32基本不等式与最大小值
3.2.2基本不等式与最大(小)值
对于任意实数x和y，(x-y)²≥0总是成立的，即x²-2xy+y²≥0,所以
x y xy ，当且仅当x=y时，等号成立 2
设a≥0,b≥0,取x= a ,y= b
代入上述不等式可得
a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立
基本不等 式
实例分析
把一段长为16cm的细铁丝弯成形状不同的矩形试填下表，并思考当矩形的 长、宽分别为何值时，面积最大
(3)∵0<x<
1 2
，∴1－2x>0，则y＝
1 2
x(1－2x)＝
1 4
×(2x)×(1－2x)≤
1 4
2x＋12－2x2＝14×14＝116.当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时，ymax＝116.
2．已知
x≥5，则 2
f(x)＝x2－2x4－x＋4 5有(
D
)
A．最大值5 4
B．最小值5 4
C．最大值 1 D．最小值 1
解析：f(x)＝x－2x2－24＋1＝x－2 2＋2x－1 4＝2x－4 4＋2x－1 4
≥2
2x－4 4·2x－1 4＝1.
当且仅当2x－4 4＝2x－1 4，即x＝3时取“＝”．故选D.
3．已知 x>0，y>0，且 x＋y＋xy＝2，则 xy 的最大值为( C )
A．1＋ 3
B． 3－1
C．4－2 3
D．4＋2 3
解析：∵2＝x＋y＋xy≥2 xy＋xy， ∴xy＋2 xy－2≤0，∴( xy＋1)2≤3， ∴xy≤4－2 3，当且仅当x＝y时等号成立．故选C.
4．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝ 3 .
北师版数学高二-必修5课件基本不等式与最大(小)值
+
9yx≥2
y x
·9yx=6,当且仅当yx
=
9yx,即
y=3x
时,取等号.
又1
x
+
9y=1,∴x=4,y=12.
∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
解法二:由1x + 9y=1,得 x=yy-9.∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=yy-9+y=y+y-y9-+9 9=y+y9-9+1=y-9+y9-9+10.∵y>9,∴y-9>0.
会得出错误答案,就会陷入困境.例如,当 x>1 时,函数 f(x)=x+x1-1≥2 xx-1,所以
函数 f(x)的最小值是 2
xx-1.由于 2
x 是一个与
x-1
x
有关的代数式,很明显这
是一个错误的答案.在出现这种情况时,可以通过对所求代数式的合理配凑,
转化为“和式”或“积式”是定值的形式后再进行求解.例如当 x>1
时,f(x)=x+x1-1=(x-1)+x1-1+1≥2 (x-1)·x1-1+1=3,即该函数的最小值为 3.
-4-
3.2 基本不等式与最大(小)值
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(3)“三相等”,即等号能够成立,即存在正数 x,y 使基本不等式两边相等, 也就是存在正数 x,y 使得 xy = x+2y.如果忽视这一点,就会得出错误答案.
例如,y= x2 + 2 + x21+2,满足“正”和“定值”的条件,但要取等号必须 x2 + 2 = x21+2,即 x2+2=1,这是不可能的,所以其最小值不是 2.
