子空间，所以W 1∩W 2也是有限维的．设W 1,W 2的维数分别是n 1，n 2，W 1∩W 2的维数是m ．取W 1∩W 2的一个基m αα,,1 ，并将它分别扩充成W 1的一个基m αα,,1 ，m n -1,1ββ， ，扩充成W 2的一个基m αα,,1 ，m n -2,1γγ， ．据(4)式，我们有W 1+W 2=L (m αα,,1 ，m n -1,1ββ， )+L (m αα,,1 ，m n -2,1γγ， )=L (m αα,,1 ，m n -1,1ββ， ，m n -2,1γγ， ) (6)于是W 1+W 2是有限维的．若能证明m αα,,1 ，m n -1,1ββ， ，m n -2,1γγ 线性无关，则它就是W 1+W 2的一个基，从而有dim(W 1+W 2) =m +(n 1－m )+(n 2－m )= n 1+ n 2－m =dim W 1+dim W 2－dim(W 1∩W 2)，即维数公式成立．于是，设m n mnm m p p k k --+++++111111ββαα θγγ=+++--m n m n q q 2211 ，则m n m n m m p p k k --+++++=111111ββαααm n m n q q -----=2211γγ ． (7)由(7)的第一个等式知道α∈W 1，由第二个等式知道α∈W 2．于是α∈W 1∩W 2．因此α可由m αα,,1 线性表出，令m m l l ααα++= 11． (8)由(7)的第二式以及(8)式得θγγαα=+++++--m n m n m m q q l l 221111 ．因为m αα,,1 ，m n -2,1γγ 线性无关，所以0211======-m n m q q l l ．从而α=θ．再由(7)的第一式便得到θββαα=+++++--m n m n m m p p k k 111111 ．因为m αα,,1 ，m n -1,1ββ， 线性无关，所以0111======-m n m p p k k ，这证明了m αα,,1 ，m n -1,1ββ， ，m n -2,1γγ 线性无关．推论6.5.1 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个有限维子空间，则dim(W 1+W 2)= dim W 1+dim W 2=⇔W 1∩W 2=0，这里0表示V 的零子空间．下面举一个例子说明在F n 中如何具体求两个子空间的和与交的基及维数． 例1 设V =F 4，W 1=L (α1，α2，α3)，W 2=L (β1，β2)，其中α1=(1，2，1，0)，α2=(-1，1，1，1)，α3=(0，3，2，1)，β1=(2，-1，0，1)，β2=(1，-1，3，7)．分别求W 1与W 2的和与交的基及维数．解 因为W 1+W 2= L (α1,α2,α3)+ L (β1,β2)= L (α1,α2,α3,β1,β2)，所以向量组α1,α2,α3,β1,β2的一个极大线性无关组所含向量的个数是W 1+W 2的维数．按照第三章的方法，把α1,α2,α3,β1,β2写成列向量，构成矩阵A ，对A 作一系列初等行变换，化成阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=00031000401101010171110302111131212011A (9)由此得出α1，α2，β1是W 1+W 2的一个基，故dim(W 1+W 2)=3．同时也知道，β2可经α1，α2，β1线性表示，其系数应当是线性方程组x 1α1+x 2α2+x 3β1=β2的解，且从上述A 及其化简得到的阶梯形矩阵的第1，2，4，5列可以看出，此方程组的解是(－1，4，3)．因而β2=－α1+4α2+3β1，故3β1－β2∈W 1∩W 2．又由维数公式易得dim(W 1∩W 2)=2+2－3=1．所以α1－4α2=(5，－2，－3，－4)是W 1∩W 2的一个基．5.2 直和考察推论6.5.1成立的情形，下面引入定义1 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的子空间．若和W 1+ W 2中每个向量α都能唯一地表示为α=α1+α2，α1∈W 1，α2∈W 2， (10)则称W 1+W 2为直和，记作W 1⊕W 2．定理6.5.2 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的子空间，则下列陈述彼此等价： 1)和W 1+W 2是直和；2)和W 1+W 2中零向量的表法唯一，即若α1+α2＝θ，α1∈W 1，α2∈W 2，则α1=α2＝θ； 3)W 1∩W 2=0．证 1) ⇒2) 显然．2) ⇒3) 设∀α∈W 1∩W 2，则零向量可表为θ =α+(－α)，α∈W 1，－α∈W 2．故由2)得α=θ．因此W 1∩W 2=0．3) ⇒1) 任取α∈W 1+W 2，假设α有两种表法：α=α1+α2，α1∈W 1，α2∈W 2 α=β1+β2，β1∈W 1，β2∈W 2则α1－β1=β2－α2∈W 1∩W 2．因为W 1∩W 2=0，所以α1=β1，α2=β2．因此，和W 1+W 2是直和．