数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案
高二数学选修2-1§3.1.1空间向量及其加减运算导学案
§3.1.1 空间向量及其加减运算10分钟阅读教材84~85页，并完成本学案 班级： 姓名：一、学法指导结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算。
通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想。
二、知识要点1.空间向量的概念（1）空间向量的定义在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 .（2）空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模。
如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作 ，其模记为 或 . （3）特殊向量 零向量：规定长度为0的向量叫做 ，记为 .其方向 . 单位向量： 的向量叫做单位向量. 相反向量：与向量a 长度 而方向 的向量，记为 .相等向量：长度 而方向 的向量称为相等向量， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的加法、减法类似平面向量（三角形法则、平行四边形法则、多边形法则），定义空间向量的加减法运算：OB OA OC =+= ；CA OA OC =-= ；3.空间向量加法的运算律（1）交换律 a b += ；（2）结合律 ()a b c ++= ；三、 典型例题例1.下列说法中错误的是 ．①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③零向量没有方向；④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；⑤若a b =，则a 与b 的长度相等，方向相同或相反；⑥若,a b b c ==，则a c =；⑦若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB CD =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件.例2. 如图所示，在长、宽、高分别为3,2,1AB AD AA '===的长方体ABCD A B C D ''''-且以八个顶点的两个为始点和终点的向量中：①单位向量共有多少个，分别是哪些？②试写出模为5的所有向量；③试写出与AB 相等的所有向量；④试写出AA '的相等向量；⑤化简DA DB B C B B A B A B '''''-+-+-.例3.请完成下面的选填题(1)在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心， 若z y x ++=1，则z y x ,,的值分别是 . B a =++++-n n A A A A A A A A 1433221(2)直三棱柱111C B A ABC -中，若CC ===1,,，则1A B = ( )A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-(3)在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若===,,，则=（ ） A.c b a 212121+- B.c b a 212121-- C.212321+- D.232121+- (4)已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是BC OA ,边的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=，用向量,,表示向量是 （ ） A.OC OB OA OG 313161++= B.OC OB OA OG 323161++= C.3232++= D.323221++= 例4.若点G 是ABC ∆的重心，求证0GA GB GC ++=．变式：如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证)(21+=．。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 空间向量及其加减运算）【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
|【学前准备】：多媒体，预习例题b a AB OA OB+=+=；ba OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
}向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。
（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(—C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC…二..探究新知（25分钟）1．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
选修2-1(3.1空间向量及其加减运算》说课稿
这 节课 的教 学 目标 。 二、 教学 目标 １ ． 理解 空 间 向量 的概 念 ， 会 用 图 形 说 明 空 间 向量 的线
性运算及其运算律 ， 初步应用空间向量的线性运算解决简 单 的立体 几何 问题 。 ２ ． 学生通过类 比平面向量 的学 习过程 了解 空间向量的 研究内容和方法 ， 经历向量及其运算 由平面 向空间的推广 ， 体验数学概念的形成过程。 ３ ． 培养学生的空间观念和系统学习概念的意识 。 三、 教 学重 点与 教学 难点 这节课 的教学重点是空间向量的概念及线性运算 。在 由平面 向量向空间向量 的推广过程中 ， 学生对于其相 同点
（ 河 北衡 水 中学 ， 河北 衡水 ０ ５ ３ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 本 节课的 内容是《 空间向量及其加减运算》 ， 选 自普通高 中课程标准实验教科 书人教Ａ版选修２ — １ 第三章 。本文 就从教 学内容和学生情况分析 ， 教 学 目标设定 ， 重难点设置 ， 教 学方式 ， 教学过程 以及教 学反 思等 方面对这节课 进行说
论 坛
ＥＤ Ｕ ＣＡ ＴＩ ＯＮ ＴＥ Ａ ＣＨＩ Ｎ Ｇ ＦＯ ＲＵ Ｍ
Ａｐ ｒ ． ２ ０１ ４ Ｎ Ｏ． １ ７
【 教学设计】
选修２ － １ （ （ ３ ． １ 空间向量及其加减运算》 说课稿
陈丽敏
６ ． 教育 学生 正 确处 理青 春 期 问题 。让 学 生正 确 处 理好 青春期问题 ， 对教师提出了更高的要求 ， 要求我们的教师既 是教书者 ， 又是能处理好学生青春期 问题的心理咨询师 ， 同
时教师又要善于发现学生生活中的蛛丝马迹 ，发现青春期 问题 ， “ 早 发现 ， 早诊断， 早治疗” ， 让 青 春期 问题 得 到 及 时 、
选修2-1第三章-空间向量与立体几何全章教案
§3.1 空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。
在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
'【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件babD BAOC三．类比推广、探求新知（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量b a ,都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：）如图，可以从空间任意一点O 出发作b OB a OA ==,，并且从A 出发作b AC =，则BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？ 探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？ （1） 思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。
例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
(如图) —让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。
空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。
高中数学选修2-1第三章教案3.1.1空间向量的线性运算
3.1.1空间向量的线性运算教学目标：1．知识与技能：（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
2．过程与方法：运用类比的方法，经历平面向量及其运算向空间向量推广的过程；3．情感态度与价值观：培养学生严谨的学习态度；使学生深刻认识数学和现实世界的联系，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。
教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何中的问题教学过程一、复习检测：平面向量的概念，加法、减法和数乘运算二、引入新课1．空间向量的概念：在空间，我们同样把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）空间的一个平移就是一个向量。
（2）相等的向量：向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量（3）零向量：起点与终点重合的向量（或长度为零的向量）叫做零向量；（4）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
记作（5）基线：有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的直线叫做向量的基线；（6）共线向量（或平行向量）：基线平行或重合的向量叫做共线向量或平行向量，如。
规定：零向量与任意向量共线。
2．空间向量的运算（1）类比平面向量运算，定义空间向量的加法、减法与数乘向量运算（2）运算律：①加法交换律：②加法结合律：③数乘分配律：（3）对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则和三角形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．表示相加的有向线段依次首尾相接，构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和，称之为“封口向量”。
4.有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变。
3、例题讲解：例1、已知平行六面体ABCD －化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： ⑴；（2）；；（3）解：⑴=；（2）；⑶设M 是线段的中点，则///111()()222AB AD DD BC AC CC CB AC CB AC CM AM ++-=++=+=+=. 注：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.方法归纳：运用“封口向量”或转化为平面向量的运算来进行。
高中数学选修2-1精品教案4-3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计
