子空间的运算

§5 子空间的运算

教学目的 通过2学时的讲授，使学生理解子空间交、和的定义与性质，基本掌握子空间直和的刻画定理及初步应用．

教学内容

为了进一步把握向量空间的结构，本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算，以及子空间和的重要特况：直和．

5.1 交与和

命题6.5.1 设W 1，W 2都是数域F 上向量空间V 的子空间，则W 1∩W 2也是V 的子空间，叫做W 1与W 2的交．

证 因为θ∈W 1∩W 2，所以W 1∩W 2≠∅．设α，β∈W 1∩W 2，则α，β∈W i ，i =1，2．因为W i 是子空间，所以α+β∈W i ；k α∈W i ，∀k ∈F ；i =1,2．于是α+β∈W 1∩W 2，k α∈W 1∩W 2，∀k ∈F ．因此，W 1∩W 2是V 的子空间．

由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则：

1)交换律 W 1∩W 2= W 2∩W 1；

2)结合律 (W 1∩W 2)∩W 3= W 1∩(W 2∩W 3)． 由结合律，我们得到多个子空间的交：

t

i i t W W W W 1

21==

，

且由归纳法易见， t

i i W 1

=也是V 的子空间．

注 类似命题 6.5.1的证明可得，设I 是任一指标集，若∀i ∈I ，W i 是V 的子空间，则{}I i W W i I

i i ∈∀∈=∈,αα 也是V 的子空间．

向量空间V 的两个子空间W 1与W 2的并集一般不是V 的子空间．例如，在V 3中，取W 1，W 2是通过原点的两个不同的平面，它们都是V 3的子空间．W 1∪W 2对加法一般不封闭，因此W 1∪W 2不是V 3的子空间．若我们想构造一个包含W 1∪W 2的子空间，则这个子空间应当包含W 1中的任一向量α1与W 2中的任一向量α2的和α1+α2 ．由此受到启发．我们来证明

命题6.5.2 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个子空间，则集合

},{221121W W ∈∈+αααα (1) 是V 的一个子空间，叫做W 1和W 2的和，记作W 1+W 2．

证 把集合(1)记作W ．显然θ∈W (因为θ =θ +θ )．在W 中任取两个向量α，β，可设

21ααα+=， 21βββ+=，

其中α1，β1∈W 1，α2，β2∈W 2，则

)()(2211βαβαβα+++=+．

由于W 1，W 2是V 的子空间，所以α1+β1∈W 1，α2+β2∈W 2，从而α+β∈W ．

类似可证任取k ∈F ，，，，221121W W W ∈∈∈+=ααααα则W k ∈α．因此W 是V 的一个子空间．

对于W 1中任一向量α1，有α1=α1+θ．因此W 1⊆W 1+W 2．同理，W 2⊆W 1+W 2．从而W 1∪W 2⊆W 1+W 2．所以W 1+W 2是包含W 1∪W 2的子空间．

设U 是V 的子空间，且W 1∪W 2⊆U ，则对于任意αi ∈W i ，i =1，2，有αi ∈U ．从而α1+α2∈U ．由此看出W 1+W 2⊆U ．这表明W 1+W 2是V 中含W 1∪W 2的最小的子空间．

由命题6.5.2知道

W 1+W 2=},{221121V V ∈∈+αααα． (2)

从(2)式容易看出，子空间的和适合下列运算规则：

1)交换律 W 1+W 2= W 2+W 1

2)结合律 (W 1+W 2)+W 3=W 1+(W 2+W 3)．

由结合律，我们可以定义t (t ≥2)个子空间的和：

∑==

+++t

i i t W W W W 1

21 ，

用归纳法易证，∑=t

i i W 1

仍是V 的子空间，并且

t W W W ++21=},,1{21t i W i i t =∈+++，αααα． (3)

命题6.5.3 设r αα,,1 与s ββ,,1 是数域F 上向量空间V 的两个向量组，则

()()()t r t r L L L ββααββαα ，，1111,,,,,,=+． (4)

证 从(2)式得出

()()t r L L ββαα,,11 +，=()(){}F

l k l l k k j i t r r r ∈+++++,1111ββαα

=()t r L ββαα ,,,,11．

在V 3中，设W 1是过原点O 的一个平面，W 2是过O 的另一个平面，它们相交于一条直线L ．则W 1，W 2，L 都是V 3的子空间，并且W 1∩W 2=L ．由于V 3中每个向量α可以表示成W 1中一个向量与W 2中一个向量的和(注意表法不唯一)，所以W 1+W 2=V 3．由于dim W 1=dim W 2=2，dim L =1,dim V 3=3，因此在本例中，有

()()212121dim dim dim dim W W W W W W ++=+．

这个公式对于任一向量空间的任意两个有限维子空间都成立，即有

定理6.5.1(维数公式) 若W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个有限维子空间，则W 1∩

W 2与W 1+W 2也都是有限维的，并且

()()212121dim dim dim dim W W W W W W ++=+． (5)

证 因为W 1是有限维的，而W 1∩W 2是W 1的子空间，所以W 1∩W 2也是有限维的．设W 1,W 2

的维数分别是n 1，n 2，W 1∩W 2的维数是m ．取W 1∩W 2的一个基m αα,,1 ，并将它分别扩充成W 1的一个基m αα,,1 ，m n -1,1ββ， ，扩充成W 2的一个基m αα,,1 ，m n -2,1γγ， ．据(4)式，我们有

W 1+W 2=L (m αα,,1 ，m n -1,1ββ， )+L (m αα,,1 ，m n -2,1γγ， )