定理6.5.3 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个有限维子空间，则下列陈述彼此等价： 1)和W 1+W 2是直和；2)dim(W 1+W 2)=dim W 1+dim W 2；3)W 1的一个基与W 2的一个基合并起来是W 1+W 2的一个基． 证 由定理6.5.2和推论6.5.1立即得到1)⇔ 2)．3)⇒2)是显然的．现在证2)⇒3)：设s αα,,1 是W 1的一个基，r ββ,,1 是W 2的一个基，则 W 1+W 2=L (s αα,,1 )+L (r ββ,,1 )=L (s αα,,1 ,r ββ,,1 )因为dim(W 1+W 2)=dim W 1+dim W 2=s +r ，所以向量组s αα,,1 ，r ββ,,1 的秩等于s +r ，从而是线性无关的，因此它是W 1+W 2的一个基．推论6.5.2 设V 是数域F 上的有限维向量空间，U 是V 的一个子空间，则存在V 的一个子空间W ，使得V =U ⊕W ．证 因为V 是有限维的，所以子空间U 是有限维的．若U =0，则W =V ．若U ≠0，取U 的一个基s αα,,1 ，把它扩充成V 的一个基n s s αααα,,,,,11 +．令W =L (n s a ,,1 +α)，则U +W =L (s αα,,1 )+L (n s a ,,1 +α)=L (n s s αααα,,,,,11 +)=V由于U 的一个基与W 的一个基合并起来是U +W 的一个基，因此和U +W 是直和．故V =U ⊕W ．定义2 设V 是数域F 上的向量空间，U 是V 的一个子空间，若存在V 的一个子空间W ，使得V =U ⊕W ，则称W 是U 在V 里的补空间．这时U 也称为W 在V 里的补空间．从推论6.5.2知道，若V 是有限维的，则它的每一个子空间都有补空间．注意，一个子空间的补空间未必唯一．例如，在V 3中，设W 是过原点O 的一个平面，则任意一条经过点O 但不在W 上的直线都是W 的补空间．显然，子空间U 在V 里的补空间的概念与子集U 在V 里的补集的概念是不同的概念，请不要混淆．例2 设V =M n (F )，其中F 是数域．用W 1表示F 上所有n 阶对称矩阵组成的子空间，用W 2表示所有n 阶反对称矩阵组成的子空间，证明V =W 1⊕W 2．证 先证V =W 1+W 2．W 1+W 2⊆V 是显然的．注意到∀A ∈V =M n (F )，有22A A A A A '-+'+=．易验证2122W A A W A A ∈'-∈'+，．因此A ∈W 1+W 2．故V ⊆W 1+W 2．因此V = W 1+W 2．又任取B ∈W 1∩W 2，则B ′=B ，并且B ′＝－B ．于是B = －B ，从而2B =0．故B =0．于是W 1∩W 2=0．所以V = W 1⊕W 2．子空间直和的概念可以推广到s (s ≥2)个子空间的情形．定义3 设W 1，W 2，…，W s 都是数域F 上向量空间V 的子空间，若和W 1+W 2+…+W s 中每个向量α可唯一地表示成()s i W i i S ,,2,1,21 =∈+++=ααααα， 则称这个和为直和，记作W 1⊕W 2⊕…⊕W s 或i si W ⊕=1.定理6.5.4 设W 1，W 2，…，W s 是数域F 上向量空间V 的子空间，则下列命题彼此等价： 1)和W 1，W 2，…，W s 是直和；2)和∑=si i W 1中零向量的表法唯一；3)W i ∩0=∑≠ij j W ，i =1,2,…,s ．证 1)⇒ 2) 显然．2)⇒3) 任取α∈W i ∩∑≠ij j W ，则－α∈W i 且α∈∑≠ij j W ．于是α=∑≠ij j α，其中αj ∈W j ．因此零向量可以表成θ=(－α)+α=(－α)+∑≠ij j α故由2)得－α=θ，所以α=θ．于是W i ∩∑≠ij j W =0．3) ⇒1) 任取α∈∑=si i W 1，假设α有两种表法：α=α1+α2+…+αs ，αi ∈W i (i =1，2，…，s )， α=β1+β2+…+βs ，βi ∈W i (i =1，2，…，s )．任取i ∈{1，2，…，s }，由上两式可得()∑∑≠≠∈-=-ij j i ij jji i W W βααβ因为W i ∩∑≠ij j W =0，所以βi －αi =θ，即βi =αi ，i =1,2,…,s ．定理6.5.5 设W 1，W 2，…，W s 是数域F 上向量空间V 的有限维子空间，则下列命题互相等价：1)和∑=si i W 1是直和；2)dim(W 1+W 2+…+W s )= ∑=si i W 1dim ；3)W i 的一个基，i =1，2，…，s ，合并起来是∑=si i W 1的一个基．证 1)⇒2) 因为和∑=s i i W 1是直和，据定理6.5.4得，W i ∩∑≠ij j W=0，i =1，2，…，s ．于是dim(∑=si i W 1)=dim(W 1+∑≠1j j W )=dim W 1+dim(∑≠1j j W )注意到W i ∩∑≠1，i j j W ⊆W i ∩∑≠ij j W =0．因此对s 用归纳法，则得dim(∑≠1j j W )=∑≠1dim j j W ，从而得到dim(∑=s i i W 1)=∑=s i i W 1dim ．2)⇒3) 类似于定理6.5.3 证明中的2) ⇒3)．3)⇒1) 易证和∑=si i W 1中零向量的表法唯一,从而∑=si i W 1是直和.课外作业：P328：1、2)；2；3；8．。