3.1.1 空间向量及其加减运算一、课题：空间向量及其加减运算二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；2．练习：课本28页第2题．（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a r 平行于b r ，记作：//a b r r ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ①，其中向量a r 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面α和向量a r ，作OA a =u u u r r ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a r 平行于平面α，记作：//a αr ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．4．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r ．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r ①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？例2．已知ABCD Y ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，（1）求证：四点,,,E F G H 共面；（2）平面AC //平面EG ．五、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．六、作业：1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的12条棱对应的向量中，与向量AD →相等的向量共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列命题中，正确的有( )①若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 是平行四边形”的充要条件②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c③“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的必要不充分条件④“AB →＝CD →”的充要条件是“A 与C 重合，B 与D 重合”A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →＝( )A.DB →B.AC →C.AB →D. BA →6. 化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝____________7．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →＝________.9．如图，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，求证：AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．如图所示，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.答 案例题分析：例1．【答案】解：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，所以，点P 与,,A B C 共面．【说明】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【答案】解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r ，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．作业：1．【解析】与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．故选C.【答案】C2．【解析】①正确．因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →.又因为A 、B 、C 、D 不共线，所以四边形ABCD 是平行四边形．反之，在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →.②正确．因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同．因为b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c .③正确．a ＝b ，|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .④不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|且AB →与CD →同向．故选C.【答案】C3．【解析】DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.故选D.【答案】D6. 解析方法一 因为AB →－CD →＝ AB →＋DC →，所以(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →＋DC →－AC →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.【答案】07．【解析】如图，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BO →＝－b ，OC →＝－a ，所以BC →＝BO →＋OC →＝－b －a .【答案】－b －a9．【证明】如图，作向量AA ′→，AC →，则AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CA ′→＝AA ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝AC →＋CA ′→＝AA ′→，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，AA ′→＝DD ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．【答案】(1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→、AC ′→如图所示．。
人教版高中选修(B版)2-13.1.1空间向量的线性运算教学设计
人教版高中选修(B版)2-13.1.1空间向量的线性运算教学设计教学目标1.了解空间向量的基本概念和性质；2.掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘；3.培养学生的抽象思维能力和运算能力。
教学内容1.空间向量的基本概念和性质；2.空间向量的加法、减法；3.空间向量的数乘。
教学重点难点1.空间向量的加法、减法的运算方法；2.空间向量的数乘的性质和计算方法。
教学方法1.讲授法：通过展示PPT、讲解案例等方式，向学生介绍空间向量的基本概念和线性运算的方法；2.实验法：通过实际操作，让学生亲身体验空间向量的线性运算，提升学生的运算能力；3.讨论法：通过组织学生讨论不同的空间向量问题，激发学生的思维能力，提升学生的抽象思维能力。
教学流程第一步：导入1.利用课件或者黑板，展示本节课的主要内容；2.带着学生回顾前置知识，即平面向量的相关概念；3.引出本节课的主题：空间向量的线性运算。
第二步：讲解空间向量的基本概念和性质1.展示空间向量的基本概念和性质的PPT，让学生对空间向量有一个初步的认知和了解；2.通过实际例子来解释空间向量的性质和概念，加深学生的印象；3.给学生讲解空间向量的坐标形式和分量形式，帮助学生理解空间向量在数学和物理中的应用。
第三步：讲解空间向量加法和减法1.给学生展示空间向量的加法和减法的PPT，并通过实际例子来演示向量的相加和相减；2.引导学生总结向量加法和减法的运算法则；3.帮助学生理解向量相减的意义，以及向量和向量之间的相互转换。
第四步：讲解空间向量的数乘1.展示空间向量的数乘的PPT，让学生了解数乘的基本概念和性质；2.通过实际例子来演示向量的数乘，帮助学生理解数乘的计算方法；3.帮助学生了解向量数乘的一些重要性质和应用。
第五步：练习与总结1.布置一些相关练习，让学生掌握向量的基本运算；2.带领学生总结本节课的重点和难点；3.通过掌握练习、总结知识，让学生对空间向量的线性运算有一个全面的了解。
数学选修2-1人教新课标3-1空间向量及其运算(一)教案
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母： ．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体 （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
说明：平行四边形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
高中数学《3.1.1空间向量及其加减运算》教学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算●三维目标1.知识与技能理解空间向量的概念，会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题．2．过程与方法学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．3．情感、态度与价值观培养学生的空间观念和系统学习概念的意识．●重点难点重点：空间向量的概念及线性运算．难点：共线向量、共面向量定理及推论的应用．●教学建议由平面向量向空间向量的推广过程中，学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难，本节可采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕空间向量的概念及线性运算这一教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，多举实例，努力突破教学难点．●教学流程创设问题情境：观察正方体过同一顶点的三条棱所表示的向量与以前学习的向量有什么不同.⇒类比平面向量引出空间向量的定义、相关概念以及线性运算法则及运算律.⇒通过向量的线性运算得出空间向量共线、共面定理及其推论.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握空间向量及有关概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算问题.⇒巩固向量共线、共面的条件，完成例3、例4及其变式训练，从而解决向量的共线、共面判断方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有何不同？【提示】 OA →，OB →，OC →是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内.【问题导思】1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则，减法满足三角形法则． 2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？【提示】 平面中，实数λ与向量a 的乘积λa 仍是一个向量，称为向量的数乘；当λ＞0时， λa 与a 方向相同，当λ＜0时，λa 与a 方向相反，λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．1．(1)空间向量的加、减法运算(如图3－1－1)图3－1－1OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；CA →＝OA →－OC →＝a －b .(2)运算律：①a ＋b ＝b ＋a ； ②(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 2．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a .共线向量与共面向量1.共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量；(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .2．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论 空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →；或对空间任一定点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.空间向量的有关概念给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反；④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________．【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？(2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形ABCD 满足什么条件时，才有AB →＋AD →＝AC →？【自主解答】 ①正确；②正确，因为AC →与A 1C 1→的大小和方向均相同；③|a |＝|b |，不能确定其方向，所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．