初中数学 二次函数的实际应用
初中数学二次函数和平面向量的应用
初中数学二次函数和平面向量的应用二次函数是初中数学中的重要知识点之一，它广泛应用于各个领域。
平面向量是另一个重要的数学工具，它能够解决很多实际问题。
本文将讨论二次函数和平面向量在现实生活中的应用。
一、二次函数的应用1. 抛物线的运动轨迹二次函数的图像为抛物线，所以二次函数能够描述抛物线的运动轨迹。
比如，当我们把一个物体从空中扔下时，它的运动轨迹就是一个抛物线。
我们可以通过二次函数来分析物体的运动状态，如求解最高点、最远距离等。
2. 建模二次函数还可以用来建立数学模型。
例如，在市场调研中，我们经常需要根据一组数据构建销售量随时间的变化模型。
由于销售量可能随时间呈现出增长-稳定-下降的趋势，我们可以使用二次函数来拟合这种变化规律，从而预测未来的销售量。
3. 最优解问题二次函数在最优解问题中也有广泛应用。
例如，在固定预算下，我们如何购买商品使得总利润最大化？这个问题可以转化为寻找二次函数的顶点，从而得到最优解。
二、平面向量的应用1. 平面力学平面向量可用来描述物体所受到的力及其方向。
力的合成和分解是平面向量的常见应用之一。
假设有两个力F1和F2，它们的合力F可以通过将二者相加得到。
同样，如果我们已知一个力F和一个角度a，那么我们可以通过将其分解为水平方向和垂直方向的力，来研究物体所受到的压力和拉力。
2. 导航和定位平面向量还可以用于导航和定位。
在地图上，我们可以使用向量来表示两个地点之间的距离和方向。
通过计算这些向量，我们可以确定自己所处的位置，并计算出最短路径。
3. 空间几何平面向量在空间几何中也有重要应用。
例如，在三维空间中，我们可以使用向量来描述直线和平面。
通过计算向量的交叉积，我们可以确定两个向量所张成的平面的法向量，从而得到平面的方程。
综上所述，初中数学中的二次函数和平面向量都有广泛的应用。
在实际问题中，我们可以通过二次函数来分析抛物线的运动轨迹，建立数学模型以及解决最优解问题。
平面向量则可以用于描述力的合成和分解，导航和定位，以及空间几何中的相关计算。
初中数学八九年级下册二次函数的实际应用教案Word版
北师大版初中数学八九年级下册《二次函数的实际应用》教案（1）【教学目标】1、知识与技能：学会把一些简单的实际生活中的二次函数问题抽象转化为数学问题，并能应用二次函数的相关性质解决问题，能进一步熟练掌握二次函数解析式的各种求法。
2、过程与方法：（1）以学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，培养学生分析问题和解决问题的能力。
（2）通过小组合作探索，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
3、情感态度与价值观：体验函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，从实践动手当中，让学生产生对数学的兴趣，从而培养学生观察和推理能力，体验主动探究的成功快乐。
【重点和难点】重点：理解实际问题中的问题背景，弄清问题中相关量的关系，建立适当的数学模型，并把实际问题转化为数学问题。
难点：如何把实际问题抽象转化为数学问题。
【教学方法】学生在教师创设的情景中以问题为中心进行自主探究。
【教学过程】二次函数在实际中的应用十分广泛，利润问题在我们的生活中又无处不在，它们都与二次函数密不可分，今天就让我们一起来探索与二次函数有关的实际应用问题。
（一）师生协作，探索问题。
例1：为配合科技下乡工作全面开展，市场调研部对“大棚西瓜”去年的市场行情和生产情况进行了调查，提供了如下两个信息图，如甲、乙两图。
注甲乙两图中的每个黑心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，甲图的图像是线段，乙图的图像是抛物线段。
请你根据图像提供的信息说明。
（1）在6月份出售这种西瓜，每千克的收益是多少元？（2）如果你是调研员，为了每千克有最大收益，你会指导瓜农最好在哪个月出售这种西瓜？说明理由。
在教师的引导下，学生自主研究、解答本题，并请学生说出解题思路以及答案，师生共同研究，引导学生解决实际问题，在此同时，培养用动态的观点看待一些事情，提高学生的建模能力，以及渗透数形结合的思想方法。
初中数学 试题分析 二次函数的实际应用题
中考真题试题解析二次函数的实际应用题是辽宁省的多个城市中考必考模式题，它是一道应用二次函数图象和性质和一元二次方程，一元一次不等式，一次函数的图象和性质等基础知识的综合性问题，考察学生应用基础知识的能力，学生的计算能力，综合分析能力，知识的灵活使用能力等。
下面就铁岭市2019中考试题进行解析论述此类中考题的解题策略与方法。
答案：解：（1）根据题意得，y = 200﹣10（x﹣8）=﹣10x + 280，故y与x的函数关系式为y =﹣10x + 280；分析：因为题中给出“销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，”这样的条件，我们通常把这类型的题称为“每每”问题，它给出了日销量y（件）与销售单价为x（元）的一次函数的关系。
题中的（1）问也是求一次函数的表达式。
考察学生对一次函数的基础知识的掌握情况。
该题已经给设定好了未知数所表示的意义，其实该题还有多种未知数的设例2中设每间客房的日租金提高10x元，即日租金提高x个10元，从而解决问题。
也可以设每间客房的日租金提高x元，客房日租金总收入为y元，则y =（160+x）（120-6x 10）= 23-x-20+194405（）也能得出日租金为180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元。
也可以直接设日租金为x元，客房日租金总收入为y元，则26(160)y=x120103(180)194405xx-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=--+同样也能得出日租金为180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元。
所以，在解这道题时要求学生审好题意，看清题中设定好的未知数再解题。
因为函数的表示方法有三种：图象，表格和解析式。
所以这类题也有以表格和图象的信息方式给出条件来求一次函数的表达式。
针对这方面的知识，下面给出两道中考题改编的练习题：练习题1 我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．练习题1图练习题2某水产养殖户进行小龙虾养殖．销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表：时间第t天 1 2 3 (80)销售单价p/（元/kg）49.5 49 48.5 (10)直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式．练习题1答案：y =﹣2x + 200（30≤x≤60）．练习题2答案：p =﹣t + 50；二、针对问题（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？答案：（2）根据题意得，（x﹣6）（﹣10x+280）= 720，解得：x1= 10，x2= 24（不合题意舍去），答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；此题考查了一元二次方程运用，利用“总利润=单个利润×销售数量”列出一元二次方程。
九下数学课件利用二次函数解决实际问题中的最值问题(课件)
【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一 根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二 根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，
解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二 根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二 根据函数的图像解决问题
二次函数初中数学教学中的二次函数与应用
二次函数初中数学教学中的二次函数与应用二次函数是数学中的一个重要概念。
在初中数学教学中，学生通常会学习到二次函数及其应用。
本文将对二次函数在初中数学教学中的教学方法和应用进行论述。
一、二次函数的基本概念二次函数是指函数的定义域为实数集，且可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线在y轴上的截距。
二、二次函数图像的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。
4. 零点：即抛物线与x轴的交点，可通过求解ax^2 + bx + c = 0的根来得到。
三、二次函数的图像与应用1. 二次函数图像的观察与分析：学生可以通过观察二次函数图像的特点，来分析函数的性质。
比如，当抛物线开口向上时，函数的值随着自变量的增大而增大；当抛物线开口向下时，函数的值随着自变量的增大而减小。
同时，可以通过顶点坐标和对称轴的特点，帮助学生更好地理解和掌握二次函数的图像。
2. 二次函数在几何问题中的应用：二次函数在几何问题中有着广泛的应用。
比如，可以利用二次函数的性质来分析抛物线的高度、最大值、最小值等问题。
同时，可以通过建立二次函数模型，解决与抛物线相关的实际问题，如抛物线的轨迹、碗碟的形状等。
举例：小明站在一个高度为10米的建筑物上往下扔一个物体，假设物体的下落轨迹为抛物线。
已知小明所站的位置为抛物线的顶点，求此抛物线的方程，并分析物体落地的位置。
解答：由题意可知，小明所站的位置为抛物线的顶点，设小明所站的位置为点A，抛物线与地面的交点为点B，则AB的距离为10米。
设抛物线的方程为f(x) = ax^2 + bx + c。
由于顶点的横坐标即为对称轴的横坐标，所以顶点的横坐标为0，即b/2a = 0，解得b=0。
2024年中考数学《二次函数的实际应用》真题含解析版
二次函数的实际应用(21题)一、单选题1(2024·天津·中考真题)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t20≤t≤6．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．其中，正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令�=0解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把t=2和t=5代入计算即可判断③．【详解】解：令�=0，则30t-5t2=0，解得：t1=0，t2=6，∴小球从抛出到落地需要6 s，故①正确；∵�=30t-5t2=-5x-32+45，∴最大高度为45m，∴小球运动中的高度可以是30 m，故②正确；当t=2时，�=30×2-5×22=40；当t=5时，�=30×5-5×52=25；∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，故③错误；故选C．2(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0<x<12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是()A. B.C. D.【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y 与x 分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当HG 与BC 重合时，及当x ≤4时图象的走势，和当x >4时图象的走势即可得到答案．【详解】解：当HG 与BC 重合时，设AE =x ，由题可得：∴EF =EH =2x ，BE =12-x ，在Rt △EHB 中，由勾股定理可得：BE 2=BH 2+EH 2，∴2x 2+2x 2=12-x 2，∴x =4，∴当0<x ≤4时，y =2x 2=2x 2，∵2>0，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，当HG 在BC 下方时，设AE =x ，由题可得：∴EF =2x ，BE =12-x ，∵∠AEF =∠B =45°，∠A =∠EOB =90°,∴△FAE ∽△EOB ，∴AE EF =EO EB ，∴x 2x=EO 12-x ，∴EO =12-x 2，∴当4<x <12时，y =2x ·12-x 2=12-x x =-x 2+12x ，∵-1<0，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A 正确，故选：A ．3(2024·山东烟台·中考真题)如图，水平放置的矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =23cm ，∠E =60°，现将菱形EFGH 以1cm/s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD重叠部分的面积S cm 2 与运动时间t s 之间的函数关系图象大致是()A. B.C. D.【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为63，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．【详解】解：如图所示，设EG ,HF 交于点O ，∵菱形EFGH ，∠E =60°，∴HG =GF又∵∠E =60°，∴△HFG 是等边三角形，∵EF =23cm ，∠HEF =60°，∴∠OEF =30°∴EG =2EO =2×EF cos30°=3EF =6∴S 菱形EFG H =12EG ⋅FH =12×6×23=63当0≤x ≤3时，重合部分为△MNG ，如图所示，依题意，△MNG 为等边三角形，运动时间为t ，则NG =t cos30°=233t ，∴S =12×NG ×NG ×sin60°=34233t 2=33t 2当3<x≤6时，如图所示，依题意，EM=EG-t=6-t，则EK=EMsin60°=6-t32=2336-t∴S△EKJ=12EJ⋅EM=12×2336-t2=336-t2∴S=S菱形EFGH-S△EKJ=6-336-t2=-33t2+43t-123+6∵EG=6<BC∴当6<x≤8时，S=63当8<x≤11时，同理可得，S=6-33t-82当11<x≤14时，同理可得，S=336-t-82=3314-t2综上所述，当0≤x≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3<x≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6<x≤8时，函数图象为一条线段，当8<x≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11<x≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．二、填空题4(2024·广西·中考真题)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P 处)的高度OP 是74m ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．若实心球落地点为M ，则OM =m ．