光纤的模式理论2010-10-26
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解这个二阶微分方程， 得到光线的轨迹为
(2.9)
r(z)=C1sin(Az)+C2 cos(Az)
式中，A=
(2.10)
2 / a ， C1和C2是待定常数，由边界条件确定。 设光 线以θ0从特定点(z=0, r=ri)入射到光纤，并在任意点(z, r)以θ*从光纤射出。
由方程(2.10)及其微分得到
19
积分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义
D d Q B d 0 B E dl t d
电荷可以单独存在，电场是有源的 磁荷不可以单独存在，磁场是无源的 变化的磁场产生电场 变化的电场产生磁场
生平简介：英国物理学家，1831年6月13日生于英国爱丁堡的一个地主家
庭，8岁时，母亲去世，在父亲的诱导下学习科学，16岁时进入爱丁堡大 学，1850年转入剑桥大学研习数学，1854年以优异成绩毕业于该校三一 学院数学系，并留校任职。1856年到阿伯丁的马里沙耳学院任自然哲学 教授。1860年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授。1865年辞去教 职还乡，专心治学和著述。1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授， 负责筹建该校的第一所物理学实验室——卡文迪许实验室，1874年建成 后担任主任。1879年11月5日在剑桥逝世，终年只有49岁。 科学成就：电磁场理论和光的电磁理论，预言了电磁波的存在，1873发 表《电磁学通论》。他建立了实验验证的严格理论，并重复卡文迪许的 实验，他还发明了麦克斯韦电桥。运用数学统计的方法导出了分子运动 的麦克斯韦速度分布律，创立了定量色度学，负责建立起卡文迪许实验 室。
d d (n ) n ds ds
(2.7)
式中，ρ 为特定光线的位置矢量， s为从某一固定参考点起的光线长度。 选用圆柱坐标(r, φ，z)，把渐变型多模光纤的子午面(r - z)示于图2.5。 如式(2.6)所示，一般光纤相对折射率差都很小，光线和中心轴线z的夹角 也很小，即sinθ≈θ。由于折射率分布具有圆对称性和沿轴线的均匀性，n与φ 和z无关。在这些条件下， 式(2.7)可简化为
u u0 e
于是可得
其中 传播常数
( x x y y z z )
2 2 x y z2 k 2 0
i ji i
(i x, y, z )
相位常数 衰减常数 （传播常数）
i 表示光波沿i方向传播单位距离后的相位改变量
25
相速度和群速度
k2 k ( 2 Q.Q)u0 ik0 (2Q.u0 u0 2Q) 2u0 0 k0
2 0
当 0 0
k2 (Q) 2 2 n 2 ( x, y, z ) k0
4
射线方程
5
射线方程的解
用几何光学方法分析渐变型多模光纤要求解射线方程， 射线方程一般形式为
• 模式的耦合
14
模式——电磁场场形
光源 光纤 导波模、辐射模（泄漏模） 初始端 光斑
LED、白炽灯
LD、点源经准直透镜的光束 导波模 波导、导波的概念！
导波：能量被局限在某个系统内部或系统周围并沿该系统导引的方 向传输的电磁波。 波导：凡是能引导和限制电磁波传输的系统。
15
模式——电磁场场形 模式：是波导结构的固有电磁共振属性的表征。
26
圆柱坐标系中波动方程的建立
27
光纤波导中亥姆霍兹方程的特征
2u k 2u 0
2u k 2u
如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。 其中该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。 波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及其 对应的本征值，在数学上称之为“本征值问题”。 光纤波导中，电磁波在纵向（轴向）以“行波”的形式存在，在横向上 以“驻波”的形式存在。即：场分布在轴向的变化只体现在相位上，场 的幅度不随轴向传播距离而变化（前提：光纤中无模式耦合，也不存在 损耗和增益）
如：电磁场中的
2 E k E 0 2 2 H k H 0
2
称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。
24
传播常数
对于上述齐次波动方程，当取这些物理量的任一直角分量时，可有下式成立： 此式的通解为