下列命题是假命题的为________． (1)空间向量中的两个单位向量必相等； (2)若空间向量满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； (3)空间向量a 、b 满足a ＝b ，则|a |＝|b |； (4)若空间向量a ，b ，c 满足a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .【解析】 (1)单位向量模相等，方向不一定相同，故两单位向量不一定相等；(2)若b ＝0，则结论不成立；(3)正确；(4)正确，相等向量满足传递性．【答案】 (1)(2)空间向量的线性运算如图3－1－2所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 的三等分点(靠近A 点)，N 是A 1D 的三等分点(靠近D 点)．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.图3－1－2【思路探究】 结合图形→运用加、减、数乘的运算法则→错误!【自主解答】 MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(AB →＋AD →)＋AA 1→＋23(AD →－AA 1→)＝－13(a ＋b )＋c ＋23(b －c )＝－13a ＋13b ＋13c .1．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题.1．下列说法正确的是( ) A ．若|a |＜|b |，则a ＜bB ．若a 、b 为相反向量，则a ＋b ＝0C ．空间内两平行向量相等D ．四边形ABCD 中，AB →－AD →＝DB →【解析】 向量的模有大小，但向量不能比较大小，A 错；相反向量的和为0，不是0，B 错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C 错；D 正确．【答案】 D2．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A3．(a ＋2b )－3(a －b )＝________.【解析】 原式＝a ＋2b －3a ＋3b ＝－2a ＋5b . 【答案】 －2a ＋5b4．如图3－1－8，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 为AC ′的中点．化简下列各式．图3－1－8(1)AA ′→－CB →；(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →. 【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→；(3)12AD →＋12AB →－12A ′A →＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →. 一、选择题1．如图3－1－9所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( )图3－1－9A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c【解析】 如题图A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CC 1→＋CA →)＝b －(a ＋c )＝－a ＋b －c . 【答案】 D2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ， ∴BD →＝－2BA →，∴BD →与BA →共线，又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A3．(2013·某某高二检测)A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P 、A 、B 、C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋18＝1，∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( ) ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【解析】 对于①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； 对于②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③④化简结果不为BD 1→. 【答案】 A5．(2013·某某高二检测)如图3－1－10，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3－1－10A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝0【解析】 由图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有：EF →＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，用AB →、AD →、AA 1→表示D 1B →＝________. 【解析】 D 1B →＝－BD 1→＝－(BA →＋BC →＋BB 1→)＝AB →－BC →－BB 1→＝AB →－AD →－AA 1→. 【答案】 AB →－AD →－AA 1→7．(2013·某某高二期末)设e 1、e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A 、B 、D 三点共线，则k ＝________.【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2 又∵A 、B 、D 三点共线，∴AB →＝λBD →， 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λk ＝－4λ∴k ＝－8.【答案】 －88．已知两非零向量e 1、e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1、e 2共面．【答案】 ①②③ 三、解答题9．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x 、y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】如图所示， (1)∵OQ →＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA →＋PC →＝2PO →，∴PA →＝2PO →－PC →. 又∵PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →. 从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10．如图3－1－11所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，请判断EF →与AD →＋BC →是否共线？图3－1－11【解】 EF →与AD →＋BC →共线，连结AC ，取AC 中点G ，连结EG 、FG ，∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.又∵GF →、EG →、EF →共面，∴EF →＝GF →＋EG →＝12AD →＋12BC →＝12(AD →＋BC →)．即EF →与AD →＋BC →共线．11．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知BE ＝13BB 1，DF ＝13DD 1，CG ＝23CC 1，那么A ，E ，G ，F 四点是否共面？【解】 由题意知AC →＝AB →＋AD →， CG →＝23CC 1→＝13BB 1→＋13DD 1→＝BE →＋DF →.∴AG →＝AC →＋CG →＝AB →＋AD →＋BE →＋DF →＝AE →＋AF →.又AE →，AF →不共线， ∴A ，E ，G ，F 四点共面．。
高中数学选修2-1精品教案1：3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计
3．1.1 空间向量及其加减运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？那么，空间中的向量应该如何表示呢？其定义及运算与平面向量又有什么关系呢？二.思考分析李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．三.抽象概括空间向量表示法几何表示法 空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作a ，也可记作AB uu u r，其模记为|a |或|AB ―→|.几类特殊向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0. ②单位向量：模为1的向量称为单位向量.③相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量，记为－a .④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB uuu r ＝OA u u u r ＋AB uu u r＝a ＋b ；CA u u r ＝OA u u u r －OC uuu r ＝a －b .加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).般来说，向量不能比较大小．2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行． 3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的． 四.例题分析及练习[例1] 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB uu u r ＋AD uuu r ＝AC uuur[思路点拨] 根据向量的概念及运算律两方面辨析．[精解详析] |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有ABuu u r＋AD uuu r ＝AC uuur ，只有在平行四边形中才能成立．故A 、C 、D 均不正确．[答案] B [感悟体会](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 训练题组11．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 答案：D2．给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量； (2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等； (4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)(3)B ．(4)C ．(3)(4)D ．(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确． 答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量． (3)试写出AA 1―→的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量1AA u u u r ，1A A u u u r ，1BB u u u r ，1B B u u u r ，1DD u u u u r ，1D D u u u u r ，1CC u u u r ，1C C u u u r共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有1AD u u u u r ，1D A u u u r ，1C B u u u r ，1BC u u u r，1B C u u u r ，1CB u u u r ，1A D u u u r ，1DA u u u r .(3)向量1AA u u u r 的相反向量为1AA u u u r ，1B B u u u r ，1C C u u u r ，1D D u u u u r，共4个.[例2] 化简(AB uu u r －CD uuu r )－(AC uuu r －BD uuu r)．[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点．