中档题32基本不等式(含答案,直接打印)
解：实数 x、y 满足 ᦙ ，且log2ᦙ 䁪 log2 1，则 ᦙ 2，
则2
ᦙ
䁪
1
2
2 ᦙ
1 2，当且仅当2ᦙ 1，即 ᦙ 2，
1
时取等号，故2
ᦙ
䁪
1的最小值是
2，
ᦙ ᦙ2䁪
2
ᦙ
ᦙ 2䁪2ᦙ
ᦙ ᦙ
2䁪4
ᦙ
1 䁪ᦙ 4
2
1 ᦙ
4
1
4，当且仅当
ᦙ
ᦙ
4 ᦙ
，即 ᦙ
2
线 C 的左，右焦点，P 为右支上任意一点，则 一1 的最小值为_____．
一2
第 1页，共 4页
1.【答案】30
中档题 32 基本不等式答案和解析
解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和
6 ᦙ
当且仅当 ᦙ 3 时取等号．
6 䁪 4ᦙ 4 2
9 ᦙ
ᦙ 24
万元 ．
2.【答案】18
解：根据题意，正实数 x，y 满足 2ᦙ 䁪
2 时取等号
ᦙ
故ᦙ2䁪
2的最大值为14，
6.【答案】3
解：函数
ᦙ2 䁪 ᦙ24䁪1，即
ᦙ2 䁪 1
䁪
4 ᦙ2䁪1
1
2
ᦙ2 䁪 1
4 ᦙ2䁪1
14
当且仅当ᦙ2 䁪 1 2，即 ᦙ 1，上式取得等号，则函数的最小值为 3，
7.【答案】17
1 3，
解： h h
5，
h
5䁪 1
1，则 ᦙ
《3.2 基本不等式与最大(小)值》课件2-优质公开课-北师大必修5精品
忽视基本不等式的条件致误 求函数 y＝1－2x－3x的值域． 【错解】 函数可化为 y＝1－(2x＋x3)． ∵2x＋x3≥2 2x·3x＝2 6.当且仅当 2x＝x3， 即 x＝±26时取等号． ∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6. ∴函数的值域为(－∞，1－2 6]．
【错因分析】 利用基本不等式求最值时，忽视了各项 为正的条件．
法二 ∵a＋2b＝1，∴1＝a＋2b≥2 a·（2b）， 即 ab≤212，∴ab≤18， 当且仅当aa＝ ＋22bb＝1，即ba＝＝1214时，ab 取得最大值81.
利用基本不等式解决实际问题
(2013·临沂高二检测)桑基鱼塘是某地一种独具 地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼 塘项目，该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中 间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基 围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米， 如图 3－3－3，设池塘所占总面积为 S 平方米．
2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、 “添项”、“凑系数”、“常值代换”等．
已知 x＜45，求函数 y＝4x－2＋4x1－5 的最大值． 【解】 ∵x＜54，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋3 ＝－[(5－4x)＋5－14x]＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x即 x＝1 时等号成立， ∴当 x＝1 时，ymax＝1.
∴当车速 v＝40 千米/小时时，
车流量最大为 11.1 千辆/小时．
(2)由题意：v2＋39v2＋0v1 600＞10， 整理得 v2－89v＋1 600＜0， 即(v－25)(v－64)＜0，解得 25＜v＜64. ∴当车辆平均速度大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小时 时，车流量超过 10 千辆/小时．
3.3.2基本不等式与最大(小)值
解方程组
2x = 3 y 2x＋3 y＝18
得
x = 4.5 y＝3
答 每间虎笼的长宽分别为4.5 m和3m时，可使面积
最大.
例题讲解
例3：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）.如果池四周 围墙建造单价400元/m，中间两道隔墙建造单价 为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有 墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽， 使总造价最低，并求出最低造价.
2 故 xy≤ 1 s2. 上式当x=4y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最
大值 1 s2. 4
（2）已知 x，y 都是正数，求证：如果积xy是定
值p，那么当 x = y 时，和x+y有最小值2 p .
证明：因为x, y都是正数，所以 x y xy
积xy为定值p时，有 x y
2
p
2
x y2 p
上式x = y当时取" = "号，因此，当x = y时，
和有最小值2 p
例题讲解
例1： (1)已知x 0,求x 1 的最值; x
(2)已 知x 0,求x 1 的 最 值; (3)若x 3,函数y = x 1x ,当x为何值时，函数
x3 有最值，并求其最值.
所以y = x 1 = (x-3) 1 3
x3
x-3
2 (x 3) 1 3 = 5
当且仅当x
3
x
=
13
,即x = 4时，函数有最大值，
x3
最大值为5.