【答案】353【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为y =a x -5 2+4，把点0,74，代入即可求出解析式；当y =0时，求得x 的值，即为实心球被推出的水平距离OM ．【详解】解：以点O 为坐标原点，射线OM 方向为x 轴正半轴，射线OP 方向为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．设抛物线解析式为：y =a x -5 2+4，把点0,74 代入得：25a +4=74，解得：a =-9100，∴抛物线解析式为：y =-9100x -5 2+4；当y =0时，-9100x -5 2+4=0，解得，x 1=-53(舍去)，x 2=353，即此次实心球被推出的水平距离OM 为353m ．故答案为：3535(2024·甘肃·中考真题)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y (单位：m )与距离停车棚支柱AO 的水平距离x (单位：m )近似满足函数关系y =-0.02x 2+0.3x +1.6的图象，点B 6，2.68 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD =4m ，高DE =1.8m 的矩形，则可判定货车完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．【答案】能【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当x =2时，y 的值，若此时y 的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．【详解】解：∵CD =4m ，B 6，2.68 ，∴6-4=2，在y =-0.02x 2+0.3x +1.6中，当x =2时，y =-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12，∵2.12>1.8，∴可判定货车能完全停到车棚内，故答案为：能．6(2024·四川自贡·中考真题)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．【答案】46.4【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用AO 和OC 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO 和OC 构成矩形，设矩形在射线OA 上的一段长为xm ，矩形菜地面积为S ，当x ≤8时，如图，则在射线OC 上的长为16-x -1.4+52=19.6-x 2则S =x ⋅19.6-x 2=-12x 2+9.8x =-12x -9.8 2+48.02，∵-12<0，∴当x ≤9.8时，S 随x 的增大而增大，∴当x =8时，S 的最大值为46.4；当x >8时，如图，则矩形菜园的总长为16+6.6+5 =27.6m ，则在射线OC 上的长为27.6-2x 2则S =x ⋅13.8-x =-x 2+13.8x =-x -6.9 2+47.61，∵-1<0，∴当x <6.9时，S 随x 的增大而减少，∴当x >8时，S 的值均小于46.4；综上，矩形菜地的最大面积是46.4cm 2；故答案为：46.4．三、解答题7(2024·陕西·中考真题)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 1与缆索L 2均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O 为原点，以直线FF 为x 轴，以桥塔AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索L 1所在抛物线与缆索L 2所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离OC =100m ，AO =BC =17m ，缆索L 1的最低点P 到FF 的距离PD =2m (桥塔的粗细忽略不计)(1)求缆索L 1所在抛物线的函数表达式；(2)点E 在缆索L 2上，EF ⊥FF ，且EF =2.6m ，FO <OD ，求FO 的长．【答案】(1)y =3500x -50 2+2；(2)FO 的长为40m ．【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．(1)根据题意设缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =a x -50 2+2，把0,17 代入求解即可；(2)根据轴对称的性质得到缆索L 2所在抛物线的函数表达式为y =3500x +50 2+2，由EF =2.6m ，把y =2.6代入求得x 1=-40，x 2=-60，据此求解即可．【详解】(1)解：由题意得顶点P 的坐标为50,2 ，点A 的坐标为0,17 ，设缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =a x -50 2+2，把0,17 代入得17=a 0-50 2+2，解得a =3500，∴缆索L 1所在抛物线的函数表达式为y =3500x -50 2+2；(2)解：∵缆索L 1所在抛物线与缆索L 2所在抛物线关于y 轴对称，∴缆索L 2所在抛物线的函数表达式为y =3500x +50 2+2，∵EF =2.6，∴把y =2.6代入得，2.6=3500x +50 2+2，解得x 1=-40，x 2=-60，∴FO=40m或FO=60m，∵FO<OD，∴FO的长为40m．8(2024·湖北·中考真题)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为Scm2．(1)求y与x,s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为750cm2，若能，求出x的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．【答案】(1)y=80-2x19≤x<40；s=-2x2+80x(2)能，x=25(3)s的最大值为800，此时x=20【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：(1)根据AB+BC+CD=80可求出y与x之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；(2)令s=750，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；(3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．【详解】(1)解：∵篱笆长80m，∴AB+BC+CD=80，∵AB=CD=x,BC=y,∴x+y+x=80,∴y=80-2x∵墙长42m，∴0<80-2x≤42，解得，19≤x<40，∴y=80-2x19≤x<40；又矩形面积s=BC⋅AB=y⋅x=80-2xx=-2x2+80x；(2)解：令s=750，则-2x2+80x=750，整理得：x2-40x+375=0，此时，Δ=b 2-4ac =-40 2-4×375=1600-1500=100>0，所以，一元二次方程x 2-40x +375=0有两个不相等的实数根，∴围成的矩形花圃面积能为750cm 2；∴x =--40 ±1002,∴x 1=25,x 2=15,∵19≤x <40，∴x =25；(3)解：s =-2x 2+80x =-2x -20 2+800∵-2<0,∴s 有最大值，又19≤x <40，∴当x =20时，s 取得最大值，此时s =800，即当x =20时，s 的最大值为8009(2024·河南·中考真题)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h m 满足关系式h =-5t 2+v 0t ，其中t s 是物体运动的时间，v 0m/s 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后s 时离地面的高度最大(用含v 0的式子表示)．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】(1)v 010(2)20m/s (3)小明的说法不正确，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；(2)把t =v 010，h =20代入h =-5t 2+v 0t 求解即可；(3)由(2)，得h =-5t 2+20t ，把h =15代入，求出t 的值，即可作出判断.【详解】(1)解：h =-5t 2+v 0t=-5t -v 010 2+v 0220，∴当t =v 010时，h 最大，故答案为：v 010；(2)解：根据题意，得当t =v 010时，h =20，∴-5×v 0102+v 0×v 010=20，∴v 0=20m/s (负值舍去)；(3)解：小明的说法不正确．理由如下：由(2)，得h =-5t 2+20t ，当h =15时，15=-5t 2+20t ，解方程，得t 1=1，t 2=3，∴两次间隔的时间为3-1=2s ，∴小明的说法不正确．10(2024·湖北武汉·中考真题)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y =ax 2+x 和直线y =-12x +b ．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．【答案】(1)①a =-115，b =8.1；②8.4km (2)-227<a <0【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．(1)①将9,3.6 代入即可求解；②将y =-115x 2+x 变为y =-115x -152 2+154，即可确定顶点坐标，得出y =2.4km ，进而求得当y =2.4km 时，对应的x 的值，然后进行比较再计算即可；(2)若火箭落地点与发射点的水平距离为15km ，求得a =-227，即可求解．【详解】(1)解：①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km∴抛物线y=ax2+x和直线y=-12x+b均经过点9,3.6∴3.6=81a+9，3.6=-12×9+b解得a=-115，b=8.1．②由①知，y=-12x+8.1，y=-115x2+x∴y=-115x2+x=-115x-1522+154∴最大值y=154km当y=154-1.35=2.4km时，则-115x2+x=2.4解得x1=12，x2=3又∵x=9时，y=3.6>2.4∴当y=2.4km时，则-12x+8.1=2.4解得x=11.44-3=8.4km∴这两个位置之间的距离8.4km．(2)解：当水平距离超过15km时，火箭第二级的引发点为9,81a+9，将9,81a+9，15,0代入y=-12x+b，得81a+9=-12×9+b，0=-12×15+b解得b=7.5，a=-2 27∴-227<a<0．11(2024·四川内江·中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．(1)求这两种粽子的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x元52≤x≤70，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元(2)y=-10x2+1200x-35000或y=-10x-602+1000，当x=60时，y取得最大值为1000元【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题．(1)设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为n+20元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可；(2)根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答．【详解】(1)解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为n+20元由题意得：5000n+20=3000n解得：n=30经检验：n=30是原方程的解且符合题意∴n+20=50答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元．(2)解：设猪肉粽每盒售价x元52≤x≤70，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，则y=x-50180-10x-52=-10x2+1200x-35000=-10x-602+1000∵52≤x≤70，-10<0，∴当x=60时，y取得最大值为1000元．12(2024·贵州·中考真题)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．销售单价x/元⋯1214161820⋯销售量y/盒⋯5652484440⋯(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．【答案】(1)y=-2x+80(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元(3)2【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)利用待定系数法求解即可；(2)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；(3)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】(1)解∶设y与x的函数表达式为y=kx+b，把x=12，y=56；x=20，y=40代入，得12k+b=56 20k+b=40 ，解得k =-2b =80 ，∴y 与x 的函数表达式为y =-2x +80；(2)解：设日销售利润为w 元，根据题意，得w =x -10 ⋅y=x -10 -2x +80=-2x 2+100x -800=-2x -25 2+450，∴当x =25时，w 有最大值为450，∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；(3)解：设日销售利润为w 元，根据题意，得w =x -10-m ⋅y=x -10-m -2x +80=-2x 2+100+2m x -800-80m ，∴当x =-100+2m 2×-2=50+m 2时，w 有最大值为-250+m 2 2+100+2m 50+m 2 -800-80m ，∵糖果日销售获得的最大利润为392元，∴-250+m 22+100+2m 50+m 2 -800-80m =392，化简得m 2-60m +116=0解得m 1=2，m 2=58当m =58时，x =-b 2a=54,则每盒的利润为：54-10-58<0,舍去，∴m 的值为2．13(2024·广东·中考真题)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．