[精解详析] 法一：∵AB uu u r －CD uuu r ＝AB uu u r ＋DC uuur ，∴(AB uu u r －CD uuu r )－(AC uuu r －BD uuu r )＝AB uu u r ＋DC uuu r －AC uuu r ＋BD uuu r＝AB uu u r ＋BD uuu r ＋DC uuu r ＋CA u u r ＝AD uuu r ＋DA uuu r＝0.法二：(AB uu u r －CD uuu r )－(AC uuu r －BD uuu r )＝AB uu u r －CD uuu r －AC uuu r ＋BD uuu r＝(AB uu u r －CD uuu r )＋(DC uuu r －DB uuu r)＝CB u u u r ＋BC uuu r ＝0.[感悟体会](1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 训练题组24．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD u u u u r －AB uu u r ＋BC uuur 化简后的结果是( )A ．1BD u u u rB ．1D B u u u rC ．1BD u u u r D ．1DB u u u r解析：由正方体的性质可得1DD u u u u r －AB uu u r ＋BC uuur ＝1DD u u u u r －DC uuu r ＋BC uuu r ＝1CD u u u r ＋BC uuu r ＝1BD u u u r .答案：A5．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB u u u r ＝b ，AD uuu r＝c ，则CD uuu r 等于( )A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：因为CD uuu r ＝CB u u u r ＋BA u u r ＋AD uuu r ＝CB u u u r －AB uu u r ＋AD uuu r＝b －a ＋c ，所以CD uuu r ＝－a ＋b ＋c .答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1) 'AA uuu r －CB u u ur ；(2) 'AA uuu r ＋AB uu u r ＋''B C u u u ur .解：(1) 'AA uuu r －CB u u u r ＝'AA uuu r －DA uuu r ＝'AA uuu r ＋AD uuu r ＝'AA uuu r ＋''A D u u u u r ＝'AD u u u u r.(2) 'AA uuu r ＋AB uu u r ＋''B C u u u u r ＝('AA uuu r ＋AB uu u r )＋''B C u u u u r ＝'AB uuu r＋B ′C ′＝'AC uuur .向量'AD u u u u r 、'AC uuur如图所示．五.课堂小结与归纳(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，1OA u u u r ＋12A A u u u u r ＋23A A u u u u r ＋34A A u u u u r ＋45A A u u u u r ＋56A A u u u u r ＝6OA u u u r .即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． 六.当堂训练1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD u u u r相等的向量共有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：与AD u u u r相等的向量有11A D u u u u r ，BC u u u r ，11B C u u u u r ，共3个．答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''u u u u r 的模相等的向量有( )A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''u u u u r |＝|DC u u u r |＝|C D ''u u u u r |＝|CD u u u r |＝|BA u u r |＝|AB u u u r |＝|B A ''u u u u r |＝|A B ''u u u u r|.答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD u u u u r的是 ( )①(11A D u u u u r －1A A u u u r )－AB ②(BC u u u r ＋1BB u u u r )－11D C u u u u r ③(AD u u u r －AB u u u r)－1DD u u u u r ④(11B D u u u u r －1A A u u u r )＋1DD u u u u rA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(11A D u u u u r －1A A u u u r )－AB u u u r ＝1AD u u u r －AB u u u r ＝1BD u u ur ； ②(BC u u u r ＋1BB u u u r )－11DC u u u u r ＝1BC u u u r －MN u u u r ＝1BD u u u r； ③(AD u u u r －AB u u u r )－1DD u u u u r ＝BD u u u r －1DD u u uu r ≠1BD u u u r ；④(11B D u u u u r －1A A u u u r )＋1DD u u u u r ＝1BD u u u r ＋1DD u u u u r .答案：A4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则BC u u u r＝( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －b D ．2(a －b )解析：如图，∵OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，∴BO u u u r ＝－b ，OC u u u r ＝－a ，∴BC u u u r ＝BO u u u r ＋OC u u u r＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA u u r ＝a ，CB u u r ＝b ，1CC u u u r ＝c ，则1A B u u u r＝________.解析：1A B u u u r ＝1B B u u u r －11B A u u u u r ＝1B B u u u r －BA u u r ＝1B B u u ur －(CA u u r －CB u u r ) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b6．化简AB u u u r －AC u u u r ＋BC u u u r －BD u u u r －DA u u u r＝________.解析：AB u u u r －AC u u u r ＋BC u u u r －BD u u u r －DA u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CA u u r ＋AD u u u r ＋DB u u u r ＝AC u u ur ＋CA u u r ＋AD u u u r ＋DB u u u r ＝AB u u u r .答案：AB u u u r7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB u u r ＋1BA u u u r ； (2) AC u u u r ＋CB u u r ＋121AA u u u r ；(3) 1AA u u u r －AC u u ur －CB u u r .解：(1) CB u u r ＋1BA u u u r ＝1CA u u u r.(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM u u u r ＝121BB u u ur .又1AA u u u r ＝1BB u u u r ，所以AC u u u r ＋CB u u r ＋121AA u u u r ＝AB u u u r ＋BM u u u r ＝AM u u u r.(3) 1AA u u u r －AC u u u r －CB u u r ＝1CA u u u r －CB u u r ＝1BA u u u r.向量1CA u u u r ，AM u u u r ，1BA u u u r如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC u u u r ＋AB 'u u u r ＋AD 'u u u r＝2AC 'u u u r .证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ，AB 'u u u r ＝AB u u u r ＋AA 'u u u r ， AD 'u u u r ＝AD u u u r ＋AA 'u u u r ， ∴AC u u u r ＋AB 'u u u r ＋AD 'u u u r＝(AB u u u r ＋AD u u u r )＋(AB u u u r ＋AA 'u u u r )＋(AD u u u r ＋AA 'u u u r )＝2(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 'u u u r )．又∵AA 'u u u r ＝CC 'u u u r ，AD u u u r ＝BC u u u r ，∴AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u ur ＋CC 'u u u r ＝AC u u u r ＋CC 'u u u r ＝AC 'u u u r ，∴AC u u u r ＋AB 'u u u r ＋AD 'u u u r＝2AC 'u u u r .。
苏教版选修(2-1)3.1《空间向量及其运算》word教案
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。
人教A版高中数学选修2-1教案 3.1空间向量及其运算第2课时
§3.1.2空间向量的数乘运算【学情分析】：本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】：空间向量的数乘运算及运算律【教学难点】：用向量解决立几问题【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：推论：已知空间任意一点B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是四．练习巩固1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。
（1）CDBCAB++（2）)(21BCBDAB++（3）)(21ACABAF+-2、课本P96练习2-33、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH巩固知识，注意向量运算律的使用. 3、略解：（1）12EG EF FG EF BD EF EH=+=+=+（2）111222EG EB BF AB BC AC=+=+=得EF∥AC，AC⊄平面EFGH，则AC∥平面EFGH练习与测试：（基础题）1． 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++； AD（2）1()2AB BD BC ++； AG（3）1()2AG AB AC -+．MG（中等题）BCDMGA2、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量3．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====A CC 11,,,则（ ） A ．-+ B ．+- C ．++- D ．-+-。
人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量及其加减运算》教案-新版