注意！！
1. 两个不等式的适用范围不同; 2. 一般情况下若“=”存在时，要注明等 号成立的条件； 3. 运用重要不等式时，要把一端化为常 数（定值）.
第3章 第3节 3.2 基本不等式与最大(小)值
3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点 用基本不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？ 答案 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明曲线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 的上方，仅在x ＝1时有公共点，但该点不是y ＝x 2＋1的最低点．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错． 梳理 基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．1．当a >0，b >0时，有21a ＋1b≤a ＋b2.(√)2．由于sin 2x ＋4sin 2x≥2sin 2x ·4sin 2x ＝4，所以sin 2x ＋4sin 2x的最小值为4.(×)类型一 基本不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2处取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy＋10＝6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1，x >0，y >0，可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12， 当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.类型二 基本不等式在实际问题中的应用 命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y )m.由x ＋y 2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 以斜边为2的直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周得一几何体，求该几何体体积的最大值，并求此时几何体的表面积． 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用解 如图，设Rt △ABC 的斜边AB ＝2，AC ＝b ，BC ＝a ，CD 为斜边上的高，则CD ＝AC ×BCAB ＝ab2，且a 2＋b 2＝4.则以AB 所在的直线为轴旋转一周所得的几何体的体积为V ＝13π·CD 2×AD ＋13π×CD 2×DB＝13π·CD 2×AB ＝13π×⎝⎛⎭⎫ab 22×2＝π6(ab )2. 由a 2＋b 2＝4与a 2＋b 2≥2ab 得ab ≤2，当且仅当a ＝b ＝2时，取“＝”．所以V ＝π6(ab )2≤π6×22＝2π3.即当a ＝b ＝2时，V max ＝2π3.此时该几何体的表面积为S ＝π·CD ×AC ＋π·CD ×BC ＝π·CD ×(AC ＋BC )＝π×2×22(2＋2)＝22π. 即几何体的表面积为22π. 命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？ 解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1<x 2. 则⎝⎛⎭⎫9x 1＋900x 1＋10 809－⎝⎛⎭⎫9x 2＋900x 2＋10 809 ＝9(x 1－x 2)＋900⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2. ∵15≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2<0，即y ＝9x ＋900x＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天支付的费用最少．反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时．1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 D解析 由x ≥52>2得，f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥12×2(x －2)×1x －2＝1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，所以ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab＝4＋22≈6.828(m)(当且仅当a ＝b 时，取等号)． 因为要求够用且浪费最少，故选C.3．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 B解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________． 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 2－2 5解析 当0<x <1时，log 2x <0，所以f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 2x )＋5－log 2x ≤2－2 5.当且仅当－log 2x ＝5－log 2x ，即(log 2x )2＝5，即x ＝2，等号成立．1．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、选择题1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.14考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 A解析 ∵x >1，y >1， ∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4， 当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16D ．不存在考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上， ∴x ＋2y ＝3， ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立．3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 B解析 ∵x >1，∴x －1>0， ∴x ＋1x －1＋5＝x －1＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝⎛⎭⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.5．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋yx ≥1＋1＋2＝4， 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． 6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 A解析 将圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b >0，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·bc＝4， 当且仅当4c b ＝bc 时等号成立．由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 二、填空题7．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______．考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ， 则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号， 所以直角三角形的面积S ＝12ab ≤14， 即S 的最大值为14. 8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用答案 20解析 总运费与总存储费用之和f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x ≥24x ·1 600x＝160， 当且仅当4x ＝1 600x，即x ＝20时取等号． 