数值分析试题及答案

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武理数值分析考试试题纸(A 卷)

课程名称 数值分析 专业年纪 一、计算题(本题满分100分,共5小题,每小题20分) 1. 已知函数表

(1) 求f(x)的三次Lagrange 型插值多项式及其插值余项(要求化成最简形式). (2) 求f(x)的Newton 插值多项式(要求化成最简形式). 2. 已知A=[212

013612

],求‖A ‖1,‖A ‖∞,A 的LU 分解.

3. 叙述m 阶代数精度的定义,写出求∫f (x )dx b

a 的Simpson 公式,并验证Simpson 公式的代数精度为3阶.

4. 设矩阵A=012

α11,求当α为何值时,解线性方程组Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代法收敛.

5. 叙述最小二乘法的基本原理,并举例说明其应用.

参考答案

一、计算题

1、

解:(1)L 3(x )=l 0(x )y 0+l 1(x )y 0+l 2(x )y 2+l 3(x )y 3

=

(x−0)(x−2)(x−2)(−1−0)(−1−1)(−1−2

)

×0+(x+1)(x−1)(x−2)(

0+1)(0−1)(0−2)

×(−1)+

(x+1)(x−0)(x−2)(

1+1)(1−0)(1−2)

×2+(x+1)(x−0)(x−1)(2+1)(2−0)(2−1)

×15

=

x 3+2x 2−1

R 3(x )

=f (x )−L 3(x )=f (4)(ε)4!

ω4(x )

(2) 均差表如下:

N (x )=f (x 0)+f ,x 0,x 1-(x −x 0)+f ,x 0,x 1,x 2-(x −x 0)(x −x 1)

+f ,x 0,x 1,x 2,x 3-(x −x 0)(x −x 1)(x −x 2)

=0+(−1)(x +1)+2×(x +1)(x −0)+1×(x +1)(x −0)(x −1) =x 3+x 2−1

2、 解: ‖A ‖1

=max 1≤j≤3∑|a ij |3i=1=2+0+6=8

‖A ‖∞=max 1≤i≤3∑|a ij |3j=1=6+1+2=9

A =LU =[1

l 21

1l 31

l 32

1][

u 11

u 12

u 13u 22

u 23u 33]=[212013612

] 由u 11

=2 u 12=1 u 13=2

l 21=0 u 22=1 u 23=3 l 31=3 l 32=−2 u 33=2

所以 A =LU =[1

01

3−2

1

][2

121

32

] 3. 解:定义:如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,但对于m+1次的多项式就不准确成立,则称该求积公式具有m 次代数精度。 ∫f (x )dx b

a 的Simpson 公式: S =

b−a 6

0f (a )+4f.

a+b 2

/+f (b )1

验证代数精度: 当f (x )=1时,

左边积分=∫1dx b

a =

b −a ,右边S =b−a 6

,1+4+1-=b −a =左边

当f (x )=x 时,

左边积分∫xdx b

a =1

2(b 2−a 2)右边S =b−a 6

0a +4×

a+b 2

+b1=1

2(b 2−a 2)=左边

当f (x )=x 2时,

左边积分∫x 2dx b

a =1

3(b 3−a 3)右边S =

b−a 6

[a 2+4×.

a+b 2

/2+b 2]=1

3(b 3−a 3)=左边

当f (x )=x 3时,

左边积分∫x 3dx

b

a =1

4

(b 4

−a 4)

右边S =

b−a 6

[a 3

+4×.

a+b 2

/3+b 3]=1

4(b 4−a 4)=左边

当f (x )=x 4时,

左边积分∫x 4dx b

a =1

4(b 5−a 5)右边S =

b−a 6

[a 4+4×.

a+b 2

/4+b 4]≠左边

故Simpson 公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立,而对四次多项式不成立,所以Simpson 公式具有三次代数精度。

4. 解; Ax=b ⇔ {x 1+2x 2=b 1

2x 1+x 2=b 2

其Gauss-Seidel 迭代格式为 {x 1

(k+1)

=b 1−2x 2(k )

x 2

(

k+1)

=b 2−

2x 1

(k ) (k =0,1,2…)

∴ 迭代矩阵 B =00−2

−20

1

该迭代发收敛的充要条件是矩阵B 的谱半径ρ(B )<1 |λI −B |=|λ2

2λ|=λ2−2λ=0, 特征根λ1,2=±√2α

∴ ρ(B )=√2α>1⇒α>1

2

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