3.1.1 空间向量及其加减运算一、教学目标 （一）核心素养通过本节课学习，使同学们理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的加减运算法则及运算律，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义，并通过空间几何体加深对运算的理解． （二）学习目标 1．理解空间向量的有关概念．2．掌握空间向量的加减运算法则及运算律．3．培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力，培养学生空间想象能力． （三）学习重点 1．空间向量的有关概念．2．空间向量的加减运算的平行四边形法则和三角形法则．3．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用．（四）学习难点 1．对空间向量相关概念的理解及与平面向量的关系．2．熟练掌握加减法的运算法则．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第84页至第85页，填空：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量可以用有向线段来表示．向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量记作AB uu u r．我们规定，长度为0的向量叫做零向量．模为1的向量称为单位向量．与向量a r为长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a r．方向相同且模相等的向量称为相等向量． 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．（2）写一写：空间向量的加法和减法运算的字母表示是什么？OA AB OB +=uu r uu u r uu u r ，OA OC CA -=uu r uuu r uu r ．空间向量的加法运算满足的交换律和结合律是什么？ a b b a +=+r r r r ，()()a b c a b c ++=++r r r r r r ．2．预习自测（1）以下说法正确的是（ ）A ．向量AB uu u r 的长度与向量BA uu r的长度相等 B ．零向量没有方向C ．若空间向量a r ，b r 满足||||a b =r r，则a b =r rD ．空间中任意两个单位向量必相等 【知识点】空间向量概念的应用．【解题过程】相反向量长度相同，A 正确；零向量的方向为任意方向，B 错误；向量相等既要长度相等，也要方向相同，C 错误；单位向量方向不确定，D 错误． 【思路点拨】理解向量的各种概念．【答案】A ．（2）向量AB BC CD ++uu u r uu u r uu u r的化简结果是 ． 【知识点】空间向量加法的字母运算．【解题过程】=C+=AB BC CD A CD AD ++uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r【思路点拨】空间向量加法的字母运算的关键是首尾相接．【答案】AD uuu r．（3）向量AB CB -uu u r uu r的化简结果是（ ） A ．CA uu rB ．AC uuu rC ．0rD ．BA BC -uu r uu u r【知识点】空间向量减法的字母运算．【解题过程】AB CB -uu u r uu r AB BC =+uu u r uu u r .AC =uuu r【思路点拨】利用相反向量的概念，将空间向量的加法运算转化为减法运算． 【答案】B ．（4）在正方体1111D C B A ABCD -中，下列选项中化简后为零向量的是（ ）A ．1AB AD AA ++uu u r uuu r uuu r B ．1AB AC BB -+uu u r uuu r uuu r C ．1111AB AD C A ++uu u r uuuu r uuu u rD ．1AC CB AB +-uuu r uuu r uu u r【知识点】在空间几何体中进行空间向量的加法运算．【解题过程】1111AB A D C A ++uu u r uuuu r uuu u r AB AD CA =++uuu r uuu r uu r 0AC CA =+=uuu r uu r r ．【思路点拨】利用正方形中的平行四边形的性质进行空间向量的加法运算． 【答案】C ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面向量的定义及表示方法；（2）平面向量中零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概念； （3）平面向量中加减法的平行四边形法则和三角形法则． 2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的概念★ ●活动① 类比提炼概念在必修四中，我们学习了平面向量的一些概念，那么在空间中，空间向量的概念和平面向量有什么异同呢？在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）．向量的大小叫做向量的长度或模（modulus ）．【设计意图】从平面向量到空间向量，从二维到三维，体会概念的类比过程． ●活动② 辨析概念，理解特殊向量在平面向量中，我们是用什么来表示向量的呢？（抢答）与平面向量一样，空间向量可以用有向线段来表示．向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量记作AB uu u r ，其模记作||a r 或||AB uu u r ．【设计意图】通过深入类比，学生的思维逐步过渡到空间向量上． ●活动③ 辨析概念，理解特殊向量与平面向量一样，空间向量也有一些特殊的向量．我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector ），记为0r．模为1的向量称为单位向量（unit vector ）．与向量a r 为长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector ）．【设计意图】通过概念辨析，加深对向量内涵与外延的理解，突破重点． 探究二 探究空间向量的加减法运算★ ●活动① 平移类比，提炼运算法则 空间任意两个向量一定共面吗？（抢答）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．已知空间向量a r ，b r，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA a =uu r r ，OB b =uu u r r．类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算：OB OA AB a b =+=+uu u r uu r uu u r r r ，CA OA OC a b =-=-uu r uu r uuu r r r ．【设计意图】通过平移类比，用平面向量引出空间向量的运算法则． ●活动② 巩固理解，深入探究平面向量的加法有哪些运算律呢？空间向量呢？（抢答）交换律：a b b a +=+r r r r ，结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r，空间向量的加法运算律和平面向量一致．【设计意图】通过抢答，学生在复习平面向量的加法运算律的同时，得到空间向量的加法运算律，理解更加深入．探究三 探究空间向量的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，我们知道了空间向量是平面向量在空间的推广，各种概念、运算和平面向量基本一致．那有哪些内容和平面向量是不一样的呢？（抢答）在空间中，三个以上的向量进行加减法，要考虑三个向量不共面的情况． 【设计意图】通过学生归纳知识点和方法，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 已知a r ，b r为空间向量，以下命题正确的是（ ）A ．若||||a b =r r，则a b =r rB ．若||||a b <r r，则a b <r r C ．若a b =r r ，则||||a b =r rD ．若a b ≠r r ，则a r 与b r的方向不同 【知识点】空间向量大小和方向概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】A 中，向量相等还需要方向相同，故错误；B 中，向量不能比较大小； D 中，与可能为平行关系．【思路点拨】深刻理解向量的定义，既有大小又有方向． 【答案】C ．同类训练 给出以下命题：①若向量a r 是b r 的相反向量，则||||a b =r r； ②空间向量的减法满足结合律；③在正方体1111D C B A ABCD -中，必有11AC A C =uuu r uuu u r．其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】空间向量的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律，②错误；③中11//C A AC ， 符合向量相等的定义，正确． 【思路点拨】熟悉、理解各种概念． 【答案】C ．【设计意图】通过概念辨析，学生对向量概念理解更加深刻． ●活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，2=AD ，11=AA ，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： （1）单位向量共有多少个？ （2）模为5的向量有哪些？【知识点】空间向量的表示法，向量的模． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）∵11111====DD CC BB AA ，∴向量1AA uuu r ，1A A uuu r ，1BB uuu r ，1B B uuu r ，1CC uuu r ，1C C uuu r，1DD uuur ，1D D uuur都是单位向量．（2）∵51111====C B BC D A AD ，∴向量1AD uuu r ，1D A uuu r ，1A D uuu r ，1DA uuu r ，1BC uuu r ，1C B uuu r ，1B C uuu r，1CB uuu r都是符合题意．【思路点拨】先找出满足条件的线段．【答案】（1）8个；（2）1AD uuu r ，1D A uuu r ，1A D uuu r ，1DA uuu r ，1BC uuu r ，1C B uuu r ，1B C uuu r ，1CB uuu r.同类训练 在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，2=AD ，11=AA ，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：（1）与AB uu u r相等的向量有哪些？（2）试写出向量AB uu u r的相反向量．【知识点】空间向量的表示法，相等向量与相反向量． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）∵1111//////C D DC B A AB ，∴向量DC uuu r ，11A B uuu u r ，11D C uuuu r 与AB uu ur 相等． （2）同（1）分析，向量BA uu r ，CD uu u r ，11B A uuu u r ，11C D uuuu r 是AB uu ur 的相反向量． 【思路点拨】先找出直线AB 的平行线，再确定方向．【答案】（1）DC uuu r ，11A B uuu u r ，11D C uuuu r ；（2）BA uu r ，CD uu u r ，11B A uuu u r ，11C D uuuu r．【设计意图】通过向量的列举，使学生对向量的各种概念更加熟悉，巩固基础． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，求证：1112AC AB AD AC ++=uuu r uuu r uuu r uuu r ．【知识点】空间几何体中向量的加法运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r ，11AB AB AA =+uuu r uu u r uuu r ，11AD AD AA =+uuu r uuu r uuu r ，且AD BC =uuu r uu u r ，11AA CC =uuu r uuu r∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 1112()2()2AB AD AA AB BC CC AC =++=++=uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ．【思路点拨】将坐标的向量都用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r表示出来，再根据空间向量的加法法则得到答案．【答案】见解题过程．