9．设0<x <2，则函数y ＝3x (8－3x )的最大值为___________________．考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 4解析 ∵0<x <2，∴0<3x <6,8－3x >2>0，∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.10．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 三、解答题11．已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}．(1)求实数a ，b 的值；(2)若0<x <1，f (x )＝a x ＋b 1－x，求函数f (x )的最小值． 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 (1)依题意可得方程x 2－5ax ＋b ＝0的根为4和1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x ，∵0<x <1，∴0<1－x <1，1x >0，41－x>0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥21－x x ·4x 1－x ＋5＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时，等号成立，∴f (x )的最小值为9.12．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N ＋)， f (x )＝50x ＋20 000x ＋3 000≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)． 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时，上式取等号， 所以当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000 元．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元．13．为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 (1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋(2n ＋4)]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64， 当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20 ≤－2×n ×36n ＋20＝8(当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”)． 故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．四、探究与拓展14．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 C解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立． 15．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )A ．2∈M,0∈MB ．2∉M,0∉MC ．2∈M,0∉MD ．2∉M,0∈M考点 基本不等式中的参数问题题点 基本不等式中的参数问题答案 A 解析 M ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k 4＋4k 2＋1. 当k ∈R 时，k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)2－2k 2＋3k 2＋1＝(k 2＋1)2－2(k 2＋1)＋5k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2 ≥2(k 2＋1)·5k 2＋1－2＝25－2>2(当且仅当k 2＝5－1时，取等号)．∴2∈M,0∈M .。
高中数学 第3章 不等式 3.2 基本不等式与最大(小)值教案 高二数学教案
3.2 基本不等式与最大(小)值阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s24；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值思考：(1) 函数y＝x＋1x的最小值是2吗？[提示] 不是，只有当x＞0时，才有x＋1x≥2，当x＜0时，没有最小值．(2)设a＞0,2a＋3a取得最小值时，a的值是什么？[提示] 2a＋3a≥22a×3a＝26，当且仅当2a＝3a，即a＝62时，取得最小值．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A．y＝x＋4xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π) C．y＝e x＋4e－x D．y＝log3x＋log x81C [A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C ．]2．当x ＞0时，x ＋9x的最小值为________．6 [因为x ＞0，所以x ＋9x≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立．]3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________． 14[因为x ∈(0,1)， 所以1－x ＞0，故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14， 当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．]4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．8 [由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上 所以2m ＋n ＝1， 所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋22m ＋nn＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m＋4m n ≥8.]利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．(1)6 (2)116 [(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －2·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116.]在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．1．(1)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．(2)设0<x ≤2，则函数ƒ(x )＝x8－2x的最大值为(1)－2 (2)2 2 [(1)依题意得y ＝t ＋1t－4≥2t ·1t－4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0， 故ƒ(x )＝x 8－2x＝12·2x ·8－2x＝12·2x ·8－2x ≤12×82＝22， 当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号， 所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x8－2x的最大值为2 2.]利用基本不等式解实际应用题相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？[解] 法一：设矩形广告牌的高为x cm ，宽为y cm ，则每栏的高和宽分别为(x －20) cm ，⎝⎛⎭⎪⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25，所以广告牌的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0， 所以S ≥2360 000x －20×25x －20＋18 500＝24 500.