数值分析试题及答案

武理数值分析考试试题纸（A 卷）
课程名称 数值分析 专业年纪 一、计算题（本题满分100分，共5小题，每小题20分） 1． 已知函数表
(1) 求f(x)的三次Lagrange 型插值多项式及其插值余项（要求化成最简形式）. (2) 求f(x)的Newton 插值多项式（要求化成最简形式）. 2. 已知A=[212
013612
]，求‖A ‖1，‖A ‖∞，A 的LU 分解.
3. 叙述m 阶代数精度的定义，写出求∫f (x )dx b
a 的Simpson 公式，并验证Simpson 公式的代数精度为3阶.
4. 设矩阵A=012
α11，求当α为何值时，解线性方程组Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代法收敛.
5. 叙述最小二乘法的基本原理，并举例说明其应用.
参考答案
一、计算题
1、
解：（1）L 3(x )=l 0(x )y 0+l 1(x )y 0+l 2(x )y 2+l 3(x )y 3
=
(x−0)(x−2)(x−2)(−1−0)(−1−1)(−1−2
)
×0+(x+1)(x−1)(x−2)(
0+1)(0−1)(0−2)
×(−1)+
(x+1)(x−0)(x−2)(
1+1)(1−0)(1−2)
×2+(x+1)(x−0)(x−1)(2+1)(2−0)(2−1)
×15
=
x 3+2x 2−1
R 3(x )
=f (x )−L 3(x )=f (4)(ε)4!
ω4(x )
(2) 均差表如下：
N (x )=f (x 0)+f ,x 0,x 1-(x −x 0)+f ,x 0,x 1,x 2-(x −x 0)(x −x 1)
+f ,x 0,x 1,x 2,x 3-(x −x 0)(x −x 1)(x −x 2)
=0+(−1)(x +1)+2×(x +1)(x −0)+1×(x +1)(x −0)(x −1) =x 3+x 2−1
2、 解： ‖A ‖1
=max 1≤j≤3∑|a ij |3i=1=2+0+6=8
‖A ‖∞=max 1≤i≤3∑|a ij |3j=1=6+1+2=9
A =LU =[1
l 21
1l 31
l 32
1][
u 11
u 12
u 13u 22
u 23u 33]=[212013612
] 由u 11
=2 u 12=1 u 13=2
l 21=0 u 22=1 u 23=3 l 31=3 l 32=−2 u 33=2
所以 A =LU =[1
01
3−2
1
][2
121
32
] 3. 解：定义：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。

∫f (x )dx b
a 的Simpson 公式： S =
b−a 6
0f (a )+4f.
a+b 2
/+f (b )1
验证代数精度： 当f (x )=1时，
左边积分=∫1dx b
a =
b −a ,右边S =b−a 6
,1+4+1-=b −a =左边
当f (x )=x 时，
左边积分∫xdx b
a =1
2(b 2−a 2)右边S =b−a 6
0a +4×
a+b 2
+b1=1
2(b 2−a 2)=左边
当f (x )=x 2时，
左边积分∫x 2dx b
a =1
3(b 3−a 3)右边S =
b−a 6
[a 2+4×.
a+b 2
/2+b 2]=1
3(b 3−a 3)=左边
当f (x )=x 3时，
左边积分∫x 3dx
b
a =1
4
(b 4
−a 4)
右边S =
b−a 6
[a 3
+4×.
a+b 2
/3+b 3]=1
4(b 4−a 4)=左边
当f (x )=x 4时，
左边积分∫x 4dx b
a =1
4(b 5−a 5)右边S =
b−a 6
[a 4+4×.
a+b 2
/4+b 4]≠左边
故Simpson 公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立，而对四次多项式不成立，所以Simpson 公式具有三次代数精度。

4. 解; Ax=b ⇔ {x 1+2x 2=b 1
2x 1+x 2=b 2
其Gauss-Seidel 迭代格式为 {x 1
(k+1)
=b 1−2x 2(k )
x 2
(
k+1)
=b 2−
2x 1
(k ) (k =0,1,2…)
∴ 迭代矩阵 B =00−2
−20
1
该迭代发收敛的充要条件是矩阵B 的谱半径ρ(B )<1 |λI −B |=|λ2
2λ|=λ2−2λ=0, 特征根λ1，2=±√2α
∴ ρ(B )=√2α>1⇒α>1
2
∴ 当α>1
2
时，解线性方程组Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代法收敛。

5. 答： 在函数的最佳平方逼近中f (x )∈C ,a,b -，如果f (x )只在一组离散点集 {x i ，i =0,1,…,m}上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(x i ，y i ),i =0,1,…,m}的曲线拟合，这里y i =f (x i ),i =0,1,…,m ,要求一个函数y =S ∗(x )与所给数据{(x i ，y i ),i =0,1,…,m}拟合，若记φ0(x ), φ1(x ),…,φn (x )是C ,a,b -上线性无关函数族，在φ=span *φ0(x ),φ1(x ),…,φn (x )+中找一函数S ∗(x )，使误差平方和
‖δ‖22=∑δi 2=m i=0∑,S ∗(x i )−y i -2m i=0=min S (x )∈φ∑,S (x i )−y i -2m i=0
这里 S (x )
=a 0φ0(x )+a 1φ1(x )+⋯+a n φn (x ) (n <m ).
这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就成为曲线拟合的最小二乘法。

举例说明：
测得铜导线在温度(℃)时的电阻
如表6-1，求电阻R 与温度 T 的近
i 0(℃)
19.1
76.30解 画出散点图如下图所示，可见测得的数据接近一条直线，
故取n=1，拟合函数为
列表如下
19.176.30364.811457.330
650.0
245.3
正规方程组为
解方程组得
故得R与T的拟合直线为
利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。

例如，由R=0得T=-242.5，
即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。