(题中“元”为人民币)【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x 万元，每天的利润为w 万元，根据利润=每吨的利润×销售量列出w 关于x 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：设每吨降价x 万元，每天的利润为w 万元，由题意得，w =5-x -2 100+50x=-50x 2+50x +300=-50x-122+312.5，∵-50<0，∴当x=12时，w有最大值，最大值为312.5，∴5-x=4.5，答：当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元．14(2024·四川遂宁·中考真题)某酒店有A、B两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．(1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？【答案】(1)A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为为120元；(2)当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．【分析】(1)设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为为y元，根据题意，列出方程组即可求解；(2)设A种客房每间定价为a元，根据题意，列出W与a的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．【详解】(1)解：设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为为y元，由题意可得，24x+20y=7200 10x+10y=3200，解得x=200 y=120 ，答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为为120元；(2)解：设A种客房每间定价为a元，则W=24-a-200 10a=-110a2+44a=-110a-2202+4840，∵-110<0，∴当a=220时，W取最大值，W最大值=4840元，答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．15(2024·四川南充·中考真题)2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件(每件售价不低于进价)．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？(利润=售价-进价)【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件(2)y=10x+60(0≤x≤10)(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，1 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为132-x元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；2 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；3 结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】(1)解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为132-x元．根据题意得3x+5132-x=540．解得x=60．则每件B类特产的售价132-60=72(元)．答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．(2)由题意得y=10x+60∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价∴0≤x≤10．答：y=10x+60(0≤x≤10)．(3)w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x2+40x+1800=-10(x-2)2+1840．∵-10<0,∴当x=2时，w有最大值1840．答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．16(2024·江苏盐城·中考真题)请根据以下素材，完成探究任务．制定加工方案生产背景背景1◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.背景2每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．信息整理现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：探究任务任务1探寻变量关系求x、y之间的数量关系．任务2建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．任务3拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案．【答案】任务1：y=-13x+703；任务2：w=-2x2+72x+3360(x>10)；任务3：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有70-x-y人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x100-2x-10，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，∴加工“正”服装的有70-x-y人，∵“正”服装总件数和“风”服装相等，∴70-x-y×1=2y，整理得：y=-13x+703；任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x100-2x-10，∴w=2y×24+70-x-y×48+x100-2x-10，整理得：w=-16x+1120+-32x+2240+-2x2+120x∴w=-2x2+72x+3360(x>10)任务3：由任务2得w=-2x2+72x+3360=-2x-182+4008，∴当x=18时，获得最大利润，y=-13×18+703=523，∴x≠18，∵开口向下，∴取x=17或x=19，当x=17时，y=533，不符合题意；当x=19时，y=513=17，符合题意；∴70-x-y=34，综上：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．17(2024·山东烟台·中考真题)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【答案】(1)y=-25x2+20x+12000，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元(2)这天售出了64辆轮椅【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：(1)根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；(2)令y=12160，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可．【详解】(1)解：由题意，得：y=200-x60+x10×4=-25x2+20x+12000；∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200-x≥180，∴x≤20，∵y=-25x2+20x+12000=-25x-252+12250，∴当x<25时，y随x的增大而增大，∴当x=20时，每天的利润最大，为-25×20-252+12250=12240元；答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元；(2)当y=12160时，-25x2+20x+12000=12160，解得：x1=10，x2=40(不合题意，舍去)；∴60+1010×4=64(辆)；答：这天售出了64辆轮椅．18(2024·江西·中考真题)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx a<0刻画，斜坡可以用一次函数y=14x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表：x012m4567⋯y07261528152n72⋯(1)①m =，n =；②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y (米)与飞行时间t (秒)满足关系y =-5t 2+vt ．①小球飞行的最大高度为米；②求v 的值．【答案】(1)①3，6；②152,158；(2)①8，②v =410【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，(1)①由抛物线的顶点坐标为4，8 可建立过于a ，b 的二元一次方程组，求出a ，b 的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A 的坐标；(2)①根据第一问可知最大高度为8米；②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v 值．【详解】(1)解：①根据小球飞行的水平距离x (米)与小球飞行的高度y (米)的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为4,8 ，∴-b 2a =4-b 24a =8 ，解得：a =-12b =4 ，∴二次函数解析式为y =-12x 2+4x ，当y =152时，-12x 2+4x =152，解得：x =3或x =5(舍去)，∴m =3，当x =6时，n =y =-12×62+4×6=6，故答案为：3，6．②联立得：y =-12x 2+4x y =14x ，解得：x =0y =0 或x =152y =158，∴点A 的坐标是152,158，(2)①由题干可知小球飞行最大高度为8米，故答案为：8；②y =-5t 2+vt =-5t -v 10 2+v 220，则v 220=8，解得v =410(负值舍去)．19(2024·江苏苏州·中考真题)如图，△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，A -2,0 ，C 6,0 ，反比例函数y =k xk ≠0,x >0 的图象与AB 交于点D m ,4 ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值；(2)点P 为反比例函数y =k xk ≠0,x >0 图象上一动点(点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合)，过点P 作PM ∥AB ，交y 轴于点M ，过点P 作PN ∥x 轴，交BC 于点N ，连接MN ，求△PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．【答案】(1)m =2，k =8(2)S △PMN 最大值是92，此时P 3,83【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：(1)先求出B 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的函数表达式，把D 的坐标代入直线AB 的函数表达式求出m ，再把D 的坐标代入反比例函数表达式求出k 即可；(2)延长NP 交y 轴于点Q ，交AB 于点L ．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM =QP ，设点P 的坐标为t ,8t ，2<t <6 ，则可求出S △PMN =12⋅6-t ⋅t ，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】(1)解：∵A -2,0 ，C 6,0 ，∴AC =8．又∵AC =BC ，∴BC =8．∵∠ACB =90°，∴点B 6,8 ．设直线AB 的函数表达式为y =ax +b ，将A -2,0 ，B 6,8 代入y =ax +b ，得-2a +b =06a +b =8 ，。
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。
实际问题与二次函数
实际问题与二次函数1．实际应用在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最_________或最_______。
1、二次函数的应用【例1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？练1.（2014春•重庆市校级月考）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为（）A 、36(1)y x =-B 、36(1)y x =+C 、218(1)y x =+D 、218(1)y x =-练2.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_________.【例2】计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道.如下图，现有一张半径为45mm 的磁盘．（1）磁盘最内磁道的半径为r mm ，其上每0.015mm 的弧长为1个存储单元，这条磁道由多少个存储单元？（2）磁盘上个磁道之间的宽度必须不小于0.3mm ，磁盘的外圆周不少磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果个磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r 是多少时，磁盘的存储量最大？练3.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是___________．练4.（2014春•江宁区校级月考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为x cm 的边与这条边上的高之和为40cm ，这个三角形的面积Scm 2随x 的变化而变化。