当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140， 代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0.易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm.广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案．2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(1)5 8 [每台机器运转x 年的年平均利润为yx＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，且x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．](2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.基本不等式的综合应用[探究问题]1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2.(2)当x ＞0时，xx 2＋1＝1x ＋1x，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故xx 2＋1有最大值12. 2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b的最小值是什么？[提示](1)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当b ＝2a时等号成立；(2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥22＋3，当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b的最小值为3＋2 2.【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，求1a ＋1b的最小值．思路探究：(1)在xx 2＋3x ＋1中，分子、分母同时除以x ，求得xx 2＋3x ＋1的最大值，可得a 的范围．(2)由条件求得a 与b 的关系式，可求1a ＋1b的最小值．[解] (1)设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求1a＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a＋b 的最小值．[解] (1)由3是3a与3b的等比中项，得3a ＋b＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2b a ×a b ＝2， 当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab＝9.当a ＝b ＝3时等号成立．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1，故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2a ＋1×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．( )(2)函数y＝sin x＋1sin x的最小值为2.( )(3)函数y＝x2＋4＋1x2＋4的最小值为2.( )[答案] (1)×(2)×(3)×[提示] (1)错误，这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sin x与4sin x 的积为定值，但sin x≠4sin x；(2)错误，sin x＜0时，函数不存在最小值．(3)错误，因为只有x2＋4＝1x2＋4，即x2＋4＝1，x2＝－3时才能取到最小值，但x2＝－3不成立，故(3)错．2．若x>0，y>0且2(x＋y)＝36，则xy的最大值为( ) A．9 B．18C．36 D．81A[由2(x＋y)＝36得x＋y＝18.所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．]3．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．8 [设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．] 4．求函数f (x )＝x x ＋1的最大值． [解] f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x ， 因为x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.。
基本不等式的最大值
（一）基本不等式最大值详解1、基本不等式最大值构造推到过程：课本上给出的基本不等式最大值求解公式为22a b a b +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭。
从中，我们可以得到三个重要思想。
（1）最大值求解是乘法格式在不等号小于这边。
（2）当约束条件a b =成立时取最大值，且a b 、恒正（3）我们通过加法运算消变量，主要是构造系数，如果有条件，则根据条件构造变量系数。
例题： 已知32x <，求223x x -+的最大值2、带条件的基本不等式最大值求解类似我们之前学过的基本不等式最小值得求解，最大值也有类似的带条件题型。
但与之不同的是最小值求解是构造分子与分母，最大值求解却是构造合适的系数。
例题：已知2x+3y=5求3x(4+6y)的最大值3、基本不等式最大值扩展根据基本不等式最小值的扩展，我们能够得到类似的最大值扩展当232x x =-时成立。
22a b a b +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭， a b =时取最大值， 33a b c a b c ++⎛⎫⋅⋅≤ ⎪⎝⎭， =a b c =时取最大值。
在构造时，我们要把高次按等量拆分，之后构造相等系数即可。
例题已知 求2(43)x x -的最大值7．若正数x,y 满足x+4y=4,则xy 的最大值为 .8．已知y x y x R y x lg lg 20+=+∈+则且、的最大值为 9．若x>0，y>0，且191=+yx ，则x+y 的最小值是__________ 10．已知226x y+=，则2x y +的最大值是 11．实数______log log 42022的最大值是，那么，且，y x y x y x +=+>12．已知0>a ，0>b ， 2=+b a ，则ba y 41+=的最小值为 ． 13．设a>0,b>0,若lga 和lgb 的等差中项是0,则+的最小值是 .14．若正实数,x y 满足26xy x y =++，则xy 的最小值是 ___ ___．15．若正数x ，y 满足114=+yx ，那么使不等式0x y m +->恒成立的实数m 的取值范围是_ ．。
§3 3.2 基本不等式与最大(小)值
1.进一步掌握基本不等式 1.进一步掌握基本不等式 ； 2.会应用基本不等式求有关函数的最值 并能够解决一些 2.会应用基本不等式求有关函数的最值,并能够解决一些 会应用基本不等式求有关函数的最值 简单的实际问题. 简单的实际问题.
你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩 你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩 16cm 形，怎样弯面积最大？ 怎样弯面积最大？
等号成立． 当且仅当 2x = 3y 时，等号成立． 解方程组
2x +3y =18, 2x = 3y,
x = 4.5, 得 y = 3.
每间虎笼设计长、 答 每间虎笼设计长、宽分别为 4.5m和 3m 时， 可使面积最大． 可使面积最大．
变式练习： （ 的矩形菜园， 变式练习： 1）用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园，问这个 矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？ 矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， （2）一段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个 矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
2.