2u k 2u 0
群速度就是指电磁波的包络传播的速度。实际上就是电磁波实际前进的 速度。 相速度就是电磁波相位传播的速度。通俗地讲，就是电磁波形状 向前变化的速度。在波导中，相速度往往比群速度要大。 形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头 的螺纹在旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是 螺纹的“相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢地向墙内推进， 也就是说电钻的总的向前推进的速度就是“群速度”。如果墙壁很硬， 你的电钻根本就钻不进去，电钻向前推进的速度为“0”，但是你从电钻 的螺纹上看却总是觉得电钻是不断钻进去的。
t
21
物质方程
各向同性线性介质中的物质方程：
J E D E H B/
：电导率 ：介电常数 ：磁导率
对于光纤： （1）无传导电流； （2）无自由电荷； （3）线性各向同性
麦克斯韦方程组可行简化
22
矢量波动方程和标量波动方程
可得矢量波动方程：
2 E 2 E ( E ) 2 t 2 H 2 H ( ) ( H ) 2 t 当可认为 0 时，可化为标量波动方程 2 E 2 E 2 t 2 H 2 H 2 t
y
Fy
F
x r cos y r sin
F
Fr
r x 2 y 2 arctg( y / x)
r x cos r sin y sin x r cos y r
Fx
x
30
圆柱坐标系中的波动方程
j E z H z Er 2 ( r r ) t j E z H z E 2 ( r ) t H j ( H z E z ) r t2 r r H j ( H z E z ) t2 r
d dr d 2r dn (n )n 2 dz dz dz dr
(2.8)
6
射线方程的解
r
* o
ri dz
i
dr
rm p
纤芯 n(r)
r z
0
图 2.5 渐变型多模光纤的光线传播原理
7
射线方程的解
把式(2.6)和g=2代入式(2.8)得到
d 2r 2r 2r 2 r 2 dz a2 2 a [1 ( ) ] a
2 Ez 2 x 2 H z x 2
2 Ez t2 E z 0 y 2 2H z t2 H z 0 2 y
29
圆柱坐标系中的波动方程——坐标变换
Fr Fx cos Fy sin F Fx sin Fy cos
根据麦克斯韦方程组和物质方程（无源、各向同性介质中） D H D E ：介电常数 t B H B/ ：磁导率 E t j E H z 可得出 E ( z )
x t2 x y j E H z E y 2 ( z ) t y x H j ( H z E z ) x t2 x y H j ( H z E z ) y t2 y x
2
主要内容
用几何光学方法研究 用波动理论研究
用射线方程求解渐变 折射率变化光纤中的 光线轨迹
光纤模式理论概述
波动光学基础 圆柱坐标系中波动方程的建立 阶跃光纤中电磁场分量的表达式 阶跃光纤中的模式分析 多模渐变型光纤的模式特性
单模光纤的模式特性
3
程函方程——几何光学的基本方程 设 u ( x, y, z ) u0 ( x, y, z ) exp[ ik0Q( x, y, z )] 将之代入到亥姆霍兹方程，可得
28
直角坐标系中的波动方程
假设波导中存在如下形式的模式解
E E 0 ( x , y ) e j ( t z ) H H 0 ( x , y ) e j ( t z ) E E 0 ( x , y ) e j z 其复振幅形式为 H H 0 ( x , y ) e j z
C2= r (z=0)=ri
1 dr ( z 0) C1= A dz
(2.11)
8
射线方程的解
由图2.5的入射光得到 dr/dz=tanθi≈θi≈θ0/n(r)≈θ0/n(0) 把这个近似关系代入式 (2.11) 得到 把C1和C2代入式(2.10)得到
C1
0
An(r )
C2 ri
一给定光纤波导中能够存在的模式及其性质是已确定了 的，而外界激励源只能激励起光纤中允许存在的模式而 不会改变模式的固有性质。
16
波动光学基础
• 麦克斯韦方程组 • 波动方程（亥姆霍兹方程）
• 传播常数
• 相速度和群速度
• k 图
17
关于麦克斯韦方程组
18
有关 麦克斯韦 其人 (James Clerk Maxwell 1831～1879)
如入射为单色波，可得亥姆霍兹方程
