机械振动 课后习题和答案 第三章 习题和答案
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3.1 如图所示扭转系统。设12122;t t I I k k ==
1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；
2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。
解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：
111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩ ，即：1112122
222122()00t t t t t I k k k I k k θθθθθθ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩
所以：[][]12
21
2220,0t t t t t k k k I M K k k I +-⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦
系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭
………… (a)
或者采用能量法：系统的动能和势能分别为
θθ=+
22
11221122T E I I θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111
()()2222t t t t t t U k k k k k k
求偏导也可以得到[][],M K
由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ⎧⎫⎧⎫
=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，代入（a ）可得：
[][]122()0u K M u ω⎧⎫
-=⎨⎬⎩⎭
………… (b)
得到频率方程：22
12
121
12
22()0t t t t k I k k k I ωωω--=
=--
即：224
222121()240t t I k I k ωωω=-+=
解得：2
1,2
22
ω==
所以：1ω=
2ω= ………… (c)
将（c ）代入（b ）可得：
1
12121211122(22220(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ⎡⎤±--⎢⎥
⎧⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎩⎭
⎢⎥
--⎢⎥⎣⎦
解得：
11212u u =-
；12222
u u =
令21u ，得到系统的振型为：
-0.707
1
0.707
1
3.2 求图所示系统的固有频率和振型。设123213;33m m k k k ===。并画出振型图。
解：1)以静平衡位置为原点，设12,m m 的位移12,x x 为广义坐标，画出12,m m 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：
11112122222132()0()0m x k x k x x m x k x x k x ++-=⎧⎨
+-+=⎩
所以：[][]122122320,0k k k m M K k k k m +-⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦
系统运动微分方程可写为：[][]11220x x M K x x ⎧⎫⎧⎫
+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ………… (a)
或者采用能量法：系统的动能和势能分别为
=+ 22112211
22T E m x m x =+-+2221121232111
()222U k x k x x k x
求偏导也可以得到[][],M K
由于123213;33m m k k k ===，所以[][]223021,0114M m K k -⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
2)设系统固有振动的解为： 1122cos x u t x u ω⎧⎫⎧⎫
=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，代入（a ）可得：
[][]122()0u K M u ω⎧⎫
-=⎨⎬⎩⎭
………… (b)
得到频率方程：22
22
22
2
22
23()04k m k k k m ωωω--=
=--
即：224
222222()31470m k m k ωωω=-+=
解得：2
1,2
22
ω==
所以：1ω=
2ω= ………… (c)
将（c ）代入（b ）可得：
22221222222230(743k m k u u k k k m m ⎡⎤--⎢⎥
⎧⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥±⎩⎭
⎢⎥
--⎢⎥⎣⎦
解得：
112153u u =-
；122253
u u -=
令
21
u ，得到系统的振型为：
-3.430 1 0.09
1
3.3 如图所示弹簧质量系统，写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。
解：以静平衡位置为原点，设12,m m 的位移12,x x 为广义坐标，系统的动能和势能分别为
=+ 221211
22T E mx mx =+-++221121211
()()22U kx k x x mg x x
求得：[][]1021,0111M m K k -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
系统运动微分方程可写为：[][]11220x x M K x x ⎧⎫⎧⎫
+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ………… (a)
设系统固有振动的解为：
1122cos x u t x u ω⎧⎫⎧⎫
=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，代入（a ）可得：
[][]122()0u K M u ω⎧⎫
-=⎨⎬⎩⎭
………… (b)
得到频率方程：22
2
2()0k m k k
k m
ωωω--=
=--
即：22422()30m km k ωωω=-+=