同类训练 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r 表示向量1A C uuu r．【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】1111A C AC AA AB BC AA AB AD AA =-=+-=+-uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r．【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为A 点，从而可使用三角形法则．【答案】11A C AB AD AA =+-uuu r uu u r uuu r uuu r．【设计意图】巩固空间向量的加减法运算，培养学生数形结合的能力． 3. 课堂总结 知识梳理（1）在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）．向量的大小叫做向量的长度或模（modulus ）．（2）我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector ），记为0r ．模为1的向量称为单位向量（unit vector ）．与向量a r 为长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector ）．（3）已知空间向量a r ，b r ，以任意点O 为起点，作向量OA a =uu r r ，OB b =uu u r r．我们可以定义空间向量的加法和减法运算：OB OA AB a b =+=+uu u r uu r uu u r r r ，CA OA OC a b =-=-uu r uu r uuu r r r．空间向量的加法交换律：a b b a +=+r r r r ，结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r ． 重难点归纳（1）空间向量是平面向量在空间中的推广，是既有大小又有方向的量．要注意零向量，单位向量，相反向量，相等向量的规定．（2）两个空间向量的加减法的运算法则和运算律与平面向量类似；三个以上的空间向量进行加减法，要考虑三个向量不共面的情况． （三）课后作业 基础型 自主突破1．下列说法正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．任一向量与它的相反向量不相等C ．若||||a b =r r，则a r 与b r 的方向相同或相反D ．若a r 与b r 是相反向量，则||||a b =r r 【知识点】空间向量的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】单位向量方向没有规定，A 错误；零向量的相反向量是本身，B 错误；向量的大小和方向没有必然联系，C 错误． 【思路点拨】深刻理解各种概念． 【答案】D ．2．在三棱柱111C B A ABC -中，AC uuu r 与11A C uuu u r 是________向量，AB uu u r 与11B A uuu u r是________向量 【知识点】相等向量与相反向量． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵11//C A AC ，且AC uuu r 与11A C uuu u r 方向相同，∴AC uuu r 与11A C uuu u r是相等向量，同理，AB uu u r 与11B A uuu u r是相反向量．【思路点拨】熟记相等向量与相反向量的定义． 【答案】相等，相反．3． 在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-uu r uu u r uu r等于（ ） A ．OA uu rB ．AB uu u rC ．OC uuu rD ．AC uuu r【知识点】空间向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】OA AB CB +-uu r uu u r uu r ()OA AB BC =++=uu r uu u r uu u r OB BC +uuu r uu u r OC =uuu r ． 【思路点拨】利用加法结合律和三角形法则．【答案】C ．4．在三棱柱111C B A ABC -中，若CA a =uu r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuu r r ，则1A B =uuu r（ ）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r 【知识点】空间向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】 1A B =uuu r 111A C C C CB ++=uuu u r uuu r uu r 1CA CC CB --+=uu r uuu r uu ra b c -+-r r r 【思路点拨】将一个向量通过加法法则拆分成已知向量． 【答案】D ．5．在长方体1111D C B A ABCD -中，1BA BC DD ++=uu r uu u r uuur（ ）A ．11DB uuuu r B ．1D B uuu rC ．1DB uuu rD ．1BD uuu r【知识点】空间向量的加法运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=++1DD =+1DD 1BD ． 【思路点拨】利用图形和加法结合律，依次运算． 【答案】D ．6．已知长方体1111D C B A ABCD -，化简下列向量表达式：（1）1AA CB -uuu r uu r ；（2）11111AB B C C D ++uuu r uuu u r uuuu r ．【知识点】空间几何体中向量的加减法运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）AA -1AA +=11111AD D A AA =+=． （2）111111AD D C C B AB =++．【思路点拨】熟练掌握加法的三角形法则． 【答案】（1）1AD （2）1AD ． 能力型 师生共研7．在空间四边形ABCD 中，2AB CA BC AD BD ++-+=uu u r uu r uu u r uuu r uu u r________．【知识点】空间向量的加减法运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】2AB CA BC AD BD ++-+=uu u r uu r uu u r uuu r uu u r 2()()AB BC CA BD DA ++++uu u r uu u r uu r uu u r uu u r2220AB BA BA AB BA =++=+=uu u r uu r uu r uu u r uu r r ．【思路点拨】利用加法在正方体1111D C B A ABCD -中的三角形法则．【答案】0r．8．已知正方体1111D C B A ABCD -的中心为O ，则在下列各结论中，正确的共有（ ）①OA OD +uu r uuu r 与11OB OC +uuu r uuu r是一对相反向量； ②OB OC -uu u r uuu r 与11OA OD -uuu r uuu r是一对相反向量；③OA OB OC OD +++uu r uu u r uuu r uuu r 与1111OA OB OC OD +++uuu r uuu r uuu r uuu r是一对相反向量．④1OA OA -uuu r uu r 与1OC OC -uuu r uuu r是一对相反向量；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】相反向量的定义，向量的加减法． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】画图，利用向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量． 【思路点拨】数形结合，利用图形和平行四边形法则进行运算． 【答案】C ． 探究型 多维突破9．在正方体1111D C B A ABCD -中，下列各式运算结果为向量1AC uuu r的有（ ）． ①1()AB BC CC ++uu u r uu u r uuu r ；②11111()AA A D D C ++uuu r uuuu r uuuu r ； ③111()AB BB B C ++uu u r uuu r uuu u r ；④11111()AA A B B C ++uuu r uuu u r uuu u r ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】空间几何体中向量的加法运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】①1()AB BC CC ++uu u r uu u r uuu r 11AC CC AC =+=uuu r uuu r uuu r；②11111()AA A D D C ++uuu r uuuu r uuuu r 1111AD D C AC =+=uuu r uuuu r uuu r ；③111()AB BB B C ++uu u r uuu r uuu u r 1111AB B C AC =+=uuu r uuu u r uuu r ；④11111()AA A B B C ++uuu r uuu u r uuu u r 1111AB B C AC =+=uuu r uuu u r uuu r ．【思路点拨】利用加法三角形法则和结合律．【答案】D ．10．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M ，N 分别为BC ，PD 的中点，若AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，AP c =uu u r r ，则MN =uuu r ________（用a r ，b r ，c r 表示）． 【知识点】空间几何体中向量的加减运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=MN MC CD DN ++=uuu r uu u r uuu r 1122BC BA DP ++uu u r uu r uu u r 11()22AD AB AP AD =-+-=uuu r uu u r uu u r uuu r 12AB AP -+uu u r uu u r 12a c =-+r r ． 【思路点拨】利用中点性质，将向量用已知向量表示． 【答案】12a c -+r r ． 自助餐1．下列说法正确的是（ ）A ．向量AB uu u r 与BA uu r 的长度相等B ．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则他们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等【知识点】空间向量的概念．【数学思想】转化思想． 【解题过程】向量AB uu u r 与BA uu r 的长度都是线段AB 的长度，A 正确；将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则他们的终点构成一个球面，B 错误；有向线段只是用来表示空间向量，两者并不相同，C 错误；不相等的两个空间向量的模可能相等，D 错误．【思路点拨】熟悉空间向量的概念．【答案】A ．2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r 表示向量1BD uuu r ．【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算．【数学思想】数形结合思想【解题过程】1111()BD AD AB AB AD AA AB AD AA =-=-++=-++uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r ．【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为A 点，从而可使用三角形法则．【答案】11BD AB AD AA =-++uuu r uu u r uuu r uuu r ．3．在长方体1111D C B A ABCD -中，设AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuu r r ，则||a b c ++r r r 与||a b c --r r r 的大小关系为（ ）A ．>B ． <C ．=D ．不能确定【知识点】向量的加减法，向量的模．