23
亥姆霍兹方程
亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微 分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。亥姆霍兹方程通常出现在 涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。因为它 和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声 学研究这样的领域里的问题中。
光纤传输原理
王雪珍
参考书
1.《光纤通信》 刘增基等 2.《光纤光学》 刘德明等 3.《通信光纤》 【日】大越孝敬等著 4.《导波光学》 范崇澄 彭吉虎著 西安电子科技大学出版社 科学出版社 人民邮电出版社 北京理工大学出版社
5. 《传输光学》 【美】D.Marcuse著
人民邮电出版社
6. 《光纤技术——理论基础及应用》 孙雨南等著 北京理工大学出版社
(2.12a)
r(z)=ricos(Az)+
0
An( r )
sin( Az )
由 出 射光 线 得 到 dr/dz=tanθ≈θ≈θ*/n(r) ，由 这个 近 似 关 系和 对 式 (2.10)微分得到
θ*=-An(r)risin(Az)+θ0 cos(Az)
(2.12b)
取n(r)≈n(0)，由式(2.12)得到光线轨迹的普遍公式为
9
r θ* =
cos(Az) -An(0) sin(Az)
1 sin( AZ ) An(0)
r1
0
(2.13)
cos(Az)
这个公式是第三章要讨论的自聚焦透镜的理论依据。
10
Hale Waihona Puke Baidu1
12
光纤模式理论概述
13
光波导要研究的主要问题
• 光纤模式的激励（光的入射） • 光纤中的模式分布（光线传播轨迹） • 模式的传播速度（光线的时延） • 模式沿光纤横截面的场分布 • 光信号的传输损耗 • 光信号的畸变 • 模式的偏振特性
D H dl I d t
20
微分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义
D
电位移矢量起止于存在自由电荷的地方 磁场没有起止点 磁感应强度的变化会引起环形电场 位移电流和传导电流一样能产生环形磁场
B 0 B E t D H j
(2.9)
r(z)=C1sin(Az)+C2 cos(Az)
式中，A=
(2.10)
2 / a ， C1和C2是待定常数，由边界条件确定。 设光 线以θ0从特定点(z=0, r=ri)入射到光纤，并在任意点(z, r)以θ*从光纤射出。
由方程(2.10)及其微分得到
19
积分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义
D d Q B d 0 B E dl t d
电荷可以单独存在，电场是有源的 磁荷不可以单独存在，磁场是无源的 变化的磁场产生电场 变化的电场产生磁场
生平简介：英国物理学家，1831年6月13日生于英国爱丁堡的一个地主家
庭，8岁时，母亲去世，在父亲的诱导下学习科学，16岁时进入爱丁堡大 学，1850年转入剑桥大学研习数学，1854年以优异成绩毕业于该校三一 学院数学系，并留校任职。1856年到阿伯丁的马里沙耳学院任自然哲学 教授。1860年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授。1865年辞去教 职还乡，专心治学和著述。1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授， 负责筹建该校的第一所物理学实验室——卡文迪许实验室，1874年建成 后担任主任。1879年11月5日在剑桥逝世，终年只有49岁。 科学成就：电磁场理论和光的电磁理论，预言了电磁波的存在，1873发 表《电磁学通论》。他建立了实验验证的严格理论，并重复卡文迪许的 实验，他还发明了麦克斯韦电桥。运用数学统计的方法导出了分子运动 的麦克斯韦速度分布律，创立了定量色度学，负责建立起卡文迪许实验 室。
d d (n ) n ds ds
(2.7)
式中，ρ 为特定光线的位置矢量， s为从某一固定参考点起的光线长度。 选用圆柱坐标(r, φ，z)，把渐变型多模光纤的子午面(r - z)示于图2.5。 如式(2.6)所示，一般光纤相对折射率差都很小，光线和中心轴线z的夹角 也很小，即sinθ≈θ。由于折射率分布具有圆对称性和沿轴线的均匀性，n与φ 和z无关。在这些条件下， 式(2.7)可简化为