（1）请直写出S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）当x 是多少时，这个三角形面积S 最大？最大面积是多少？【例3】图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水面下降1m 时，水面宽度增加多少？练5.（2014秋•威海市期末）下图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A ．22y x =-B ．22y x =C 、212y x =-D 、212y x =练6.如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A 、2316h t =-B 、2316h t t =-+C 、2118h t t =-++D 、21213h t t =-++.【例4】如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取265=）练7．（2015•泰安市一模）如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（）A 、1y x =+B 、1y x =-C 、21y x x =-+D 、21y x x =--练8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y =-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是___________.【例5】如图，有长为24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a ＝10m)．(1)如果所围成的花圃的面积为45m 2，试求宽AB 的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．练9．有长24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m ，面积是S m 2，则S 与x 的关系式是（）A 、2324S x x =-+B 、2224S x x =-+C 、2324S x x =--D 、2324S x x =-+练10．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数m ＝162－3x ．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y (元)与每件的销售价x (元)间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？【例6】．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?练11．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?练12．（2015秋•唐山市期末）随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？1．在一幅长60cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽度为x cm 2，那么y 关于x 的函数是（）A 、y =（60+2x ）（40+2x ）B 、y =（60+x ）（40+x ）C 、y =（60+2x ）（40+x ）D 、y =（60+x ）（40+2x ）2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（）A 、2254y x =B 、2254y x =-C 、2425y x =-D 、2425y x =3．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A 距地面OA 为1m ，球路的最高点为B （8,9），则这个二次函数的表达式为_____________，小孩将球抛出约___________米.4．如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC ，BC 为斜边在的同侧作两个等要直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是______________。
初中数学教案：运用二次函数解决实际问题
初中数学教案：运用二次函数解决实际问题一、引言二次函数是数学中的重要概念，广泛应用于解决实际问题。
通过对二次函数的研究和运用，不仅可以培养学生的数学思维能力，还能帮助他们理解数学与现实世界之间的联系。
本文将介绍一个初中数学教案，通过运用二次函数解决实际问题，来提高学生对这一知识的理解和应用能力。
二、教学目标1. 理解二次函数在现实生活中的应用方式；2. 掌握使用二次函数解决相关实际问题的基本方法；3. 提高分析和解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 了解二次函数：让学生回顾并巩固关于二次函数基本概念和性质的知识。
包括：一般式、顶点式和轴对称式表示法；开口方向及开口情况；顶点坐标及不等式求根法。
2. 运用二次函数解决房屋价格问题：设计一个实际情境：房屋销售商将销售价格建模成一个二次函数，并要求学生根据给定条件利用该模型进行分析和计算。
（1）初步认识条件：给定房屋价格与房屋面积之间的关系，利用这一关系构建二次函数公式。
（2）求解问题：利用二次函数公式，计算不同面积的房屋价格；通过对比和分析数据，了解房屋价格随着面积的变化规律，并做出合理推断。
（3）应用扩展：让学生尝试寻找其它可能影响房屋价格的因素，并进行更复杂的建模和分析。
3. 运用二次函数解决物体抛掷问题：设计一个实际情境：学生在游乐园中进行投篮游戏，需要根据身高选择合适的投篮点位。
要求学生根据所给条件使用二次函数模型帮助他们进行决策。
（1）初步认识条件：给定身高与投篮成功率之间的关系，利用这一关系构建二次函数公式。
（2）求解问题：利用二次函数公式，计算不同身高下的投篮成功率；结合概率知识，判断哪个位置最适合不同身高学生进行投篮。
（3）应用扩展：让学生尝试提出其他可能影响投篮成功率的因素，并进行相应调整和分析。
四、教学过程1. 概念讲解和知识示范：（1）介绍二次函数的定义和性质，帮助学生理解数学与现实世界之间的联系。
（2）通过例题演示，展示如何将实际问题转化成二次函数，并运用相关公式求解。
初中复习方略数学第十三讲 二次函数的应用
第十三讲 二次函数的应用知识清单·熟掌握抛物线型问题应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1．建立平面直角坐标系：根据题意，建立适当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点．2．设函数解析式：根据所建立的坐标系，设出解析式．3．求解析式：将题中所给的数据转化为点的坐标，代入函数解析式，求出待定系数，确定函数解析式．4．解决实际问题：把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标)，求其纵坐标(或横坐标)，再转化为线段的长，解决实际问题．1．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式满足y ＝－65 t 2＋60t ，则飞机着陆至停下来滑行的距离是25 m ．(×) 2．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y ＝－112 x 2＋23 x ＋53，则小强此次成绩为10米．(√)利润最大化问题应用二次函数性质解决最优化问题的思路1．分析题中数量关系，确定变量．2．根据等量关系，构建二次函数模型．3．根据函数性质，确定最值．在实际问题中二次函数的最值不一定是顶点的纵坐标，要注意自变量的取值的限制对最值的影响．考点一应用二次函数解决抛物线型实际问题类型一：隧道和拱桥问题【典例1】(2021·衢州中考)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O离水面的距离．(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【思路点拨】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可．【自主解答】(1)根据题意可知点F 的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1＝a 1x 2.将F(6，－1.5)代入y 1＝a 1x 2有：－1.5＝36a 1，求得a 1＝－124 ， ∴y 1＝－124x 2， 当x ＝12时，y 1＝－124×122＝－6， ∴桥拱顶部离水面高度为6 m.(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y 2＝a 2(x －6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有：4＝a 2(0－6)2＋1，求得a 2＝112 ， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y ＝112(x －6)2＋1， ②设彩带的长度为L m ，则L ＝y 2－y 1＝112 (x －6)2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x 2 ＝18 x 2－x ＋4＝18 (x －4)2＋2， ∴当x ＝4时，L 最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m ．类型二：运动轨迹问题【典例2】(2021·北部湾中考)2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C 1：y ＝－112 x 2＋76x ＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 运动． (1)当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C 2的函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围).(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【思路点拨】(1)根据题意将点(0，4)和(4，8)代入C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 求出b ，c 的值即可写出C 2的函数解析式；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1，解出m 即可； (3)求出山坡的顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，6112 ，根据题意即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112，再解出b 的取值范围即可． 【自主解答】(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 过点(0，4)和(4，8)，将其代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝c 8＝－18×42＋4b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32c ＝4 ，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝－18 x 2＋32 x ＋4. (2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1， 整理得：(m －12)(m ＋4)＝0，解得：m 1＝12，m 2＝－4(舍去)，故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．(3)C 1：y ＝－112 x 2＋76 x ＋1＝－112 (x －7)2＋6112， 当x ＝7时，运动员到达坡顶，即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112， 解得：b ＞3524.此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c 值，落地点为抛物线与x 轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．(1)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上；(2)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(3)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y 值小；(4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高低．(2021·台州中考)以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t (单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图1)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图2).若h1＝2h2, 则t1∶t2＝__ 2 __．考点二利润最大化问题类型一：顶点处取最值【典例3】(2021·达州中考)渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9 750元，并让利于民，则定价应为多少元？【解析】(1)由题意得：W＝(48－30－x)(500＋50x)＝－50x2＋400x＋9 000，x＝2时，W＝(48－30－2)(500＋50×2)＝9 600(元)，答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝－50x2＋400x ＋9 000，当降价2元时，工厂每天的利润为9 600元；(2)由(1)得：W＝－50x2＋400x＋9 000＝－50(x－4)2＋9 800，∵－50＜0，∴x＝4时，W最大为9 800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9 800元．(3)－50x2＋400x＋9 000＝9 750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48－5＝43(元)，答：定价应为43元．类型二：不在顶点处取最值【典例4】(2021·鄂州中考)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围).(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2 160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)【思路点拨】(1)根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240和二次函数的性质求出利润的最大值．【自主解答】(1)设y 与x 之间的函数关系式y ＝kx ＋b(k≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧840＝160k ＋b 960＝190k ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4b ＝200 ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝4x ＋200；(2)设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得： W ＝[2 160－(4x ＋200)＋120]·x＝－4x 2＋2 080x ＝－4(x －260)2＋270 400，∵－4<0，∴当x<260时，W 随x 的增大而增大，由题意知： x≤240，∴当x ＝240时，W 最大，最大值为－4(240－260)2＋270 400＝268 800(元)， 答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268 800元． 