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】1||||a b c AC ++=r r r uuu r ，1||||a b c D B --=r r r uuu r ，由长方体的对角线长度相等，可得||a b c ++r r r =||a b c --r r r ．【思路点拨】画图，合理运算，由长方体的几何性质可得．【答案】C ． 4．已知长方体1111D C B A ABCD -，1AD AB A A +-=uuu r uu u r uuu r ________ ．【知识点】空间几何体中向量的加减法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】1AD AB A A +-=uuu r uu u r uuu r 1AD AB AA ++=uuu r uu u r uuu r 1AC uuu r ．【思路点拨】掌握加法的三角形法则．【答案】1AC uuu r ．5．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．【知识点】相等向量的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由题意，可得EF 是ABC ∆的中位线，∴2EF AC =uu u r uuu r ，同理有2HG AC =uuu r uuu r ，∴EF HG =uu u r uuu r ，即HG EF //，故四边形EFGH 是平行四边形．【思路点拨】利用中位线的性质，得到两个向量相等．【答案】见解题过程．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，下列关于1AC uuu r 的表达式错误的是（ ）A ．11111AA AB A D ++uuu r uuu u r uuuu rB ．111AB DD DC ++uu u r uuur uuuu r C ．111AD CC D C ++uuu r uuu r uuuu r D ．111AB B C CC ++uu u r uuu u r uuu r【知识点】空间几何体中向量的加法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】111AB DD D C ++uu u r uuur uuuu r 111()AB DD D C =++=uu u r uuur uuuu r 111AB DC AB AB AC +=+≠uu u r uuur uu u r uuu r uuu r ．【思路点拨】考虑加法结合律，结合图形得到答案．【答案】B ．。
数学选修2-1--3.1空间向量及其运算教案
数学选修2-1--3.1空间向量及其运算教案第三章 空间向量与立体几何 课标要求1、了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及坐标表示2、掌握空间向量的数量积及其坐标运算，会判断向量的共线（平行）与垂直3、能用向量方法证明线面位置关系的一些定理，能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题。
4、体会向量方法在研究几何问题中的作用。
§3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。
学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。
（不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写）1、 在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；2、 平面向量的表示方法： 课标要求1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
层次：2.12、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
层次：1.1 1.1 1.33、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
层次：1.34、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
层次：1.3 1.2 学习目标1、类比平面向量掌握空间向量的线性运算及坐标运算 层次：1.2 1.32、掌握空间向量的数量积及坐标形式，并能运用它判断向量的共线与垂直 层次：1.3 1.2重点空间向量的线性运算及坐标运算 难点空间向量的数量积，并用其判断向量的共线与垂直 课时5课时 教具 背投、电脑①几何表示法：_________________________②字母表示法：_________________________（注意：向量手写体一定要带箭头）3、平面向量的模表示_________________，记作____________4、一些特殊的平面向量：①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性）②单位向量：______________________________（强调：都只限制了大小，不确定方向）③相等向量：____________________________④相反向量：____________________________5、平面向量的加法：6、平面向量的减法：7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb数乘结合律：λ（aμ）=a)(λμ[师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟）[师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。
条有向线段来表示。
思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。
其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
人教版A版高中数学高二版选修2-1 3.1空间向量及其加减运算(说课稿)
空间向量及其加减运算说课稿一．教材分析1.本节内容在高中教材中的地位和作用向量可以表示物体的位置，本身也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象；向量可以进行加减，数乘，数量积等运算，又成为了代数学的研究对象。
可以说向量是重要的数学模型，是沟通代数，几何的桥梁。
在学习了立体几何初步和平面向量的基础上进行的空间向量的学习为空间向量解决立体几何问题提供了新的视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
而本节内容又是整个空间向量的基础，是后续学习的前提，因此学好这节内容就显得尤为重要。
2.教学重难点（1）教学重点：类比平面向量知识理解掌握空间向量的有关概念及其加减运算。
（2）教学难点：空间向量的加减运算。
二．学情分析由于学生已学过平面向量知识有一定的向量基础，学习过立体几何知识有一定的空间观念，因此在教学中可运用类比和归纳让学生体验数学结构上的和谐性。
由于空间向量是在平面向量的基础上推广的，涉及内容和平面向量类似，学生应该容易接受。
但要在教学过程中注意维数增加给学生带来的不利影响。
三．教学目标1.知识目标理解空间向量的相关概念，掌握空间向量的加减运算及其运算律。
2.能力目标（1）体会类比和归纳的数学思想。
（2）进一步培养学生的空间观念。
（3）体会数形结合的思想。
3．情感态度、价值观目标：（1）培养学生认真参与，积极交流的主体意识。
（2）培养学生探索精神和创新意识。
（3）使学生懂得数学源于生活，服务于生活。
四．教法学法教法：采取类比引导、计算机辅助教学、反馈评价等方式；学法：采取自主探索、类比猜想、合作交流等形式。
五．教学过程根据课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学内容作如下安排：1.创设情境——引入新课我将以三名学生从空间三个不同的方向提拉一物体这样一个生活实例出发，让学生感受向量在生活中的存在，以及学习空间向量的必要性。
接着以正方体同一顶点上的三条棱表示的三个向量是空间向量引出数学中的空间向量问题。
3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)
空间向量及其运算( 一 )教课目标：1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点：用向量解决立几问题.讲课种类：新讲课 .课时安排： 1 课时 .教具：多媒体、实物投影仪.教课过程：一、复习引入：1.向量的观点(1)向量的基本因素：大小和方向 .(2) 向量的表示：几何表示法uuur r r rAB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a ｜.(4)特别的向量：零向量 a ＝0｜a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式：(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任一直量，有且仅有一对实数 1 ,2，使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a ＝λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ，即PP＝λ PP，则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP ＝OP ＋OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ＝1时，得中点公式：uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP ＝2（ OP1＋ OP2）或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ，则 OP ＝ OP+ a或y，y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为：y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理： a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律：( a b)a b3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体， 并记作：ABCD － A B C D .它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范：例 1.已知平行六面体 ABCD － A B C D 化简以下向量表达式，标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AA ；uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC；⑷3( AB ADAA).2A'B'M解：如图：uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ；uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ；GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点，则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ，连接 AC, BD ，设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点，化简以下各表uuur uuur uuur达式，并标出化简结果向量：（1） ABBCCD ；uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur（2） AB ( BD BC) ；（ 3） AG (AB AC)．A2 2解：如图， uuur uuur uuur uuur uuuruuur（1） AB BC CD AC CD AD ；uuur uuur uuur uuur uuur uuurB（2） AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ；uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C（3） AG ( ABAC) AG AM MG ．2四、讲堂练习 ：1．如图，在空间四边形ABCD 中， E, F 分别是 AD 与 BC 的中点，uuur1 uuur uuur求证： EF(AB DC)．21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明： EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2．已知2x3y3a b4c ，3x y8a5b c ，把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c， 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c ， y a b2c uuur r uuur r uuur r3 ．如图，在平行六面体ABCD ABCD 中，设AB a ， AD b, AA c ， E, F 分别是AD , BD 中点，uuuur uuur D' r r r；C'（ 1）用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur （ 2 ）化简：AB BB BC C D2DE；uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : （ 1）D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结：空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法；平行六面体的观点；向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业：如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计（略）.八、课后记：BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。