u u0 e
于是可得
其中 传播常数
( x x y y z z )
2 2 x y z2 k 2 0
i ji i
(i x, y, z )
相位常数 衰减常数 （传播常数）
i 表示光波沿i方向传播单位距离后的相位改变量
25
相速度和群速度
k2 k ( 2 Q.Q)u0 ik0 (2Q.u0 u0 2Q) 2u0 0 k0
2 0
当 0 0
k2 (Q) 2 2 n 2 ( x, y, z ) k0
4
射线方程
5
射线方程的解
用几何光学方法分析渐变型多模光纤要求解射线方程， 射线方程一般形式为
• 模式的耦合
14
模式——电磁场场形
光源 光纤 导波模、辐射模（泄漏模） 初始端 光斑
LED、白炽灯
LD、点源经准直透镜的光束 导波模 波导、导波的概念！
导波：能量被局限在某个系统内部或系统周围并沿该系统导引的方 向传输的电磁波。 波导：凡是能引导和限制电磁波传输的系统。
15
模式——电磁场场形 模式：是波导结构的固有电磁共振属性的表征。
26
圆柱坐标系中波动方程的建立
27
光纤波导中亥姆霍兹方程的特征
2u k 2u 0
2u k 2u
如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。 其中该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。 波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及其 对应的本征值，在数学上称之为“本征值问题”。 光纤波导中，电磁波在纵向（轴向）以“行波”的形式存在，在横向上 以“驻波”的形式存在。即：场分布在轴向的变化只体现在相位上，场 的幅度不随轴向传播距离而变化（前提：光纤中无模式耦合，也不存在 损耗和增益）
如：电磁场中的
2 E k E 0 2 2 H k H 0
2
称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。
24
传播常数
对于上述齐次波动方程，当取这些物理量的任一直角分量时，可有下式成立： 此式的通解为
2u k 2u 0
群速度就是指电磁波的包络传播的速度。实际上就是电磁波实际前进的 速度。 相速度就是电磁波相位传播的速度。通俗地讲，就是电磁波形状 向前变化的速度。在波导中，相速度往往比群速度要大。 形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头 的螺纹在旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是 螺纹的“相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢地向墙内推进， 也就是说电钻的总的向前推进的速度就是“群速度”。如果墙壁很硬， 你的电钻根本就钻不进去，电钻向前推进的速度为“0”，但是你从电钻 的螺纹上看却总是觉得电钻是不断钻进去的。
t
21
物质方程
各向同性线性介质中的物质方程：
J E D E H B/
：电导率 ：介电常数 ：磁导率
对于光纤： （1）无传导电流； （2）无自由电荷； （3）线性各向同性
麦克斯韦方程组可行简化
22
矢量波动方程和标量波动方程
可得矢量波动方程：
2 E 2 E ( E ) 2 t 2 H 2 H ( ) ( H ) 2 t 当可认为 0 时，可化为标量波动方程 2 E 2 E 2 t 2 H 2 H 2 t
y
Fy
F
x r cos y r sin
F
Fr
r x 2 y 2 arctg( y / x)
r x cos r sin y sin x r cos y r
Fx
x
30
圆柱坐标系中的波动方程
j E z H z Er 2 ( r r ) t j E z H z E 2 ( r ) t H j ( H z E z ) r t2 r r H j ( H z E z ) t2 r
d dr d 2r dn (n )n 2 dz dz dz dr
(2.8)
6
射线方程的解
r
* o
ri dz
i
dr
rm p
纤芯 n(r)
r z
0
图 2.5 渐变型多模光纤的光线传播原理
7
射线方程的解
把式(2.6)和g=2代入式(2.8)得到
d 2r 2r 2r 2 r 2 dz a2 2 a [1 ( ) ] a
2 Ez 2 x 2 H z x 2
2 Ez t2 E z 0 y 2 2H z t2 H z 0 2 y