类型三：在自变量不同取值范围上求最值【典例5】(2020·荆门中考)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x(天)的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋4（0<x≤20）－15x ＋12（20<x≤30） ，销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当月第几天，该农产品的销售额最大？最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)【思路点拨】(1)根据函数图象中的数据，可以得到y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)根据题意和(1)中的结果，可以得到利润与x 之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．【解析】(1)当0＜x≤20时，设y 与x 的函数关系式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8020a ＋b ＝40 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝80 ， 即当0＜x≤20时，y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋80，当20＜x≤30时，设y 与x 的函数关系式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝4030m ＋n ＝80 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－40 ， 即当20＜x≤30时，y 与x 的函数关系式为y ＝4x －40，由上可得，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋80（0<x≤20）4x －40（20<x≤30） . (2)设当月第x 天的销售额为w 元，当0＜x≤20时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋4 ×(－2x ＋80) ＝－45(x －15)2＋500，∴当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500，当20＜x≤30时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15x ＋12 ×(4x－40)＝－45 (x －35)2＋500， ∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w ＝480，由上可得，当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500.答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．1．求关于利润的二次函数解析式的两种思路(1)若题目给出销售量与单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×(销售价－进价)来解决；(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×(销售价－进价)来解决．2．求二次函数的最值的两种方法(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标，即y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为4ac －b 24a (a ＜0)或最小值为4ac －b 24a(a ＞0). (2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．1．(2021·连云港中考)某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是__1__264__元．2．(2021·南充中考)超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．(1)求苹果的进价；(2)如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式；(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z＝－1100 x＋12.在(2)的条件下，要使超市销售苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量．(利润＝销售收入－购进支出)【解析】(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意得：300x＋2＝200x－2，解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．(2)当0≤x≤100时，y＝10x；当x ＞100时，y ＝10×100＋(x －100)(10－2)＝8x ＋200；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x （0≤x≤100）8x ＋200（x ＞100）. (3)当0≤x≤100时，w ＝(z －10)x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 x ＝－1100(x －100)2＋100， ∴当x ＝100时，w 有最大值为100；当100＜x≤300时，w ＝(z －10)×100＋(z －8)(x －100)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 ×100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－8 (x －100) ＝－1100x 2＋4x －200 ＝－1100(x －200)2＋200， ∴当x ＝200时，w 有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大，为200元． 答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大． 考点三 几何图形面积问题【典例6】 (2020·孝义市质检)如图所示，正方形区域ABCD 是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分)，剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形EFGH)，其中AB＝100米，且AE＝AH＝CF＝CG.则当AE的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大？【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF＝DG＝DH，∴△AHE，△BEF，△CGF，△DGH都是等腰直角三角形；设AE＝x米，则BE＝(100－x)米．设四边形EFGH的面积为S，则S＝100×100－2×12 x2－2×12(100－x)2＝－2x2＋200x(0＜x＜100).∵S＝－2(x－50)2＋5 000.∵－2＜0，∴当x＝50时，S有最大值为5 000.答：当AE＝50米时，市民健身活动场所的面积达到最大．解决此类问题一般是根据几何图形的性质，先找变量，再确定变量与该图形周长或面积之间的关系，用变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意及二次函数的性质解题即可．(2019·连云港中考)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是(C)A ．18 m 2B ．18 3 m 2C ．24 3 m 2D ．4532 m 2人教版九年级下册 P29 练习 T2某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？【思路点拨】设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论．【自主解答】设房价为(180＋10x)元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，y ＝(180＋10x)(50－x)－(50－x)×20＝－10x 2＋340x ＋8000＝－10(x －17)2＋10890故可得当x ＝17，即房间定价为180＋170＝350元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．(变换条件与问法)(2021·济宁中考)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利(x －5)元， 根据题意得：900x ＋400x －5＝100， 整理得：x 2－18x ＋45＝0，解得：x ＝15或x ＝3(舍去)，经检验，x ＝15是原分式方程的解，符合实际，∴x －5＝15－5＝10(元)，答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元．(2)设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得：w ＝(15－a)(100＋20a)＝－20a 2＋200a ＋1 500＝－20(a －5)2＋2 000，∵－20<0，∴当a ＝5时，函数有最大值，最大值是2 000元．答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2 000元.(变换条件与问法)(2021·黄冈中考)红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．【解析】(1)由题知，y＝5－(x－50)×0.1，整理得y＝10－0.1x(40≤x≤100)；(2)设月销售利润为z，由题知，z＝(x－40)y＝(x－40)(10－0.1x)＝－0.1x2＋14x－400＝－0.1(x－70)2＋90，∴当x＝70时，z有最大值为90，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；(3)由(2)知，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即(70－40－a)×(10－0.1×70)＝78，解得a＝4，∴a的值为4.。
【初中数学知识点解析】二次函数的实际问题应用
题型2：实际问题中的决策
8．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已 知产销两种产品的有关信息如表：
产品 每件售价 每件成本 (万元) (万元)
甲
6
a
乙
20
10
每年其他 费用(万元)
20 40＋0.05x2
每年最大产 销量(件) 200 80
其中a为常数，且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2 与x的函数关系式；
2 ∴当x＝
3
22
22
8
a，即E是BC的中点时，y取得最小值，
2 即△DHE的面积取得最小值，最小值是
27 a2.
8
类型3 建立二次函数模型解决动点探究问题
6．如图所示，直线y＝ 1 x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C 2
和点B(1，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线 AC
1 2
x2＋
5 2
x－2代入，
得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，且最大值为4.
∴D(2，1)．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵S△ACD＝
1 2
AC·DE，AC＝2 5.
∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，
则DE的最大值为
4＝ 1 AC 1
4 2
＝4 5 . 55
要点提示
利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二 次函数解析式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问 题的目的．
类型1 建立平面直角坐标系解决实际问题
初中数学专题复习-二次函数的实际应用面积最值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=Θ[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=2 x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H则有△AFB ∽△BHP∴PHBH BF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10] )24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．5 m 12 m AB CD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：1.二次函数基础知识回顾2.二次函数在实际问题中的应用3.典型例题解析4.结论与建议正文：一、二次函数基础知识回顾二次函数是数学中的一种重要函数类型，其一般形式为y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为常数，且a ≠ 0）。
在初中和高中数学课程中，二次函数占有重要地位，与实际问题的结合尤为紧密。
二、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中的应用广泛，如几何图形、物理运动、经济学等。
以房间定价问题为例，设房间定价为x元，宾馆利润为y，则y = (x - 20)[50 - (x - 180)/10]（1/10）（x - 20）（680 - x）。
当(x - 20)(680 - x) = 660时，即x = 350时，宾馆利润最大。
三、典型例题解析1.面积问题：已知长为x，宽为（40-2x）/2，求面积最大值。
根据抛物线面积表达式，开口向下，当x = 10时，有最大面积为100cm。
2.最值问题：已知二次函数y = 5000(1/x)^2，求销售量最大值。
根据题意，第二年的销售量比第一年多销售x，第三年比第二年多销售x，于是得出y= 5000(1/x)^2。
通过求导可知，当x = 1时，销售量最大。
四、结论与建议二次函数在实际问题中的应用广泛，掌握其基本知识和解题方法至关重要。
在学习过程中，要关注开口向上向下、最值问题等关键点，同时熟练掌握多种解题方法。
在实际应用中，要善于将二次函数模型与实际问题相结合，灵活运用知识解决实际问题。
以上就是关于二次函数与实际问题的典型例题解析，希望对大家的学习有所帮助。
初中数学 二次函数的应用
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条
称轴是
，顶点坐标是
.