解法二： m.,宽为 ,则 解法二：设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 x+2y=36, x+2y=36,矩形菜园的面积为 xy 36
由
m 。
2
x + 2y 36 2xy ≤ = =18， 可得 : xy ≤162 2 2仅当 x=2y,即 x=18，y=9 时，等号成立。
2
则由“ 解 （1）设每间虎笼长为 xm，宽为 ym，则由“有可围网长 的材料” 36m 的材料” 得 4x + 6y = 36， ， 即
基本不等式求最小值
基本不等式求最小值解析针对基本不等式求最值，一直是高考的重点和难点，本人就基本不等式最值的情况分类以及各类别的求解方法加以简析，以供各位参考和指正。
一． 一元不等式求最小值 （1） 配凑法 例1：当x>1时，求x +1x−1的最大值解：∵x>1∴x-1>0 ∴x +1x−1=x-1+1+1x−1=2√(x −1)∗1x−1+1=3当且仅当x-1=1x−1时即x=2时取得等号。
总结： 当遇见式子出现整式项加一个分数项时，常常用 加或减一个常数项，使得整式凑成与分式相等或者其倍数.注意：每一次用基本不等式，必须保证参与的每一项“一正二定三相等”变形：当x<1时，上述式子有最值吗？是最大值还是最小值？多少呢？思路解析：∵x<1∴x-1<0，此时不可以运用基本不等式来计算最小值，需要变形来解决。
解：∵x<1∴x-1<0则x +1x−1=-[-（x+1x−1）] =-[-x+（−1x−1）]=-[-（x+1）+（−1x−1）+1]又[-（x+1）+（−1x−1）+1]≥2√−(x +1)∗（−1x−1）=1=3∴-[-（x+1）+（−1x−1）+1]≤-3针对练习： 设m>1，P=m+4m−1，Q=5，则P ，Q 的大小关系是例2：求2√x 2+1的最大值 解：原式=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1≥2√x 2+1∗√x 2+1=2当√x 2+1=√x 2+1时，即x=0时取得最值。
总结：当遇到一个分式求最值时，观察分子和分母之间的关系，尝试能不能把分子变成坟墓的完全平方式与常数项的和，再利用完全平方式与分母单独分离，再利用基本不等式求解 针对练习：（1） 当x>0时，求y=x 2+3x+42x的最小值（2） 当x>1时，求y=x 2+2x−1的最小值二．二元不等式求最小值（1）.例3：若x ，y>0，x+y=2时，求1x+2y 的最小值。
基本不等式与最大最小值
如何确定应该生产多少产品才能获得最高利润？
时间最优化
计算机程序员如何最有效地编写代码？
例题分析
例1
在所有周长为10的矩形中，面 积最大的矩形是什么尺寸？
例2
求解函数f(x) = x³- 3x²的最大 值。
例3
如何用最小的材料制作一个不 带盖儿的长方体盒子？
总结和要点
• 基本不等式帮助我们在几何形状中确定最大值和最小值。 • 最大最小值代表着函数在某个区间上的最大值和最小值。 • 应用程序是最大最小值问题的关键步骤。 • 有几种方法可以计算最大最小值，包括微积分，图形和探索。 • 最大最小值的应用场景包括成本最小化，利润最大化和时间最优化。 • 在解决最大最小值的问题时，需要定义方程，求解方程并检查所有潜在的最大或最小值。
Chord Lem m a
证明平面内两个距离相等的点到定点 的距离之比，在所有定点中最大的点 是圆心。
Averag e Equalities
证明算术平均数≥几何平均数≥调和平 均数。
最大最小值的概念
什么是最大最小值？
它代表着函数在某个区间上的 最大值和最小值。
如何确定最大最小值？
通过求导，令导数为零，求解 方程得到。
最大最小值为什么重要？
它是许多优化问题的关键步骤， 包括商业应用中的成本最小化 和利润最大化。
求解最大最小值的方法1 Nhomakorabea微积分法
通过求导，令导数为零，求解方程得到。
2
探索法
尝试使用不同的值进行计算，以寻找最小值。
3
图形法
使用图形表示来确定函数的最大值和最小值。
应用场景：优化问题
成本最小化
货运公司如何在司机工资和燃料成本之间平衡？
基本不等式与最大最小值
A． 0, 2
B. 2, 0
C. 2,
D. , 2
【解题提示】利用基本不等式求解.