29
圆柱坐标系中的波动方程——坐标变换
Fr Fx cos Fy sin F Fx sin Fy cos
根据麦克斯韦方程组和物质方程（无源、各向同性介质中） D H D E ：介电常数 t B H B/ ：磁导率 E t j E H z 可得出 E ( z )
x t2 x y j E H z E y 2 ( z ) t y x H j ( H z E z ) x t2 x y H j ( H z E z ) y t2 y x
2
主要内容
用几何光学方法研究 用波动理论研究
用射线方程求解渐变 折射率变化光纤中的 光线轨迹
光纤模式理论概述
波动光学基础 圆柱坐标系中波动方程的建立 阶跃光纤中电磁场分量的表达式 阶跃光纤中的模式分析 多模渐变型光纤的模式特性
单模光纤的模式特性
3
程函方程——几何光学的基本方程 设 u ( x, y, z ) u0 ( x, y, z ) exp[ ik0Q( x, y, z )] 将之代入到亥姆霍兹方程，可得
28
直角坐标系中的波动方程
假设波导中存在如下形式的模式解
E E 0 ( x , y ) e j ( t z ) H H 0 ( x , y ) e j ( t z ) E E 0 ( x , y ) e j z 其复振幅形式为 H H 0 ( x , y ) e j z
C2= r (z=0)=ri
1 dr ( z 0) C1= A dz
(2.11)
8
射线方程的解
由图2.5的入射光得到 dr/dz=tanθi≈θi≈θ0/n(r)≈θ0/n(0) 把这个近似关系代入式 (2.11) 得到 把C1和C2代入式(2.10)得到
C1
0
An(r )
C2 ri
一给定光纤波导中能够存在的模式及其性质是已确定了 的，而外界激励源只能激励起光纤中允许存在的模式而 不会改变模式的固有性质。
16
波动光学基础
• 麦克斯韦方程组 • 波动方程（亥姆霍兹方程）
• 传播常数
• 相速度和群速度
• k 图
17
关于麦克斯韦方程组
18
有关 麦克斯韦 其人 (James Clerk Maxwell 1831～1879)
如入射为单色波，可得亥姆霍兹方程
23
亥姆霍兹方程
亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微 分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。亥姆霍兹方程通常出现在 涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。因为它 和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声 学研究这样的领域里的问题中。
光纤传输原理
王雪珍
参考书
1.《光纤通信》 刘增基等 2.《光纤光学》 刘德明等 3.《通信光纤》 【日】大越孝敬等著 4.《导波光学》 范崇澄 彭吉虎著 西安电子科技大学出版社 科学出版社 人民邮电出版社 北京理工大学出版社
5. 《传输光学》 【美】D.Marcuse著
人民邮电出版社
6. 《光纤技术——理论基础及应用》 孙雨南等著 北京理工大学出版社
(2.12a)
r(z)=ricos(Az)+
0
An( r )
sin( Az )
由 出 射光 线 得 到 dr/dz=tanθ≈θ≈θ*/n(r) ，由 这个 近 似 关 系和 对 式 (2.10)微分得到
θ*=-An(r)risin(Az)+θ0 cos(Az)
(2.12b)
取n(r)≈n(0)，由式(2.12)得到光线轨迹的普遍公式为
9
r θ* =
cos(Az) -An(0) sin(Az)
1 sin( AZ ) An(0)
r1
0
(2.13)
cos(Az)
这个公式是第三章要讨论的自聚焦透镜的理论依据。
10
Hale Waihona Puke Baidu1
12
光纤模式理论概述
13
光波导要研究的主要问题
• 光纤模式的激励（光的入射） • 光纤中的模式分布（光线传播轨迹） • 模式的传播速度（光线的时延） • 模式沿光纤横截面的场分布 • 光信号的传输损耗 • 光信号的畸变 • 模式的偏振特性
D H dl I d t
20
微分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义
D
电位移矢量起止于存在自由电荷的地方 磁场没有起止点 磁感应强度的变化会引起环形电场 位移电流和传导电流一样能产生环形磁场
B 0 B E t D H j