，它的对
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条
，它的对称
轴是
，顶点坐标是
. 当a>0时，抛
物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是
；当
a<0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，
是
。
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是
化成y=a(x-h)2+k的形式为___y_=_a_(_x_+___2ba__)_2_+__44aa_c-_b2
b
4ac-b2
当横坐标为__2_a_时，纵坐标有最大（小）值____4a___
二次函数的应用：
1 根据实际问题，建立二次函数模型，解 决实际问题（如问题1：求面积，利润等最 值） 2已知模型，利用待定系数法，求出解析式， 解决实际问题（如问题2） 3建立合适的直角坐标系，求解析式，解决 实际问题（如情景引入）
解函数应用题的一般步骤:
设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函 数等); 求自变量取值范围；
利用函数知识，求解（通常是最值问 题）；
写出答案。
小结
实际问题
数学问题
求解数学问题
课后拓展
已知某商品的进价为每件40元，售价是每件50元， 每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元， 则每个月要少卖10件(每件售价不能高于65元)。设每
解：设矩形的一边为x(m),则另一边为(10-x)m,矩形的面积为 ym2,根据题意，y与x之间的函数解析式为y=x(10-x) y=-x2+10x
初中数学精品课件：二次函数实际应用及函数新定义问题
(3)当 20≤t≤25 时，易得 w＝20t－200， ∴增加的利润为 600m＋[200×30－w(30－m)]＝40t2－ 600t－4000，∴－2ba＝125， ∴当 t＝25 时，增加的利润的最大值为 6000 元． 当 25≤t≤37 时，w＝300， 增 加 的 利 润 为 600m ＋ [200×30 － 300(30 － m)] ＝ 900×－85×(t－29)2＋15000＝－11225(t－29)2＋15000， ∴当 t＝29 时，增加的利润的最大值为 15000 元． 综上所述，当 t＝29，m＝20 时，提前上市 20 天，增加的 利润最大值为 15000 元．
1. 在二次函数的实际应用中，以求最值或存在性问题较 为常见，主要利用二次函数最值来求得实际问题或几 何问题中线段长度或图形面积的最值．
2. 在构建二次函数模型来解决实际问题时，通常体现了 函数思想、方程思想、数形结合、转化思想和分类讨 论等，在解题过程中一定要注意自变量的取值范围．
【典例 1】 (2019·嘉兴)某农作物的生长率 p 与温度 t(℃)有如下关系：如图
【典例 2】 (2019·宁波二模)如图 14-6，函数 y1 的图象经过向左或 向右平移一次，再向上或向下平移一次，得到函数 y2 的图象， 我们称函数 y1 为“基函数”，y2 为“基函数”的“像”，左右、 上下平移的路径称为平移路径，对应点之间的距离称为平移距 离． 我们所学过的函数：二次函数 y＝ax2，正比例函数 y＝kx 和反
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①请运用已学的知识，求 m 关于 p 的函数表达式．
②请用含 t 的代数式表示 m.
(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大 棚恒温 20 ℃时，每天的成本为 200 元．该作物 30 天后上市时，根据市 场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600 元．因此 给大棚继续加温，加温后每天成本 w(元)与大棚温度 t(℃)之间的关系如 图 14-4②所示．问：提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大 利润(农作物上市售出后大棚暂停使用)．
初中数学二次函数实际问题
初中数学二次函数实际问题《二次函数在实际生活中的奇妙世界》嗨，大家好！今天我想跟你们聊聊初中数学里超级有趣的二次函数在实际问题中的那些事儿。
我记得有一次啊，我们学校要举办一场投篮比赛。
这可不仅仅是比谁投得准，这里面还藏着二次函数的秘密呢！老师在操场画了好几个不同的投篮区域，每个区域得分不一样。
这时候我就开始想啦，要是把投篮的轨迹看成一个抛物线，那这可不就是二次函数的实际应用嘛。
我有个同学叫小明，他特别爱思考数学问题。
他就跟我说：“你看啊，这个篮球投出去的路线就像二次函数的图像一样。
篮球从我们手里出去，先上升，到了一个最高点然后再下降，最后落进篮筐或者落在地上。
”我当时眼睛就亮了，可不是嘛！那这个二次函数的表达式该怎么和投篮联系起来呢？比如说，我们假设篮球出手的高度是h，出手时的速度在水平方向是v₁，在垂直方向是v₂，经过的时间是t。
那篮球在垂直方向的高度y就可以用一个二次函数来表示：y = - 1/2gt² + v₂t+ h（这里的g是重力加速度哦）。
这就好像是给篮球的运动轨迹画了一幅精确的数学画像。
再说说建筑工人叔叔们盖房子吧。
我爸爸有个朋友是建筑工人，有一次我跟着爸爸去工地玩。
我就看到那些工人叔叔在搭架子，准备建一个很大的仓库。
我就好奇地问其中一个叔叔：“叔叔，你们盖房子的时候也要用到数学吗？”叔叔笑着说：“那当然啦，小娃娃。
比如说这个仓库的屋顶啊，我们要设计成拱形的，这样下雨下雪的时候，雪水和雨水能很顺利地流下来。
这个拱形的设计就得用到二次函数。
”我当时就特别惊讶，二次函数还能和盖房子有关呀！如果把这个拱形的屋顶看成一个二次函数的图像，那这个函数的开口方向是向下的，因为屋顶是中间高两边低嘛。
这个时候二次函数的一些特性就很重要啦，像顶点坐标就决定了屋顶最高的那个点在哪里，对称轴就决定了这个拱形的对称情况。
就好比这个屋顶是一个巨大的抛物线形状的伞，它要稳稳地罩在仓库上面，保护里面的东西不受风吹雨打。
初中数学二次函数应用场景详解
初中数学二次函数应用场景详解在初中数学的学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还与我们的实际生活息息相关。
接下来，让我们一起深入探讨二次函数的各种应用场景。
一、抛物线形状的物体运动轨迹在体育项目中，很多物体的运动轨迹都可以用二次函数来描述。
比如，篮球投篮时，篮球在空中划过的轨迹；铅球被抛出后，其运动路径等。
以投篮为例，篮球出手时的速度、角度和高度等因素决定了其运动轨迹。
通过建立二次函数模型，可以预测篮球是否能够准确进入篮筐，从而帮助运动员调整投篮技巧。
二、桥梁和拱门的设计在建筑领域，二次函数也发挥着重要作用。
许多桥梁和拱门的形状都是抛物线。
这是因为抛物线具有良好的力学性能，能够承受较大的压力和重量。
设计师们通过运用二次函数的知识，可以精确计算出桥梁和拱门的形状和尺寸，确保其结构的稳定性和安全性。
三、利润最大化问题对于商家来说，如何实现利润最大化是一个关键问题。
假设一家商店销售某种商品，其成本为固定值，而销售价格和销售量之间存在一定的关系。
我们可以建立一个二次函数来表示利润与销售价格或销售量之间的关系。
通过求函数的最大值，就能找到最优的销售价格或销售量，从而实现利润的最大化。
例如，某商品的成本为每件 50 元，销售价格为每件 x 元，销售量为 y 件，且销售量与销售价格之间满足关系 y ＝－10x ＋ 500。
那么利润 P 可以表示为：P ＝（x 50) （－10x ＋ 500)通过对这个二次函数进行整理和求最值，可以得出当销售价格为多少时，利润最大。
四、资源分配问题在资源分配方面，二次函数也能提供有效的解决方案。
比如，一个农场有一定面积的土地，要种植两种农作物 A 和 B。
已知种植农作物A 每公顷的收益和成本，以及种植农作物 B 每公顷的收益和成本。
设种植农作物 A 的面积为 x 公顷，种植农作物 B 的面积为 y 公顷，总收益为 z。
在土地面积有限的条件下，可以建立一个二次函数来表示总收益与种植面积之间的关系，然后通过求解函数的最大值来确定最优的种植方案。
初中数学二次函数的应用
二次函数的应用◆目标指引1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，•并在运用中体会二次函数的实际意义． 2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题．3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，•学会运用这种“转化”的数学思想方法．◆要点讲解1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，•运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题．◆学法指导1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，•建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）•求最值时，宜用配方法． 2．有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，•再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答．◆例题分析【例1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，•沿着AB向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，•设P，Q同时出发，问：（1）经过几秒后P，Q的距离最短（2）经过几秒后△PBQ的面积最大最大面积是多少【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts，显然AP和BQ•的长度分别为AP=t，BQ=2t（0≤t≤6）．PQ的距离PQ==．因此，只需求出被开方式5t2－12t+36的最小值，就可以求P，Q的最短距离．【解】（1）设经过ts后P，Q的距离最短，则：∵PQ====（2）设△PBQ的面积为S，则S=BP·BQ=（6－t）·2t=6t－t2=9－（t－3）2∴当t=3时，S取得最大值，最大值为9．即经过3s后，△PBQ的面积最大，最大面积为9cm2．【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围．【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，•销售单价还可以定为多少元相应的年销量分别为多少万件（4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；•第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）•应确定在什么范围【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题．【解】（1）依题意知：当销售单价定为x元时，年销量减少（x－100）万件．∴y=20－（x－100）=－x+30．即y与x之间的函数关系式是y=－x+30．（2）由题意可得：z=（30－x）（x－40）－500－1500=－x2+34x－3200．即z与x之间的函数关系式为z=－x2+34x－3200．∴－320=－x2+34x－3200，即x2－340x+28800=0．由x1+x2=－得，160+x=340，∴x=180．即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为180元．当x=160时，y=－×160+30=14，当x=180时，y=－×180+30=12．所以相应的年销售量分别为14万件和12万件．（4）∵z=－x2+34x－3200=－（x－170）2－310，∴当x=170时，z取得最大值为－310．即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资．第二年的销售单价定为x元时，则年获利额为：z′=（30－x）（x－40）－310=－x2+34x－1510．当z′=1130时，即1130=－x2+34x－1510，解得x1=120，x2=220．∴函数z′=－x2+34x－1510的大致图象如图所示．由图象可看出：当120≤x≤220时，z≥1130．∴第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．◆练习提升一、基础训练1．函数y=的最大值是______．2．炮弹从炮口射出后飞行的高度h（米）与飞行的时间t（秒）之间的函数关系式为h=v0tsinα－5t2，其中v是发射的初速度，α是炮弹的发射角，当v0=300米/秒，α=30°时，炮弹飞行的最大高度为_______米，该炮弹在空中飞行了______秒落到地面上．3．如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽AB=1.6米时，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，4．如图，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t•截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为（）5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，•该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于（）A．2.80米 B．2.816米 C．2.82米 D．2.826米6．如图，今有网球从斜坡OA的点O处抛出，•网球的抛物路线的函数关系是y=4x－x2，斜坡的函数关系是y=x2，其中y是垂直高度，x是与点O的水平距离．（1）求网球到达的最高点的坐标；（2）网球落在斜坡上的点A处，写出点A的坐标．7．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，•物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润最大利润是多少8．如图所示，一位运动员在距篮圈4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问球出手时，他跳离二、提高训练9．如图，图中四个函数的图象分别对应的解析式是①y=ax2；②y=bx2； ③y=cx2；④y=dx2．则a，b，c，d的大小关系为（）A．a>b>c>d B．a<c<b<d C．a>c>b>d D．d>c>b>a10．为备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处挑射，•正好射中了2．4m 高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图）．•有下列结论：①a+b+c>0；②－<a<0；③a－b+c>0；④0<b<－12a．其中正确的结论是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④11．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：（1）设运动后开始第t秒时，五边形APQCD的面积为S（单位：厘米2），写出S与t•之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；（2）t为何值时S最小并求出S的最小值．12．如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B，C，Q，R 在同一直线L上，当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线L•按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR 重合部分的面积为S（单位：cm2）．（1）当t=3s时，求S的值；（2）当t=5s时，求S的值；（3）当5≤t≤8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．13．如图，甲船位于乙船的正西方向26km处，现甲、乙两船同时出发，甲船以每小时12km的速度朝正北方向行驶，乙船以每小时5km的速度朝正西方向行驶，•何时两船相距最近最近距离是多少三、拓展训练14．如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数关系式和x的取值范围；（2）面积S是否存在最小值若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）当x为何值时，S的数值等于x的4倍1． 2．1125，30 3．y=－ 4．D 5．B6．（1）（4，8）（2）A（7，）7．（1）y=－3x+240 （2）W=－3x2+360x－9600（3）当每箱定价为55元时，可获利大利润为1125•元8．（1）y=－+ （2）0.2m 9．C 10．B11．（1）S=t2－6t+72（0≤t≤6）（2）t=3时，S最小=63 12．（1）cm2（2）cm2（3）S=－（t－）2+，S最大=cm213．当行驶小时时，两船相距最近，最近距离为24km 14．（1）S=x2－7x+18（0<x<3）（2）不存在，理由略（3）2。