1 例 2.已知 y x ( x 0) ，证明： y 2 ． x
证明： （１）当 x 0 时，由基本不等式，得 y x
1 2， x
1 当且仅当 x ，即 x 1 时，等号成立．函数草图如图： x
1.进一步掌握基本不等式. 2.会应用基本不等式求有关函数的最值,并能够解 决一些简单的实际问题.(重点、难点)
探究点
基本不等式在求最大（小）值中的应用
想一想：你可以把一段16 cm长的细铁丝弯成形状 不同的矩形，怎样弯面积最大？
设矩形的长为 x cm,宽为 y cm,则 x y 8 ．
1 即 y x 2 , x
综上可知， y应注意的三点： (1)x,y一定要是非负数. (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y
的最小值时, 看积xy是否为定值.
(3)等号是否能够取到.
【变式练习】
1 求f (x) 2x 1(x 0)的最大值. x 1 分析： 因为x < 0,所以2x < 0, < 0,不符合基本不等式 x 的 条件.故应把负数转化为正 数.
因为2 2x 3y 4 2x 3y 4 6xy 4 6 24 4 12 48,
当且仅当2x=3y时，等号成立.
2x 3y, x 6, 解方程组 得 xy 24, y 4.
答：每间虎笼设计长、宽分别为6m和4m时，可使围成
a＋b a＋b a＋b2 显然 > ab，又因为 < a＋b，(由 a＋b> 2 2 4 a＋ b a＋b 也就是 <1 可得 ) ，所以 a＋b > > ab . 而 y ＝ 4 2 log 1 x 为减函数，故 Q>P>M.
3.2基本不等式与最大(小)值
探索新知
正方形ABCD
四个直角三角形
探索新知
证明： 思考：以上情境中a、b取正数，那它们能取其他数吗？
“作差法”
把已有的知识进行变形，是我们 数学研究中推陈出新的重要方法
剖析新知
我们把这个基本不等式也经常称作均值不等式
不等式说明：
从平均数的角度理解不等式：
两正数的 算术平均数 大于或等于它们的 几何平均数
变形思想数形结合思想两个重要的数学思想基本不等式其实是柯西不等式的一种特例它在高中数学中扮演着重要的角色请同学们利用课余时间查阅互联网和相关文献为后面学习基本不等式的应用做好准备
必修五
第三章
第24届国际数学家大会
会标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗使它看 上去像一个风车，代表 中国人民热情好客．
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 变式: 已知直角三角形的面积等于50， 两条直角边各为多少时，两条直 角边的和最小，最小值是多少？
两条直角边各为10时 最小值是20
例5.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少
时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，
则2x+2y=36．即x+y=18.
2
= S=xy≤
x
2
y
81，
当且仅当x=y，即：x=9，y=9时，面积S取得
最大值，且Smax=81m2． 所以：当矩形菜园的长为9m，宽为9m时，
面积最大为81m2．
例5.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
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???1＋4ba???的最小值为 ( C )
A．7
B．8
C．9
D．10
[解析] 因为 a，b 都是正数，所以 ???1＋ba??????1＋4ba???＝5＋ba＋4ba≥
5＋2 ba·4ba＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号，选项 C 正确．
积是定值（三）
(2017郑·州模拟)设a>0，b>0，若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值
课后思考 函数方程与基本不等式
1、已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 (1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
2.已知 x>0，y>0，且 2x＋5y＝20. 求：(1)u＝lg x＋lg y 的最大值； (2)1x＋1y的最小值．
___3_____．
[解析] y＝（x－3）x（12－x）
－x2＋15x－36
＝
x
＝－???x＋3x6???＋15≤－2 x·3x6＋15＝3.