人教版高中选修2-13.1空间向量及其运算课程设计
人教版高中选修2-13.1空间向量及其运算课程设计一、课程目标本课程旨在帮助学生：1.掌握空间向量的概念和基本性质2.掌握空间向量的加法、减法、数量积和向量积等运算方法3.能够应用空间向量的相关知识解决实际问题4.培养学生的数学思维能力和数学建模能力二、课程内容及安排第一课时（2课时）1. 空间向量的概念和基本性质•空间向量的定义•空间向量的基本性质2. 空间向量的表示方法•坐标表示法•向量表示法3. 空间向量的相等和共线•空间向量的相等•空间向量的共线第二课时（2课时）1. 空间向量的加法和减法•空间向量的加法定义•空间向量的减法定义•空间向量的几何意义2. 空间向量的数量积•空间向量的数量积定义•数量积的几何意义•两个非零向量的数量积为0的判定方法第三课时（2课时）1. 空间向量的向量积•向量积的定义•向量积的几何意义•向量积的性质2. 向量积的坐标表示法•向量积的坐标表示法•向量积的计算方法第四课时（2课时）1. 空间向量的混合积•混合积的概念和含义•混合积的性质和计算方法2. 空间向量在几何问题中的应用•平面方程的解法•直线间的距离和夹角•空间图形体积的计算三、教学方法和手段1.设计合理的教学计划和教学内容，使学生有序地掌握和运用知识。
2.采用多种形式的教学方法，如讲解、演示、练习和案例分析等，激发学生的学习兴趣，加深对知识的理解和记忆。
3.结合实际问题，运用空间向量的相关知识进行建模，培养学生的实际问题解决能力。
4.利用计算机辅助教学软件，如MATLAB和Mathematica等，辅助授课和实验教学。
四、教学评估1.根据学生的掌握情况，开展阶段性测试和调查，及时掌握学生的学习情况和需求，及时调整和改进教学内容和方法。
2.设计课程作业和课程论文，要求学生运用空间向量的相关知识解决具体问题，培养学生的实际问题解决和论文写作能力。
3.开展模拟实验和综合实验，考察学生的实验操作能力和实验分析能力。
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第三章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。
学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。
（不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写）1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；2、平面向量的表示方法：① 几何表示法：_________________________② 字母表示法：_________________________（注意：向量手写体一定要带箭头）3、平面向量的模表示_________________，记作____________4、一些特殊的平面向量：① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________（强调：都只限制了大小，不确定方向）③ 相等向量：____________________________④ 相反向量：____________________________5、平面向量的加法：6、平面向量的减法：7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |(2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa ＝0.8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ[师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟）[师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。
（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间）[师]：空间向量与平面向量有什么联系？[生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．[师]：请同学们试着完成P85的探究。
在平行六面体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，AB+AD+ AA ’=AC ’AB+ AA ’+ AD= AC ’所以 （AB+AD ）+AA ’=（AB+AA ’）+AD所以 三个不共面向量的和等于以该三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。
完成书P86的练习3师：下面来练习打开同步P95 做 1、2、3、5师：今天的作业：1、同步P95 练习二十五 做完2、书P97 习题3.1 A 组 1、2做书上反思：3.1.2 空间向量的数乘运算（可分两课时）[师]：上节课我们学习了空间向量的相关概念，这节课我们来学习共线向量与共面向量定理，请看学习目标。
（展示学习目标）学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．[师]：请看自学指导请同学们认真阅读书P86-87的内容，⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？（结合自学指导，略作解答）1、共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a 平行于b ，记作：//a b ．注意：零向量与任意向量都是共线向量。
2、共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②（要知道这个推论的条件） [师]：如何证明这两个推论呢？ 因为l ∥a ，满足AP=ta,又因AP=OP-OA,所以OP=OA+ta,若在l 上取AB=a ，则有OP=OA+tAB ，进一步， 因为AB=OB-OA,所以OP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB[师]：若当12t =时，点P 是什么？向量OP 会怎样？ [生]：点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ [师]：所以把①和②都叫空间直线的向量表示式，也叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．[师]：结合推论的条件，请同学们思考，空间中的任意直线是由哪些因素确定的？[生]：空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定。
[师]：共线向量定理及其推论有何应用？[生]：与平面向量一样，可以判断空间任意三点共线。
3、共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．[师]：根据定义，说明空间任意的两向量都是共面的，为什么？[生]：因为总可以找到一个平面，使得这两个向量和平面平行[师]：空间中任意三个向量是不是一定共面呢？什么情况下三个向量共面？[生]：不一定，比如（自举例）。
4．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．[师]：这与平面向量基本定理类似，a ，b 叫做基底，请同学们完成P87的探究 a lPB AO前者与平面向量基本定理吻合，后者可结合图3.1-9 讲解（因为xa ，yb 与a ，b 共线，所以xa ，yb 都在a ，b 确定的平面内。
又因为xa+yb 是以|xa|，|yb|为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a ，b 确定的平面内，所以p=xa+yb 在a ，b 确定的平面内，即p 与a ，b 共面。
）[师]：共面向量定理和推论有何应用？[生]：可以判断四点共面。
师生共同完成例1补充：证明平面A C ∥平面EG 。
（选讲）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．例2．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？ 解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-，∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面．推广：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++ （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？（仿照例2独立完成，写在练习本上或P88思考处，请一位同学上黑板板书） 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-，∴AP y AB z AC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．注意：可作为结论来判断四点共面。
[师]：剩下时间请同学们完成P89 练习1、2、3[师]：我们一起来小结本节课的内容：（师生共同完成）1、共线向量、共线向量定理及其推论，以此来判断三点共线（与平面向量类似）2、共面向量、共面向量定理及其推论，可判断空间四点共面。
布置作业：同步P96 练习二十六反思：3.1.3 空间向量的数量积运算（一）师：这节课我们来学习空间向量的数量积运算（板书）请看本节课的学习目标。
展示学习目标。
学习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
师：目标明确的同学请举手。
（老师根据情况进行下一步）。
请看自学指导。
（展示自学指导）认真阅读书P90的内容，完成下列问题。
（时间5分钟）1、空间两个向量的夹角：已知两个_____a，b，在空间中任取一点O，作_________________，则_______叫做向量a与b的夹角，记作_______,且规定夹角范围为___________.若夹角为90°，则称a与b_________，记作_______；当非零向量同向时夹角为______,反向时夹角为______.零向量与其他向量之间不定义夹角，所以约定：零向量与任何向量都共线，即_______，在研究垂直时，也认为0⊥a.（空间向量的夹角特点：___________________2、两个向量的数量积：a·b=_______________________规定：零向量与任何向量的数量积为________3、空间向量数量积的运算律：a)(λ______________=⋅b交换律：________________ 分配律：________________师：通过看书，同学们已经掌握了空间向量数量积的基本概念，请思考下面的问题。
问题1：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？问题2：你能证明这些运算定律吗？（简要解释）问题3：完成P90的思考。