初中数学几何模型与最值问题11专题-二次函数在实际应用中的最值问题(含答案)
初中数学几何模型与最值问题专题11 二次函数在实际应用中的最值问题1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中数据，用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）3、怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．（1）试求w与x之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．①分别求出当和时，与的函数关系式；①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：（1）求p与x的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？①求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？专题11 二次函数在实际应用中的最值问题 答案1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率是x ，10（1﹣x ）2=8.1，x =10%或x =190%（舍去）． 答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x ＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，①y =（9﹣4.1）（80﹣3x ）﹣（40+3x ）=﹣17.7x +352，①﹣17.7＜0，①y 随x 的增大而减小，①当x =1时，y 有最大值，y 大=﹣17.7×1+352=334.3（元）； 当9≤x ＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，①y =（8.1﹣4.1）（120﹣x ）﹣（3x 2﹣64x +400）=﹣3x 2+60x +80=﹣3（x ﹣10）2+380，①﹣3＜0，①当9≤x ≤10时，y 随x 的增大而增大，当10＜x ＜15时，y 随x 的增大而减小，①当x =10时，y 有最大值，y 大=380（元）．综上所述，y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式为： 217.7352(19){ 36080(915)x x y x x x -+≤<=-++≤<，第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a 元，由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a ）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），252．5≤105（4﹣a ）﹣115，a ≤0.5． 答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中数据，用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式 （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元（a ＞0）的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a 的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用） 【解析】（1）假设P 与x 的一次函数关系,设函数关系式p kx b =+,则3060040300k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得301500k b =-⎧⎨=⎩,①301500p x =-+,检验:当35,450x P ==,当45,150,x P ==当50,0x P ==,均符合一次函数解析式 ①所求的函数关系式301500p x =-+,（2）设日销售利润()()()3030150030w P x x x =-=-+-,即()223024004500030403000w x x x =-+-=--+,当40x =时,w 有最大值为3000元, 故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大, （3）日获利()()()3030150030w p x a x x a =--=-+--, 即()()230240030150045000w x a x a =-++-+,对称轴这()2400301402302a x a +=-=+⨯-,若10a >,则当45x =时,w 有最大值,即22501502430w a =-<（不合题意）, 若10a <,则当1402x a =+时,w 有最大值, 把1402x a =+代入,可得2130101004w a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 当2430w =时,21243030101004a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,解得12a =,238a =（舍去）, 综上所述,a 的值为2.3、怡然美食店的A 、B 两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A 种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 【解析】(1)、设该店每天卖出A 、B 两种菜品分别为x 、y 份，根据题意得：()()2018112020141814280x y x y +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：2040x y =⎧⎨=⎩，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)、设A 种菜品售价降0.5a 元，即每天卖（20+a ）份，总利润为w 元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品卖（40﹣a ）份，每份售价提高0.5a 元． 则w=（20﹣14﹣0.5a ）（20+a ）+（18﹣14+0.5a ）（40﹣a ）=（6﹣0.5a ）（20+a ）+（4+0.5a ）（40﹣a ）=（﹣0.5a 2﹣4a +120）+（﹣0.5a 2+16a +160） =﹣a 2+12a +280=﹣（a ﹣6）2+316， 当a =6，w 最大，w=316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y （张）与电影票售价x （元/张）之间满足一次函数：y =﹣4x +220（10≤x ≤50，且x 是整数），设影城每天的利润为w （元）（利润=票房收入﹣运营成本）． （1）试求w 与x 之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）根据题意，得：w =（﹣4x +220）x ﹣1000=﹣4x 2+220x ﹣1000；（2）①w =﹣4x 2+220x ﹣1000=﹣4（x ﹣27.5）2+2025，①当x =27或28时，w 取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解析】（1）221:23(1)4C y ax ax a a x a =--=--顶点(1,4)a -围绕点(,0)P m 旋转180180°的对称点为(21,4)m a -，2:(21)24C y a x m a =--++，函数的对称轴为：21x m =-，21t m =-，（2）1a =-时，21:(1)4C y x =--，①当112t ≤<时，12x =时，有最小值2154y =，x t =时，有最大值21(1)4y t =--+， 则21215(1)414y y t -=--+-=，无解； ①312t ≤≤时，1x =时，有最大值14y =，12x =时，有最小值22(1)4y t =--+，12114y y -=≠（舍去）；①当32t >时，1x =时，有最大值14y =，x t =时，有最小值22(1)4y t =--+，212(1)1y y t -=-=，解得：0t =或2（舍去0），故222:(2)44C y x x x =--=-；（3）0m =，22:(1)4C y a x a =-++，点'',,,,A B D A D 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3),(0,1),(3,0)a a --，当0a >时，a 越大，则OD 越大，则点'D 越靠左，当2C 过点'A 时，2(01)41y a a =-++=，解得：13a =， 当2C 过点'D 时，同理可得：1a =， 故：103a <≤或1a ≥； 当0a <时，当2C 过点'D 时，31a -=，解得：13a =-， 故：13a ≤-； 综上，故：103a <≤或1a ≥或13a ≤-．6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值； （2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示． ①分别求出当和时，与的函数关系式；①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）【解析】（1）由题意得，解得答：a的值为0.04，b的值为30.（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得解得①y与t的函数关系式为y=t+15当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+n2，得解得①y与t的函数关系式为y=t+30①由题意得，当0≤t≤50时，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t①3600＞0，①当t=50时，W最大值=180000（元）当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250①-10＜0，①当t=55时，W最大值=180250综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【解析】（1）①=，①当x=25时，占地面积y最大；（2）=，①当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．①26-25=1≠2，①小敏的说法不正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x 天（1≤x ≤15且x 为整数）时每盒成本为p 元，已知p 与x 之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y 盒，y 与x 之间的关系如下表所示：（1）求p 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果． 【解析】（1）设p =kx +b （k ≠0），①第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，①321725k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，所以p =x +18；（2）1≤x ≤6时，w =10[50﹣（x +18）]=﹣10x +320，6＜x ≤15时，w =[50﹣（x +18）]（x +6）=﹣x 2+26x +192，所以，w 与x 的函数关系式为210320(16)26192(615)x x w x x x -+≤≤⎧=⎨-++<≤⎩， 当1≤x ≤6时，①﹣10＜0，①w 随x 的增大而减小，①当x =1时，w 最大为﹣10+320=310，6＜x ≤15时，w =﹣x 2+26x +192=﹣（x ﹣13）2+361，①当x =13时，w 最大为361， 综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）w =325时，﹣x 2+26x +192=325，x 2﹣26x +133=0，解得x 1=7，x 2=19，所以，7≤x ≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？①求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？