当且仅当x＝3x6，即x＝6 时，ymax＝3.
利用基本不等式求最值需满足的三个条件 (1)“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积 转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转 化成定值； (3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到， 只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．
使用基本不等式求最“值一，正，二定，三相等”三个条件缺 一不可． 巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等
巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
“一正”
函数 y＝1－2x－3x(x＜0)的最小值为_1_＋__2___6_．
因为
x ＜ 0 ，所以
y＝
1
－
2x
－
3 x
＝
1
＋
(
－
2x)
＋
???－3x???≥
1
＋
2 （－2x）·－3x＝1＋2 6，当且仅当 x＝－ 26时取等号，
故 y 的最小值为 1＋2 6.
函数 y＝1－2x－3x(x>0)的最大值为 _1_-2___6___ ．
“二定”
和是定值
教材习题改编 若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地， 则矩形场地的最大面积是 __2_5_____．
第六章 不等式
基本不等式
利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 ___x_＝__y____ 时，x＋y 有___最__小______ 值是____2__p______ ．(简记：积定和最小 ) (2)如果和 x＋y 是定值 pp，2 那么当且仅当 ____x_＝__y_____ 时，xy 有__最___大_____ 值是_____4_______ ．(简记：和定积最大 )
已知 a，b∈(0，＋∞)，若 ab＝1，则 a＋b 最大值为________．
[答案] 2
1 4
[解析] 由基本不等式得 a＋b≥2 ab＝2，当且仅当 a＝b＝1
时取到等号；ab≤????a＋2 b????2＝14，当且仅当 a＝b＝12时取到等号．
[解析] 设 f(x)＝x＋x＋2 3＝(x＋3)＋x＋2 3－3， 因为 x>－3，所以 x＋3>0，
故 f(x)≥2 （x＋3）×x＋2 3－3＝2 2－3， 当且仅当 x＝ 2－3 时等号成立， 所以 a 的取值范围是(－∞，2 2－3]．
积是定值（二） (2017·合肥市第二次质量检测 )若 a，b 都是正数，则 ???1＋ba???
因为 ln(a＋b)＝0，所以 a＋b＝1， 又因为 a＞0，b＞0， 所以1a＋4b＝(a＋b)???1a＋4b???＝5＋ba＋4ba ≥5＋2 ba×4ba＝9. 当且仅当ba＝4ba，即 b＝2a＝23时取“＝”．
积是定值（综合）
当 3＜x＜12 时，函数 y＝（x－3）x（12－x）的最大值为
是( C )
A．2
B．14
C．4 D．8
[解析 ] 由题意 1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ab≥2＋2
ba×ab
＝4，当且仅当 ba＝ab，即 a＝b＝12时，取等号，所以最小值为
4.
积是定值（三） (2017·甘肃定西通渭榜罗中学期末 )已知 a＞0，b＞0，且 ln(a ＋b)＝0，则 1a＋4b的最小值是 ____9____ ．
积是定值(一） 若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为 ____5____ ． [解析] x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5.
当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立．
积是定值（ 一）
(2017厦· 门模拟)若当x>－3 时，不等式a≤x＋x＋2 3恒成立， 则a 的取值范围是__(－__∞__，_2．_ 2－3]
[解析] 设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x＋y＝10， 所以 S＝xy≤????x＋2 y????2＝25，当且仅当 x＝y＝5 时取等号．
一段长为 L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的
最大面积为( A )
A．L82
B．L42
C．L22
D．L2
[解析] 设菜园的一边为 x，另一边为 y，则 x＋2y＝L，面 积 S＝xy， 因为 x＋2y≥2 2xy.所以 xy≤（x＋82y）2＝L82. 当且仅当 x＝2y＝L2，即 x＝L2，y＝L4时， Smax＝L82，故选 A．