【解析】（1）根据题意得：2120{32205a ba b+=+=，解得：a=35，b=50；（2）①由题意得：y=（x﹣40）[100﹣5（x﹣50）]①y=﹣5x2+550x﹣14000；①①y=﹣5x2+550x﹣14000=﹣5（x﹣55）2+1125，①当x=55时，y最大=1125，①销售单价为55元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【解析】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，①-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【解析】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，①-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【解析】(1)当6≤x ≤10时，由题意设y ＝kx ＋b (k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)， ①1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩ ，解得2002200k b =-⎧⎨=⎩， ①当6≤x ≤10时， y ＝-200x +2200，当10＜x ≤12时，y ＝200，综上，y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ (2)设利润为w 元，当6≤x ≤10时，y ＝－200x ＋2200，w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－2002172x -（）＋1250， ①－200＜0，6①x ≤10，当x ＝172时，w 有最大值，此时w=1250； 当10＜x ≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200，①200＞0，①w ＝200x －1200随x 增大而增大，又①10＜x ≤12，①当x ＝12时，w 最大，此时w=1200，1250＞1200，①w 的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【解析】（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =①1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 2b 200=-⎧⎨=⎩ ①y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．（2）设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+①20a =-<；①抛物线开口向下；①对称轴65x =；①当65x <时，W 随着x 的增大而增大；①3060x ≤≤，①60x =时，W 有最大值；22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．。
初中数学九年级下册第二章 二次函数二次函数的实际应用
二次函数的实际应用1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？2．某超市销售一种商品，其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得低于成本价，且不高于100元经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克的售价x（元）满足一次函数关系，其中部分数据如表：售价x（元/千克）405060销售量y（千克）180150120（1）求y与x之间的函数表达式．（2）设该商品每天的总利润为W（元），求W与x 之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本），并指出每千克的售价为多少元时可获得最大利润？最大利润是多少？3．如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S 平方米．（1）写出S与x的函数关系式；（2）如果要围成192平方米的场地，AD的长是6米或16米．（3）当x取何值时，S有最大值？并求出最大值．4．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？5．某商店销售一种成本为20元的商品，经调研，当该商品每件售价为30元时，每天可销售200件：当每件的售价每增加1元，每天的销量将减少5件．（1）求销量y（件）与售价x（元）之间的函数表达式；（2）如果每天的销量不低于150件，那么，当售价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该商店老板热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出100元给希望工程，为保证捐款后每天剩余利润不低于2900元，请直接写出该商品售价的范围．6．某企业接到一批酸奶生产任务，按要求在16天内完成，规定这批酸奶的出厂价为每瓶8元，为按时完成任务，该企业招收了新工人小孙，设小孙第x 天生产的酸奶数量为y瓶，y与x满足下列关系式：y＝（1）小孙第几天生产的酸奶数量为520瓶？（2）如图，设第x天每瓶酸奶的成本是p元，已知p与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．写出p与x的函数关系式．（3）若小孙第x天创造的利润为w元，求w与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价一成本）7．某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm时，花园的面积为ym2．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是12m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积y的最大值．8．金秋时节，硕果飘香，某精准扶贫项目果园上市一种有机生态水果．为帮助果园拓宽销路，欣欣超市对这种水果进行代销，进价为5元/千克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克；在销售过程中发现：销售单价每上涨元，当天的销售量就减少5千克．设当天销售单价统一为x元/千克（x≥6，且x是按元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若该种水果每千克的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每千克售价为多少元？并求出最大利润．9．合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系：销售单价x/元20253035月销售量y/件3300280023001800（1）求y关于x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？10．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：p＝，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示．（1）求日销售量y与时间t的函数解析式；（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．。
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初中数学
聆听例题，二次函数实际应用
1. 形状——抛物线
2. 形式——二次整式
【问题1】小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线2
1
3.5
5
y x
=-+的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是______m
【练习】
1. 竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）
A．第3秒B．第3.9秒
C．第4.5秒D．第6.5秒
2. 如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．
聆听例题，3. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看做抛物线，如图建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为
2
113
632
y x x
=-++，绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为（）A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m
4. 密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．
【问题2】小明爸爸经营某种品牌的服装，购进时单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是100件，而销售单价每降1元，就会多售出10件服装．
(1)设该种品牌服装的销售单价为x元，销售量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)若小明爸爸想获得2000元的销售利润，同时尽快清理库存，该服装销售单价应定为多少元？
(3)在(1)问条件下，销售该品牌服装获得的最大利润是多少？
【练习2】
1. 某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）
A．y=-1
2
x2+10x+1200（0＜x＜60）
B．y=-1
2
x2-10x+1250（0＜x＜60）
C．y=-1
2
x2+10x+1250（0＜x＜60）
聆听例题，D．y=-1
2
x2+10x+1250（x≤60）
2. 一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y (千克)与售价x (元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x(元/千克)…50607080…
销售量y(千克)…100908070…
(1) 求y与x的函数关系式；
(2) 该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
(3) 该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w （元）最大？此时的最大利润为多少元？
3. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间的函数关系如图所示．
(1) 求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2) 当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售
获得的利润最大？最大利润是多少？
(3) 某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种
蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．
【问题3】小明妈妈设计了一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边由周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米.
(1)若花圃的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个花圃的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【练习】
1. 长方形的周长为24 cm，其中一边为x cm（x＞0），面积为y cm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y=x2B．y=12-x2C．y=(12-x)•x
D．y=2(12-x)
2．用18米长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，窗子的宽不能超过2米，为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米?
1. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为
2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m．
(1) 当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
(2) 当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3) 若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
2. 小明开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两
1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
2. 某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间会全部住满；当每个
房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每间每天房价定为x元，宾馆每天利润为y元，则y与x的函数关系式为．
3. 某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5
元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为元．
4.如图，在靠墙（墙长为20m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆
总长为50m，设鸡场垂直于墙的一边长x（m），求鸡场的面积y（m2）与x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围．
1. 服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想
获得最大利润，则x应定为（）
A．150元B．160元C．170元D．180元
2. 如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣
，则此运动员把铅球推出多远（）
A．12m B．10m C．3m D．4m
3. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆
围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．求S与x之间的函数表达式，并求自变量x的取值范围．
4. 某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元
但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y 元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
五、总结反思（学生填写）。